611期【圓錐】二輪離心率速練11專題【知識精講】求離心率范圍的方法一、建立不等式法：1、利用曲線的范圍建立不等關系．2、利用線段長度的大小建立不等關系．為橢圓的左、右焦點，為橢圓上的任意一點，；為雙曲線的左、右焦點，為雙曲線上的任一點，．3、利用角度長度的大小建立不等關系．為橢圓的左、右焦點，為橢圓上的動點，若，則橢圓離心率的取值范圍為．4、利用題目不等關系建立不等關系．5、利用判別式建立不等關系．6、利用與雙曲線漸近線的斜率比較建立不等關系．7、利用基本不等式，建立不等關系．二、函數(shù)法：1、根據(jù)題設條件，如曲線的定義、等量關系等條件建立離心率和其他一個變量的函數(shù)關系式；2、通過確定函數(shù)的定義域；3、利用函數(shù)求值域的方法求解離心率的范圍．三、坐標法：由條件求出坐標代入曲線方程建立等量關系．專題目錄TOC\o"1-1"\h\u12599【專題1】頂角為直角的焦點三角形求解離心率的取值范圍問題 310287【專題2】焦點三角形頂角范圍與離心率 523755【專題3】共焦點的橢圓與雙曲線問題 1030045【專題4】橢圓與雙曲線的通徑體 1416298【專題5】橢圓與雙曲線的直角體 1716166【專題6】橢圓與雙曲線的等腰三角形問題 215686【專題7】雙曲線的底邊等腰三角形 2532366【專題8】焦點到漸近線距離為b 2729629【專題9】焦點到漸近線垂線構造的直角三角形 3126455【專題10】以兩焦點為直徑的圓與漸近線相交問題 3414760【專題11】漸近線平行線與面積問題 411099【真題再現(xiàn)】 4717612【提升訓練】 55【專題1】頂角為直角的焦點三角形求解離心率的取值范圍問題【典型例題】例1．（2022·全國·高二專題練習）已知橢圓上一點關于原點的對稱點為點，為其右焦點，若，設，且，則該橢圓的離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意橢圓上一點A關于原點的對稱點為點B，F(xiàn)為其右焦點，設左焦點為N，連接AN，BN，因為AF⊥BF，所以四邊形AFBN為長方形．（關注微信公眾號：Hi數(shù)學派）根據(jù)橢圓的定義：，由題∠ABF＝α，則∠ANF＝α，所以，利用，∵，∴，，即橢圓離心率的取值范圍是，故選B.例2．（2022春·遼寧葫蘆島·高二統(tǒng)考期中）已知點分別是橢圓的左、右焦點，點是橢圓上的一個動點，若使得滿足是直角三角形的動點恰好有6個，則該橢圓的離心率為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意知，橢圓的最大張角為，所以，所以，所以，故應選．例3．（2022秋·安徽·高二校聯(lián)考開學考試）若P是以，為焦點的橢圓上的一點，且，，則此橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為，所以，在中，設（），則，，所以，，（關注微信公眾號：Hi數(shù)學派）所以.故選：D.【專題2】焦點三角形頂角范圍與離心率【典型例題】例4．（2022春·福建漳州·高二校聯(lián)考期中）已知橢圓（），橢圓的左、右焦點分別為，，P是橢圓C上的任意一點，且滿足，則橢圓C的離心率e的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由已知得，，設，則，，因為，所以，即，即，因為點P是橢圓上的任意一點，所以表示橢圓上的點到原點的距離的平方，因為，所以，所以，即，所以，（關注微信公眾號：Hi數(shù)學派）故選：B．例5．（2022春·北京·高二人大附中?？计谀┮阎獧E圓的左、右焦點分別為，若C上存在一點P，使得，且內切圓的半徑大于，則C的離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設，內切圓的半徑為r．因為，所以，則．由等面積法可得，整理得，又故．又，所以則，從而．故選：C例6．（2022春·新疆烏魯木齊·高二烏市八中校考階段練習）已知，是橢圓的兩個焦點，若存在點為橢圓上一點，使得，則橢圓離心率的取值范圍是（

