中考數學一輪復習尺規(guī)作圖一．解答題（共20小題）1．在學習了矩形與菱形的相關知識后，小明同學進行了更深入的研究，他發(fā)現，過矩形的一條對角線的中點作這條對角線的垂線，與矩形兩邊相交的兩點和這條對角線的兩個端點構成的四邊形是菱形，可利用證明三角形全等得到此結論．根據他的想法與思路，完成以下作圖與填空：（1）如圖，在矩形ABCD中，點O是對角線AC的中點．用尺規(guī)過點O作AC的垂線，分別交AB，CD于點E，F，連接AF，CE．（不寫作法，保留作圖痕跡）（2）已知：矩形ABCD，點E，F分別在AB，CD上，EF經過對角線AC的中點O，且EF⊥AC．求證：四邊形AECF是菱形．證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴AB∥CD．∴①，∠OCF＝∠OAE．∵點O是AC的中點，∴②．∴△CFO≌△AEO（AAS）．∴③．又∵OA＝OC，∴四邊形AECF是平行四邊形．∵EF⊥AC，∴四邊形AECF是菱形．進一步思考，如果四邊形ABCD是平行四邊形呢？請你模仿題中表述，寫出你猜想的結論：④．2．根據背景素材，探索解決問題．平面直角坐標系中畫一個邊長為2的正六邊形ABCDEF背景素材六等分圓原理，也稱為圓周六等分問題，是一個古老而經典的幾何問題，旨在解決如何使用直尺和圓規(guī)將一個圓分成六等份的問題．這個問題由歐幾里得在其名著《幾何原本》中詳細闡述．已知條件點C與坐標原點O重合，點D在x軸的正半軸上且坐標為（2，0）．操作步驟①分別以點C，D為圓心，CD長為半徑作弧，兩弧交于點P；②以點P為圓心，PC長為半徑作圓；③以CD的長為半徑，在⊙P上順次截取DE=④順次連接DE，EF，FA，AB，BC．得到正六邊形ABCDEF．問題解決任務一根據以上信息，請你用不帶刻度的直尺和圓規(guī)，在圖中完成這道作圖題（保留作圖痕跡，不寫作法）任務二將正六邊形ABCDEF繞點D順時針旋轉60°，直接寫出此時點E所在位置的坐標：．3．馬家窯文化以發(fā)達的彩陶著稱于世，其陶質堅固，器表細膩，紅、黑、白彩共用，彩繪線條流暢細致，圖案繁縟多變，形成了絢麗典雅的藝術風格，創(chuàng)造了一大批令人驚嘆的彩陶藝術精品，體現了古代勞動人民的智慧．如圖1的彩陶紋樣呈現的是三等分圓周，古人用等邊三角形三點定位的方法確定圓周的三等分點，這種方法和下面三等分圓周的方法相通．如圖2，已知⊙O和圓上一點M．作法如下：①以點M為圓心，OM長為半徑，作弧交⊙O于A，B兩點；②延長MO交⊙O于點C；即點A，B，C將⊙O的圓周三等分．（1）請你依據以上步驟，用不帶刻度的直尺和圓規(guī)在圖2中將⊙O的圓周三等分（保留作圖痕跡，不寫作法）；（2）根據（1）畫出的圖形，連接AB，AC，BC，若⊙O的半徑為2cm，則△ABC的周長為cm．4．【閱讀材料】老師的問題：已知：如圖，AE∥BF．求作：菱形ABCD，使點C，D分別在BF，AE上．小明的作法：（1）以A為圓心，AB長為半徑畫弧，交AE于點D；（2）以B為圓心，AB長為半徑畫弧，交BF于點C；（3）連接CD．四邊形ABCD就是所求作的菱形．【解答問題】請根據材料中的信息，證明四邊形ABCD是菱形．5．【問題提出】如何用圓規(guī)和無刻度的直尺作一條直線或圓弧平分已知扇形的面積？【初步嘗試】如圖1，已知扇形OAB，請你用圓規(guī)和無刻度的直尺過圓心O作一條直線，使扇形的面積被這條直線平分；【問題聯想】如圖2，已知線段MN，請你用圓規(guī)和無刻度的直尺作一個以MN為斜邊的等腰直角三角形MNP；【問題再解】如圖3，已知扇形OAB，請你用圓規(guī)和無刻度的直尺作一條以點O為圓心的圓弧，使扇形的面積被這條圓弧平分．（友情提醒：以上作圖均不寫作法，但需保留作圖痕跡）6．《淮南子?天文訓》中記載了一種確定東西方向的方法，大意是：日出時，在地面上點A處立一根桿，在地面上沿著桿的影子的方向取一點B，使B，A兩點間的距離為10步（步是古代的一種長度單位），在點B處立一根桿；日落時，在地面上沿著點B處的桿的影子的方向取一點C，使C，B兩點間的距離為10步，在點C處立一根桿．取CA的中點D，那么直線DB表示的方向為東西方向．（1）上述方法中，桿在地面上的影子所在直線及點A，B，C的位置如圖所示．使用直尺和圓規(guī)，在圖中作CA的中點D（保留作圖痕跡）；（2）在如圖中，確定了直線DB表示的方向為東西方向．根據南北方向與東西方向互相垂直，可以判斷直線CA表示的方向為南北方向，完成如下證明．證明：在△ABC中，BA＝，D是CA的中點，∴CA⊥DB（）（填推理的依據）．∵直線DB表示的方向為東西方向，∴直線CA表示的方向為南北方向．7．在學習了等腰三角形和中垂線的相關知識后，小明同學進行了拓展性研究，他發(fā)現，等腰三角形底邊上的高的中垂線與兩腰的交點恰好是兩腰的中點，可利用中垂線的性質和等腰三角形的性質得到此結論．請根據他的想法與思路，完成以下作圖與填空：（1）如圖，在等腰△ABC中，AD為BC邊上的高，用尺規(guī)作AD的中垂線，分別交AB，AC于點E，F，連接DE，DF（不寫作法，保留作圖痕跡）．（2）已知：在等腰△ABC中，點E，F分別在AB，AC上，AD為BC邊上的高，EF垂直平分AD．求證：E，F分別為AB、AC的中點．證明：∵EF垂直平分AD，∴①，∴∠EAD＝∠EDA．∵AD為BC邊上的高，∴∠ADB＝90°，∴∠EDA+∠EDB＝90°．∵在Rt△ABD中，∠EAD+∠B＝90°，∴②，∴BE＝DE，∴③，∴點E為AB的中點．同理可得：點F為AC的中點．進一步思考，如果△ABC是任意三角形呢？請你模仿題中表述，寫出你猜想的結論：④．8．在學習圓的相關知識后，小帥同學進行了關于弦切角的相關探索（弦切角定義：頂點在圓上，一邊與圓相交，另一邊與圓相切的角；如圖，直線IJ與⊙O相切于點I，HI是⊙O的一條弦，則∠HIJ就是弦切角），發(fā)現弦切角的大小與它所夾弧所對的圓周角度數相關．請根據這個思路完成以下作圖和填空．（1）尺規(guī)作圖：已知AB是⊙O的直徑，延長AB，過點B作⊙O的切線MN；（M在點B左側，N在點B右側．保留作圖痕跡，不寫作法）（2）如圖C、D是圓上兩點，在（1）的條件下，∠DBN為弦切角，求證：∠DBN＝∠BCD．證明：連接AD．∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB＝①．