第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2025-2026學(xué)年廣東省湛江二十一中高二（上）開(kāi)學(xué)考試數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.命題：“?x∈(0,+∞)，x?2>0”的否定是(

)A.?x∈(0,+∞)，x?2≤0 B.?x∈(0,+∞)，x?2≤0

C.?x∈(0,+∞)，x?2<0 D.?x∈(?∞,0)，x?2≤02.已知復(fù)數(shù)Z=(1+i)(2?i)，則Z的虛部為(

)A.1 B.i C.2 D.2i3.已知集合A={?4,0,1,2,8}，B={x|x3=x}，則A∩B=A.{0,1,2} B.{1,2,8} C.{2,8} D.{0,1}4.鐵棍的長(zhǎng)度隨環(huán)境溫度的改變而變化，某試驗(yàn)室從9時(shí)到16時(shí)每隔一個(gè)小時(shí)測(cè)得同一根鐵棍的長(zhǎng)度依次為3.62，3.61，3.65，3.62，3.63，3.63，3.62，3.64(單位：cm)，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是(

)A.鐵棍的長(zhǎng)度的極差為0.04cm B.鐵棍的長(zhǎng)度的眾數(shù)為3.62cm

C.鐵棍的長(zhǎng)度的中位數(shù)為3.625cm D.鐵棍的長(zhǎng)度的第80百分位數(shù)為3.63cm5.設(shè)α，β是兩個(gè)平面，m，l是兩條直線，則下列命題為真命題的是(

)A.若α⊥β，m//α，l//β，則m⊥l B.若m?α，l?β，m//l，則α//β

C.若α//β，m?α，l?β，則m//l D.若m⊥α，l//β，α//β，則m⊥l6.已知△ABC，點(diǎn)D為邊BC上一點(diǎn)，且滿足BD=2DC，則向量AD=A.13AB+13AC B.17.已知x+y=4，且x>0，y>0，則1x+1yA.1 B.2 C.2 D.8.已知圓柱和圓錐的底面半徑相等，側(cè)面積相等，且它們的高均為3，則圓錐的體積為(

)A.23π B.33π二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.已知a=(1,2),b=(2,4)，則A.a+b=(3,6) B.a⊥b 10.已知函數(shù)f(x)=sin(2x+π6A.函數(shù)f(x)在區(qū)間[?π2,π6]上單調(diào)遞增

B.直線x=?π3是函數(shù)f(x)的一條對(duì)稱軸

C.函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(?7π12,0)11.如圖，正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，PA.三棱錐A1?APD的體積為定值

B.A1P//平面ACD1

C.AP+B1P的最小值為22

D.當(dāng)A三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.設(shè)復(fù)數(shù)z滿足z?i=1+i，則zi=______．13.設(shè)A，B是隨機(jī)事件，且P(A)=38，P(B)=34，P(A∪B?14.如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，若動(dòng)點(diǎn)P在以AB為直徑的半圓E(正方形ABCD內(nèi)部，含邊界)上，則PC?PD的取值范圍為_(kāi)_____．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。15.(本小題13分)

△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知a2?b2=ac?c2．

(1)求B；

(2)若16.(本小題15分)

中國(guó)AI大模型正處于一個(gè)技術(shù)進(jìn)步迅速、市場(chǎng)規(guī)?？焖僭鲩L(zhǎng)的爆發(fā)式發(fā)展階段.為了解中國(guó)AI大模型用戶的年齡分布，A公司調(diào)查了500名中國(guó)AI大模型用戶，統(tǒng)計(jì)他們的年齡(都在[15,65]內(nèi))，按照[15,25)，[25,35)，[35,45)，[45,55)，[55,65]進(jìn)行分組，得到如圖所示的頻率分布直方圖．

(1)求m的值；

(2)求這500名中國(guó)AI大模型用戶的年齡在[35,65]內(nèi)的人數(shù)；

(3)估計(jì)這500名中國(guó)AI大模型用戶年齡的平均數(shù)(各組數(shù)據(jù)以該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)．17.(本小題15分)

如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD是菱形，側(cè)棱PA⊥底面ABCD，E是PD的中點(diǎn)，F(xiàn)是AC的中點(diǎn)．

(1)證明：EF//平面PAB；

(2)證明：BD⊥平面PAC；

(3)證明：平面PBD⊥平面PAC．18.(本小題17分)

DeepSeek是由中國(guó)杭州的DeepSeek公司開(kāi)發(fā)的人工智能模型，在金融、醫(yī)療健康、智能制造、教育等多個(gè)領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用場(chǎng)景.為提高DeepSeek的應(yīng)用能力，某公司組織A、B兩部門(mén)的員工參加DeepSeek培訓(xùn)．