）．A． B． C． D．【答案】C【解析】如圖，當動點在橢圓長軸端點處沿橢圓弧向短軸端點運動時，對兩個焦點的張角漸漸增大，當且僅當點位于短軸端點處時，張角達到最大值．由此可得：（關注微信公眾號：Hi數(shù)學派）存在點為橢圓上一點，使得，中，，可得中，，所以，即，其中，可得，即橢圓離心率，且故選:C例7．（2022春·吉林遼源·高三遼源市第五中學校?？计谥校┮阎獧E圓上一點A關于原點的對稱點為B，F(xiàn)為其右焦點，若，設，且，則該橢圓離心率e的最大值為___________.【答案】【解析】已知橢圓上一點A關于原點的對稱點為點B、F為其右焦點，設橢圓的左焦點為，連接，所以四邊形為長方形，根據(jù)橢圓的定義，且，則，所以，（關注微信公眾號：Hi數(shù)學派）又由離心率的公式得，由，則，所以，即橢圓的離心率的最大值為.故答案為：例8．（2022春·黑龍江佳木斯·高二建三江分局第一中學?？计谥校┮阎獧E圓上一點A關于原點的對稱點為點B，F(xiàn)為其右焦點，若，設，且，則該橢圓的離心率e的取值范圍是___________.【答案】【解析】橢圓上點A關于原點的對稱點為點B，F(xiàn)為其右焦點，設左焦點為，連接，則四邊形為矩形.根據(jù)橢圓的定義：，則.∴橢圓的離心率，∴，則，∴，∴橢圓離心率e的取值范圍.故答案為：例9．（2022·高二單元測試）橢圓上一點關于原點的對稱點為，為其右焦點，若，設，且，則該橢圓離心率的取值范圍為________.【答案】【解析】記橢圓的左焦點為，連，，由橢圓的對稱性和性質知，，由，可得，得，由，可得，則，所以.（關注微信公眾號：Hi數(shù)學派）故答案為：.【專題3】共焦點的橢圓與雙曲線問題【典型例題】例10．（2022春·江蘇蘇州·高二江蘇省蘇州第十中學校?？茧A段練習）已知橢圓和雙曲線有共同的焦點分別是它們在第一象限和第三象限的交點，且，記橢圓和雙曲線的離心率分別為，則等于_______．【答案】【解析】設橢圓長半軸長為，雙曲線實半軸長為，，，為兩曲線在第一象限的交點，為兩曲線在第三象限的交點.由橢圓和雙曲線定義知：，，，，由橢圓和雙曲線對稱性可知：四邊形為平行四邊形，，，，即，.故答案為：.例11．（2022春·山東青島·高二統(tǒng)考期末）已知橢圓和雙曲線有共同的焦點，，P是它們的一個交點，且，記橢圓和雙曲線的離心率分別為，，則的最小值為（

）A．24 B．37 C．49 D．52【答案】C【解析】設橢圓的長半軸長為，雙曲線的實半軸長，焦距,則，，解得，，如圖在△F1PF2中,根據(jù)余弦定理可得：，整理得，即，所以，當且僅當時，取等號.故選:C.例12．（2022春·廣西·高三校聯(lián)考階段練習）已知橢圓和雙曲線有共同的焦點，，P是它們的一個交點，且，記橢圓和雙曲線的離心率分別為，，則的最小值為（

）A． B． C． D．3【答案】A【解析】如圖，設橢圓的長半軸為，雙曲線的實半軸長為，則根據(jù)橢圓及雙曲線的定義：，所以，設，因為，則在中，由余弦定理得：，化簡得：，即，（關注微信公眾號：Hi數(shù)學派）從而有，整理得，（當且僅當時等號成立）故選：A.例13．（2022春·遼寧沈陽·高二沈陽市第三十一中學校考階段練習）已知橢圓和雙曲線有共同的焦點，，是它們的一個交點，且，記橢圓和雙曲線的離心率分別為，，則當取最大值時，，的值分別是（

）A．， B．， C．， D．，【答案】A【解析】不妨設橢圓與雙曲線的標準方程分別為：，，，．設，．．則，，∴，．因為，所以，即．∴，∴，∴，則，當且僅當，時取等號．故選：A．例14．（2022·河南洛陽·校聯(lián)考模擬預測）已知橢圓：和雙曲線：有共同的焦點，，是它們在第一象限的交點，當時，與的離心率互為倒數(shù)，則雙曲線的離心率是（

）A． B． C．2 D．【答案】B【解析】設，的離心率分別為，，焦距為，因為，，所以，，由余弦定理，得，即，化簡，得，兩邊同除以，得.又，所以.又，所以.故選：B【專題4】橢圓與雙曲線的通徑體【典型例題】例15．（2022·廣西南寧·南寧市第八中學?？家荒＃┮阎獧E圓的左、右焦點分別為，過且與軸垂直的直線交橢圓于兩點，直線與橢圓的另一個交點為，若，則橢圓的離心率為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】過點作軸于，則，由，則，，所以點，由點在橢圓上，所以有，即，所以.故選：A.例16．（2022·全國·高三專題練習）已知橢圓的左?右焦點分別為，，過直線與橢圓交于，兩點，設線段的中點，若，且，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為，所以，又是中點，所以，因為，所以是中點，則，因此軸，設，則，，，在中，由勾股定理得，變形可得．故選：B．例17．（2022春·云南·高三校聯(lián)考階段練習）已知雙曲線的左、右焦點為，，過且垂直于軸的直線交于，兩點，若，則的離心率為（