∵MN是過點B的切線，∴②．即∠ABN＝90°，∴∠DBN+∠ABD＝90°∵∠A+∠ABD＝90°∴∠DBN＝∠A又∵∠A和∠C是弧BD所對的圓周角∴∠A＝③．∴∠DBN＝∠C．由此，我們可以得到弦切角的結論：弦切角④它所夾弧所對的圓周角．（橫線上填：“大于”或“等于”或“小于”）9．我們知道在含30°的直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半．小紅進行了拓展性研究，她發(fā)現這個定理反過來說也成立．她通過構造斜邊上的中垂線來證明含有30°角，請跟根據她的思路，完善以下作圖與填空：（1）如圖，用直尺和圓規(guī)作斜邊AB的垂直平分線DE，分別與AB、BC交于點D、點E，并連接AE．（只保留作圖痕跡）（2）已知：在△ABC中，∠C＝90°，AC=12AB證明：∵DE垂直平分AB，∴∠ADE＝90°，AD=1∠C＝90°，AC=1∴①，∠ADE＝∠C＝90°．在Rt△ACE和Rt△ADE中，②AC=AD∴Rt△ACE≌Rt△ADE（HL），∴∠CAE＝∠DAE．∵DE垂直平分AB，∴③，∴∠DAE＝∠B．又∵∠CAB+∠B＝180°﹣∠C＝90°，∴∠CAE+∠DAE+∠B＝3∠B＝90°，∴∠B＝30°．根據小紅的證明過程，進一步發(fā)現，30°角與所對直角邊的關系，請你完善該逆定理：如果在直角三角形中，一條直角邊是斜邊的一半，那么④．10．水興縣某中學的同學們在學習了《圖形的相似》之后，數學柳老師給出了下面的問題：如圖，Rt△ABD與Rt△CDB中，斜邊AD與BC相交于點M，過點M作MH⊥BD于點H．探究AB、MH、CD之間的數量關系，并證明．下面是小許同學的探究過程，請根據題意補充完整探究過程．（1）請在答題卡上完成尺規(guī)作圖：過點M作MH⊥BD垂足為點H．（保留作圖痕跡，不用寫作法）（2）請將①②③④⑤補充完整并填寫在答題卡上．解：∵AB⊥BD，MH⊥BD，∴MH∥AB．∴△DMH∽①．∴MHAB∵CD⊥BD，MH⊥BD，∴MH∥CD．∴△BMH∽②．∴MHCD=③∴MHAB+MH（注意：這里要求填寫化簡之后的數字結果）小許進一步探究，如果把題設中的三個垂直關系改為：AB∥CD∥MH，請你幫她寫出AB、MH、CD這三條線段之間的數量關系⑤．11．在學習角平分線性質的過程中，首先要探究角平分線的作圖方法，請閱讀下列材料，回答問題：已知：∠AOB，求作：∠AOB的平分線．作法：（I）以點O為圓心，適當長為半徑畫弧，交OA于點M，交OB于點N；（II）分別以點M，N為圓心，大于12MN的長為半徑畫弧，兩弧在∠AOB的內部相交于點（III）畫射線OC，則射線OC即為所求．（1）如圖1，射線OC就是∠AOB的角平分線的依據是；A．SASB．ASAC．SSSD．AAS（2）課后老師留了一道思考題：在不限于圓規(guī)、直尺的條件下，思考還有沒有其他作角平分線的方法？下面是兩位同學給出的兩種方法：①同學1：用三角板按下面方法畫角平分線：如圖2，在已知∠AOB的邊OA，OB上分別取OC＝OD，再分別過點C，D作OA，OB的垂線，兩垂線交于點P，畫射線OP，則OP平分∠AOB．請你幫這位同學證明：OP平分∠AOB；②同學2：用圓規(guī)和直尺按下面方法畫角平分線：如圖3，以點O為圓心，以任意長為半徑畫弧與OA，OB分別交于點C，D，再以任意長為半徑畫弧與OA，OB分別交于點E，F，連接CF，DE交于點P，畫射線OP，則OP平分∠AOB．你認為同學2的這種作角平分線的方法正確嗎？若正確，請給出證明過程；若錯誤，請說明理由．12．我們知道：在一個三角形中，等邊所對的角相等；反過來，等角所對的邊也相等．那么，不相等的邊（或角）所對的角（或邊）之間的大小關系怎樣呢？如圖，小洲同學通過直觀觀察發(fā)現：在△ABC中，如果AB大于AC，那么AB邊所對的∠C大于AC邊所對的∠B．為了證明這一發(fā)現，小洲同學的解決思路是構造全等三角形將∠C轉化為一個三角形的外角，利用三角形的外角大于不相鄰的內角使問題得以證明．根據他的思路，完成以下作圖與填空：已知：如圖，△ABC中，AB＞AC．求證：∠C＞∠B．（1）尺規(guī)作圖：作∠A的角平分線AP，交BC于點D，在AB上截取AE＝AC，連接DE．（保留作圖痕跡）留作圖痕跡）（2）證明：∵AP平分線∠BAC，∴．在△EAD和△CAD中，AE=AC，∠EAD=∠CAD，∴△EAD≌△CAD（SAS）．∴∠C＝．∵∠AED＞④，∴∠C＞∠B．進一步思考，在△ABC中，如果已知∠C＞∠B呢？請你模仿題中表述，寫出你猜想的結論：．13．【問題背景】在△ABC中，AB，BC，AC三邊的邊長分別為5，10，13，求這個三角形的面積．小明同學在解答這道題時，先建立一個正方形網格（每個小正方形的邊長為1），再在網格中畫出格點△ABC，如圖1所示．這樣不需求△ABC的高，借助網格就能計算三角形的面積．（1）直接寫出△ABC的面積，S△ABC＝．（2）【思維拓展】若△A1B1C1三邊的長分別為5a，17a，22a(a＞0)，請利用圖2的正方形網格中畫出△A1B1C（3）【探索創(chuàng)新】若△A2B2C2的三邊長分別為m2+16n2，9m2+4n2，2m2+n14．【問題背景】：數學活動課上，老師將一副三角尺按圖1所示位置擺放，分別作出∠AOB，∠BOC的平分線OG，OF，然后提出如下問題：求出∠GOF的度數．【特例探究】：小明同學決定從特例入手探究老師提出的問題，他將三角尺分別按圖2方式擺放，OG，OF仍然分別是∠AOB，∠BOC的角平分線．其中∠AOC＝90°，∠BOC＝30°．（1）請你幫助小明計算出∠GOF的度數為°；【發(fā)現感悟】：小明發(fā)現，按圖1擺放時，條件不變，雖然不知道∠BOC的度數，但也可以求出∠GOF的度數．（2）請你幫小明完成這個問題的解答；（3）積累了以上探究問題的經驗，結合圖3，若∠AOC＝m°，則∠GOF＝°；【類比拓展】：（4）已知∠BOC＝m°，若OA是∠BOC外一條射線，∠AOC=23m°，OD，OE分別平分∠AOC，∠AOB，當∠DOE＝m15．（1）操作實踐：如圖，△ABC中，∠A＝90°，∠B＝22.5°，請畫出一條直線把△ABC分割成兩個等腰三角形，并標出分割成兩個等腰三角形底角的度數．（要求畫出一種分割方法即可）（2）分類探究：已知△ABC中的最小內角∠B＝24°，若△ABC被一直線分割成兩個等腰三角形，請直接寫出△ABC中最大內角的所有可能值．