(1)已知該公司A、B部門(mén)分別有3名領(lǐng)導(dǎo)，此次DeepSeek培訓(xùn)需要從這6名部門(mén)領(lǐng)導(dǎo)中隨機(jī)選取2人負(fù)責(zé)，假設(shè)每人被抽到的可能性都相同，求全部來(lái)自A部門(mén)領(lǐng)導(dǎo)的概率；

(2)此次DeepSeek培訓(xùn)分三輪進(jìn)行，每位員工第一輪至第三輪培訓(xùn)達(dá)到“優(yōu)秀”的概率分別為23,19.(本小題17分)

如圖，在四棱錐P?ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD為梯形，BC//AD，平面PAB⊥平面PBC，且AB=BC=2，PA=AD=4．

(1)若平面PBC與平面PAD相交于直線l，求證：BC//l；

(2)求l與AC所成的角；

(3)求二面角C?PD?A的余弦值．

參考答案1.A

2.A

3.D

4.D

5.D

6.B

7.A

8.B

9.ACD

10.BCD

11.ABD

12.2?i

13.1814.[0,16]

15.(1)a2?b2=ac?c2變形為：a2+c2?b2=ac，

因此cosB=a2+c2?16.(1)10×(0.01+0.03+0.04+m+0.005)=1?m=0.015；

(2)根據(jù)題意可知，這500名中國(guó)AI大模型用戶的年齡在[35,65]內(nèi)的人數(shù)為500×10×(0.04+0.015+0.005)=300人；

(3)估計(jì)這500名中國(guó)AI大模型用戶年齡的平均數(shù)為

10×(0.01×20+0.03×30+0.04×40+0.015×50+0.005×60)=37.5．17.證明：(1)如圖，連接BD，

因?yàn)樗倪呅蜛BCD是菱形，

所以AC和BD互相平分，

因?yàn)镕是AC中點(diǎn)，

所以F也是BD中點(diǎn)，

又因?yàn)镻E=DE，

所以EF//PB，

因?yàn)镻B?平面PAB，EF?平面PAB，

所以EF//平面PAB；

(2)因?yàn)镻A⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，所以PA⊥BD，

因?yàn)樗倪呅蜛BCD是菱形，所以AC⊥BD，

又因?yàn)锳P∩AC=A，AP，AC?平面PAC，

所以BD⊥平面PAC；

(3)由(2)知BD⊥平面PAC，

因?yàn)锽D?平面PBD，

故平面PBD⊥平面PAC．18.(1)記A部門(mén)的3名領(lǐng)導(dǎo)為a1，a2，a3，B部門(mén)的3名領(lǐng)導(dǎo)為b1，b2，b3，

從6名部門(mén)領(lǐng)導(dǎo)中隨機(jī)選取2人負(fù)責(zé)，不同結(jié)果有：

a1a2，a1a3，a2a3，a1b1，a1b2，a1b3，a2b1，a2b2，a2b3，a3b1，a3b2，a3b3，b1b2，b1b3，b2b3，共19.(1)證明：因?yàn)锽C//AD，BC?平面PAD，AD?平面PAD，

所以BC//平面PAD，

又因?yàn)锽C?平面PBC，平面PBC∩平面PAD=l，

所以l//BC．

(2)過(guò)點(diǎn)A在平面PAB內(nèi)作AH⊥PB，垂足為點(diǎn)H，如圖所示：

因?yàn)槠矫鍼AB⊥平面PBC，平面PAB∩平面PBC=PB，AH?平面PAB，

因?yàn)锳H⊥PB，所以AH⊥平面PBC，

因?yàn)锽C?平面PBC，所以AH⊥BC，

因?yàn)镻A⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，

所以BC⊥PA，

因?yàn)镻A∩AH=A，PA、AH?平面PAB，

所以BC⊥平面PAB，

因?yàn)锳B?平面PAB，所以BC⊥AB，

因?yàn)閘//BC，所以l與AC所成的角為∠ACB或其補(bǔ)角，

又因?yàn)锳B=BC=2，則△ABC為等腰直角三角形，所以∠ACB=π4，

則l與AC所成的角為π4．

(3)取AD的中點(diǎn)O，連接CO，

因?yàn)锳D=4，BC=2，AD//BC，所以AO=2=BC，

所以四邊形ABCO為平行四邊形，

所以CO//AB，CO⊥AD，

因?yàn)镻A⊥平面ABCD，CO?平面ABCD，所以CO⊥PA，

又因?yàn)镻A∩AD=A，PA，AD?平面PAD，

所以CO⊥平面PAD，