第6章數(shù)列1專題6.1等差與等比數(shù)列3專題6.2一般數(shù)列的性質(zhì)8專題6.3求通項(xiàng)公式17專題6.4數(shù)列求和35專題6.5數(shù)列放縮44第7章立體幾何53專題7.1空間幾何體55專題7.2空間中的位置關(guān)系76專題7.3空間中的角度與距離89第8章排列組合與概率統(tǒng)計(jì)102專題8.1排列組合104專題8.2概率127專題8.3統(tǒng)計(jì)172高考數(shù)學(xué)高頻模型清單(下)第9章解析幾何204專題9.1直線和圓206專題9.2圓錐曲線部分之填空、選擇題233專題9.3圓錐曲線交點(diǎn)問(wèn)題269專題9.4圓錐曲線動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題309專題9.5圓錐曲線解題技巧328第10章極坐標(biāo)與參數(shù)方程353專題10.1極坐標(biāo)與參數(shù)方程353第6章數(shù)列知己知彼曉考頻數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的重要版塊,在高考的考查中占一道大題與一道或兩道小題,分值占比較高,是高考中必拿分的內(nèi)容。融會(huì)貫通搭體系專題6.1等差與等比數(shù)列考點(diǎn)6.1.1等差數(shù)列查漏補(bǔ)缺夯知識(shí)知識(shí)點(diǎn)1等差數(shù)列的通項(xiàng)公式如果等差數(shù)列an的首項(xiàng)為a1,公差為d,那么它的通項(xiàng)公式是通項(xiàng)公式的推廣:an知識(shí)點(diǎn)2等差數(shù)列的性質(zhì)若an為等差數(shù)列,且m+n=p+q知識(shí)點(diǎn)3等差中項(xiàng)由三個(gè)a,A,b組成的等差數(shù)列可以看成最簡(jiǎn)單的等差數(shù)列.這時(shí)A叫做a與知識(shí)點(diǎn)4等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,其前n項(xiàng)和公式為Sn=a1+a觸類旁通析典題題型I等差數(shù)列的基本公式例1匯夏★已知數(shù)列an是公差為-2的等差數(shù)列,a3=5A.1B.3C.6D.9【答案】D【解析】在等差數(shù)列an中,公差d則a1例2匯夏★在等差數(shù)列an中,若a1=1A.1B.13C.14D.-1或6L’aSS。S()=?5v隨‘εI-=?εv?I=?Iv‘恒”x.(一年踏士雪印騷半*坤越南黯)【一國(guó)書L叛ld冊(cè)孝錄山孝景彩女：蚜三兇一森??69=?6p+?5p∵等x等x等x的{?∵9?=?6p+?5a【孝旻】6￡’C98’097’8IZ?V（）以唑乙蚯EI碘兼阿‘9￡=?6v?5v+?z6v+??ζξ∧=ξu×z‘u=?sp?ξ=?6p+?V【孝旻】zI?azI()=(?8p+?7p)us隨‘u=?6p+?5p?εI-=p年I-=p位t'‘0=?vv?zv‘P以親又以【_4趣】【【孝晏】練2[難度]★（題型辨析:本題歸屬于題型___）在等差數(shù)列an中,a7-aA.5B.4C.3D.2練3[難度]★（題型辨析:本題歸屬于題型___）等差數(shù)列12,32,?A.-72B.72C.練4[難度]★（題型辨析：本題歸屬于題型___）在等差數(shù)列an中,a1=1,公差d=練5[難度]★（題型辨析：本題歸屬于題型___）已知數(shù)列an是等差數(shù)列,且a1+a4+aA.3B.6C.8D.9練6【難度】★（題型辨析：本題歸屬于題型___）已知an為等差數(shù)列,若a1+a5+aA.-3B.-32C.練7【難度】★★（題型辨析:本題歸屬于題型___）在等差數(shù)列an中,a1+2aA.100B.75C.50D.25練8【難度】★★（題型辨析：本題歸屬于題型___）已知等差數(shù)列an為遞增數(shù)列,若a12+a102=101,a5A.1B.2C.9D.10考點(diǎn)6.1.2等比數(shù)列知識(shí)點(diǎn)1等比數(shù)列的通項(xiàng)公式如果等比數(shù)列an的首項(xiàng)為a1,公比為q,那么它的通項(xiàng)公式是通項(xiàng)公式的推廣:an知識(shí)點(diǎn)2等比數(shù)列的性質(zhì)若an為等比數(shù)列,且m+n=p知識(shí)點(diǎn)3等比中項(xiàng)如果ab>0,在a,b中間插入一個(gè)數(shù)G,使a,G,b成等比數(shù)列,那么G叫做觸類旁通析典題題型I等比數(shù)列的基本公式例1匯夏★★已知正項(xiàng)數(shù)列an為等差數(shù)列,則下列數(shù)列一定為等比數(shù)列的是（?A.2anB.lgan【答案】A【解析】由題意得,an>0,且A.2an2an-1=2B.若an=1C.an2an-12D.