16．學習了三角形的中位線定理后，小涵進行了拓展性研究，他發(fā)現．連接梯形兩腰中點的線段也具有類似的性質．探究過程如下：（1）用直尺和圓規(guī)，作線段CD的垂直平分線，垂足為點F，連接EF，連接AF并延長交線段BC的延長線于點M（只保留作圖痕跡）：（2）已知：在四邊形ABCD中，AD∥BC，E為AB中點，F為CD中點．猜想：EF∥AD∥BC，且EF=1證明：∵F是CD中點，∴①，∵AD∥BC，∴∠DAF＝∠FMC，在△ADF和△MCF中，DF=CF∠DAF=∠FMC∴△ADF≌△MCF，∴AF＝FM，AD＝CM，在△ABM中，E為AB中點，F為AM中點，∴EF∥BM且③．∵BM＝BC+CM＝BC+AD，∴EF=12（AD+BC），EF//AB，EF//請你根據該探究過程完成下面命題：連接梯形兩腰中點的線段平行于兩底并④．17．學習了角平分線性質后，小明進行了拓展研究，他發(fā)現△ABC的外角∠CBE和外角∠BCD的角平分線BF，CF交于點F，他猜想AF平分∠BAC，他的解決思路是利用角平分線性質．過點F分別向BE、BC、CD作垂線，再證明∠BAF和∠CAF這兩個角所在的三角形全等得出結論．其中小明已經完成過點F分別向BE、BC作垂線，請根據他的思路完成以下作圖與填空．（1）用直尺和圓規(guī)，過點F作FK⊥CD于點K．（保留作圖痕跡）（2）已知：如圖，△ABC的外角∠CBE和外角∠BCD的角平分線BF，CF交于點F，FK⊥CD于點K，FH⊥BC于點H，FG⊥BE于點G．求證：∠BAF＝∠CAF．證明：∵BF平分∠CBE，FH⊥BC于點H，FG⊥BE于點G，∴FH＝①，∵CF平分∠BCD，FK⊥CD于點K，FH⊥BC于點H，∴FH＝FK．∴②，∵FG⊥BE，FK⊥CD，∴△AGF，△AKF均為直角三角形，在Rt△AGF和Rt△AKF中：FG=FK(??)③∴Rt△AGF≌Rt△AKF（HL）．∴∠BAF＝∠CAF．由此他得出結論：三角形的兩（4）所在直線交點與三角形另一頂點連線平分這個內角．18．請仔細閱讀下面的材料，并完成相應的任務．作角的平分線數學興趣課上，老師讓同學們利用尺規(guī)作∠AOB的平分線，同學們以小組為單位展開了討論，勤學小組展示了學習過的作法：如圖1，以點O為圓心，任意長為半徑作弧，分別交OA，OB于點M，N；再分別以點M，N為圓心，大于12MN的長為半徑作弧，兩弧相交于點P，作射線OP，則OP即為∠勤學小組的證明過程如下：連接PM，PN．…任務：（1）請按照上面的材料，寫出該證明的剩余部分；（2）在圖2中再設計一種不同的方法作∠AOB的平分線．（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）19．在學習了平行四邊形與正方形的相關知識后，智慧小組進行了更深入的探究．他們發(fā)現，如圖所示的正方形ABCD，分別取BC，CD的中點N，M，連接AM，DN交于點E，過B作AM的垂線，交AM于點Q，交AD于點P．則四邊形BPDN是平行四邊形．（1）用尺規(guī)完成以下基本作圖：過B作AM的垂線，交AM于點Q，交AD于點P（只保留作圖痕跡）．（2）根據（1）中所作圖形，智慧小組發(fā)現四邊形BPDN是平行四邊形成立，并給出了證明，請補全證明過程．證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴AD＝CD＝BC，∠ADC＝∠C＝90°，AD∥BC．又∵M，N分別為BC，CD的中點，∴DM=12CD∴①，在△ADM與△DCN中，AD=CD∠ADM=∠C∴△ADM≌△DCN（SAS）．∴②．又∵∠CDN+∠ADN＝90°，∴∠DAM+∠ADN＝90°，∴∠AED＝90°，又∵BP⊥AE，∴∠AQP＝∠AED＝90°，∴③．又∵DP∥BN，∴四邊形BPDN是平行四邊形．進一步思考，智慧小組發(fā)現任取BC，CD的上點N，M（M不與C，D重合），DM＝CN，連接AM，DN，過B作AM的垂線，交AD于點P，則四邊形BPDN是④．20．（1）【問題情境】我國古代已經用角尺平分任意角，做法如下：如圖①，在∠AOB的邊OA，OB上分別取OM＝ON，移動角尺，使角尺兩邊相同刻度分別與點M，N重合，則過角尺頂點C的射線OC是∠AOB的平分線．請說明此做法的理由；（2）【拓展實踐】某公園的兩條小路AB和AC，匯聚形成了一個岔路口A（如圖②），現要在兩條小路之間安裝一盞路燈E，使得路燈照亮兩條小路（兩條小路一樣亮），并且路燈E到休息椅M和N的距離相等．問路燈應該安裝在哪個位置？請用不帶刻度的直尺和圓規(guī)在對應的備用圖中作出路燈E的位置．（保留作圖痕跡，不寫作法）

中考數學一輪復習尺規(guī)作圖參考答案與試題解析一．解答題（共20小題）1．在學習了矩形與菱形的相關知識后，小明同學進行了更深入的研究，他發(fā)現，過矩形的一條對角線的中點作這條對角線的垂線，與矩形兩邊相交的兩點和這條對角線的兩個端點構成的四邊形是菱形，可利用證明三角形全等得到此結論．根據他的想法與思路，完成以下作圖與填空：（1）如圖，在矩形ABCD中，點O是對角線AC的中點．用尺規(guī)過點O作AC的垂線，分別交AB，CD于點E，F，連接AF，CE．（不寫作法，保留作圖痕跡）（2）已知：矩形ABCD，點E，F分別在AB，CD上，EF經過對角線AC的中點O，且EF⊥AC．求證：四邊形AECF是菱形．證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴AB∥CD．∴①∠OFC＝∠OEA，∠OCF＝∠OAE．∵點O是AC的中點，∴②OC＝OA．∴△CFO≌△AEO（AAS）．∴③OF＝OE．又∵OA＝OC，∴四邊形AECF是平行四邊形．∵EF⊥AC，∴四邊形AECF是菱形．進一步思考，如果四邊形ABCD是平行四邊形呢？請你模仿題中表述，寫出你猜想的結論：④四邊形AECF是菱形．【考點】作圖—基本作圖；全等三角形的判定與性質；平行四邊形的判定與性質；菱形的判定與性質；矩形的性質．【專題】作圖題；幾何直觀；推理能力．【答案】（1）見解析；（2）∠OFC＝∠OEA，OC＝OA，OF＝OE，四邊形AECF是菱形．【分析】（1）根據要求作出圖形；（2）根據對角線互相垂直的平行四邊形是菱形證明即可．