）A． B．2 C． D．【答案】A【解析】由題可得，代入雙曲線，解得，（關注微信公眾號：Hi數(shù)學派）又，∴，即，，，，，.故選：A例18．（2022春·江蘇宿遷·高三校考階段練習）如圖，已知A，B，C是雙曲線上的三個點，經過原點O，經過右焦距F，若且，則該雙曲線的離心率等于_____．【答案】【解析】若是左焦點，連接，設，，∴由雙曲線的對稱性且知：是矩形，則，，又，即，則，∴在中，，即，而，∴，，（關注微信公眾號：Hi數(shù)學派）∵在中，，即，可得.故答案為：.【專題5】橢圓與雙曲線的直角體【典型例題】例19．（2022春·福建福州·高二福建省福州格致中學?？茧A段練習）已知，是雙曲線的左、右焦點，過作斜率為的直線，分別交軸和雙曲線右支于點，，且，則的離心率為______.【答案】【解析】因為，所以，即M為的中點.又O為的中點，所以OM為中位線.所以,即軸.因為直線過且斜率為，，所以,.由雙曲線的定義可得：,即，解得：，即離心率為.故答案為：例20．（2022·全國·高三專題練習）如圖所示，雙曲線：的左、右焦點分別為、，過的直線與雙曲線C的兩條漸近線分別交于A、B兩點，A是的中點，且，則雙曲線C的離心率（

）A． B．2 C． D．【答案】B【解析】A是的中點，為△的中位線，，所以，所以．設，，，，點在漸近線上，，得．又為的中點，，在漸近線上，，得，則雙曲線的離心率．故選：B例21．（2022·天津·統(tǒng)考一模）設分別是雙曲線的左、右焦點，為坐標原點，過左焦點作直線與圓切于點，與雙曲線右支交于點，且滿足，，則雙曲線的方程為(

)A． B． C． D．【答案】D【解析】∵為圓上的點，，，∴是的中點，又是的中點，，且，（關注微信公眾號：Hi數(shù)學派）又，是圓的切線，，又，∴雙曲線方程為．故選：D例22．（2022·四川廣元·統(tǒng)考三模）設，分別是橢圓的左、右焦點，過的直線交橢圓于，兩點，且，，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為，不妨令，過的直線交橢圓于，兩點，由橢圓的定義可得，，，則，，（關注微信公眾號：Hi數(shù)學派）又，所以，則和都是直角三角形，則，即，解得，所以，，又，，所以，因此，所以橢圓的離心率為.故選：C.例23．（2022春·江西撫州·高二江西省臨川第二中學?？茧A段練習）如圖，已知，為雙曲線：的左、右焦點，過點，分別作直線，交雙曲線于，，，四點，使得四邊形為平行四邊形，且以為直徑的圓過，，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設，則，由雙曲線的對稱性和平行四邊形的對稱性可知：，連接，則有，由于在以AD為直徑的圓周上，，∵ABCD為平行四邊形，，，在直角三角形中，，，解得：，；在直角三角形中，，，得，，故選：D.【專題6】橢圓與雙曲線的等腰三角形問題【典型例題】例24．（2022春·陜西西安·高二期末）設，是橢圓：的左、右焦點，過點且傾斜角為60°的直線與直線相交于點，若為等腰三角形，則橢圓的離心率的值是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】直線的方程為，由解得，則，由于為等腰三角形，所以，.故選：A例25．（2022·全國·高三專題練習）已知雙曲線的左焦點為，過作一傾斜角為的直線交雙曲線右支于點，且滿足（為原點）為等腰三角形，則該雙曲線離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】記右焦點為，由題意知，，且為等腰三角形，則只能是，所以，，所以直線的方程為，由，得所以，整理，得，即，解得或（舍去），所以．故選：C．例26．（2022·河南鶴壁·鶴壁高中?？寄M預測）已知是橢圓的左?右焦點，點為拋物線準線上一點，若是底角為的等腰三角形，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】如圖，拋物線的準線與軸的交點為因為是橢圓的左?右焦點，所以拋物線準線為：直線，所以因為是底角為的等腰三角形，則則（關注微信公眾號：Hi數(shù)學派）則，整理得：所以離心率.故答案為：A.例27．（2022·全國·高三專題練習）已知橢圓的左右焦點為，若橢圓C上恰好有6個不同的點P，使得為等腰三角形，則橢圓C的離心率的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】法一：顯然，是短軸端點時，，滿足為等腰三角形，因此由對稱性，還有四個點在四個象限內各有一個，設是第一象限內使得為等腰三角形的點，若，則，又，消去整理得：，解得(舍去)或，由得，所以，即，若，則，又，消去整理得：，解得或，舍去．所以，所以，即，時，，是等邊三角形，只能是短軸端點，只有2個，不合題意．綜上，的范圍是．法二：①當點與短軸的頂點重合時，構成以為底邊的等腰三角形，此種情況有2個滿足條件的；②當構成以為一腰的等腰三角形時，根據(jù)橢圓的對稱性，只要在第一象限內的橢圓上恰好有一點滿足為等腰三角形即可，則或當時，則，即，則，當時，則有，則，綜上所述，橢圓的離心率取值范圍是.故選：A.【專題7】雙曲線的底邊等腰三角形【典型例題】例28．（2022·全國·高三專題練習）已知，是雙曲線的左，右焦點，過點作斜率為的直線與雙曲線的左，右兩支分別交于，兩點，以為圓心的圓過，，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C．2 D．【答案】B【解析】取MN中點A，連AF2，由已知令，則，如圖：因點M，N為雙曲線左右兩支上的點，由雙曲線定義得，，則，令雙曲線半焦距為c，（關注微信公眾號：Hi數(shù)學派）中，，中，，則有，即，因直線的斜率為，即，而，即，，于是有，，，所以雙曲線的離心率為.故選：B例29．（2022·全國·高三專題練習）設雙曲線的左?右焦點分別為，過點作斜率為的直線與雙曲線的左?右兩支分別交于兩點，且，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．2【答案】A【解析】如圖，設為的中點，連接.易知，所以，所以.因為為的中點，所以.設，因為，所以.因為，所以.所以.因為是的中點，，所以.在Rt中，；在Rt中，.所以，解得.所以.因為直線的斜率為，所以，所以，，所以離心率為.故選：A【專題8】焦點到漸近線距離為b【典型例題】例30．（2022·全國·模擬預測）設，分別是雙曲線：的左?右焦點，為坐標原點，過右焦點作雙曲線的一條漸近線的垂線，垂足為.若，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】根據(jù)對稱性，不妨取雙曲線的一條漸近線的方程為，即，點到這條漸近線的距離為.因為，所以，所以.由題意知，所以，離心率，故選：D.例31．（2022·全國·高三專題練習）設，是雙曲線的左、右焦點，是坐標原點．過作的一條漸近線的垂線，垂足為．若，則的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】不妨設雙曲線的一條漸近線方程為，則，，，在中，，在中，，，即，e=2，故選：B．例32．（2022·全國·高三專題練習）設，是雙曲線的左、右焦點，是坐標原點．過作的一條漸近線的垂線，垂足為，若，則的離心率為（