若an=n,則D例2匯夏★已知等比數(shù)列an滿足a1=3,A.21B.42C.63D.84【答案】D【解析】設(shè)公比為q的等比數(shù)列,滿足a1∴3+3q2解得q2=2或q故a5題型2等比數(shù)列的性質(zhì)例3匯夏★★等比數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù),且a3a8=3,則A.5B.10C.4D.2【答案】A【解析】∵等比數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù),且a∴a則log3例4匯夏★在正項(xiàng)等比數(shù)列an中,a1和a19為方程x2-10x+16=0A.8B.10C.16D.32【答案】C【解析】由a1和a19為方程x2-10x+16又an是等比數(shù)列,得a舉一反三練方法答案見(jiàn)答案冊(cè)P2練1【難度】★★（題型辨析:本題歸屬于題型___）等比數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù),且a5a6+aA.10B.12C.6D.5練2[難度]★（題型辨析:本題歸屬于題型___）等比數(shù)列an中,a2=2,a6A.16B.±16C.4D.練3【難度】★★（題型辨析：本題歸屬于題型___）已知an是等比數(shù)列,Tn=a1a2?a練4(難度)★(題型辨析:本題歸屬于題型___)4和16的等比中項(xiàng)是___.練5【難度】★★（題型辨析:本題歸屬于題型___）設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,數(shù)列Sn+n是公比為2的等比數(shù)列,且A.255B.257C.127D.129練6【難度】★★★（題型辨析:本題歸屬于題型______）等比數(shù)列的前n項(xiàng),前2n項(xiàng),前3n項(xiàng)的和分別為A,B,A.A2+C.B2=練7【難度】★（題型辨析：本題歸屬于題型___）已知等比數(shù)列an滿足a1=12,aA.14B.1練8(難度)★(題型辨析:本題歸屬于題型___)已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列an的前3項(xiàng)和為14,a1=2,則數(shù)列aA.4B.3C.2D.1專題6.2一般數(shù)列的性質(zhì)考點(diǎn)6.2.1數(shù)列與函數(shù)結(jié)合查漏補(bǔ)缺夯知識(shí)數(shù)列是離散的函數(shù),函數(shù)是連續(xù)的數(shù)列,因此函數(shù)的許多性質(zhì),數(shù)列同樣是適用的。在考試中，主要結(jié)合單調(diào)性、對(duì)稱性與周期性進(jìn)行考察。知識(shí)點(diǎn)1單調(diào)性(1)函數(shù)的單調(diào)性①對(duì)于任意x1,x2∈若fx1<fx2,則y=若fx1>fx2,則y=②其他表述:對(duì)任意x1若fx1-fx2?x1-x若fx1-fx2?x1-x（2）單調(diào)性判斷規(guī)律①若fx為增函數(shù),gx為增函數(shù),則fx②若fx為減函數(shù),gx為減函數(shù),則fx③若fx為增函數(shù),gx為減函數(shù),則fx④若fx為減函數(shù),gx為增函數(shù),則fx⑤復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性:同增異減.知識(shí)點(diǎn)2對(duì)稱性(1)若對(duì)于R上的任意x都有fa+x=fa-x或f2a-x=fx(2)若對(duì)于R上的任意x都有f2a-x=-fx或f2a+x=-f-x或（3）若對(duì)于R上的任意x都有fa+x=2b-fa-x或f2a-x=2b-知識(shí)點(diǎn)3周期性(1)周期函數(shù):對(duì)于函數(shù)y=fx,如果存在一個(gè)非零常數(shù)T,使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的任何值時(shí),都有fx+T=fx,那么就稱函數(shù)y（2）最小正周期:如果在周期函數(shù)y=fx的所有周期中存在一個(gè)最小的正數(shù),那么這個(gè)最小正數(shù)就叫做y觸類旁通析典題題型I單調(diào)性或求最值問(wèn)題例1匯夏★★已知數(shù)列an是等差數(shù)列,Sn為數(shù)列的前n項(xiàng)和,且S2020>0A.a1010+C.S2020+【答案】A【解析】∵S∴A正確;又可知a1010>0且a1011<0,∵不一定為0,∴選項(xiàng)C錯(cuò)誤又a1011S1011=1011a1011例2加到★★★設(shè)等差數(shù)列?an滿足:cos2a3cos2a5-sin數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn取得最大值,則首項(xiàng)a1A.3π2,2πB.3π2【答案】D【解析】∵cos∴cos即cos2即-cos即sina即sina即-sin2d∵a∵d則2d=-由Sn對(duì)稱軸方程為n=由題意當(dāng)且僅當(dāng)n=8時(shí),數(shù)列an的前n項(xiàng)和S∴152<4π∴首項(xiàng)a1的取值范圍是7π題型2結(jié)合對(duì)稱性與周期性例3匯夏★★已知數(shù)列an中,a1=2A.2B.12C.-1D.【答案】A【解析】數(shù)列an中,aa∴數(shù)列an是周期數(shù)列,周期為∴a例4匯夏★★數(shù)列an滿足a1=2A.-2B.