【解答】（1）解：圖形如圖所示：（2）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴AB∥CD．∴①∠OFC＝∠OEA，∠OCF＝∠OAE．∵點O是AC的中點，∴②OC＝OA．∴△CFO≌△AEO（AAS）．∴③OF＝OE．又∵OA＝OC，∴四邊形AECF是平行四邊形．∵EF⊥AC，∴四邊形AECF是菱形．進一步思考，如果四邊形ABCD是平行四邊形呢？請你模仿題中表述，寫出你猜想的結論：④四邊形AECF是菱形．故答案為：∠OFC＝∠OEA，OC＝OA，OF＝OE，四邊形AECF是菱形．【點評】本題考查作圖﹣基本作圖，全等三角形的判定和性質，平行四邊形的判定和性質，菱形的判定與性質，矩形的性質等知識，解題的關鍵是正確尋找全等三角形解決問題．2．根據背景素材，探索解決問題．平面直角坐標系中畫一個邊長為2的正六邊形ABCDEF背景素材六等分圓原理，也稱為圓周六等分問題，是一個古老而經典的幾何問題，旨在解決如何使用直尺和圓規(guī)將一個圓分成六等份的問題．這個問題由歐幾里得在其名著《幾何原本》中詳細闡述．已知條件點C與坐標原點O重合，點D在x軸的正半軸上且坐標為（2，0）．操作步驟①分別以點C，D為圓心，CD長為半徑作弧，兩弧交于點P；②以點P為圓心，PC長為半徑作圓；③以CD的長為半徑，在⊙P上順次截取DE=④順次連接DE，EF，FA，AB，BC．得到正六邊形ABCDEF．問題解決任務一根據以上信息，請你用不帶刻度的直尺和圓規(guī)，在圖中完成這道作圖題（保留作圖痕跡，不寫作法）任務二將正六邊形ABCDEF繞點D順時針旋轉60°，直接寫出此時點E所在位置的坐標：（4，0）．【考點】作圖—復雜作圖；坐標與圖形變化﹣旋轉；正多邊形和圓．【專題】作圖題；幾何直觀．【答案】任務一：見解析；任務二：（4，0）．【分析】任務一：根據要求作出圖形．任務二：利用旋轉變換的性質判斷即可．【解答】解：任務一：圖形如圖所示：任務二：將正六邊形ABCDEF繞點D順時針旋轉60°，直接寫出此時點E所在位置的坐標（4，0）．【點評】本題考查作圖﹣復雜作圖，正多邊形與圓，坐標與圖形變化﹣旋轉等知識，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．3．馬家窯文化以發(fā)達的彩陶著稱于世，其陶質堅固，器表細膩，紅、黑、白彩共用，彩繪線條流暢細致，圖案繁縟多變，形成了絢麗典雅的藝術風格，創(chuàng)造了一大批令人驚嘆的彩陶藝術精品，體現了古代勞動人民的智慧．如圖1的彩陶紋樣呈現的是三等分圓周，古人用等邊三角形三點定位的方法確定圓周的三等分點，這種方法和下面三等分圓周的方法相通．如圖2，已知⊙O和圓上一點M．作法如下：①以點M為圓心，OM長為半徑，作弧交⊙O于A，B兩點；②延長MO交⊙O于點C；即點A，B，C將⊙O的圓周三等分．（1）請你依據以上步驟，用不帶刻度的直尺和圓規(guī)在圖2中將⊙O的圓周三等分（保留作圖痕跡，不寫作法）；（2）根據（1）畫出的圖形，連接AB，AC，BC，若⊙O的半徑為2cm，則△ABC的周長為63cm．【考點】作圖—應用與設計作圖；切線的性質；正多邊形和圓．【專題】作圖題；幾何直觀．【答案】（1）作圖見解析；（2）63．【分析】（1）根據要求作出圖形；（2）證明△ABC是等邊三角形，解直角三角形求出AB即可．【解答】解：（1）如圖，點A，B，C即為所求．（2）設CM交AB于點E．∵AB=∴AB＝CB＝AC，∠AOB＝120°，∵AM=∴∠AOM＝∠BOM＝60°，∵OA＝OB，∴OE⊥AB，AE＝EB＝AO?sin60°＝2×32=∴AB＝23（cm），∴△ABC的周長為63cm．故答案為：63．【點評】本題考查作圖﹣應用與設計作圖，切線的性質，正多邊形與圓等知識，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．4．【閱讀材料】老師的問題：已知：如圖，AE∥BF．求作：菱形ABCD，使點C，D分別在BF，AE上．小明的作法：（1）以A為圓心，AB長為半徑畫弧，交AE于點D；（2）以B為圓心，AB長為半徑畫弧，交BF于點C；（3）連接CD．四邊形ABCD就是所求作的菱形．【解答問題】請根據材料中的信息，證明四邊形ABCD是菱形．【考點】作圖—復雜作圖；菱形的判定．【專題】作圖題；幾何直觀；推理能力．【答案】見試題解答內容【分析】根據鄰邊相等的平行四邊形是菱形證明即可．【解答】證明：由作圖可知AD＝AB＝BC，∵AE∥BF，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∵AB＝AD，∴四邊形ABCD是菱形．【點評】本題考查作圖﹣復雜作圖，菱形的判定等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，屬于中考常考題型．5．【問題提出】如何用圓規(guī)和無刻度的直尺作一條直線或圓弧平分已知扇形的面積？【初步嘗試】如圖1，已知扇形OAB，請你用圓規(guī)和無刻度的直尺過圓心O作一條直線，使扇形的面積被這條直線平分；【問題聯想】如圖2，已知線段MN，請你用圓規(guī)和無刻度的直尺作一個以MN為斜邊的等腰直角三角形MNP；【問題再解】如圖3，已知扇形OAB，請你用圓規(guī)和無刻度的直尺作一條以點O為圓心的圓弧，使扇形的面積被這條圓弧平分．（友情提醒：以上作圖均不寫作法，但需保留作圖痕跡）【考點】作圖—復雜作圖；角平分線的性質；等腰直角三角形；扇形面積的計算．【專題】作圖題；幾何直觀．【答案】【初步嘗試】作圖見解析部分；【問題聯想】作圖見解析部分；【問題再解】作圖見解析部分．【分析】【初步嘗試】如圖1，作∠AOB的角平分線OP即可；【問題聯想】如圖2，作線段MN的垂直平分線RT，垂足為R，在射線RT上截取RP＝RM，連接MP，NP，三角形MNP即為所求；【問題再解】方法一：構造等腰直角三角形OBE，作BC⊥OE，以O為圓心，OC為半徑畫弧交OB于點D，交OA于點F，弧DF即為所求．方法二：作OB的中垂線交OB于點C，然后以C為圓心，CB長為半徑畫弧交OB中垂線于點D，再以O為圓心，OD長為半徑畫弧分別交OA、OB于點F、D．則弧DF即為所求．【解答】解：【初步嘗試】如圖1，直線OP即為所求；【問題聯想】如圖2，三角形MNP即為所求；【問題再解】如圖3中，DF即為所求．