）A． B．2 C． D．【答案】C【解析】雙曲線的漸近線為，焦點到直線的距離，所以，由勾股定理得，所以，在中，，因為由余弦定理可得，即，即，所以離心率故選：C例33．（多選題）（2022秋·廣東·高二校聯(lián)考階段練習）過雙曲線（，）的右焦點F引C的一條漸近線的垂線，垂足為A，交另一條漸近線于點B．若，，則C的離心率可以是（

）A． B． C． D．2【答案】BC【解析】右焦點，設一漸近線的方程為，則另一漸近線的方程為，由與垂直可得的方程為，聯(lián)立方程，可得的橫坐標為，（關注微信公眾號：Hi數(shù)學派）聯(lián)立方程可得的橫坐標為．因為，所以，可得，因為，所以，即，BC滿足題意，AD不合題意，故選：BC.【專題9】焦點到漸近線垂線構造的直角三角形【典型例題】例34．（2022·陜西西安·西安中學?？寄M預測）已知雙曲線的左、右焦點分別為，過作雙曲線的一條漸近線的垂線，垂足為，直線與雙曲線的左支交于點，且恰為線段的中點，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C．2 D．【答案】D【解析】連結，因為點分別為和的中點，所以，且設點到一條漸近線的距離，所以，又，所以，中，滿足，整理為：，（關注微信公眾號：Hi數(shù)學派）雙曲線的離心率.故選：D例35．（2022秋·安徽·高二校聯(lián)考期中）已知雙曲線的左右焦點分別為，，以為直徑的圓與雙曲線的一條漸近線交于點（異于坐標原點），若線段交雙曲線于點，且則該雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】不妨設漸近線的方程為，因為，為的中點，所以為的中點，將直線，的方程聯(lián)立，可得，又，所以即，又點在雙曲線上，所以，解得，所以該雙曲線的離心率為，故選：A.例36．（2022·全國·高三專題練習）已知雙曲線的左焦點為，過點的直線與兩條漸近線的交點分別為兩點(點位于點M與點N之間)，且，又過點作于P(點O為坐標原點)，且，則雙曲線E的離心率（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】不妨設在第二象限，在第三象限，如下圖所示：因為，，所以，所以，，又，所以，所以，所以，因為，所以，所以，所以.故選：C.例37．（2022·全國·統(tǒng)考模擬預測）設是雙曲線的一個焦點，過作雙曲線的一條漸近線的垂線，與兩條漸近線分別交于兩點．若，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C．2 D．5【答案】C【解析】不妨設，過作雙曲線一條漸近線的垂線方程為，與聯(lián)立可得；（關注微信公眾號：Hi數(shù)學派）與聯(lián)立可得，∵，∴，整理得，，即，∵，∴．故選：C．【專題10】以兩焦點為直徑的圓與漸近線相交問題【典型例題】例38．（2022春·四川宜賓·高二四川省宜賓市第四中學校?？茧A段練習）已知是雙曲線的右焦點，為坐標原點，過的直線與的兩條漸近線的交點分別為，若，，則的離心率為________.【答案】2【解析】因為，所以，即所以為點到漸近線的距離，，所以，可得點為的中點，又因為，所以，所以，設雙曲線的左焦點為，，則，因為，所以，所以，，所以，因為為中點，所以，，將代入整理可得：即，所以，可得，解得：或（舍），故答案為：例39．（2022·山西運城·統(tǒng)考模擬預測）已知雙曲線：的左焦點為，過點的直線與兩條漸近線的交點分別為，兩點（點位于點與點之間），且，又過點作于（點為坐標原點），且，則雙曲線的離心率為__________.【答案】【解析】雙曲線：的漸近線方程為，如圖所示，設，，，，，由，得，解得.又點到直線的距離，，∴，則，又，∴.所以，即，∴.故答案為：.例40．（2022春·甘肅張掖·高三高臺縣第一中學校考階段練習）過雙曲線的左焦點F且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A，B兩點，過A，B分別作雙曲線的同一條漸近線的垂線，垂足分別為P，Q.若，則雙曲線的離心率為___________.【答案】【解析】如圖所示，左焦點F到漸近線的距離，而，∴，∴雙曲線的離心率為.故答案為：例41．（2022·高二課時練習）過雙曲線的右焦點F引一條漸近線的垂線，垂足為點A?在第二象限交另一條漸近線于點B，且，則雙曲線的離心率的取值范圍是___________．【答案】【解析】因為垂線與另一條漸近線交于第二象限，所以，所以1，所以．在直角中，，所以，即，聯(lián)立，得，因為，所以，故，因為，所以，解得綜上，可得故答案為：例42．（2022·全國·高三專題練習）雙曲線的左?右焦點分別為、，過的直線與雙曲線C的兩條漸近線分別交于P、Q兩點（P在第二象限，Q在第一象限），則雙曲線C的離心率為______．【答案】【解析】由題意，雙曲線，可得，因為，可得，及，所以點在以為直徑的圓上，即點在圓上，又因為點在漸近線，（關注微信公眾號：Hi數(shù)學派）聯(lián)立方程組，解得，即點，設點，因為，可得，即，解得，即，又由點在漸近線上，可得，化簡可得，所以.故答案為：.例43．（2022春·湖南長沙·高二湖南師大附中?？计谥校┮阎p曲線C：的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過F1的直線與C的兩條漸近線分別交于A，B兩點．若，，則C的離心率為____________．【答案】2.【解析】如圖，由得又得OA是三角形的中位線，即由，得則有，又OA與OB都是漸近線，得又，得．又漸近線OB的斜率為，所以該雙曲線的離心率為．（關注微信公眾號：Hi數(shù)學派）例44．（2022春·黑龍江大慶·高二大慶實驗中學?？计谀┮阎请p曲線的左焦點，圓與雙曲線在第一象限的交點，若的中點在雙曲線的漸近線上，則此雙曲線的離心率是___________.