597期【數(shù)列】二輪求通項、求和20專題數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的基本板塊，是高考數(shù)學(xué)中的熱點和必考點，數(shù)列的通項作為數(shù)列的靈魂，因此數(shù)列的通項公式的求法就備受命題老師親睞。特別是遞推數(shù)列的通項問題是高考的熱點問題，又是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的難點之一。數(shù)列大題第一問往往也考察遞推公式為主的求通項，這也是復(fù)習(xí)的重點。本篇就累加法、累乘法、倒數(shù)法、待定系數(shù)法、定義法等十多種方法逐一進行分析，以便大家熟練掌握。數(shù)列的求和問題高考命題中的熱點問題，數(shù)列的求和會滲透多種數(shù)學(xué)思想，會跟其他知識進行結(jié)合進行考查。因此求解過程往往方法多、靈活性大、技巧性強，但萬變不離其宗，只要熟練掌握各個類型的特點即可。常見的數(shù)列求和方法：裂項相消、錯位相減、分組求和、分段求和、倒序相加等。本篇就常用的數(shù)列求和方法和思路進行梳理總結(jié)，以便大家在考試中靈活運用?！窘忸}技巧精講】一、求通項公式篇【【專題1等差（等比）定義型】等差數(shù)列判定：①定義法：證an＋1－an＝定值；②等差中項法：即證2an＋1＝an＋an＋2； ③函數(shù)結(jié)論法：即an為一次函數(shù)或Sn為無常數(shù)項的二次函數(shù).等比數(shù)列的判定方法：(1)定義法：證eq\f(an＋1,an)＝q(q≠0的常數(shù))?數(shù)列{an}是等比數(shù)列；(2)等比中項法：即證aeq\o\al(2,n＋1)＝an·an＋2(anan＋1an＋2≠0，n∈N*)?數(shù)列{an}是等比數(shù)列．【【專題2累加法】形如型的遞推數(shù)列（其中是關(guān)于的函數(shù)）叫累加法?？蓸?gòu)造將上述個式子兩邊分別相加，可得：=1\*GB3①若是關(guān)于的一次函數(shù)，累加后可轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列求和；=2\*GB3②若是關(guān)于的指數(shù)函數(shù)，累加后可轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和；=3\*GB3③若是關(guān)于的二次函數(shù)，累加后可分組求和；=4\*GB3④若是關(guān)于的分式函數(shù)，累加后可裂項求和．【【專題3累乘法】形如型的遞推數(shù)列（其中是關(guān)于的函數(shù)）叫累乘法?？蓸?gòu)造：將上述個式子兩邊分別相乘，可得：有時若不能直接用，可變形成這種形式，然后用這種方法求解．【【專題4倒數(shù)法】1）形如（為常數(shù)且）的遞推式：兩邊同除于，轉(zhuǎn)化為形式，化歸為型求出的表達式，再求；（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學(xué)派）2）形如的遞推式，也可采用取倒數(shù)方法轉(zhuǎn)化成形式，化歸為型求出的表達式，再求．【【專題5取對數(shù)法】形如的遞推公式，則常常兩邊取對數(shù)轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求解．【專題6待定系數(shù)法【專題6待定系數(shù)法】形如（其中均為常數(shù)且）型的遞推式：（1）若時，數(shù)列{}為等差數(shù)列；（2）若時，數(shù)列{}為等比數(shù)列；（3）若且時，數(shù)列{}為線性遞推數(shù)列，其通項可通過待定系數(shù)法構(gòu)造等比數(shù)列來求．方法有如下兩種：法1：設(shè)，展開移項整理得，與題設(shè)比較系數(shù)（待定系數(shù)法）得，即構(gòu)成以為首項，以為公比的等比數(shù)列．再利用等比數(shù)列的通項公式求出的通項整理可得法2：與類比式作差得到，再湊配系數(shù)得到，從而構(gòu)造出為等比數(shù)列，然后利用疊加法求通項．注意：形如，可以構(gòu)造等比數(shù)列求通項。通過配湊構(gòu)造等比，如果配湊不容易觀察，可以待定系數(shù)來構(gòu)造。【專題7同除以指數(shù)冪】形如，）的遞推式，當(dāng)時，兩邊同除以轉(zhuǎn)化為關(guān)于的等差數(shù)列；當(dāng)時，兩邊人可以同除以得，轉(zhuǎn)化為．【【專題8已知通項公式與前項的和關(guān)系求通項問題】對于給出關(guān)于與的關(guān)系式的問題，解決方法包括兩個轉(zhuǎn)化方向，在應(yīng)用時要合理選擇．一個方向是轉(zhuǎn)化為的形式，手段是使用類比作差法，使=（，），故得到數(shù)列的相關(guān)結(jié)論，這種方法適用于數(shù)列的前項的和的形式相對獨立的情形；另一個方向是將轉(zhuǎn)化為（，），先考慮與的關(guān)系式，繼而得到數(shù)列的相關(guān)結(jié)論，然后使用代入法或者其他方法求解的問題，這種情形的解決方法稱為轉(zhuǎn)化法，適用于數(shù)列的前項和的形式不夠獨立的情況．（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學(xué)派）不管使用什么方法，都應(yīng)該注意解題過程中對的范圍加以跟蹤和注意，一般建議在相關(guān)步驟后及時加注的范圍．【【專題9“求和公式換元”型（新數(shù)列前項和型）】形如，可以設(shè)，的前n項和為，，則轉(zhuǎn)化為求通項型。【【專題10奇偶討論型】1.分段數(shù)列；2.奇偶各自是等差，等比或者其他數(shù)列?！尽緦ｎ}11周期數(shù)列】1.若數(shù)列{an}滿足2.若數(shù)列{an}滿足3.若數(shù)列{an}滿足4.若數(shù)列{an}滿足5.若數(shù)列{an}滿足6.二、求和篇【【專題12等差（等比）數(shù)列求和】針對數(shù)列的結(jié)構(gòu)特征，確定數(shù)列的類型，符合等差或等比數(shù)列時，直接利用等差、等比數(shù)列相應(yīng)公式求解．等差：前n項和公式：Sn＝na1＋eq\f(nn－1,2)d＝eq\f(na1＋an,2);等比：前n項和公式：Sn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(na1，q＝1，,\f(a11－qn,1－q)＝\f(a1－anq,1－q)，q≠1.))【【專題13分組求和】分組轉(zhuǎn)化求和法：一個數(shù)列的通項公式是由若干個等差或等比或可求和的數(shù)列組成的，則求和時可用分組求和法，分別求和后相加減．（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學(xué)派）1.形如an＝，用分組求和法，分別求和而后相加減.2.形如an＝，用分組求和法，分別求和而后相加減.3.形如an＝，用分組求和法，分別求和而后相加減.【【專題14裂項相消法（1）裂差】（1）基本步驟（2）裂項原則：一般是前邊裂幾項，后邊就裂幾項，直到發(fā)現(xiàn)被消去項的規(guī)律為止．（3）消項規(guī)律：消項后前邊剩幾項，后邊就剩幾項，前邊剩第幾項，后邊就剩倒數(shù)第幾項．（4）常見的裂項技巧（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）（11）（12）【【專題15裂項相消法（2）裂和】形如型，可構(gòu)造，化為利用正負(fù)相間裂項相消求和?！尽緦ｎ}16錯位相減法】錯位相減法求數(shù)列的前n項和（1）適用條件：若是公差為的等差數(shù)列，是公比為的等比數(shù)列，求數(shù)列{an·bn}的前n項和．（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學(xué)派）（2）基本步驟（3）注意事項①在寫出與的表達式時，應(yīng)特別注意將兩式“錯位對齊”，以便下一步準(zhǔn)確寫出；②作差后，應(yīng)注意減式中所剩各項的符號要變號．等差乘等比數(shù)列求和，令，可以用錯位相減法．①②得：．整理得：．【【專題17分段數(shù)列求和】分段數(shù)列求和：1.分奇偶討論，各自新數(shù)列求和。注意奇數(shù)項與偶數(shù)項各自項數(shù)。2.要注意處理好奇偶數(shù)列對應(yīng)的項：（1）可構(gòu)建新數(shù)列；（2）可“跳項”求和【【專題18正負(fù)相間求和（并項求和）】正負(fù)相間求和：1.奇偶項正負(fù)相間型求和，可以兩項結(jié)合構(gòu)成“常數(shù)數(shù)列”。2.如果需要討論奇偶，一般情況下，先求偶，再求奇。求奇時候，直接代入偶數(shù)項公式，再加上最后的奇數(shù)項通項?！尽緦ｎ}19倒序相加求和】將一個數(shù)列倒過來排列，當(dāng)它與原數(shù)列相加時，若有規(guī)律可循，并且容易求和，則這樣的數(shù)列求和時可用倒序相加法（等差數(shù)列前項和公式的推導(dǎo)即用此方法）．【【專題20先放縮在求和】先放縮后裂項，放縮的目的是為了“求和”，這也是湊配放縮形式的目標(biāo)．常見放縮公式：（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學(xué)派）（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）（9）；（10）；（11）；（12）；（13）．（14）．專題目錄TOC\o"1-1"\h\u5600【專題1】等差（等比）定義型 1111051【專題2】累加法 1323782【專題3】累乘法 1517940【專題4】倒數(shù)法 1721981【專題5】取對數(shù)法 2012599【專題6】待定系數(shù)法 2230969【專題7】同除以指數(shù)冪 2526231【專題8】已知通項公式與前項的和關(guān)系求通項問題 276433【專題9】“求和公式換元”型（新數(shù)列前n項和型） 2929539【專題10】奇偶討論型 318908【專題11】周期數(shù)列 3323349【專題12】等差（等比）數(shù)列求和 356782【專題13】分組求和 3711721【專題14】裂項相消法（1）裂差 418289【專題15】裂項相消法（2）裂和 459050【專題16】錯位相減法 4910653【專題17】分段數(shù)列求和 5319199【專題18】正負(fù)相間求和（并項求和） 5525931【專題19】倒序相加求和 592625【專題20】先放縮在求和 62【專題1】等差（等比）定義型【【解題技巧】等差數(shù)列判定：①定義法：證an＋1－an＝定值；②等差中項法：即證2an＋1＝an＋an＋2； ③函數(shù)結(jié)論法：即an為一次函數(shù)或Sn為無常數(shù)項的二次函數(shù).等比數(shù)列的判定方法：(1)定義法：證eq\f(an＋1,an)＝q(q≠0的常數(shù))?數(shù)列{an}是等比數(shù)列；(2)等比中項法：即證aeq\o\al(2,n＋1)＝an·an＋2(anan＋1an＋2≠0，n∈N*)?數(shù)列{an}是等比數(shù)列．【典例分析】1．（2023·浙江·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，則=（

