大一高數(shù)考試真題及答案

一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共20分）1.函數(shù)\(y=\ln(x+1)\)的定義域是（）A.\(x>-1\)B.\(x\geq-1\)C.\(x<-1\)D.\(x\leq-1\)2.\(\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=\)（）A.0B.1C.\(\infty\)D.不存在3.函數(shù)\(y=x^3\)的導(dǎo)數(shù)\(y^\prime=\)（）A.\(3x^2\)B.\(x^2\)C.\(3x\)D.\(3\)4.若\(f(x)\)的一個(gè)原函數(shù)是\(x^2\)，則\(f(x)=\)（）A.\(2x\)B.\(x^2\)C.\(\frac{1}{2}x^3\)D.\(2\)5.\(\intxdx=\)（）A.\(\frac{1}{2}x^2+C\)B.\(x^2+C\)C.\(\frac{1}{3}x^3+C\)D.\(2x+C\)6.函數(shù)\(y=\cosx\)的周期是（）A.\(\frac{\pi}{2}\)B.\(\pi\)C.\(2\pi\)D.\(4\pi\)7.曲線\(y=x^2\)在點(diǎn)\((1,1)\)處的切線斜率為（）A.1B.2C.3D.48.\(\lim_{x\to\infty}(1+\frac{1}{x})^x=\)（）A.0B.1C.\(e\)D.\(\infty\)9.函數(shù)\(f(x)=\frac{1}{x-1}\)的間斷點(diǎn)是（）A.\(x=0\)B.\(x=1\)C.\(x=2\)D.無(wú)間斷點(diǎn)10.若\(y=e^{2x}\)，則\(y^\prime=\)（）A.\(e^{2x}\)B.\(2e^{2x}\)C.\(\frac{1}{2}e^{2x}\)D.\(e^x\)答案：1.A2.B3.A4.A5.A6.C7.B8.C9.B10.B二、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共20分）1.下列函數(shù)中是奇函數(shù)的有（）A.\(y=x^3\)B.\(y=\sinx\)C.\(y=\cosx\)D.\(y=x+1\)2.以下極限存在的是（）A.\(\lim_{x\to0}\frac{1}{x}\)B.\(\lim_{x\to0}x\sin\frac{1}{x}\)C.\(\lim_{x\to\infty}\frac{\sinx}{x}\)D.\(\lim_{x\to\infty}x\)3.函數(shù)\(y=f(x)\)在點(diǎn)\(x_0\)處可導(dǎo)的充分必要條件是（）A.在點(diǎn)\(x_0\)處連續(xù)B.左導(dǎo)數(shù)等于右導(dǎo)數(shù)C.極限\(\lim_{\Deltax\to0}\frac{f(x_0+\Deltax)-f(x_0)}{\Deltax}\)存在D.在點(diǎn)\(x_0\)處有定義4.下列積分計(jì)算正確的是（）A.\(\int\sinxdx=-\cosx+C\)B.\(\int\cosxdx=\sinx+C\)C.\(\inte^xdx=e^x+C\)D.\(\int\frac{1}{x}dx=\ln|x|+C\)5.以下哪些是基本初等函數(shù)（）A.冪函數(shù)B.指數(shù)函數(shù)C.對(duì)數(shù)函數(shù)D.三角函數(shù)6.函數(shù)\(y=x^4-2x^2+1\)的駐點(diǎn)有（）A.\(x=-1\)B.\(x=0\)C.\(x=1\)D.\(x=2\)7.下列說(shuō)法正確的是（）A.可導(dǎo)必連續(xù)B.連續(xù)必可導(dǎo)C.可微必可導(dǎo)D.可導(dǎo)必可微8.若\(F(x)\)是\(f(x)\)的一個(gè)原函數(shù)，則（）A.\(F^\prime(x)=f(x)\)B.\(\intf(x)dx=F(x)+C\)C.\(f^\prime(x)=F(x)\)D.\(\intF(x)dx=f(x)+C\)9.曲線\(y=x^3-3x\)的單調(diào)遞增區(qū)間為（）A.\((-\infty,-1)\)B.\((-1,1)\)C.\((1,+\infty)\)D.\((-\infty,+\infty)\)10.下列極限值為1的是（）A.\(\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}\)B.\(\lim_{x\to0}(1+x)^{\frac{1}{x}}\)C.\(\lim_{x\to\infty}(1+\frac{1}{x})^x\)D.\(\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}\)答案：1.AB2.BC3.BC4.ABCD5.ABCD6.ABC7.ACD8.AB9.AC10.ABCD三、判斷題（每題2分，共20分）1.