【答案】【解析】設雙曲線右焦點為，因為的中點在雙曲線的漸近線上，由可知，，因為為中點，所以，所以，即垂直平分線段，所以到漸近線的距離為，可得，所以，由雙曲線定義可知，，即，所以，所以.故答案為：例45．（2022·四川·統(tǒng)考模擬預測）設雙曲線的左，右焦點分別為，左，右頂點分別為A，B，以為直徑的圓與雙曲線的漸近線在第一象限的交點為P，若為等腰三角形，則雙曲線的離心率為_________．【答案】【解析】以為直徑的圓的方程為，雙曲線過第一象限的漸近線方程為，由，解得，由為等腰三角形，所以點在線段的中垂線上，即，由得，即，解得或（舍去）；故答案為：例46．（2022秋·天津·高三專題練習）已知F1（﹣c，0），F(xiàn)2（c，0）分別為雙曲線1（a＞0，b＞0）的左、右焦點，以坐標原點O為圓心，c為半徑的圓與雙曲線在第二象限交于點P，若tan∠PF1F2，則該雙曲線的離心率為_____．【答案】【解析】由題意可得：P，F(xiàn)1，F(xiàn)2在圓x2+y2＝c2上，所以PF1⊥PF2，設|PF1|＝t，因為tan∠PF1F2，所以|PF2|，由勾股定理可得t2+2t2＝4c2，所以4c2＝3t2，所以2ct，而2a＝|PF2|﹣|PF1|（）t，所以雙曲線的離心率e，故答案為：（關注微信公眾號：Hi數(shù)學派）例47．（2022·全國·模擬預測）已知雙曲線的左、右焦點分別為，，兩條漸近線分別為，.過點且與垂直的直線分別交，于，兩點，為坐標原點，若滿足，則該雙曲線的離心率為______.【答案】2【解析】如圖所示，不妨設漸近線的斜率大于0，由得，是線段的中點，又因為，所以，又，所以，故直線的斜率為，即，故.故答案為：.【專題11】漸近線平行線與面積問題【典型例題】例48．（2022春·江蘇南京·高二南京市第二十九中學校考階段練習）已知雙曲線的左、右焦點分別為，過雙曲線C上任意一點P分別作C的兩條漸近線的垂線，垂足分別為，等于展開式的常數(shù)項，則雙曲線C的離心率為A．3 B．3或 C． D．或【答案】B【解析】由已知可得，展開式的常數(shù)項為，設雙曲線半焦距為c，.設，得，.P到兩條漸近線的距離分別為，，.①.又②，由①②可得或，或.故選：B例49．（2022春·貴州六盤水·高三?？计谀┰谄矫嬷苯亲鴺讼抵?，已知雙曲線，過雙曲線的右焦點分別作雙曲線的兩條漸近線的垂線，垂足分別為、，若四邊形為正方形，則雙曲線的離心率為__________.【答案】【解析】如下圖所示：易知軸為的角平分線，由于四邊形為正方形，，則，，因此，雙曲線的離心率為.故答案為：.例50．（2022秋·湖北·高三統(tǒng)考階段練習）已知雙曲線的左頂點為，過作雙曲線兩條漸近線的垂線，垂足分別為，，且（為坐標原點），則此雙曲線的離心率是_【答案】【解析】由題意，，雙曲線的漸近線方程為：，不妨令與直線垂直，與直線垂直，則，，（關注微信公眾號：Hi數(shù)學派）所以直線的方程為：；直線的方程為：；由解得：（其中），則；由解得：，即，所以，又，所以，即，即，解得：或（不滿足），所以此雙曲線的離心率是.故答案為：.例51．（2022·河南鄭州·鄭州一中?？寄M預測）在平面直角坐標系中，離心率為的雙曲線的左、右焦點分別為，，為雙曲線上一點，且軸，過點作雙曲線的兩條漸近線的平行線，分別交兩條漸近線于，兩點，若四邊形的面積為，則的面積為______.【答案】【解析】由已知得，所以，且，所以雙曲線的兩條漸近線是，所以四邊形是矩形，且所以四邊形的面積，所以，所以，所以的面積為，故得解.例52．（2022春·全國·高二期中）已知雙曲線上一點坐標為為雙曲線的右焦點，且垂直于軸.過點分別作雙曲線的兩條漸近線的平行線，它們與兩條漸近線圍成的圖形面積等于，則該雙曲線的離心率是________.【答案】或【解析】由題意知，，雙曲線的漸近線方程為，設過點且與漸近線平行的直線與漸近線相交于點，如圖所示，直線的方程為，將其與聯(lián)立，解得，，即，，，點，到直線的距離為，所圍圖形面積等于1，（關注微信公眾號：Hi數(shù)學派），即，化簡得，點，在雙曲線上，，即，，又，，或，，離心率或．故答案為：或．例53．（2022·浙江·校聯(lián)考模擬預測）過雙曲線上一點作直線，與雙曲線的兩條漸近線分別交于，且為線段的中點，若（為坐標原點）的面積為2，則雙曲線的離心率為______.【答案】【解析】由題意知，雙曲線的兩條漸近線方程為，設，則，根據(jù)點在雙曲線上，得，得，由雙曲線的兩條漸近線方程得，所以，而，所以，又，所以，離心率.故答案為：例54．（2022春·江蘇蘇州·高二蘇州中學?？计谀┻^雙曲線上的任意一點，作雙曲線漸近線的平行線，分別交漸近線于點，若，則雙曲線離心率的取值范圍是___________.【答案】【解析】因為雙曲線的漸近線方程為：，即，設點，可得：，聯(lián)立方程組，解得：，同理可得：，所以，因為，所以，所以，由題意可得：，所以，故離心率，又因為雙曲線的離心率，所以雙曲線離心率的取值范圍為，故答案為：.【真題再現(xiàn)】1．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）橢圓的左頂點為A，點P，Q均在C上，且關于y軸對稱．若直線的斜率之積為，則C的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】[方法一]：設而不求設，則則由得：，由，得，所以，即，所以橢圓的離心率，故選A.[方法二]：第三定義（關注微信公眾號：Hi數(shù)學派）設右端點為B，連接PB，由橢圓的對稱性知：故，由橢圓第三定義得：，故所以橢圓的離心率，故選A.2．（2021·天津·統(tǒng)考高考真題）已知雙曲線的右焦點與拋物線的焦點重合，拋物線的準線交雙曲線于A，B兩點，交雙曲線的漸近線于C、D兩點，若．則雙曲線的離心率為（