）A．80 B．100 C．120 D．143【答案】C【分析】根據(jù)，可得，從而可證得數(shù)列是等差數(shù)列，從而可求得數(shù)列的通項，即可得解.【詳解】解：因為，所以，即，等式兩邊開方可得：，即，（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學(xué)派）所以數(shù)列是以首項為，公差為1的等差數(shù)列，所以，所以，所以.故選：C．2．（2023·綿陽市·高三模擬預(yù)測）已知數(shù)列的前n項積為，若，，且，則使最大的正整數(shù)n的值為（

）A．7 B．8 C．15 D．16【答案】B【分析】由可知數(shù)列為等比數(shù)列，將公比代入可求出的值，從而求出數(shù)列的首項，當(dāng)且前項的積為正時最大，從而求出結(jié)果.【詳解】易知，因為，，所以，，將其代入，得，所以，即數(shù)列是以128為首項，為公比的等比數(shù)列，所以，，，當(dāng)時，，所以，因為均小于0，即，，故最大.故選：B．3．（2022·陜西西安·高三校聯(lián)考期中）在數(shù)列中，，，且，則數(shù)列的通項公式是__________．【答案】【分析】根據(jù)確定數(shù)列為等比數(shù)列，再利用等比數(shù)列公式計算得到答案.【詳解】，故是等比數(shù)列，，故.故答案為：【變式演練】1.（2023·甘肅·高三階段練習(xí)）數(shù)列的各項都是正數(shù)，，，那么此數(shù)列的通項公式為________．【答案】【分析】，，即，可得：數(shù)列是等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的通項公式即可得出．【詳解】解：，，即，數(shù)列是等差數(shù)列，公差為2，首項為4．，，．故答案為：．2．（2022·江蘇蘇州·高三期中）（多選題）若數(shù)列滿足，且，則首項可能是（

）A．6 B． C．2 D．【答案】AD【解析】由題意可知或，分別討論兩種情況下的即可.【詳解】因為，所以或，當(dāng)時，是公差為1的等差數(shù)列，此時，當(dāng)時，是公比為3的等差數(shù)列，此時，故首項可能是或，故選：AD3．（2022·四川·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知為數(shù)列的前n項和，且，，則_______．【答案】【分析】由條件可得數(shù)列是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，然后可算出答案.【詳解】由得，且，解得，所以數(shù)列是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以．故答案為：【專題2】累加法【【解題技巧】形如型的遞推數(shù)列（其中是關(guān)于的函數(shù)）叫累加法。可構(gòu)造將上述個式子兩邊分別相加，可得：=1\*GB3①若是關(guān)于的一次函數(shù)，累加后可轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列求和；=2\*GB3②若是關(guān)于的指數(shù)函數(shù)，累加后可轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和；=3\*GB3③若是關(guān)于的二次函數(shù)，累加后可分組求和；=4\*GB3④若是關(guān)于的分式函數(shù)，累加后可裂項求和．【典例分析】1．（2022·河南·高三專題練習(xí)）已知，，求通項________.【答案】【解析】解：，即，，，，，，以上各式相加得，又，所以，而也適合上式，.故答案為：2．（2022·廣西·高三專題練習(xí)）數(shù)列中，，則__________.【答案】【解析】因為，所以，則當(dāng)時，，將個式子相加可得，因為，則，當(dāng)時，符合題意，所以.所以故答案為：.【變式演練】1．（2022·陜西·模擬預(yù)測（理））已知數(shù)列滿足，，且，則（

）A．6065 B．6064 C．4044 D．4043【答案】B【分析】先由得到，再利用裂項抵消法進行求解.【詳解】因為，所以，即，所以，，，，累加，得，即，即，n=1成立則.故選：B.2．（2022·江西贛州·二模（理））已知數(shù)列{}滿足，當(dāng)n為奇數(shù)時，當(dāng)n為偶數(shù)時，則時，（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】分析知：當(dāng)時，，兩式相減得，則時，利用累加法即可求出答案.（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學(xué)派）【詳解】由n為奇數(shù)時，當(dāng)n為偶數(shù)時，可得當(dāng)時，，兩式相減得，所以時.故選：C.【專題3】累乘法【【解題技巧】形如型的遞推數(shù)列（其中是關(guān)于的函數(shù)）叫累乘法?？蓸?gòu)造：將上述個式子兩邊分別相乘，可得：有時若不能直接用，可變形成這種形式，然后用這種方法求解．【典例分析】1．（2022·廣西·高三專題練習(xí)）數(shù)列滿足：，，則的通項公式為_____________.【答案】【解析】由得，，則，即，又，所以.故答案為：.2．（2022·山西太原·二模（理））已知數(shù)列的首項為1，前n項和為，且，則數(shù)列數(shù)列的前n項和______．【答案】．【解析】解：因為，所以，則，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，綜上：，所以，所以數(shù)列的前n項和為：（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學(xué)派），故答案為：【變式演練】1．（2022·浙江浙江·二模）已知等差數(shù)列的前項和為，滿足，．?dāng)?shù)列滿足，，．求數(shù)列，的通項公式；【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為d，由題意可得：，解得：，所以，所以數(shù)列的通項公式為；因為數(shù)列滿足，，，所以當(dāng)時，，又滿足，所以數(shù)列的通項公式為.2．（2022·成都市·高三專題練習(xí)（理））已知數(shù)列的前n項和為，且滿足，.求的通項公式；【解析解：時，，解得.當(dāng)時，，故，所以，故.符合上式故的通項公式為，.3．（2022·河南·模擬預(yù)測（理））已知數(shù)列中，，，則滿足的n的最大值為（

）A．3 B．5 C．7 D．9【答案】B【分析】根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系式，運用累乘法計算出數(shù)列的通項公式，再根據(jù)不等式求解n的最大值.【詳解】根據(jù)題意，化簡得，（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學(xué)派）運用累乘法計算得，且，，符合該式，時，時，；時，所以滿足條件的n的最大值為5.故選：B.【專題4】倒數(shù)法【【解題技巧】1）形如（為常數(shù)且）的遞推式：兩邊同除于，轉(zhuǎn)化為形式，化歸為型求出的表達式，再求；2）形如的遞推式，也可采用取倒數(shù)方法轉(zhuǎn)化成形式，化歸為型求出的表達式，再求．【典例分析】1．（2023秋·貴州貴陽·高三統(tǒng)考期末）已知數(shù)列滿足，若，則__________．【答案】【分析】法一：由遞推式，結(jié)合依次求出即可；法二：構(gòu)造數(shù)列，證明其為等差數(shù)列，即可求出.【詳解】法一：由，可得：，由,可得:,又，可得：.（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學(xué)派）（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學(xué)派）法二：由題得，則等式兩邊同取倒數(shù)得，則，，則數(shù)列為公差為2的等差數(shù)列，則，當(dāng)，則，則，故答案為：.2.（2022·江蘇南京·模擬預(yù)測）已知數(shù)列滿足．若，則______；若，則______．【答案】

2604

【解析】由取倒數(shù)得，即，則當(dāng)時，，當(dāng)時，上式也成立，于是得，當(dāng)時，，有，于是得；當(dāng)時，，即，所以.故答案為：2604；【變式演練】1.（2022·山西·懷仁市高三階段練習(xí)）在數(shù)列中，，且，則其通項公式為（