【點評】本題考查作圖﹣復雜作圖，等腰直角三角形的性質，扇形的面積等知識，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．6．《淮南子?天文訓》中記載了一種確定東西方向的方法，大意是：日出時，在地面上點A處立一根桿，在地面上沿著桿的影子的方向取一點B，使B，A兩點間的距離為10步（步是古代的一種長度單位），在點B處立一根桿；日落時，在地面上沿著點B處的桿的影子的方向取一點C，使C，B兩點間的距離為10步，在點C處立一根桿．取CA的中點D，那么直線DB表示的方向為東西方向．（1）上述方法中，桿在地面上的影子所在直線及點A，B，C的位置如圖所示．使用直尺和圓規(guī)，在圖中作CA的中點D（保留作圖痕跡）；（2）在如圖中，確定了直線DB表示的方向為東西方向．根據南北方向與東西方向互相垂直，可以判斷直線CA表示的方向為南北方向，完成如下證明．證明：在△ABC中，BA＝BC，D是CA的中點，∴CA⊥DB（三線合一）（填推理的依據）．∵直線DB表示的方向為東西方向，∴直線CA表示的方向為南北方向．【考點】作圖—應用與設計作圖；等腰三角形的性質．【專題】作圖題；幾何直觀．【答案】（1）作圖見解析部分．（2）證明見解析部分．【分析】（1）作線段AC的垂直平分線即可．（2）利用等腰三角形的三線合一的性質解決問題即可．【解答】解：（1）如圖，點D即為所求．（2）如圖，連接BD．在△ABC中，BA＝BC，D是CA的中點，∴CA⊥DB（三線合一），∵直線DB表示的方向為東西方向，∴直線CA表示的方向為南北方向．故答案為：BC，三線合一．【點評】本題考查作圖﹣應用與設計作圖，等腰三角形的性質等知識，解題的關鍵是理解題意，學會利用等腰三角形的性質解決問題．7．在學習了等腰三角形和中垂線的相關知識后，小明同學進行了拓展性研究，他發(fā)現，等腰三角形底邊上的高的中垂線與兩腰的交點恰好是兩腰的中點，可利用中垂線的性質和等腰三角形的性質得到此結論．請根據他的想法與思路，完成以下作圖與填空：（1）如圖，在等腰△ABC中，AD為BC邊上的高，用尺規(guī)作AD的中垂線，分別交AB，AC于點E，F，連接DE，DF（不寫作法，保留作圖痕跡）．（2）已知：在等腰△ABC中，點E，F分別在AB，AC上，AD為BC邊上的高，EF垂直平分AD．求證：E，F分別為AB、AC的中點．證明：∵EF垂直平分AD，∴①AE＝DE，∴∠EAD＝∠EDA．∵AD為BC邊上的高，∴∠ADB＝90°，∴∠EDA+∠EDB＝90°．∵在Rt△ABD中，∠EAD+∠B＝90°，∴②∠EDB＝∠B，∴BE＝DE，∴③AE＝BE，∴點E為AB的中點．同理可得：點F為AC的中點．進一步思考，如果△ABC是任意三角形呢？請你模仿題中表述，寫出你猜想的結論：④三角形一邊上的高的中垂線與其它兩邊的交點恰好是這兩邊的中點．【考點】作圖—復雜作圖；線段垂直平分線的性質；等腰三角形的性質；直角三角形斜邊上的中線；三角形中位線定理．【專題】作圖題；幾何直觀；推理能力．【答案】（1）見解答；（2）AE＝DE，∠EDB＝∠B，AE＝BE，三角形一邊上的高的中垂線與其它兩邊的交點恰好是這兩邊的中點．【分析】（1）利用基本作圖作AD的垂直平分線即可；（2）先根據線段垂直平分線的性質得到AE＝DE，則∠EAD＝∠EDA，再根據等角的余角相等得到∠EDB＝∠A，所以BE＝DE，則AE＝BE，從而可判斷點E為AB的中點．同理可得點F為AC的中點，對于任意△ABC，三角形一邊上的高的中垂線與其它兩邊的交點恰好是這兩邊的中點．【解答】（1）解：如圖，DE、DF為所作；（2）證明：∵EF垂直平分AD，∴AE＝DE，∴∠EAD＝∠EDA，∵AD為BC邊上的高，∴∠ADB＝90°，∴∠EDA+∠EDB＝90°，∵在Rt△ABD中，∠EAD+∠B＝90°，∴∠EDB＝∠A，∴BE＝DE，∴AE＝BE∴點E為AB的中點．同理可得：點F為AC的中點，如果△ABC是任意三角形，結論：三角形一邊上的高的中垂線與其它兩邊的交點恰好是這兩邊的中點．故答案為：AE＝DE，∠EDB＝∠B，AE＝BE，三角形一邊上的高的中垂線與其它兩邊的交點恰好是這兩邊的中點．【點評】本題考查了作圖﹣復雜作圖：解決此類題目的關鍵是熟悉基本幾何圖形的性質，結合幾何圖形的基本性質把復雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．也考查了線段垂直平分線的性質和等腰三角形的性質．8．在學習圓的相關知識后，小帥同學進行了關于弦切角的相關探索（弦切角定義：頂點在圓上，一邊與圓相交，另一邊與圓相切的角；如圖，直線IJ與⊙O相切于點I，HI是⊙O的一條弦，則∠HIJ就是弦切角），發(fā)現弦切角的大小與它所夾弧所對的圓周角度數相關．請根據這個思路完成以下作圖和填空．（1）尺規(guī)作圖：已知AB是⊙O的直徑，延長AB，過點B作⊙O的切線MN；（M在點B左側，N在點B右側．保留作圖痕跡，不寫作法）（2）如圖C、D是圓上兩點，在（1）的條件下，∠DBN為弦切角，求證：∠DBN＝∠BCD．證明：連接AD．∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB＝①90°．∵MN是過點B的切線，∴②AB⊥MN．即∠ABN＝90°，∴∠DBN+∠ABD＝90°∵∠A+∠ABD＝90°∴∠DBN＝∠A又∵∠A和∠C是弧BD所對的圓周角∴∠A＝③∠C．∴∠DBN＝∠C．由此，我們可以得到弦切角的結論：弦切角④它所夾的弧所對的圓周角它所夾弧所對的圓周角．（橫線上填：“大于”或“等于”或“小于”）【考點】作圖—復雜作圖；垂徑定理；圓周角定理；直線與圓的位置關系；切線的判定與性質．【專題】作圖題；幾何直觀．【答案】（1）見解析；（2）90°；AB⊥MN；∠C；它所夾的弧所對的圓周角．【分析】（1）以B為圓心，任意長度為半徑畫弧，交AB于點G、H，以G、H為圓心，大于12GH長度為半徑畫弧，兩弧交于點M、N，作直線（2）連接AD，由AB是⊙O的直徑，得∠ADB＝90°；又MN是過點B的切線，則AB⊥MN，即∠ABN＝90°，故有∠DBN＝∠A，又∠A＝∠C，則∠DBN＝∠C，從而得出結論；【解答】（1）解：①以B為圓心，任意長度為半徑畫弧，交AB于點G、H；②以G、H為圓心，大于12GH長度為半徑畫弧，兩弧交于點M、③作直線MN；∴MN即為所求；（2）證明：連接AD，如圖：∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°；∵MN是過點B的切線，∴AB⊥MN，即∠ABN＝90°，∴90°＝∠DBN+∠ABD，∵90°＝∠A+∠ABD，∴∠A＝∠DBN，又∵∠A和∠C是弧BD所對的圓周角，∴∠C＝∠A，∴∠C＝∠DBN，由此，我們可以得到弦切角的結論：弦切角等于它所夾的弧所對的圓周角．