）A． B． C．2 D．3【答案】A【解析】設雙曲線與拋物線的公共焦點為，則拋物線的準線為，令，則，解得，所以,又因為雙曲線的漸近線方程為，所以，所以，即，所以，所以雙曲線的離心率.故選：A.3．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）設是橢圓的上頂點，若上的任意一點都滿足，則的離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設，由，因為，，所以，因為，當，即時，，即，符合題意，由可得，即；（關注微信公眾號：Hi數(shù)學派）當，即時，，即，化簡得，，顯然該不等式不成立．故選：C．4．（多選題）（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）雙曲線C的兩個焦點為，以C的實軸為直徑的圓記為D，過作D的切線與C交于M，N兩點，且，則C的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】AC【解析】[方法一]：幾何法，雙曲線定義的應用情況一M、N在雙曲線的同一支，依題意不妨設雙曲線焦點在軸，設過作圓的切線切點為B，所以，因為，所以在雙曲線的左支，，，，設，由即，則，選A情況二若M、N在雙曲線的兩支，因為，所以在雙曲線的右支，所以，，，設，由，即，則，所以，即，所以雙曲線的離心率選C[方法二]：答案回代法特值雙曲線，過且與圓相切的一條直線為，兩交點都在左支,，，則，特值雙曲線，過且與圓相切的一條直線為，兩交點在左右兩支，在右支，，，則，[方法三]：依題意不妨設雙曲線焦點在軸，設過作圓的切線切點為，若分別在左右支，因為，且，所以在雙曲線的右支，又，，，（關注微信公眾號：Hi數(shù)學派）設，，在中，有，故即，所以，而，，，故，代入整理得到，即，所以雙曲線的離心率若均在左支上，同理有，其中為鈍角，故，故即，代入，，，整理得到：，故，故，故選：AC.5．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知橢圓，C的上頂點為A，兩個焦點為，，離心率為．過且垂直于的直線與C交于D，E兩點，，則的周長是________________．【答案】13【解析】∵橢圓的離心率為，∴，∴，∴橢圓的方程為，不妨設左焦點為，右焦點為，如圖所示，∵，∴，∴為正三角形，∵過且垂直于的直線與C交于D，E兩點，為線段的垂直平分線，∴直線的斜率為，斜率倒數(shù)為，直線的方程：，代入橢圓方程，整理化簡得到：，判別式，（關注微信公眾號：Hi數(shù)學派）∴，∴，得，∵為線段的垂直平分線，根據(jù)對稱性，，∴的周長等于的周長，利用橢圓的定義得到周長為.故答案為：13.6．（2022·浙江·統(tǒng)考高考真題）已知雙曲線的左焦點為F，過F且斜率為的直線交雙曲線于點，交雙曲線的漸近線于點且．若，則雙曲線的離心率是_________．【答案】【解析】過且斜率為的直線，漸近線，聯(lián)立，得，由，得而點在雙曲線上，于是，解得：，所以離心率.故答案為：．7．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）記雙曲線的離心率為e，寫出滿足條件“直線與C無公共點”的e的一個值______________．【答案】2（滿足皆可）【解析】，所以C的漸近線方程為,結合漸近線的特點，只需，即，可滿足條件“直線與C無公共點”所以，又因為，所以，故答案為：2（滿足皆可）【提升訓練】一、單選題1．（2022·重慶沙坪壩·重慶八中校考模擬預測）已知雙曲線：的右焦點為，點，若雙曲線的左支上存在一點，使得，則雙曲線的離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設雙曲線左焦點為，因為點在雙曲線左支上，所以有，即.由已知得，存在點，使得，即，顯然，所以.又，即當點位于圖中位置時，等號成立，所以，又，（關注微信公眾號：Hi數(shù)學派）所以，整理可得，，解得或（舍去），所以，則，則，所以，所以.故選：C.2．（2022春·河南·高三校聯(lián)考階段練習）已知雙曲線，F(xiàn)為C的下焦點．O為坐標原點，是C的斜率大于0的漸近線，過F作斜率為的直線l交于點A，交x軸的正半軸于點B，若，則C的離心率為（