）A．B．C．D．【答案】D【解析】先由得出，再由累加法計算出，進而求出.【詳解】解：，，化簡得：，兩邊同時除以并整理得：，即，，，…，，將上述個式子相加得：……，即，，又也滿足上式，，.故選：D.（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學(xué)派）2.（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知在數(shù)列中，，，則數(shù)列的通項公式為______.【答案】【分析】把已知數(shù)列遞推式取倒數(shù)，然后變?yōu)?，可得?shù)列是等比數(shù)列，求其通項公式后可得數(shù)列的通項公式.【詳解】由題意，，取倒數(shù)得，即，又，所以，數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，故，所以.故答案為：.3．（2023·湖北高三課時練習(xí)）在數(shù)列中，已知，，則的通項公式為______．【答案】【分析】已知式取倒數(shù)可證得是等差數(shù)列，求出的通項公式，從而易得數(shù)列的通項公式．【詳解】由，兩邊取倒數(shù)得，即，又因為，所以是首項為，公差為的等差數(shù)列，所以，故，故答案為：【專題5】取對數(shù)法【【解題技巧】形如的遞推公式，則常常兩邊取對數(shù)轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求解．【典例分析】1.（2022·上海市高三期末）數(shù)列中，若，，則的通項公式為________.【答案】【分析】兩邊取對數(shù)，化簡整理得，得到數(shù)列是以為首項，公比為3的等比數(shù)列，結(jié)合等比數(shù)列的通項公式，即可求解.（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學(xué)派）【詳解】由，兩邊取對數(shù)，可得，即，又由，則，所以數(shù)列是以為首項，公比為3等比數(shù)列，則，所以.故答案為：2．（2022?蚌埠三模）已知數(shù)列滿足，若，則的最大值為．【解析】解：數(shù)列滿足，．，，變形為：，．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列，首項為，公比為．．則．，只考慮為偶數(shù)時，時，．時，．因此（4）取得最大值．最大值為．故答案為：．【變式演練】1．已知數(shù)列的首項為9，且，若，則數(shù)列的前項和．【解析】解：數(shù)列的首項為9，且，所以：，所以兩邊取對數(shù)得：，整理得：（常數(shù)），所以：數(shù)列是以為首項，2為公比的等比數(shù)列．所以：，所以：，由于，所以：，故：兩邊取倒數(shù)得到：，（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學(xué)派）所以數(shù)列的前項和．故答案為：2．（2022·廣東·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，則________【答案】【解析】等價變形，換元設(shè)，得，兩邊取對數(shù)，得是首項，公比的等比數(shù)列，求出可解.【詳解】，，，設(shè)，則，，兩邊取對數(shù)，，，所以是首項，公比的等比數(shù)列，，，故答案為：【專題6】待定系數(shù)法【解題技巧】【解題技巧】形如（其中均為常數(shù)且）型的遞推式：（1）若時，數(shù)列{}為等差數(shù)列；（2）若時，數(shù)列{}為等比數(shù)列；（3）若且時，數(shù)列{}為線性遞推數(shù)列，其通項可通過待定系數(shù)法構(gòu)造等比數(shù)列來求．方法有如下兩種：法1：設(shè)，展開移項整理得，與題設(shè)比較系數(shù)（待定系數(shù)法）得，即構(gòu)成以為首項，以為公比的等比數(shù)列．再利用等比數(shù)列的通項公式求出的通項整理可得法2：與類比式作差得到，再湊配系數(shù)得到，從而構(gòu)造出為等比數(shù)列，然后利用疊加法求通項．注意：形如，可以構(gòu)造等比數(shù)列求通項。通過配湊構(gòu)造等比，如果配湊不容易觀察，可以待定系數(shù)來構(gòu)造。1．（2023·廣東·高三?？计谀┮阎醉棡?的數(shù)列對滿足，則數(shù)列的通項公式______.【答案】【分析】構(gòu)造，得到是等比數(shù)列，求出通項公式，進而得到.【詳解】設(shè)，即，故，解得：，故變形為，，（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學(xué)派）故是首項為4的等比數(shù)列，公比為3，則，所以，故答案為：2.（2022·河北·高三課時練習(xí)）已知數(shù)列滿足，則數(shù)列的通項公式_____.【答案】【分析】構(gòu)造等比數(shù)列，利用條件求解出其中的值，再通過等比數(shù)列的公比和首項求解出的通項公式，即可求解出的通項公式.【詳解】設(shè)①將代入①式，得，等式兩邊消去，得，兩邊除以，得，則，代入①式得②由及②式得，則，則數(shù)列是以為首項，以為公比的等比數(shù)列，所以，所以.故答案為.3．（2022·四川宜賓·二模（理））在數(shù)列中，，，且滿足，則___________.【答案】【解析】解：因為，，，顯然，所以，同除得，所以，所以，所以是以為首項、為公比的等比數(shù)列，所以，所以所以故答案為：4.（2022·綿陽市·高三課時練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，且（，），則數(shù)列的通項公式為______．【答案】【分析】由，得到為等比數(shù)列，求得，進而得到，令，化簡得到數(shù)列為等比數(shù)列，結(jié)合等比數(shù)列的通項公式，即可求解.【詳解】由，可得，即，所以是以為首項，3為公比的等比數(shù)列，所以，則．不妨令，則，所以，即，又由，所以數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，所以，所以．故答案為：.【變式演練】1.（2022·貴州·遵義市高三階段練習(xí)）設(shè)數(shù)列滿足，，則的通項公式_____.【答案】【分析】依題意得，所以是等比數(shù)列，進而可得結(jié)果.【詳解】由得，又，所以數(shù)列是首項為1，公比為的等比數(shù)列.則，所以.故答案為：2.（2023·山西·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，．?dāng)?shù)列滿足，則數(shù)列的通項公式為________．【答案】【分析】由，可得，即，從而可得數(shù)列是等比數(shù)列，從而可得數(shù)列的通項公式.【詳解】解：∵，∴即,∴,且，，則,又，（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學(xué)派）∴數(shù)列是首項為，公比為3的等比數(shù)列．∴．故答案為：.3.（2022·江蘇·泰興市高三期中）已知是數(shù)列的前項和，，，，求數(shù)列的通項公式___________.【答案】【分析】根據(jù)已知條件構(gòu)造，可得是公比為的等比數(shù)列，即，再由累加法以及分組求和即可求解.【詳解】因為，所以，因此，因為，，所以，故數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，所以，即，所以當(dāng)時，，，，，，以上各式累加可得：，因為，所以；又符合上式，所以.故答案為：.【專題7】同除以指數(shù)冪【【解題技巧】形如，）的遞推式，當(dāng)時，兩邊同除以轉(zhuǎn)化為關(guān)于的等差數(shù)列；當(dāng)時，兩邊人可以同除以得，轉(zhuǎn)化為．【典例分析】1.（2022·河北·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列{an}中，a1＝1，，則數(shù)列{an}的通項公式an＝________.【答案】【分析】根據(jù)已知可得是等差數(shù)列，即可求出通項公式.【詳解】∵，∴兩邊同除以，得＝＋1.又a1＝1，∴是以首項為，公差為1的等差數(shù)列，∴＝＋(n－1)×1＝n－，即.故答案為：.2.（2022·瀘州·一模（理））已知數(shù)列的前項和（），則數(shù)列的通項公式__________．【答案】【詳解】因，故，以上兩式兩邊相減可得，即，也即，所以，即，應(yīng)填答案．【變式演練】1.（2023·浙江·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列中，，，求數(shù)列的通項公式___________【答案】【分析】由已知條件可得，從而可得數(shù)列是等差數(shù)列，求出其通項公式后化簡即可得到.【詳解】∵，∴，∴數(shù)列是等差數(shù)列，公差為，又，∴，∴.故答案為：.（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學(xué)派）2．（2022·天津·二模）記是公差不為0的等差數(shù)列的前項和，已知，數(shù)列滿足，且.(1)求的通項公式；(2)證明數(shù)列是等比數(shù)列，并求的通項公式；【解析】(1)解：設(shè)等差數(shù)列的公差為，因為，則，解得或（舍去），所以；(2)證明：因為，所以，即，所以，因為，所以，所以數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，所以，所以；【專題8】已知通項公式與前項的和關(guān)系求通項問題【【解題技巧】對于給出關(guān)于與的關(guān)系式的問題，解決方法包括兩個轉(zhuǎn)化方向，在應(yīng)用時要合理選擇．一個方向是轉(zhuǎn)化為的形式，手段是使用類比作差法，使=（，），故得到數(shù)列的相關(guān)結(jié)論，這種方法適用于數(shù)列的前項的和的形式相對獨立的情形；另一個方向是將轉(zhuǎn)化為（，），先考慮與的關(guān)系式，繼而得到數(shù)列的相關(guān)結(jié)論，然后使用代入法或者其他方法求解的問題，這種情形的解決方法稱為轉(zhuǎn)化法，適用于數(shù)列的前項和的形式不夠獨立的情況．不管使用什么方法，都應(yīng)該注意解題過程中對的范圍加以跟蹤和注意，一般建議在相關(guān)步驟后及時加注的范圍．【典例分析】1.（2022·云南·二模）已知數(shù)列的前n項和為.若，則數(shù)列的通項公式為___.【答案】【分析】根據(jù)數(shù)列的關(guān)系，分討論，構(gòu)造等比數(shù)列求解.【詳解】由，可知，（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學(xué)派）當(dāng)時，，相減可得：，∴數(shù)列從第二項起是以9為首項，以3為公比的等比數(shù)列，當(dāng)時，不滿足.，故答案為：2．（2022·貴州·高三階段練習(xí)（理））設(shè)數(shù)列前n項和為，若，，則___________.【答案】【解析】解：當(dāng)時，，，整理可得，，數(shù)列是以1為首項，2為公差的等差數(shù)列，，.故答案為：【變式演練】1.（2022·江西·一模（理））記為數(shù)列的前n項和．若，，則數(shù)列的通項公式為______．【答案】【分析】將已知關(guān)系式化為，然后再寫出第項的關(guān)系式，兩式作差何解可得，進而可以求解．【詳解】解：因為，則①所以②②①可得，所以，即，所以，所以，故答案為：．2．（2022·福建三明·模擬預(yù)測）已知數(shù)列的前n項和為，若，且，則（

