北京高數(shù)競賽試題及答案一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共40分）1.設(shè)函數(shù)f(x)在x=0處連續(xù)，且當(dāng)x→0時(shí)，f(x)/x的極限為1，則f(x)在x=0處（）A.不可導(dǎo)B.可導(dǎo)且f'(0)=0C.可導(dǎo)且f'(0)=1D.可導(dǎo)但f'(0)的值不確定2.若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且f(a)=f(b)，則根據(jù)羅爾定理，在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ，使得（）A.f'(ξ)=0B.f'(ξ)=f(a)C.f'(ξ)=f(b)D.f'(ξ)=(f(b)-f(a))/(b-a)3.下列函數(shù)中，在x=0處不可導(dǎo)的是（）A.f(x)=x^2

B.f(x)=|x|C.f(x)=sinx

D.f(x)=e^x4.設(shè)函數(shù)f(x)在x=a處連續(xù)，且lim(x→a)[f(x)-f(a)]/(x-a)=2，則f(x)在x=a處的導(dǎo)數(shù)為（）A.0B.1C.2D.不存在5.下列級數(shù)中，條件收斂的是（）A.∑(n=1,∞)1/n^2B.∑(n=1,∞)(-1)^n/nC.∑(n=1,∞)1/nD.∑(n=1,∞)n/2^n6.若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上二階可導(dǎo)，且f'(a)=f'(b)=0，則存在ξ∈(a,b)，使得f''(ξ)等于（）A.[f(b)-f(a)]/(b-a)B.[f(b)-f(a)]/[(b-a)^2]C.0D.無法確定7.設(shè)函數(shù)f(x)在x=0處二階可導(dǎo)，且f'(0)=0，f''(0)>0，則f(x)在x=0處（）A.取得極大值

B.取得極小值

C.無極值D.無法確定8.下列積分中，值等于π/2的是（）A.∫(0,1)dx/√(1-x^2)B.∫(0,1)dx/(1+x^2)C.∫(0,∞)e^(-x)dxD.∫(0,π)sinxdx9.設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則∫(a,b)f(x)dx等于（）

A.f(x)在[a,b]上的最大值與最小值的平均值乘以(b-a)

B.f(x)在[a,b]上的任意一點(diǎn)函數(shù)值乘以(b-a)

C.f(x)在[a,b]上的平均值乘以(b-a)D.f(x)在[a,b]上的導(dǎo)數(shù)在某點(diǎn)的值乘以(b-a)10.若函數(shù)f(x)滿足f'(x)=f(x)，且f(0)=1，則f(x)的表達(dá)式為（）A.e^xB.e^(-x)

C.sinxD.cosx11.下列函數(shù)中，在定義域內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)的是（）A.f(x)=x^3

B.f(x)=e^x

C.f(x)=lnx

D.f(x)=sinx12.設(shè)函數(shù)f(x)在x=a處連續(xù)，g(x)在x=a處有間斷點(diǎn)，則下列函數(shù)中在x=a處必有間斷點(diǎn)的是（）A.f(x)+g(x)

B.f(x)-g(x)

C.f(x)g(x)D.f(x)/g(x)（g(a)≠0）13.若∑(n=1,∞)u_n收斂，且u_n>0，則下列級數(shù)中一定收斂的是（）A.∑(n=1,∞)√u_n

B.∑(n=1,∞)u_n^2

C.∑(n=1,∞)1/u_n

D.∑(n=1,∞)(-1)^nu_n14.設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且f(a)≠f(b)，則拉格朗日中值定理中的ξ（）A.唯一存在B.至少存在一個(gè)

C.存在無數(shù)個(gè)

D.可能不存在15.下列曲線中，在點(diǎn)(0,0)處有水平切線的是（）A.y=x^3

B.y=|x|C.y=x^(1/3)D.y=x^2sin(1/x)（x≠0），y=0（x=0）16.若函數(shù)f(x)在x=0處連續(xù)，且lim(x→0)[f(x)-f(0)]/x=∞，則f(x)在x=0處（）A.可導(dǎo)且f'(0)=∞B.不可導(dǎo)C.可導(dǎo)且f'(0)=0D.可導(dǎo)但f'(0)的值不確定17.設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則f(x)在[a,b]上的定積分∫(a,b)f(x)dx表示的是（）A.f(x)在[a,b]上的最大值B.f(x)在[a,b]上的最小值C.f(x)與x軸所圍成的曲邊梯形的面積D.f(x)在[a,b]上的平均值18.下列函數(shù)中，在x=0處連續(xù)但不可導(dǎo)的是（）A.f(x)=x^2B.f(x)=|x|^(1/3)

C.f(x)=sinxD.f(x)=e^(-1/x^2)（x≠0），f(0)=019.若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上可積，則f(x)在[a,b]上（）A.必連續(xù)B.必有界C.必單調(diào)D.必可導(dǎo)20.設(shè)函數(shù)f(x)在x=a處可導(dǎo)，則lim(h→0)[f(a+2h)-f(a-h)]/h等于（）A.f'(a)