）A．2 B． C． D．【答案】C【解析】因為F為雙曲線的下焦點，不妨設，所以過F作斜率為的直線，所以.因為是C的斜率大于0的漸近線，所以可設.由聯(lián)立解得：.因為，所以，解得：.所以離心率.故選：C3．（2022春·福建福州·高三福州四中?？茧A段練習）設橢圓的左、右焦點分別為，，點M，N在C上（M位于第一象限），且點M，N關于原點O對稱，若，，則橢圓C的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】依題意作圖，由于，并且線段MN，互相平分，∴四邊形是矩形，其中，，設，則，根據(jù)勾股定理，，，整理得，由于點M在第一象限，，由，得，即，整理得，即，解得．故選：C．4．（2022春·江蘇南通·高三期末）如圖，內外兩個橢圓的離心率相同，從外層橢圓頂點向內層橢圓引切線AC，BD，若直線AC與BD的斜率之積為，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設內層橢圓的方程為，由離心率相同可知，外層橢圓的方程為，如圖，（關注微信公眾號：Hi數(shù)學派）設切線的方程為，則，消去得由，得，設切線的方程為，聯(lián)立，消去得，由得，又直線AC與BD的斜率之積為，.故選：C5．（2022春·山東聊城·高三山東聊城一中?？茧A段練習）已知橢圓的左焦點為F，A，B分別為C的左右頂點，與y軸的一個交點為D，直線AD，BG的交點為M，且軸，則C的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】解法一：由題意可知，故直線AD的方程為，即，直線BG的方程為，即，聯(lián)立直線AD，BG的方程，解得.又軸，所以，所以C的離心，故選：A.（關注微信公眾號：Hi數(shù)學派）解法二：設O為坐標原點，由題意知，故，所以，即，解得.又，所以，即，解得，則，得，所以C的離心率故選：A.6．（2022春·陜西·高三陜西省榆林中學校聯(lián)考階段練習）已知如圖，橢圓：，斜率為的直線與橢圓交于，兩點，與軸，軸分別交于，兩點，若，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設，，∵，∴，．則，得，由，兩式相減得：，即，其中，且，解得：，故，故，解得，故，∴.故選：C7．（2022春·廣東·高三校聯(lián)考階段練習）已知橢圓，直線l過坐標原點并交橢圓于兩點（P在第一象限），點A是x軸正半軸上一點，其橫坐標是點P橫坐標的2倍，直線交橢圓于點B，若直線恰好是以為直徑的圓的切線，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】依題意，設，直線的斜率一定存在,分別為，直線恰好是以為直徑的圓的切線,則,則,則，∴，∵，兩式相減得，∴，即，∴，∴，∴，∴橢圓的離心率，故選:D．8．（2022春·浙江金華·高三期末）設為坐標原點，為雙曲線的兩個焦點，為雙曲線的兩條漸近線，垂直于的延長線交于，若，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】雙曲線的漸近線方程為：，不妨令，因為直線垂直，則，故，又，則點到直線的距離為=，所以，，又，可知直線的方程為：，與聯(lián)立方程組可得：，則，解得，故,由,則,中，由勾股定理可得:,故；（關注微信公眾號：Hi數(shù)學派）又,則，即，因為的延長線交于，此時點的縱坐標大于0，即，故，所以，所以化簡得.則，故，則.故選：B.9．（2022春·廣東廣州·高三校考期中）已知、為雙曲線的左、右焦點，為雙曲線的漸近線上一點，滿足，（為坐標原點），則該雙曲線的離心率是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題可知，，，根據(jù)對稱性，不妨設P為漸近線上一點，坐標為，，因為，所以，則，故，故，在中，，由余弦定理得，即，即，則，即，即，即，即，所以.故選：A.10．（2022春·江蘇·高三校聯(lián)考階段練習）設橢圓的左?右焦點分別為，過的直線與交于兩點.若，則的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】令則，又中，，，中，，所以，離心率故選：A.二、多選題11．（2022春·黑龍江綏化·高三?？茧A段練習）已知雙曲線右焦點為，過且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A，B兩點，點，若為銳角三角形，則下列說法正確的是（