故答案為：90°；AB⊥MN；∠C；它所夾的弧所對的圓周角．【點評】本題考查了尺規(guī)作圖——作垂線，圓周角定理，切線的判定與性質，同角的余角相等，熟練掌握知識點的應用是解題的關鍵．9．我們知道在含30°的直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半．小紅進行了拓展性研究，她發(fā)現這個定理反過來說也成立．她通過構造斜邊上的中垂線來證明含有30°角，請跟根據她的思路，完善以下作圖與填空：（1）如圖，用直尺和圓規(guī)作斜邊AB的垂直平分線DE，分別與AB、BC交于點D、點E，并連接AE．（只保留作圖痕跡）（2）已知：在△ABC中，∠C＝90°，AC=12AB證明：∵DE垂直平分AB，∴∠ADE＝90°，AD=1∠C＝90°，AC=1∴①AD＝AC，∠ADE＝∠C＝90°．在Rt△ACE和Rt△ADE中，②AC=AD∴Rt△ACE≌Rt△ADE（HL），∴∠CAE＝∠DAE．∵DE垂直平分AB，∴③AE＝BE，∴∠DAE＝∠B．又∵∠CAB+∠B＝180°﹣∠C＝90°，∴∠CAE+∠DAE+∠B＝3∠B＝90°，∴∠B＝30°．根據小紅的證明過程，進一步發(fā)現，30°角與所對直角邊的關系，請你完善該逆定理：如果在直角三角形中，一條直角邊是斜邊的一半，那么④那么這條直角邊所對的角也為30°．【考點】作圖—基本作圖；全等三角形的判定與性質；角平分線的性質；線段垂直平分線的性質；含30度角的直角三角形；直角三角形斜邊上的中線．【專題】作圖題；線段、角、相交線與平行線；圖形的全等；等腰三角形與直角三角形；運算能力；推理能力．【答案】①AD＝AC，②AE＝AE，③AE＝BE，④那么這條直角邊所對的角也為30°．【分析】（1）根據題意畫出圖形，即可求解；（2）根據線段垂直平分線的性質的∠ADE＝90°，AD=12AB，求得AD＝AC，∠ADE＝∠C＝90°．根據全等三角形的性質得到∠CAE＝∠DAE．根據線段垂直平分線的性質得到AE＝BE，求得∠DAE＝∠【解答】（1）解：如圖所示，DE為所求線段；（2）證明：∵DE垂直平分AB，∴∠ADE＝90°，AD=12∵∠C＝90°，AC=12∴AD＝AC，∠ADE＝∠C＝90°．在Rt△ACE和Rt△ADE中，AE=AEAC=AD∴Rt△ACE≌Rt△ADE（HL），∴∠CAE＝∠DAE．∵DE垂直平分AB，∴③AE＝BE，∴∠DAE＝∠B．又∵∠CAB+∠B＝180°﹣∠C＝90°，∴∠CAE+∠DAE+∠B＝3∠B＝90°，∴∠B＝30°．根據小紅的證明過程，進一步發(fā)現，30°角與所對直角邊的關系，請你完善該逆定理：如果在直角三角形中，一條直角邊是斜邊的一半，那么④那么這條直角邊所對的角也為30°．故答案為：①AD＝AC，②AE＝AE，③AE＝BE，④那么這條直角邊所對的角也為30°．【點評】本題考查了作圖﹣基本作圖，全等三角形的判定和性質，線段垂直平分線的性質，直角三角形的全等的判斷和性質，熟練運用這些性質進行推理是本題的關鍵．10．水興縣某中學的同學們在學習了《圖形的相似》之后，數學柳老師給出了下面的問題：如圖，Rt△ABD與Rt△CDB中，斜邊AD與BC相交于點M，過點M作MH⊥BD于點H．探究AB、MH、CD之間的數量關系，并證明．下面是小許同學的探究過程，請根據題意補充完整探究過程．（1）請在答題卡上完成尺規(guī)作圖：過點M作MH⊥BD垂足為點H．（保留作圖痕跡，不用寫作法）（2）請將①②③④⑤補充完整并填寫在答題卡上．解：∵AB⊥BD，MH⊥BD，∴MH∥AB．∴△DMH∽①△DAB．∴MHAB∵CD⊥BD，MH⊥BD，∴MH∥CD．∴△BMH∽②△BCD．∴MHCD=③BH∴MHAB+MH（注意：這里要求填寫化簡之后的數字結果）小許進一步探究，如果把題設中的三個垂直關系改為：AB∥CD∥MH，請你幫她寫出AB、MH、CD這三條線段之間的數量關系⑤1AB+【考點】作圖—基本作圖；相似三角形的判定與性質．【專題】作圖題；圖形的相似；幾何直觀；推理能力．【答案】（1）畫圖見解析；（2）△DAB，△BCD，BHBD，1，1【分析】（1）根據題意，過點M作MH⊥BD垂足為點H；（2）根據相似三角形的性質與判定，完成填空，即可求解．【解答】解：（1）如圖，MH即為所求；（2）∵AB⊥BD，MH⊥BD，∴MH∥AB，∴△DMH∽△DAB，∴MHAB∵CD⊥BD，MH⊥BD，∴MH∥CD，∴△BMH∽△BCD，∴MHCD∴MHAB如果把題設中的三個垂直關系改為：AB∥CD∥MH，∴△DMH∽△DAB，△BMH∽△BCD，∴MHAB=DH∴MHAB∴1AB故答案為：△DAB，△BCD，BHBD，1，1【點評】本題考查了作圖﹣基本作圖，相似三角形的性質與判定，解決本題的關鍵是得到△DMH∽△DAB．11．在學習角平分線性質的過程中，首先要探究角平分線的作圖方法，請閱讀下列材料，回答問題：已知：∠AOB，求作：∠AOB的平分線．作法：（I）以點O為圓心，適當長為半徑畫弧，交OA于點M，交OB于點N；（II）分別以點M，N為圓心，大于12MN的長為半徑畫弧，兩弧在∠AOB的內部相交于點（III）畫射線OC，則射線OC即為所求．（1）如圖1，射線OC就是∠AOB的角平分線的依據是C；A．SASB．ASAC．SSSD．AAS（2）課后老師留了一道思考題：在不限于圓規(guī)、直尺的條件下，思考還有沒有其他作角平分線的方法？下面是兩位同學給出的兩種方法：①同學1：用三角板按下面方法畫角平分線：如圖2，在已知∠AOB的邊OA，OB上分別取OC＝OD，再分別過點C，D作OA，OB的垂線，兩垂線交于點P，畫射線OP，則OP平分∠AOB．請你幫這位同學證明：OP平分∠AOB；②同學2：用圓規(guī)和直尺按下面方法畫角平分線：如圖3，以點O為圓心，以任意長為半徑畫弧與OA，OB分別交于點C，D，再以任意長為半徑畫弧與OA，OB分別交于點E，F，連接CF，DE交于點P，畫射線OP，則OP平分∠AOB．你認為同學2的這種作角平分線的方法正確嗎？