B.2f'(a)

C.3f'(a)

D.0二、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共40分）1.下列函數(shù)在指定區(qū)間內(nèi)滿足羅爾定理?xiàng)l件的是（）A.f(x)=x^2-1,[-1,1]B.f(x)=|x|,[-1,1]C.f(x)=sinx,[0,π]D.f(x)=1/x,[1,2]2.下列級數(shù)收斂的是（）A.∑(n=1,∞)1/n^3B.∑(n=1,∞)(-1)^n/n

C.∑(n=1,∞)n!/n^n

D.∑(n=1,∞)1/√n3.下列積分值等于1的是（）A.∫(0,1)dxB.∫(0,1)2xdxC.∫(0,π/2)cosxdxD.∫(1,e)(1/x)dx4.若函數(shù)f(x)在x=a處可導(dǎo)，則f(x)在x=a處（）A.連續(xù)B.左導(dǎo)數(shù)存在C.右導(dǎo)數(shù)存在D.左極限等于右極限5.下列函數(shù)中，在定義域內(nèi)是凸函數(shù)的是（）A.f(x)=x^2

B.f(x)=e^x

C.f(x)=lnx

D.f(x)=-x^26.設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，則下列結(jié)論正確的是（）A.若f'(x)>0，則f(x)在[a,b]上單調(diào)增B.若f'(x)<0，則f(x)在[a,b]上單調(diào)減C.若f'(x)=0，則f(x)在[a,b]上是常數(shù)D.若f(x)在[a,b]上單調(diào)增，則f'(x)≥07.下列曲線在給定區(qū)間內(nèi)與x軸所圍成的圖形面積可以用定積分表示的是（）A.y=x^2,[0,1]

B.y=sinx,[0,π]

C.y=1/x,[1,2]

D.y=|x|,[-1,1]8.若函數(shù)f(x)滿足f''(x)>0，則f(x)在定義域內(nèi)是（）A.凸函數(shù)B.凹函數(shù)C.可能存在極值點(diǎn)D.無極值點(diǎn)9.下列級數(shù)中，絕對收斂的是（）A.∑(n=1,∞)(-1)^n/n^2B.∑(n=1,∞)1/n!C.∑(n=1,∞)n/2^nD.∑(n=1,∞)(-1)^n/√n10.設(shè)函數(shù)f(x)在x=a處連續(xù)，g(x)在x=a處可導(dǎo)，則下列函數(shù)在x=a處可導(dǎo)的是（）A.f(x)g(x)B.f(x)+g(x)C.f(x)/g(x)（g(a)≠0）D.[f(x)]^2三、判斷題（每題1分，共10分）1.若函數(shù)f(x)在x=a處連續(xù)，則f(x)在x=a處必可導(dǎo)。（）2.若級數(shù)∑u_n收斂，則級數(shù)∑|u_n|也收斂。（）3.若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則f(x)在[a,b]上必有最大值和最小值。（）4.若f'(x)=0，則x是f(x)的極值點(diǎn)。（）5.定積分的值與積分變量的符號無關(guān)。（）6.若函數(shù)f(x)在x=a處可導(dǎo)，則f(x)在x=a處連續(xù)。（）7.收斂級數(shù)的部分和數(shù)列一定收斂。（）8.若函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，則f(x)在(a,b)內(nèi)連續(xù)。（）9.兩個(gè)收斂級數(shù)的和一定收斂。（）10.若函數(shù)f(x)在x=a處的左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù)都存在且相等，則f(x)在x=a處可導(dǎo)。（）四、填空題（每題1分，共10分）1.若函數(shù)f(x)在x=0處的導(dǎo)數(shù)為2，則lim(x→0)[f(3x)-f(0)]/x=______。2.∫(0,1)(x^2+1)dx=______。3.若級數(shù)∑(n=1,∞)u_n收斂，且u_n≥v_n，則級數(shù)∑(n=1,∞)v_n______（填“一定收斂”、“一定發(fā)散”或“可能收斂也可能發(fā)散”）。4.函數(shù)f(x)=x^3在x=1處的切線斜率為______。5.若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且f(a)=f(b)=0，則存在ξ∈(a,b)，使得f''(ξ)=______（用f(x)在a,b點(diǎn)的值及區(qū)間長度表示，若無法直接表示則填“無法確定”）。6.∫(1,e)(1/x)lnxdx=______。7.若函數(shù)f(x)滿足f'(x)=2x，且f(0)=1，則f(x)=______。8.級數(shù)∑(n=1,∞)1/n(n+1)的和為______。9.若函數(shù)f(x)在x=a處連續(xù)，且lim(x→a)[f(x)-f(a)]/(x-a)^2=1，則f(x)在x=a處的二階導(dǎo)數(shù)為______（若不存在則填“不存在”）。10.∫(0,π/2)sin^2xdx=______。---答案：一、單項(xiàng)選擇題1.C2.A3.B4.C5.B6.D7.B8.B9.C10.A11.D12.A13.B14.B15.A16.B17.

C18.B