）A．雙曲線過點B．直線與雙曲線有兩個公共點C．雙曲線的一條漸近線的斜率小于D．雙曲線的離心率取值范圍為【答案】ACD【解析】A選項：將點代入雙曲線，得到，符合，所以雙曲線過點，故A選項正確；D選項：因為是銳角三角形，所以，則，即.因為雙曲線中，所以，所以，解得，所以.因為，則，所以雙曲線的離心率的取值范圍是，D選項正確；（關注微信公眾號：Hi數(shù)學派）C選項：雙曲線的一條漸近線為，則斜率為，，又，則，又，所以，即，故C選項正確，B選項：聯(lián)立，得，即，則，由C選項得，，此時，故B選項錯誤.故選：ACD.12．（2022春·江蘇常州·高三統(tǒng)考階段練習）如圖，橢圓與橢圓有公共的左頂點和左焦點，且橢圓的右頂點為橢圓的中心，設橢圓與橢圓的長半軸長分別為和，半焦距分別為和，離心率分別為和，則以下結論中正確的是（

）A． B．C． D．【答案】ACD【解析】由題知，由②兩邊同時加得，故C正確；將①代入②得，兩邊同時除以得：，即，故A正確；由②得，③③式兩邊同乘以得，故B錯誤；由③式得，故兩邊同加得，故D正確.故選：ACD13．（2022·浙江·模擬預測）如圖，橢圓的左頂點為A，上頂點為B，右焦點為F，且AB⊥BF，則C的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】ABD【解析】由題意知，，，，則，，∵，∴，即：，①又∵，②∴由①②得：，即：，又∵，∴，故D項正確；∴，∴，∴，故A項正確；∴，故B項正確；∴，故C項錯誤；故選：ABD.14．（2022春·吉林通化·高三梅河口市第五中學?？计谀┤鐖D，P是橢圓與雙曲線在第一象限的交點，且共焦點的離心率分別為，則下列結論不正確的是（

）A． B．若，則C．若，則的最小值為2 D．【答案】ACD【解析】依題意，，解得，A不正確；令，由余弦定理得：，當時，，即，因此，B正確；當時，，即，有，而，則有，解得，C不正確；，，于是得，解得，而，因此，D不正確.故選：ACD15．（2022春·山西運城·高三?？茧A段練習）已知分別為雙曲線的左、右焦點，過點的直線與雙曲線的右支交于兩點，記的內切圓的半徑為的內切圓的半徑為，若，則（

）A．、在直線上 B．雙曲線的離心率C．內切圓半徑最小值是 D．的取值范圍是【答案】ABC【解析】對A：過分別作、、的垂線，垂足分別為、、，則，∵，則，又∵，則，∴，即在直線上，同理可得：在直線上，A正確；對B：∵，則，∴，（關注微信公眾號：Hi數(shù)學派）又∵，則，即，∴，故離心率為，B正確；對C：∵，則，∴，雙曲線的漸近線方程為，則直線的傾斜角，設直線方程為，，聯(lián)立方程，消去x得：，∴，則，設內切圓半徑為，其周長，根據(jù)的面積可得：，則，C正確；對D：由題