函數(shù)\(y=\sqrt{x^2}\)與\(y=x\)是同一個(gè)函數(shù)。（）2.若\(\lim_{x\tox_0}f(x)\)存在，則\(f(x)\)在\(x_0\)處一定連續(xù)。（）3.函數(shù)\(y=x^2\)的導(dǎo)數(shù)\(y^\prime=2x\)，則其在點(diǎn)\((0,0)\)處的切線方程為\(y=0\)。（）4.\(\int_{-a}^{a}f(x)dx=0\)，當(dāng)\(f(x)\)為奇函數(shù)時(shí)成立。（）5.函數(shù)\(y=\tanx\)在其定義域內(nèi)處處可導(dǎo)。（）6.若\(f^\prime(x_0)=0\)，則\(x_0\)一定是函數(shù)\(f(x)\)的極值點(diǎn)。（）7.兩個(gè)無(wú)窮小量的商一定是無(wú)窮小量。（）8.函數(shù)\(y=\lnx\)的定義域?yàn)閈((0,+\infty)\)。（）9.定積分的值只與被積函數(shù)和積分區(qū)間有關(guān)，與積分變量的記號(hào)無(wú)關(guān)。（）10.函數(shù)\(y=e^x\)的反函數(shù)是\(y=\lnx\)。（）答案：1.×2.×3.√4.√5.×6.×7.×8.√9.√10.√四、簡(jiǎn)答題（每題5分，共20分）1.求函數(shù)\(y=\frac{x^2+1}{x}\)的導(dǎo)數(shù)。答案：將函數(shù)\(y=\frac{x^2+1}{x}=x+\frac{1}{x}=x+x^{-1}\)，根據(jù)求導(dǎo)公式\((x^n)^\prime=nx^{n-1}\)，\(y^\prime=1-x^{-2}=1-\frac{1}{x^2}\)。2.計(jì)算\(\int(2x+3)dx\)。答案：根據(jù)積分公式\(\intx^ndx=\frac{1}{n+1}x^{n+1}+C(n\neq-1)\)與\(\intkdx=kx+C\)（\(k\)為常數(shù)），\(\int(2x+3)dx=\int2xdx+\int3dx=x^2+3x+C\)。3.求\(\lim_{x\to1}\frac{x^2-1}{x-1}\)。答案：對(duì)分子因式分解\(x^2-1=(x+1)(x-1)\)，則\(\lim_{x\to1}\frac{x^2-1}{x-1}=\lim_{x\to1}\frac{(x+1)(x-1)}{x-1}=\lim_{x\to1}(x+1)=2\)。4.求函數(shù)\(y=x^3-3x^2+1\)的極值點(diǎn)。答案：先求導(dǎo)\(y^\prime=3x^2-6x=3x(x-2)\)，令\(y^\prime=0\)，得\(x=0\)或\(x=2\)。當(dāng)\(x<0\)時(shí)，\(y^\prime>0\)；\(0<x<2\)時(shí)，\(y^\prime<0\)；\(x>2\)時(shí)，\(y^\prime>0\)，所以\(x=0\)是極大值點(diǎn)，\(x=2\)是極小值點(diǎn)。五、討論題（每題5分，共20分）1.討論函數(shù)\(y=\frac{1}{x^2-1}\)的單調(diào)性與間斷點(diǎn)。答案：求導(dǎo)\(y^\prime=-\frac{2x}{(x^2-1)^2}\)，令\(y^\prime=0\)得\(x=0\)。當(dāng)\(x<0\)且\(x\neq-1\)時(shí)，\(y^\prime>0\)，函數(shù)遞增；當(dāng)\(x>0\)且\(x\neq1\)時(shí)，\(y^\prime<0\)，函數(shù)遞減。間斷點(diǎn)為\(x=\pm1\)，因?yàn)榇藭r(shí)分母為0。2.討論定積分與不定積分的聯(lián)系與區(qū)別。答案：聯(lián)系：不定積分是求原函數(shù)的全體，定積分是原函數(shù)在區(qū)間上的增量，牛頓-萊布尼茨公式將二者聯(lián)系起來(lái)。區(qū)別：不定積分結(jié)果是函數(shù)族，定積分結(jié)果是數(shù)值，不定積分側(cè)重于求原函數(shù)，定積分側(cè)重計(jì)算積分值。3.結(jié)合實(shí)例說(shuō)明極限在實(shí)際生活中的應(yīng)用。答案：比如在計(jì)算物體冷卻過(guò)程中，隨著時(shí)間推移，物體溫度趨近于環(huán)境溫度，這一過(guò)程可用極限描述。又如估計(jì)經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)趨勢(shì)，預(yù)測(cè)隨著時(shí)間無(wú)限增加，經(jīng)濟(jì)指標(biāo)的趨近值，都用到極限思想。4.討論函數(shù)\(y