）A．-8 B．-3 C．-2 D．8【答案】B【分析】先由求,判斷出從第二項起為公比為-1的等比數(shù)列，得到，代入n=2022即可解出.【詳解】因為①，（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學(xué)派）所以當(dāng)時，有，即.當(dāng)時，有②，①-②得：，所以，即，所以從第二項起為公比為-1的等比數(shù)列.所以，即.因為，所以，所以.所以，解得：-3.故選：B3.（2022·黑龍江·哈爾濱高三期末）各項均不為零的數(shù)列的前n項和為，且，，則數(shù)列的通項公式為_________．【答案】【分析】根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系構(gòu)造等差數(shù)列，利用與的關(guān)系即可求出數(shù)列的通項公式．【詳解】解：由得，當(dāng)時，，，，等式兩邊同時除以得，即是以3為首項，3為公差的等差數(shù)列，則，即，則，，不滿足，，數(shù)列的通項公式，故答案為：．【專題9】“求和公式換元”型（新數(shù)列前n項和型）【【解題技巧】形如，可以設(shè)，的前n項和為，，則轉(zhuǎn)化為求通項型?！镜淅治觥?．（2022·安徽·模擬預(yù)測（理））已知數(shù)列滿足，則______.【答案】【分析】在題干條件下求出，進而用錯位相減法求和.【詳解】①，②，兩式相減得：，所以，經(jīng)檢驗符合要求.則，則③，④，③-④得：，所以故答案為：2．（2022·湖南·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的前項和為，且有．求數(shù)列的通項公式；【解析】由題，當(dāng)時，，∴；（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學(xué)派）當(dāng)時，由，所以，兩式相減，可得，∴．當(dāng)時，滿足，∴．【變式演練】1．（2022·青?！ず|市模擬預(yù)測）已知正項數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式；【解析】解：因為，①當(dāng)時，．②①②得，所以．當(dāng)時，，也滿足上式，所以．2．（2022·南京外國語學(xué)校模擬預(yù)測）已知數(shù)列的前項和為，且，．(1)求的通項公式；(2)若數(shù)列滿足，，求數(shù)列的前項和．【解析】(1)當(dāng)時，；當(dāng)時，．綜上，(2)因為，所以當(dāng)時，，所以．當(dāng)時，由得，所以．又當(dāng)時，，所以．所以，，所以，所以．【專題10】奇偶討論型【【解題技巧】1.分段數(shù)列；2.奇偶各自是等差，等比或者其他數(shù)列?！镜淅治觥?.（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，則數(shù)列的通項公式為______．【答案】.【分析】先由，得，進一步得到，再分奇偶項來求通項公式即可．【詳解】因為，所以，得．所以當(dāng)為奇數(shù)時，，當(dāng)為偶數(shù)時，．又，，所以，（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學(xué)派）所以，，，…，，…構(gòu)成以2為首項，2為公差的等差數(shù)列，，，，…，，…構(gòu)成以為首項，為公差的等差數(shù)列．所以當(dāng)是奇數(shù)時，；當(dāng)是偶數(shù)時，．故數(shù)列的通項公式為．故答案為：.2.（2022·全國·高三階段練習(xí)（理））已知數(shù)列滿足，，數(shù)列的奇數(shù)項單調(diào)遞增，偶數(shù)項單調(diào)遞減，若，在數(shù)列的通項公式為______．【答案】，【分析】根據(jù)題意，由數(shù)列的單調(diào)性分析可得：；又由，即，變形分析可得；由此求出和，綜合可得答案.【詳解】依題意，單調(diào)遞增，故；數(shù)列單調(diào)遞減，故，所以；因為，故；同理，所以；又，所以，所以，則，所以數(shù)列的通項公式為.故答案為：.【變式演練】1.（2022.廣西高三模擬）已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，an≠0，a1＝1，且2anan＋1＝4Sn－3(n∈N*)．(1)求a2的值并證明：an＋2－an＝2；(2)求數(shù)列{an}的通項公式．【答案】（1）詳見解析；（2）an＝.試題解析：(1)令n＝1得2a1a2＝4S1－3，又a1＝1，∴a2＝.2anan＋1＝4Sn－3，①2an＋1an＋2＝4Sn＋1－3.②②－①得，2an＋1(an＋2－an)＝4an＋1.∵an≠0，∴an＋2－an＝2.(2)由(1)可知：數(shù)列a1，a3，a5，…，a2k－1，…為等差數(shù)列，公差為2，首項為1，∴a2k－1＝1＋2(k－1)＝2k－1，即n為奇數(shù)時，an＝n.（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學(xué)派）數(shù)列a2，a4，a6，…，a2k，…為等差數(shù)列，公差為2，首項為，∴a2k＝＋2(k－1)＝2k－，即n為偶數(shù)時，an＝n－.綜上所述，an＝.2．（2022秋?青島高三期中）如圖的形狀出現(xiàn)在南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法商功》中，后人稱為“三角垛”．“三角垛”最上層有1個球，第二層有3個球，第三層有6個球，．設(shè)第層有個球，從上往下層球的總數(shù)為，記，則A．B． C．，D．的最大值為【解析】解：，，，，，，故正確；，，所以，所以，故錯，，故正確；（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學(xué)派）令，，當(dāng)，，當(dāng)，單調(diào)遞減，所以的值最大，最大值為，則正確，故選：．【專題11】周期數(shù)列【【解題技巧】1.若數(shù)列{an}滿足2.若數(shù)列{an}滿足3.若數(shù)列{an}滿足4.若數(shù)列{an}滿足5.若數(shù)列{an}滿足6.【典例分析】1．（2022·海南省直轄縣級單位·三模）已知數(shù)列中，，，，則（

）A．4 B．2 C．-2 D．-4【答案】D【解析】因為，，，所以，則，，，…，所以數(shù)列是以3為周期的數(shù)列，則.故選：D.2．（2022·江蘇·揚州中學(xué)高三階段練習(xí)）在數(shù)列中，，，，則______；的前2022項和為______．【答案】

2024【解析】由，得，又，所以，，，，，可知數(shù)列為周期數(shù)列，周期為4，故.故答案為：；2024.【變式演練】1．（2022·河南安陽·模擬預(yù)測（理））已知數(shù)列滿足，若的前n項積的最大值為3，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】數(shù)列中，，，則有，因此，，，因數(shù)列的前n項積的最大值為3，則當(dāng)，的前n項積，當(dāng)，的前n項積，當(dāng)，的前n項積，解得，當(dāng)，的前n項積，當(dāng)，的前n項積，當(dāng)，的前n項積，解得，顯然，綜上得或，所以的取值范圍為.故選：A2．（2022·廣東深圳·高三階段練習(xí)）已知數(shù)列中，，，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】當(dāng)為奇數(shù)時，，即數(shù)列中的奇數(shù)項依次構(gòu)成首項為，公差為的等差數(shù)列，所以，，當(dāng)為偶數(shù)時，，則，兩式相減得，所以，，故，故選：D.3．（2022·上海靜安·二模）數(shù)列滿足，，若對于大于2的正整數(shù)，，則__________.【答案】【解析】由題意知：，故是周期為3的周期數(shù)列，則.故答案為：.【專題12】等差（等比）數(shù)列求和【【解題技巧】針對數(shù)列的結(jié)構(gòu)特征，確定數(shù)列的類型，符合等差或等比數(shù)列時，直接利用等差、等比數(shù)列相應(yīng)公式求解．等差：前n項和公式：Sn＝na1＋eq\f(nn－1,2)d＝eq\f(na1＋an,2);等比：前n項和公式：Sn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(na1，q＝1，,\f(a11－qn,1－q)＝\f(a1－anq,1－q)，q≠1.))【典例分析】1．（2022·福建泉州·模擬預(yù)測）記等比數(shù)列{}的前n項和為.若，則=（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】根據(jù)條件得到，，從而求出公比，利用求和公式求出答案.【詳解】因為，所以，因為，所以，所以公比，所以故選：C.2．（2022·廣東·高三階段練習(xí)）已知數(shù)列是等差數(shù)列，是等比數(shù)列的前n項和，，，．(1)求數(shù)列，的通項公式；(2)求的最大值和最小值．【答案】(1)，；(2)最大值16，最小值8【分析】（1）根據(jù)給定的條件，求出等差數(shù)列的首項及公差，等比數(shù)列公比求解作答.（2）由（1）可得，再分為奇數(shù)與偶數(shù)時，結(jié)合的單調(diào)性求解即可.（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，因，，則，解得，即有，設(shè)等差數(shù)列的公差為，因，，則，解得，即，所以數(shù)列，的通項公式分別為，.（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學(xué)派）（2）由（1）知，，當(dāng)時，，此時數(shù)列是遞減的，恒有，此時；當(dāng)時，，此時數(shù)列是遞增的，恒有，此時；綜上可得，的最大值為16，最小值為8.【變式演練】1．（2022?西安一模）已知數(shù)列的前項和為，滿足，則數(shù)列的前16項和．【解析】解：，化為，即，，為等差數(shù)列，公差，．故答案為：84．2．（2022·江蘇·模擬預(yù)測）已知數(shù)列的首項，，前n項和滿足，則數(shù)列的前n項和為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題可得，進而可得，然后可得，利用等差數(shù)列的定義及求和公式即得.【詳解】由得，即，所以，所以，兩式作差，得，即，所以，所以或，又，故，所以數(shù)列是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列，所以數(shù)列的前n項和.故選：A.3．（2022.山西模擬）已知等差數(shù)列中，，．（1）求的通項公式；（2）令，求數(shù)列的前項和．（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學(xué)派）【解析】解：（1）設(shè)數(shù)列的公差為，由題意得解得，，的通項公式為．（2）由得，是首項為，公比的等比數(shù)列．．【專題13】分組求和【【解題技巧】分組轉(zhuǎn)化求和法：一個數(shù)列的通項公式是由若干個等差或等比或可求和的數(shù)列組成的，則求和時可用分組求和法，分別求和后相加減．1.形如an＝，用分組求和法，分別求和而后相加減.2.形如an＝，用分組求和法，分別求和而后相加減.3.形如an＝，用分組求和法，分別求和而后相加減.【典例分析】1．（2023春·黑龍江哈爾濱·高三?？荚驴迹┰O(shè)數(shù)列的前n項和為，，且，若，則n的最大值為（