若正確，請給出證明過程；若錯誤，請說明理由．【考點】作圖—基本作圖；全等三角形的判定與性質；角平分線的性質．【專題】作圖題；圖形的全等；推理能力．【答案】（1）C；（2）①證明見解析，②同學2這種作角平分線的方法正確．證明見解析．【分析】（1）連接MC，NC，利用SSS證明△OMC≌△ONC即可；（2）①由作法得OC＝OD，則可判斷Rt△OPC≌Rt△OPD，從而得到OP平分∠AOB；②由作法得OC＝OD，OE＝OF則可判斷△OCF≌△ODE，可得到∠CEP＝∠OFP，因此可證明△CEP≌△DPF，再根據EP＝FP，可得△OEP≌△OFP，從而得到OP平分∠AOB．【解答】（1）解：連接MC，NC，由作法得MC＝NC，OM＝ON，∵OC＝OC，∴△OMC≌△ONC（SSS），∴∠AOC＝∠BOC；故選：C；（2）①證明：由作法得OC＝OD，∵OP＝OP，∴Rt△OPC≌Rt△OPD（HL），∴∠COP＝∠DOP，∴OP平分∠AOB；②解：同學2這種作角平分線的方法正確．理由如下：由作法得OC＝OD，OE＝OF，可知CE＝DF．在△OCF和△ODE中，OC=OD∠COF=∠DOE∴△OCF≌△ODE（SAS），∴∠CEP＝∠OFP，在△CEP和△DPF中，∠CEP=∠DFP∠CPE=∠DPF∴△CEP≌△DFP（AAS），∴EP＝FP，在△OEP與△OFP中，OE=OFEP=PF∴△OEP≌△OFP（SSS），∴∠EOP＝∠FOP．即OP平分∠AOB．【點評】本題考查了作圖—基本作圖，全等三角形的判定與性質、角平分線的性質，熟練掌握5種基本作圖（作已知角的角平分線）是解題的關鍵．12．我們知道：在一個三角形中，等邊所對的角相等；反過來，等角所對的邊也相等．那么，不相等的邊（或角）所對的角（或邊）之間的大小關系怎樣呢？如圖，小洲同學通過直觀觀察發(fā)現：在△ABC中，如果AB大于AC，那么AB邊所對的∠C大于AC邊所對的∠B．為了證明這一發(fā)現，小洲同學的解決思路是構造全等三角形將∠C轉化為一個三角形的外角，利用三角形的外角大于不相鄰的內角使問題得以證明．根據他的思路，完成以下作圖與填空：已知：如圖，△ABC中，AB＞AC．求證：∠C＞∠B．（1）尺規(guī)作圖：作∠A的角平分線AP，交BC于點D，在AB上截取AE＝AC，連接DE．（保留作圖痕跡）留作圖痕跡）（2）證明：∵AP平分線∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD．在△EAD和△CAD中，AE=AC，∠EAD=∠CAD，∴△EAD≌△CAD（SAS）．∴∠C＝∠AED．∵∠AED＞④，∴∠C＞∠B．進一步思考，在△ABC中，如果已知∠C＞∠B呢？請你模仿題中表述，寫出你猜想的結論：在同一個三角形中，大邊所對角比小邊所對角大．【考點】作圖—復雜作圖；三角形的穩(wěn)定性；全等三角形的判定與性質；角平分線的性質．【專題】作圖題；證明題；圖形的全等；幾何直觀；推理能力．【答案】（1）見解析；（2）∠BAD＝∠CAD，∠AED，∠B，在同一個三角形中，大邊所對角比小邊所對角大．【分析】（1）根據作角平分線的基本作法作圖；（2）根據全等三角形的性質證明．【解答】（1）解：如圖所示即為所求；（2）證明：∵AP平分線∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，在△EAD和△CAD中，AE=AC∠EAD=∠CAD∴△EAD≌△CAD（SAS），∴∠C＝∠AED，∵∠AED＞∠B，∴∠C＞∠B．結論：在同一個三角形中，大邊所對角比小邊所對角大．故答案為：∠BAD＝∠CAD，AD＝AD，∠AED，∠B，在同一個三角形中，大邊所對角比小邊所對角大．【點評】本題考查了作圖﹣復雜作圖，掌握全等三角形的判定定理和性質定理是解題的關鍵．13．【問題背景】在△ABC中，AB，BC，AC三邊的邊長分別為5，10，13，求這個三角形的面積．小明同學在解答這道題時，先建立一個正方形網格（每個小正方形的邊長為1），再在網格中畫出格點△ABC，如圖1所示．這樣不需求△ABC的高，借助網格就能計算三角形的面積．（1）直接寫出△ABC的面積，S△ABC＝72（2）【思維拓展】若△A1B1C1三邊的長分別為5a，17a，22a(a＞0)，請利用圖2的正方形網格中畫出△A1B1C（3）【探索創(chuàng)新】若△A2B2C2的三邊長分別為m2+16n2，9m2+4n2，2m2+n【考點】作圖—應用與設計作圖；二次根式的應用；勾股定理．【專題】作圖題；幾何直觀．【答案】（1）72（2）見解析；（3）5mn．【分析】（1）把三角形的面積看成矩形的面積減去周圍的三個三角形面積即可；（2）利用勾股定理，數形結合的射線畫出圖形；（3）利用網格構造三角形，利用分割法求出三角形面積．【解答】解：（1）如圖①S△ABC＝3×3?12×1×2?12故答案為：72（2）如圖②中，△A1B1C1即為所求；（3）如圖③，△A2B2C2的面積＝4n×3m?12×2n×2m?12×4n×m?1【點評】本題考查作圖﹣應用與設計作圖，二次根式的應用，勾股定理等知識，解題的關鍵是學會利用數形結合的思想解決問題．14．【問題背景】：數學活動課上，老師將一副三角尺按圖1所示位置擺放，分別作出∠AOB，∠BOC的平分線OG，OF，然后提出如下問題：求出∠GOF的度數．【特例探究】：小明同學決定從特例入手探究老師提出的問題，他將三角尺分別按圖2方式擺放，OG，OF仍然分別是∠AOB，∠BOC的角平分線．其中∠AOC＝90°，∠BOC＝30°．（1）請你幫助小明計算出∠GOF的度數為45°；【發(fā)現感悟】：小明發(fā)現，按圖1擺放時，條件不變，雖然不知道∠BOC的度數，但也可以求出∠GOF的度數．（2）請你幫小明完成這個問題的解答；（3）積累了以上探究問題的經驗，結合圖3，若∠AOC＝m°，則∠GOF＝m2【類比拓展】：（4）已知∠BOC＝m°，若OA是∠BOC外一條射線，∠AOC=23m°，OD，OE分別平分∠AOC，∠AOB，當∠DOE＝m【考點】作圖—基本作圖；角平分線的定義；余角和補角．【專題】計算題；分類討論；運算能力．【答案】（1）45；（2）∠GOF＝45°；（3）m2（4）m的值為36°或132°．【分析】（1）∠GOF＝∠BOG﹣∠BOF=12∠AOB?12∠BOC，∠（2）∠GOF＝∠BOG﹣∠BOF=12∠AOB?12∠BOC，∠（3）∠GOF＝∠BOG﹣∠BOF=12∠AOB?12∠BOC，∠AOB＝∠（4）分情況討論．