）A．50 B．51 C．52 D．53【答案】B【分析】已知式變形后得出是以－1為公比的等比數(shù)列，從而可求出通項公式，然后由分組求和法求得，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性可得結(jié)論．【詳解】∵，∴，∵是以－1為公比的等比數(shù)列，∴，,∴，當(dāng)n為偶數(shù)時，無解，當(dāng)n為奇數(shù)時，，∴，又，∴，即，（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學(xué)派）即，在上是增函數(shù)，又n為奇數(shù)，，，故n的最大值為51.故選：B.2．（2022·黑龍江大慶·高三?？计谥校┮阎獢?shù)列滿足，，設(shè).(1)求證數(shù)列為等差數(shù)列，并求的通項公式；(2)若，求數(shù)列的前n項和.【答案】(1)證明見解析，(2)【分析】（1）將條件等式兩邊同時除以后即可證明；（2）代入，然后用分組求和法求和.【詳解】（1）由得，即，又，數(shù)列是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列，，即；（2）由（1）得，.【變式演練】1．（2023·福建漳州·統(tǒng)考二模）大衍數(shù)列來源于《乾坤譜》中對易傳“大衍之?dāng)?shù)五十”的推論，主要用于解釋中國傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理，數(shù)列中的每一項，都代表太極衍生過程中，曾經(jīng)經(jīng)歷過的兩儀數(shù)量總和，是中華傳統(tǒng)文化中隱藏的世界數(shù)學(xué)史上第一道數(shù)列題．已知該數(shù)列的前10項依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，記，，則數(shù)列的前20項和是（

）A．110 B．100 C．90 D．80【答案】A【分析】根據(jù)所給數(shù)列的項歸納出通項公式，利用分組求和法求和即可.【詳解】觀察此數(shù)列可知，當(dāng)為偶數(shù)時，，當(dāng)為奇數(shù)時，，因為，所以數(shù)列的前20項和為：，故選：A2．（2022秋·湖南長沙·高三?？茧A段練習(xí)）設(shè)數(shù)列{an}是公差不為零的等差數(shù)列，a1＝1，若a1，a2，a5成等比數(shù)列．(1)求數(shù)列{an}的通項公式；(2)設(shè)，求數(shù)列{bn}的前n項和Sn．【答案】(1)(2)【分析】（1）設(shè)數(shù)列{an}是公差為的等差數(shù)列，根據(jù)已知求出，即得解；（2）求出，再利用裂項相消法和公式法求和得解.【詳解】（1）設(shè)數(shù)列的公差為，又，若，，成等比數(shù)列，可得，即，解得或，又，所以，則．（2），可得前項和.3．（2023·遼寧葫蘆島·高三統(tǒng)考期末）已知數(shù)列滿足，，數(shù)列為等比數(shù)列且公比，滿足．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)數(shù)列的前n項和為，若________，記數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項和．在①，②，，成等差數(shù)列，③這三個條件中任選一個補充在第（2）問中，并對其求解．注：若選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．【答案】(1)；(2).【分析】（1）根據(jù)給定條件，求出數(shù)列的公比，進而判斷數(shù)列為等差數(shù)列，再求出通項作答.（2）選①②③，分別求出數(shù)列的通項，結(jié)合（1），利用分組求和法求解作答.【詳解】（1）因為，，，，令得，又?jǐn)?shù)列為等比數(shù)列，即有，而，解得，則，因此，即數(shù)列是以1為首項，2為公差的等差數(shù)列，所以.（2）若選①，由（1）知數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列，由得，，解得，則，因此，即有數(shù)列的奇數(shù)項是以1為首項4為公差的等差數(shù)列，偶數(shù)項是以4為首項4為公比的等比數(shù)列，所以．選②，由（1）及，，成等差數(shù)列得，即，，則，因此，（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學(xué)派）即有數(shù)列的奇數(shù)項是以1為首項4為公差的等差數(shù)列，偶數(shù)項是以4為首項4為公比的等比數(shù)列，所以．若選③，由（1）及得，解得，則，因此，即有數(shù)列的奇數(shù)項是以1為首項4為公差的等差數(shù)列，偶數(shù)項是以4為首項4為公比的等比數(shù)列，所以．【專題14】裂項相消法（1）裂差【【解題技巧】（1）基本步驟（2）裂項原則：一般是前邊裂幾項，后邊就裂幾項，直到發(fā)現(xiàn)被消去項的規(guī)律為止．（3）消項規(guī)律：消項后前邊剩幾項，后邊就剩幾項，前邊剩第幾項，后邊就剩倒數(shù)第幾項．（4）常見的裂項技巧（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）（11）（12）【典例分析】1．（2023·安徽宿州·統(tǒng)考一模）已知數(shù)列的前n項和為，且，則數(shù)列的前n項和______.【答案】【分析】根據(jù)給定的遞推公式求出數(shù)列的通項，再利用裂項相消法求解作答.【詳解】數(shù)列的前n項和為，，，當(dāng)時，，兩式相減得：，即，而，解得，因此數(shù)列是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，，，所以.故答案為：2．（2023春·河南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知數(shù)列的前n項和為，，，．(1)求的通項公式；(2)證明：．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)，求解；（2）由（1）得到，進而得到，利用裂項相消法求解.【詳解】（1）解：因為，，所以，所以，所以，（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學(xué)派）又，也成立，所以的通項公式．（2）證明：由（1）知，所以，所以．因為，所以，所以，所以，．3．（2022·四川廣安·?？寄M預(yù)測）已知正項數(shù)列的前n項和為，且滿足，(1)求(2)求【答案】(1)(2)【分析】(1)先令求出首項，再由數(shù)列的遞推公式，當(dāng)時，代入并結(jié)合等差數(shù)列的定義和通項公式求出.(2)由第一問的公式，正好利用分母有理化進行化簡抵消即可得出結(jié)果【詳解】（1）根據(jù)題意可得，當(dāng)時，，解得，由，代入得，整理后得，即，根據(jù)等差數(shù)列的定義可知，數(shù)列是首項為1，公差為1的等差數(shù)列，則，（2）由(1)可知，，【變式演練】1．（2022·福建龍巖·模擬預(yù)測）已知等差數(shù)列的前n項和為，，.(1)求的通項公式；(2)設(shè)，數(shù)列的前n項和為，證明：當(dāng)，時，.【答案】(1)；(2)證明見解析﹒【分析】(1)根據(jù)題中條件列出關(guān)于和d的方程組，解出和d，根據(jù)等差數(shù)列通項公式即可求；(2)分母有理化，裂項相消即可求，當(dāng)，時，證明即可．(1)由題可知，，解得，∴；(2)，，，，．2．（2023秋·廣東揭陽·高三統(tǒng)考期末）已知數(shù)列滿足，是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列.(1)求的通項公式；(2)求數(shù)列的前n項和.【答案】(1)(2)【分析】（1）由等比數(shù)列通項公式可得，可構(gòu)造，利用常數(shù)列求解，也可根據(jù)，利用累加法求解；（2）根據(jù)裂項相消法求和即可.【詳解】（1）由題意得，法一：因為，即，所以是常數(shù)列，所以，故.法二：當(dāng)時，，，，，等式兩邊分別相加，得，所以.當(dāng)時，也符合上式，故.（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學(xué)派）（2）因為，所以.3．（2023秋·遼寧·高三校聯(lián)考期末）記為數(shù)列的前項和，已知是公比為2的等比數(shù)列.(1)求的通項公式；(2)證明：.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）先利用等比數(shù)列通項公式求出，再根據(jù)求出的通項公式；（2）在第一問基礎(chǔ)上得到，利用裂項相消法求和，證明出結(jié)論.【詳解】（1）是公比為2的等比數(shù)列，，可得：.當(dāng)時，，當(dāng)時，滿足.綜上，；（2）由（1）知，，故，因此.4．（2022·湖北·蘄春縣實驗高級中學(xué)高二期中）高斯函數(shù)也稱為取整函數(shù)，其中表示不超過x的最大整數(shù)，例如．已知數(shù)列滿足，，設(shè)數(shù)列的前n項和為，則______．【答案】2021【分析】首先利用裂項得到再化簡，利用裂項相消求和，再利用高斯函數(shù)的定義，即可求解.【詳解】因為，所以，所以．因為，所以，所以，所以，故．故答案為：【專題15】裂項相消法（2）裂和【【解題技巧】形如型，可構(gòu)造，化為利用正負(fù)相間裂項相消求和?！镜淅治觥?．（2023春·山西晉城·高三?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列的前項的積記為，且滿足.(1)證明：數(shù)列為等差數(shù)列；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項和.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）將條件中的變?yōu)?，然后整理即可證明；（2）求出數(shù)列的通項公式，然后利用裂項相消法求和.【詳解】（1）當(dāng)時，，，即，又當(dāng)時，，得，數(shù)列是以3為首項，2為公差的等差數(shù)列；（2）由（1）得，則，.2．（2023·山東菏澤·統(tǒng)考一模）已知首項不為0的等差數(shù)列，公差（為給定常數(shù)），為數(shù)列前項和，且為所有可能取值由小到大組成的數(shù)列.(1)求；(2)設(shè)為數(shù)列的前項和，證明：.【答案】(1)(2)證明見解析（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學(xué)派）【分析】（1）根據(jù)題意，由等差數(shù)列的通項公式與求和公式得到關(guān)于的方程，即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)題意，得到數(shù)列的通項公式，再由裂項相消法即可得到其前項和.【詳解】（1）由題意得，，得①由，得②由①②，可得且，則，由，當(dāng)在范圍內(nèi)取值時的所有取值為：所以.（2）所以由于是遞減的，所以3.已知數(shù)列的前項和為，，設(shè).（1）證明：是等比數(shù)列；（2）設(shè)，求的前項和，若對于任意恒成立，求取值范圍.【答案】（1）證明見解析；（2）.【詳解】（1）當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以，即，即，又∵，∴是首項，公比為2的等比數(shù)列．（2）由（1）知，即，所以∴當(dāng)為偶數(shù)時，是遞減的，此時當(dāng)時，取最大值，則.當(dāng)為奇數(shù)時，是遞增的，此時，則.綜上，的取值范圍是.（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學(xué)派）【變式演練】1．（2023·吉林·統(tǒng)考二模）已知數(shù)列的前項和為，，數(shù)列是以為公差的等差數(shù)列.(1)求的通項公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項和.【答案】(1)(2)【分析】（1）首先根據(jù)等差數(shù)列的定義得到的通項公式，即可得到，再根據(jù)計算可得；（2）由（1）可得，利用裂項相消法計算可得.【詳解】（1）解：∵，∴，又∵數(shù)列為以為公差的等差數(shù)列，∴，即，∵時，，∴時，符合上式，∴數(shù)列的通項公式為.（2）解：由（1）可得所以，∴數(shù)列的前項和.2．已知是公差不為零的等差數(shù)列的前項和，是與的等比中項.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)數(shù)列，數(shù)列的前項和為，若，求正整數(shù)的最小值.（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學(xué)派）【答案】（1）；（2）505.【詳解】（1）公差不為零的等差數(shù)列，由是與的等比中項，可得，即，解得.又，可得，所以數(shù)列是以1為首項和公差的等差數(shù)列，所以.（2）由（1）可知，，，所以的最小值為505.【專題16】錯位相減法【【解題技巧】錯位相減法求數(shù)列的前n項和（1）適用條件：若是公差為的等差數(shù)列，是公比為的等比數(shù)列，求數(shù)列{an·bn}的前n項和．（2）基本步驟（3）注意事項①在寫出與的表達式時，應(yīng)特別注意將兩式“錯位對齊”，以便下一步準(zhǔn)確寫出；②作差后，應(yīng)注意減式中所剩各項的符號要變號．等差乘等比數(shù)列求和，令，可以用錯位相減法．①②得：．整理得：．【典例分析】1．（2023春·山西晉城·高三校考階段練習(xí)）我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝在他所著的《詳解九章算法》中提出了如圖所示的三角形數(shù)表，這就是著名的“楊輝三角”，它是二項式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列.從第1行開始，第行從左至右的數(shù)字之和記為，如：為各項非零的等差數(shù)列，其前項和為，且，則數(shù)列的前項和________________.【答案】【分析】根據(jù)三角形中的幾何排列規(guī)則可得再根據(jù)等差數(shù)列的遞推公式可得利用錯位相減求和即可求得.【詳解】根據(jù)“楊輝三角”中的幾何排列規(guī)則可得所以數(shù)列的通項公式為又?jǐn)?shù)列為各項非零的等差數(shù)列，由等差數(shù)列前項和公式可得，即，又，所以，即數(shù)列的通項公式為可得數(shù)列的前項和（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學(xué)派）可得所以故答案為：2．（2022秋·福建泉州·高二統(tǒng)考期末）設(shè)為數(shù)列的前項和，，，，令.(1)求，，及數(shù)列的通項公式；(2)令，求數(shù)列的前項和.【答案】(1)，，(2)【分析】（1）利用和的關(guān)系，可得，進而求解；（2）利用錯位相減法求和即可.【詳解】（1）由，所以時，，兩式相減，可得，由，所以，當(dāng)時，，即，所以當(dāng)為奇數(shù)時，數(shù)列是以1為首項，2為公差的等差數(shù)列，當(dāng)為偶數(shù)時，數(shù)列是以為首項，2為公差的等差數(shù)列.所以，，.（2）由，所以，則，兩式相減可得，，即，即，即.【變式演練】1．（2023·山東·煙臺二中?？寄M預(yù)測）已知數(shù)列的前n項和為，且．(1)求實數(shù)的值及的通項公式；(2)求數(shù)列的前n項和．【答案】(1)，；(2).【分析】（1）當(dāng)時，，兩式相減可得為以為公比的等比數(shù)列．又由，可得實數(shù)的值及的通項公式；（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學(xué)派）（2）由（1）可得，則，后由錯位相減法可得.【詳解】（1）當(dāng)時，，兩式相減可得，，故，得是以為公比的等比數(shù)列．又，故，則.故．（2）由（1）及題意可得：，故，，兩式相減可得，，化簡可得，．2．（2022·山東·德州市二模）已知數(shù)列{}的首項，且滿足．(1)證明是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；(2)記，求{}的前n項和．【答案】(1)證明見解析；(2)【分析】（1）對于兩邊取倒數(shù)，可推得，結(jié)合等比數(shù)列的通項公式，求得答案；（2）由（1）求得的表達式，利用錯位相減法，即可求得答案.(1)由題意得，，所以，即是等比數(shù)列，則的首項為，公比為3，所以，所以．(2)由（1）得：，所以①，②，①－②得,所以.【專題17】分段數(shù)列求和【【解題技巧】分段數(shù)列求和：1.分奇偶討論，各自新數(shù)列求和。注意奇數(shù)項與偶數(shù)項各自項數(shù)。2.要注意處理好奇偶數(shù)列對應(yīng)的項：（1）可構(gòu)建新數(shù)列；（2）可“跳項”求和【典例分析】1．（2023·山東濰坊·統(tǒng)考一模）已知數(shù)列為等比數(shù)列，其前項和為，且滿足.(1)求的值及數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項和.【答案】(1)，(2)【分析】（1）當(dāng)時，，兩式相減得，由，可求出的值；（2）由（1）知，由絕對值的定義結(jié)合等差數(shù)列的前項和公式即可求出數(shù)列的前項和.【詳解】（1）因為，所以時，，所以.又由數(shù)列為等比數(shù)列，所以.又因為，所以，綜上.（2）由（1）知，當(dāng)時，，當(dāng)時，所以.2．（2022·湖南·長郡中學(xué)模擬預(yù)測）已知數(shù)列滿足，.(1)記，證明：數(shù)列為等比數(shù)列，并求出數(shù)列的通項公式；(2)求數(shù)列的前項和.【解析】(1)因為，當(dāng)n為奇數(shù)時，，當(dāng)n為偶數(shù)時，

，且，所以，所以，∴，所以為以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以；(2)因為，所以，所以數(shù)列的前項和；綜上，所以，數(shù)列的前項和.【變式演練】1．（2022秋?平原縣校級月考）在公差為的等差數(shù)列中，已知，且，，成等比數(shù)列．（1）求，；（2）若，求【解析】解：（1）由題意得，整理得．解得或．當(dāng)時，．當(dāng)時，．所以或；（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學(xué)派）（2）設(shè)數(shù)列的前項和為，因為，由（1）得，．則當(dāng)時，．當(dāng)時，．綜上所述，．2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)數(shù)列的前n項和為，且滿足.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若，求數(shù)列的前15項的和.【解析】(1)由得，當(dāng)n=1時，，解得.當(dāng)n≥2時，，從而，即，因此數(shù)列是等比數(shù)列，其首項和公比都等于2，所以.(2)當(dāng)n為奇數(shù)時，，當(dāng)n為偶數(shù)時，，所以數(shù)列的前15項和為.3．（2022·重慶·高三階段練習(xí)）已知數(shù)列的前項和，且，正項等比數(shù)列滿足：，.（1）求數(shù)列和的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前項和.【解析】(1)當(dāng)時，，由，得，即，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以；設(shè)正項等比數(shù)列的公比為，則，所以，解得或(舍)，所以.(2)，（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學(xué)派）所以當(dāng)時,，當(dāng)時，，即【專題18】正負(fù)相間求和（并項求和）【【解題技巧】正負(fù)相間求和：1.奇偶項正負(fù)相間型求和，可以兩項結(jié)合構(gòu)成“常數(shù)數(shù)列”。2.如果需要討論奇偶，一般情況下，先求偶，再求奇。求奇時候，直接代入偶數(shù)項公式，再加上最后的奇數(shù)項通項。【典例分析】1．（2022·山東淄博·高三?？计谥校┰谡椀缺葦?shù)列中，已知．?dāng)?shù)列的通項公式是____，令，求數(shù)列的前100項的和_____.【答案】