【解答】解：（1）∵OG，OF分別是∠AOB，∠BOC的角平分線，∴∠BOG=12∠AOB，∠BOF=1∵∠AOB＝∠AOC+∠BOC＝120°，∠BOC＝30°，∴∠BOG＝60°，∠BOF＝15°，∴∠GOF＝∠BOG﹣∠BOF＝45°，故答案為：45；（2）∠BOF=12∠∠BOG=12∠AOB=12（90°+∠∠GOF＝∠BOG﹣∠BOF＝45°；（3）∠BOF=12∠∠BOG=12∠AOB=12（m°+∠BOC）∠GOF＝∠BOG﹣∠BOF=m°故答案為：m2（4），∠DOE＝∠AOE﹣∠AOD=12∠AOB?12∠AOC=56m°∵∠DOE＝m°﹣18°，∴m°﹣18°=12解得：m°＝36°，∠DOE＝∠AOD+∠AOE=12∠AOB+12∠AOC=13m°+180°∵∠DOE＝m°﹣18°，∴m°﹣18°＝180°?12解得：m°＝132°，∴m的值為36°或132°．【點評】本題考查了角平分線，關鍵是注意分類討論．15．（1）操作實踐：如圖，△ABC中，∠A＝90°，∠B＝22.5°，請畫出一條直線把△ABC分割成兩個等腰三角形，并標出分割成兩個等腰三角形底角的度數．（要求畫出一種分割方法即可）（2）分類探究：已知△ABC中的最小內角∠B＝24°，若△ABC被一直線分割成兩個等腰三角形，請直接寫出△ABC中最大內角的所有可能值．【考點】作圖—應用與設計作圖；三角形內角和定理；等腰三角形的性質．【專題】作圖題；幾何直觀．【答案】（1）畫圖見解析；（2）畫圖見解析；△ABC的最大內角可能值是117°或108°或90°或84°．【分析】（1）根據要求作出圖形即可；（2）分四種情形，分別作出圖形求解即可．【解答】解：（1）如圖，（2）設分割線為AD，圖1的最大角＝39°+78°＝117°，圖2的最大角＝24°+（180°﹣2×48°）＝108°，圖3的最大角＝24°+66°＝90°，圖4的最大角＝84°，故△ABC的最大內角可能值是117°或108°或90°或84°．【點評】本題考查作圖﹣應用與設計作圖，三角形內角和定理，等腰三角形的性質等知識，解題的關鍵是學會用分類討論的思想思考問題．16．學習了三角形的中位線定理后，小涵進行了拓展性研究，他發(fā)現．連接梯形兩腰中點的線段也具有類似的性質．探究過程如下：（1）用直尺和圓規(guī)，作線段CD的垂直平分線，垂足為點F，連接EF，連接AF并延長交線段BC的延長線于點M（只保留作圖痕跡）：（2）已知：在四邊形ABCD中，AD∥BC，E為AB中點，F為CD中點．猜想：EF∥AD∥BC，且EF=1證明：∵F是CD中點，∴①DF＝CF，∵AD∥BC，∴∠DAF＝∠FMC，在△ADF和△MCF中，DF=CF∠DAF=∠FMC∴△ADF≌△MCF，∴AF＝FM，AD＝CM，在△ABM中，E為AB中點，F為AM中點，∴EF∥BM且③EF=12∵BM＝BC+CM＝BC+AD，∴EF=12（AD+BC），EF//AB，EF//請你根據該探究過程完成下面命題：連接梯形兩腰中點的線段平行于兩底并④等于兩底和的一半．【考點】作圖—基本作圖；解直角三角形；全等三角形的判定與性質；線段垂直平分線的性質；三角形中位線定理；梯形中位線定理．【專題】圖形的全等；梯形；尺規(guī)作圖；推理能力．【答案】（1）見解析；（2）①DF＝CF；②∠DFA＝∠CFM；③EF=12BM；【分析】（1）根據要求作出圖形；（2）把四邊形問題轉化為三角形問題解決．【解答】解：（1）圖形如圖所示：（2）猜想：EF∥AD∥BC，且EF=1證明：∵F是CD中點，∴①DF＝CF，∵AD∥BC，∴∠DAF＝∠FMC，在△ADF和△MCF中，∠DAE=∠FMC∠DFA=∠CFM∴△ADF≌△MCF（AAS），∴AF＝FM，AD＝CM，在△ABM中，E是AB中點，F是AM中點，∴EF∥BM且③EF=1∵BM＝BC+CM＝BC+AD，∴EF=12(AD+BC)，EF∥AB，EF請你根據該探究過程完成下面命題：連接梯形兩腰中點的線段平行于兩底并且④等于兩底和的一半．故答案為：①DF＝CF；②∠DFA＝∠CFM；③EF=12BM【點評】本題考查作圖﹣基本作圖，全等三角形的判定和性質，線段的垂直平分線的性質，三角形中位線定理等知識，解題的關鍵是正確尋找全等三角形解決問題．17．學習了角平分線性質后，小明進行了拓展研究，他發(fā)現△ABC的外角∠CBE和外角∠BCD的角平分線BF，CF交于點F，他猜想AF平分∠BAC，他的解決思路是利用角平分線性質．過點F分別向BE、BC、CD作垂線，再證明∠BAF和∠CAF這兩個角所在的三角形全等得出結論．其中小明已經完成過點F分別向BE、BC作垂線，請根據他的思路完成以下作圖與填空．（1）用直尺和圓規(guī)，過點F作FK⊥CD于點K．（保留作圖痕跡）（2）已知：如圖，△ABC的外角∠CBE和外角∠BCD的角平分線BF，CF交于點F，FK⊥CD于點K，FH⊥BC于點H，FG⊥BE于點G．求證：∠BAF＝∠CAF．證明：∵BF平分∠CBE，FH⊥BC于點H，FG⊥BE于點G，∴FH＝①FG，∵CF平分∠BCD，FK⊥CD于點K，FH⊥BC于點H，∴FH＝FK．∴②FK＝FG，∵FG⊥BE，FK⊥CD，∴△AGF，△AKF均為直角三角形，在Rt△AGF和Rt△AKF中：FG=FK(??)③∴Rt△AGF≌Rt△AKF（HL）．∴∠BAF＝∠CAF．由此他得出結論：三角形的兩（4）外角角平分線所在直線交點與三角形另一頂點連線平分這個內角．【考點】作圖—基本作圖；全等三角形的判定與性質；角平分線的性質．【專題】作圖題；幾何直觀．【答案】（1）圖形見解析；（2）①FG；②FK＝FG；③AF＝AF；④外角角平分線．【分析】（1）根據垂線的基本尺規(guī)作圖，規(guī)范作圖即可K．（2）根據角的平分線的性質定理，FG＝FK，再證明Rt△AGF≌Rt△AKF（HL）即可得到結論．【解答】（1）解：作圖如圖所示：則FK即為所求．（2）證明：∵BF平分∠CBE，FG⊥BE于點G，FH⊥BC于點H，∴FH＝FG，∵CF平分∠BCD，FH⊥BC于點H，FK⊥CD于點K，∴FH＝FK，∴FG＝FK，∵FK⊥CD，FG⊥BE，∴△AGF，△AKF均為直角三角形，在Rt△AGF和Rt△AKF中：FG=FKAF=AF∴Rt△AGF≌Rt△AKF（HL），∴∠CAF＝∠