5050【分析】根據(jù)已知列式相比，即可得出，，即可根據(jù)等比數(shù)列定義得出其通項公式；根據(jù)已知得出，根據(jù)分組求和法得出答案.【詳解】正項等比數(shù)列中，已知，設(shè)公比為，則，則，解得，，則數(shù)列的通項公式是；令，則數(shù)列的前100項的和：，，故答案為：；50502．（2022秋·河北·高三期中）數(shù)列{an}滿足：，點在函數(shù)的圖象上，其中k為常數(shù)，且.(1)若，，成等比數(shù)列，求k的值；(2)當(dāng)時，求數(shù)列的前項的和【答案】(1)2；(2).【分析】（1）通過合理代值，解出，，則得到，解出即可.（2）通過累加法得到.【詳解】（1）由可得，，，所以，，.（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學(xué)派）又，，成等比數(shù)列，，即，又，故.（2）時，，，，…，，.【變式演練】1．（2022·福建泉州·模擬預(yù)測）記數(shù)列{}的前n項和為.已知，___________.從①；②；③中選出一個能確定{}的條件，補充到上面橫線處，并解答下面的問題.(1)求{}的通項公式：(2)求數(shù)列{}的前20項和.【答案】(1)(2)210【分析】（1）選①時，未知，故數(shù)列的偶數(shù)項不確定，無法求解；選②，變形為，且，從而求出；選③：利用與的關(guān)系式得到，利用等差數(shù)列求出通項；（2）在第一問的基礎(chǔ)上，求出，從而分組進行求和.(1)選①：，只能說明數(shù)列的奇數(shù)項和偶數(shù)項分別構(gòu)成等差數(shù)列，已知，數(shù)列的奇數(shù)項可以確定，但未知，故數(shù)列的偶數(shù)項不確定，因此數(shù)列不確定，題設(shè)的兩個條件均無法求解，選②：，由得：，因為，所以故，即；選③：由得：，故當(dāng)時，，兩式相減得：，又因為滿足，綜上：對所有的，均有，所以為首項為1，公差為2的等差數(shù)列，故（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學(xué)派）(2)由（1）知：，所以，故，所以2．（2022·全國·模擬預(yù)測（文））已知數(shù)列滿足．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)當(dāng)時，求數(shù)列的前n項和為．【答案】(1)(2)【分析】（1）當(dāng)時可得，令，則，即可得到數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，從而求出，即可求出數(shù)列的通項公式；（2）利用分組求和法及等差數(shù)列前項和公式求和即可；(1)解：當(dāng)時，，則，令，則，又因為，所以數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，所以，即，從而；(2)解：因為，所以．3．（2023秋·江西贛州·高三統(tǒng)考期末）斐波那契，意大利數(shù)學(xué)家，其中斐波那契數(shù)列是其代表作之一，即數(shù)列滿足，且，則稱數(shù)列為斐波那契數(shù)列.已知數(shù)列為斐波那契數(shù)列，數(shù)列滿足，若數(shù)列的前12項和為86，則__________.【答案】8【分析】利用斐波那契數(shù)列定義可寫出數(shù)列的項，再利用，代入n的值，可求得數(shù)列的項之間的關(guān)系，進而得解.（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學(xué)派）【詳解】斐波那契數(shù)列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，…….由得：，，，則，同理：，，，，，得：，，，，則，，則，則故答案為：8.【點睛】本題考查根據(jù)遞推關(guān)系求數(shù)列的項，解題的關(guān)鍵是理解斐波那契數(shù)列，寫出對應(yīng)的項，再利用數(shù)列的遞推關(guān)系求出數(shù)列的項的關(guān)系，即可求解，考查學(xué)生的理解能力與運算求解能力，屬于難題.【專題19】倒序相加求和【【解題技巧】將一個數(shù)列倒過來排列，當(dāng)它與原數(shù)列相加時，若有規(guī)律可循，并且容易求和，則這樣的數(shù)列求和時可用倒序相加法（等差數(shù)列前項和公式的推導(dǎo)即用此方法）．【典例分析】1．（2023秋·河北唐山·高三統(tǒng)考期末）高斯（Gauss）被認(rèn)為是歷史上最重要的數(shù)學(xué)家之一，并享有“數(shù)學(xué)王子”之稱.小學(xué)進行的求和運算時，他是這樣算的:，共有50組，所以，這就是著名的高斯法，又稱為倒序相加法.事實上，高斯發(fā)現(xiàn)并利用了等差數(shù)列的對稱性.若函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，為數(shù)列的前項和，則下列結(jié)論中，錯誤的是（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】對于A，利用函數(shù)的中心對稱性公式即可求解；對于B，利用倒序相加法求和及A選項的結(jié)論即可求解；對于C，利用B選項的結(jié)論及與的關(guān)系，結(jié)合等差數(shù)列的前項和公式即可求解；對于D，利用B選項的結(jié)論及裂項相消法求和即可求解.【詳解】對于A，因為函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，所以，令，所以，故A正確；（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學(xué)派）對于B，因為所以因為，所以即，故B正確；對于C，由題可知，當(dāng)時，，當(dāng)時，，取時，，滿足此式，故的通項公式為.所以，而，所以.故C錯誤；對于D，因為，所以，所以，因為，所以，即，故D正確.故選：C.2．（2022秋·福建福州·高三?？茧A段練習(xí)）設(shè)函數(shù)，，．則數(shù)列的前n項和______．【答案】【分析】由題設(shè)，討論n的奇偶性求的通項公式，再求.【詳解】由題設(shè)，，所以，即且n≥2，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以，故答案為：.【變式演練】1．（2022·廣東佛山·高三校考期末）已知數(shù)列的前項和為，且，設(shè)函數(shù)，則___________，___________.【答案】

##【分析】根據(jù)，作差即可求出的通項公式，再由的解析式及誘導(dǎo)公式得到，再利用倒序相加法求和.（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學(xué)派）【詳解】解：由于，①，當(dāng)時，所以，當(dāng)時，，②，①②得：，所以，顯然時也成立，當(dāng)時，，當(dāng)時也成立，所以；根據(jù)函數(shù)，所以，，所以；所以．故答案為：；2．（2022秋·河南南陽·高三?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列的前n項和為，且，設(shè)函數(shù)，則______．【答案】【分析】根據(jù)可求，從而可求.易驗證，故可采用倒序相加法求題設(shè)式子的值．【詳解】∵①，∴當(dāng)時，②，①－②得，∴；當(dāng)時，，∴，此時仍然成立，∴．∴當(dāng)n=1時，；當(dāng)時，，當(dāng)n=1時，上式也成立，故．由于，設(shè)則，∴．故答案為：．（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學(xué)派）【點睛】本題關(guān)鍵是熟練掌握利用前n項和與通項公式的關(guān)系求得，觀察猜測并發(fā)現(xiàn)為定值，從而利用倒序相加法即可求和．【專題20】先放縮在求和【【解題技巧】先放縮后裂項，放縮的目的是為了“求和”，這也是湊配放縮形式的目標(biāo)．常見放縮公式：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）；（11）；（12）（12）；（13）．（14）．【典例分析】1．（2023·山西·模擬預(yù)測）在數(shù)列中，，．(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)令，數(shù)列的前n項和為，求證：．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）將數(shù)列的遞推公式變形，再結(jié)合等比數(shù)列的定義，即可證明；（2）由（1）得到數(shù)列的通項公式，再利用變形，放縮法，結(jié)合裂項相消法求和，即可證明.【詳解】（1）由，得，由，得，則，所以，得，所以數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列（2）由（1）得，則，所以，所以．所以2．（2023·浙江·校聯(lián)考模擬預(yù)測）在數(shù)列中，，在數(shù)列中，.(1)求證數(shù)列成等差數(shù)列并求；(2)求證：.【答案】(1)證明見解析，(2)證明見解析（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學(xué)派）【分析】（1）條件等式兩邊取倒數(shù)化簡變形即可；（2）由累乘法求得的通項公式，對不等式進行縮放，結(jié)合裂項相消求和即可證明.【詳解】（1）由知，故，即，數(shù)列成等差數(shù)列，所以，所以；（2）由，得，于是所以，，所以.3．（2023·黑龍江·高三模擬預(yù)測）已知數(shù)列滿足，，，當(dāng)時，，為數(shù)列前n項的和.(1)證明：；(2)若，求數(shù)列的前n項和.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）利用求出，故為等差數(shù)列，公差為1，首項為1，求出通項公式，利用放縮法得到，相加后證明出結(jié)論；（2）裂項相消法得到，進而求和（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學(xué)派）【詳解】（1）當(dāng)時，，即，變形為，即，即，，由，得：，故為等差數(shù)列，公差為1，首項為1，所以，因為，所以，故，故；（2），故【變式演練】1．（2022·河北滄州·模擬預(yù)測）已知數(shù)列，滿足.(1)證明是等比數(shù)列，并求的通項公式；(2)設(shè)數(shù)列的前n項和為，證明：.【答案】(1)證明見解析，(2)證明見解析【分析】（1）利用定義法證明出是公比為2的等比數(shù)列，再求出；（2）先判斷出當(dāng)n為偶數(shù)時，.對n分奇偶討論，分別分組求和及放縮后可以證明出.(1)，，即，，數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列.又，，，，，，即.(2)由(1)，當(dāng)n為偶數(shù)時，，故.當(dāng)n為奇數(shù)時，.當(dāng)n為偶數(shù)時，.綜上，.2．（2022·浙江·效實中學(xué)模擬預(yù)測）設(shè)各項均為正數(shù)的數(shù)列的前項和為，滿足.(1)求的值：(2)求數(shù)列的通項公式：(3)證明：對一切正整數(shù)，有.【解析】(1)令，，則舍去，所以.(2)，因為數(shù)列各項均為正數(shù)，舍去，，當(dāng)時，，(3)令，所以【提升訓(xùn)練】1.（2022·云南高三階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，則的通項公式為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由得，∴，∴，當(dāng)時也符合，∴數(shù)列的通項公式為.故選C.2.（2022·廣東·高三課時練習(xí)）已知，，則數(shù)列的通項公式是（

）A． B． C． D．n【答案】D（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學(xué)派）【分析】根據(jù)題意可得，再利用累乘法計算可得；【詳解】由，得，即，則，，，…，，由累乘法可得，所以，又，符合上式，所以.故選：D．3.（2022·福建·廈門高三階段練習(xí)）已知函數(shù)的前n項和滿足，則數(shù)列的通項公式為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】當(dāng)時，，當(dāng)時，，得到答案.【詳解】，當(dāng)時，；當(dāng)時，.故.故選：.4.（2022·山西·高三課時練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，則數(shù)列的通項公式為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】將兩邊同時取常用對數(shù)，即可得數(shù)列是以為首項，2為公比的等比數(shù)列，從而求得數(shù)列的通項公式.【詳解】易知，且，在的兩邊同時取常用對數(shù)，得，故，所以數(shù)列是以為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以，所以，故選:C．5．（2022·河北·高三專題練習(xí)）記為數(shù)列的前項積，已知，則=（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】則，代入，化簡得：，則．故選：C．6．（2022·內(nèi)蒙古赤峰·模擬預(yù)測（理））大衍數(shù)列來源于《乾坤譜》中對易傳“大衍之?dāng)?shù)五十”的推論，主要用于解釋中國傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理．?dāng)?shù)列中的每一項，都代表太極衍生過程中曾經(jīng)經(jīng)歷過的兩儀數(shù)量總和，其中一列數(shù)如下：0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，……．按此規(guī)律得到的數(shù)列記為，其前n項和為，給出以下結(jié)論：①；②182是數(shù)列中的項；③；④當(dāng)n為偶數(shù)時，．其中正確的序號是（

）A．①② B．②③ C．①④ D．③④【答案】C【解析】數(shù)列的偶數(shù)項分別為2，8，18，32，50，，通過觀察可知，同理可得，所以，因為，所以①正確，③錯誤；由，解得，由，解得，又因為，所以方程都無正整數(shù)解，所以182不是中的項，故②錯誤．當(dāng)n為偶數(shù)時，，故④正確．故選：C．7．（2022·重慶·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，則數(shù)列第2022項為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】所以累加得故選：C．8．（2022·浙江·三模）設(shè)數(shù)列滿足，記數(shù)列的前n項的和為，則（

）A．B．存在，使C．D．?dāng)?shù)列不具有單調(diào)性【答案】C【解析】由于，則，又由，則與同號．又由，則，可得，所以數(shù)列單調(diào)遞增，故B、D錯誤；又因為，由數(shù)列單調(diào)遞增，且，所以，所以，累加得，所以，故A錯誤；由可得，因為，所以，故C正確．故選：C．9．（2022·江蘇·漣水縣高三期中）定義：在數(shù)列中，若滿足為常數(shù)），稱為“等差比數(shù)列”，已知在“等差比數(shù)列”中，，則等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題知是首項為1，公差為2的等差數(shù)列，則，用即可求解．【詳解】由題意可得：，，，根據(jù)“等差比數(shù)列”的定義可知數(shù)列是首項為1，公差為2的等差數(shù)列，則，所以，，所以．故選：A.10．（2022·遼寧大連·二模）南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法·商功》中出現(xiàn)了如圖所示的形狀，后人稱為“三角垛”（下圖所示的是一個4層的三角跺）．“三角垛”最上層有1個球，第二層有3個球，第三層有6個球，…，設(shè)第n層有個球，從上往下n層球的球的總數(shù)為，則下列錯誤的是（

）A．B．C．D．【答案】A【解析】由題意得，，以上n個式子累加可得，又滿足上式，所以，故A錯誤；則，得，故B正確；有，故C正確；由，得，故D正確．故選：A．11．（2022·成都市·高三專題練習(xí)）設(shè)Sn是數(shù)列{an}的前n項和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，則下列選項錯誤的是（

）A．a(chǎn)n＝－B．a(chǎn)n＝C．?dāng)?shù)列為等差數(shù)列D．－5050【答案】A【解析】Sn是數(shù)列{an}的前n項和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，則Sn＋1－Sn＝SnSn＋1，整理得－＝－1（常數(shù)），所以數(shù)列是以＝－1為首項，－1為公差的等差數(shù)列．故C正確；所以＝－1－（n－1）＝－n，故Sn＝－．所以當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝－，不適合上式，故an＝故B正確，A錯誤；所以，故D正確．故選：A12．（2022.山西高三模擬）已知數(shù)列的前項和為，，且，則下列說法中錯誤的是A．B．C．是等比數(shù)列D．是等比數(shù)列【解析】解：，且，，又，，選項正確；又，，，，，，又，，不是等比數(shù)列，選項錯誤；，，，，又，是以首項為，公比為3的等比數(shù)列，選項正確；，，，選項正確．故選：．13．（2022·湖南·長郡中學(xué)高三階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，令，則錯誤選項是（

）A．B．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列C．為整數(shù)D．?dāng)?shù)列的前2022項和為4044【答案】C【分析】由已知當(dāng)時，求得，當(dāng)時，由，得，兩式相減化簡，再利用累乘法可求得，從而可判斷A，可求出，從而可判斷BC，將代入中化簡，然后利用分求和法求解即可判斷D，【詳解】因為，所以當(dāng)時，，故.當(dāng)時，由，得，所以，整理，所以，所以，所以，，所以A正確，所以，所以，所以為等差數(shù)列，所以B正確，（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學(xué)派）所以不是整數(shù)，所以C錯誤，，設(shè)數(shù)列的前n項和為，則.因為，所以.故，所以D正確，故選：C14．（2022·河南商丘·三模（理））高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號．用他的名字定義的函數(shù)稱為高斯函數(shù)，其中表示不超過x的最大整數(shù)．已知數(shù)列滿足，，，若，為數(shù)列的前n項和，則（

）A．249 B．499 C．749 D．999【答案】A【分析】利用已知關(guān)系式構(gòu)造兩個新數(shù)列，求出，利用放縮技巧，可得到數(shù)列的通項公式，再利用裂項相消法求數(shù)列前項和后，帶入函數(shù)解析式即可得到答案.【詳解】由，得，又，所以數(shù)列是以3為首項，4為公比的等比數(shù)列，則①；由得，，又，所以數(shù)列是常數(shù)列，則②，由①②聯(lián)立可得；因為，所以即：

所以，故，所以，則．故選：A15．（2022·江蘇江蘇·三模）已知各項都是正數(shù)的數(shù)列的前項和為，且，則錯誤的選項是（

）A．是等差數(shù)列B．C．D．【答案】C【分析】對于A,求出，再將轉(zhuǎn)化為,即可證明，對于B,利用A的結(jié)論求出，再利用基本不等式，即可證明.對于C，求出，即可判斷正誤，對于D，構(gòu)造函數(shù)，即可判斷正誤【詳解】，，解得：時，，整理得：故是等差數(shù)列，選項A正確；，則，，選項B正確；，選項C錯誤；令，，在遞增，，則即，選項D正確；選C.16．（2022·遼寧·二模）若數(shù)列的前n項和，則其通項公式為_______．【答案】【分析】根據(jù)，即可解出．【詳解】當(dāng)時，；當(dāng)時，，當(dāng)時，不滿足上式，所以，．故答案為：．17.（2022·安徽·巢湖模擬預(yù)測）已知首項為1的數(shù)列的前項和為，且，則數(shù)列的通項公式為___________.【答案】【分析】利用與的關(guān)系，得到，再利用待定系數(shù)法，進行構(gòu)造數(shù)列，得到為等比數(shù)列，進而利用等比通項公式即可求解.【詳解】由題意得，，設(shè)，故，則，故，則，即，則數(shù)列是首項為，公比為12的等比數(shù)列，故，故.故答案為：18.（2023·河北·高三專題練習(xí)）設(shè)數(shù)列的前項和為，若，，則的通項公式為__________．【答案】【分析】根據(jù)可得，由此可證得數(shù)列是等比數(shù)列，由此可得；利用與的關(guān)系可求得.（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學(xué)派）【詳解】由得：，即，又，數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；經(jīng)檢驗：不滿足；故答案為：.19.（2022·浙江·高三專題練習(xí)）數(shù)列滿足，則數(shù)列通項公式為=________.【答案】【分析】對遞推關(guān)系兩邊取倒數(shù)，則可得為等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列的通項公式可求出的表達式，從而可得數(shù)列的通項公式.【詳解】因為，故，所以，故是首項為，公差為的等差數(shù)列，所以，所以.故答案為：.20.（2023·甘肅·武威模擬預(yù)測（理））已知數(shù)列滿足，．?dāng)?shù)列的通項公式是______．【答案】【分析】由，得到，兩式作差，得到，整理得到，累乘求得，結(jié)合的條件，以及，得數(shù)列的通項公式.【詳解】，當(dāng)時，當(dāng)時，，兩式相減得：，即，，，，，累乘得：，所以，，故答案為：