-1C.2D.1【答案】A【解析】根據(jù)題意,由a1=2,得a2=11-a1=-1,舉一反三練方法答案見(jiàn)答案冊(cè)P4練1[難度]★★★（題型辨析:本題歸屬于題型______）已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn=2an-2n+1,若不等式2n2A.2B.3C.4D.5練2【難度】★★（題型辨析:本題歸屬于題型___）已知數(shù)列an滿足an+1=12an-12,a1A.116,+∞B.18,+∞練3【難度】★★★（題型辨析:本題歸屬于題型______）已知正項(xiàng)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,a1>1,且6Sn=an2+3an+2.若對(duì)A.-∞,-2]∪[C.-∞,-1]∪[練4【難度】★★（題型辨析：本題歸屬于題型___）已知公差不為0的等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,若a4,S5,S練5【難度】★★（題型辨析:本題歸屬于題型______）設(shè)Sn是數(shù)列an的前n項(xiàng)和,若a1=A.20172B.1009C.2019練6【難度】★★（題型辨析:本題歸屬于題型______）已知數(shù)列an,anA.23B.3C.-1練7【難度】★★（題型辨析:本題歸屬于題型___）已知數(shù)列an滿足a1=1練8【難度】★★（題型辨析：本題歸屬于題型___）已知數(shù)列an滿足a1=1考點(diǎn)6.2.2數(shù)列與方程、不等式結(jié)合查漏補(bǔ)缺夯知識(shí)數(shù)列與方程不等式結(jié)合往往會(huì)用到數(shù)列的函數(shù)特性.數(shù)列作為離散的函數(shù),是定義域是正整數(shù)的函數(shù),因此,很多函數(shù)的性質(zhì)以及分析方式數(shù)列也可以用到.知識(shí)點(diǎn)1數(shù)列與方程、不等式結(jié)合的考查方式（1）考查數(shù)列的通項(xiàng)和前n項(xiàng)和問(wèn)題,解題時(shí)應(yīng)利用函數(shù)和數(shù)列的特殊關(guān)系,分析所給的已知條件,將已知函數(shù)內(nèi)容轉(zhuǎn)化為數(shù)列內(nèi)容,一般會(huì)用到遞推關(guān)系式,這樣就將問(wèn)題變?yōu)橐话銛?shù)列問(wèn)題,用數(shù)列求和的幾種方法,易于解答.（2）考查數(shù)列中的一些不等關(guān)系，解題時(shí)可以利用數(shù)列所對(duì)應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行判斷.知識(shí)點(diǎn)2數(shù)列與方程、不等式結(jié)合的解答方法（1）在證明某些“數(shù)列和式的不等式”時(shí),放縮成裂項(xiàng)求和或等比數(shù)列求和的形式再化簡(jiǎn)放縮.（2）在證明某些不能直接放縮的“數(shù)列和式的不等式”時(shí),可以根據(jù)已知條件構(gòu)造合適的函數(shù),利用函數(shù)的單調(diào)性證明.（3）在證明“數(shù)列分式不等式”時(shí),可以用等量替換法,用其中一部分的范圍推整體的范圍.注意:除此之外還有證明題通常用的綜合法、分析法,數(shù)學(xué)歸納法等等.解決這一類題目,要熟記數(shù)列和不等式的重要性質(zhì),認(rèn)真觀察和分析已知條件和被證明部分之間的關(guān)系,靈活選用恰當(dāng)?shù)姆椒?一個(gè)題可能需要多種證明方法共用才能解決.觸類旁通析典題題型I結(jié)合方程根的分布例1匯夏★★★已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,a1=-2(1)求Sn的表達(dá)式（2）問(wèn):在數(shù)列an中是否存在一項(xiàng),使關(guān)于x的方程x2-an【解析】(1)由a1=-23,S猜想:Sn下面用數(shù)學(xué)歸納法證明:①當(dāng)n=1時(shí),S1=-23,②假設(shè)n=k時(shí)猜想成立,即由Sk得Sk這說(shuō)明了n=k+1時(shí),由①,②可得,對(duì)任意的正整數(shù)n,Sn故Sn(2)an若關(guān)于x的方程x2-a則Δ即an∴在數(shù)列an中不存在一項(xiàng),使關(guān)于x的方程x2-an題型2結(jié)合不等式例2匯夏★★設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列an滿足為數(shù)列bn的前n項(xiàng)和(1)求an的通項(xiàng)公式（2）當(dāng)n滿足什么條件時(shí),Sn-b【解析】(1)由題意有a3a5=易解得,a1=1(負(fù)值舍去(2)由(1)有bn∴bn是一個(gè)以4為首項(xiàng),-1∴S于是Sn≥bn等價(jià)于n2∴n的取值范圍是{舉一反三練方法答案見(jiàn)答案冊(cè)P9已知函數(shù)fx=ex-1,gx=x(1)求證:函數(shù)hx=fx-gx(2)求方程fx=gx(3)若數(shù)列ann∈N*滿足a1=aa>0(a為常數(shù)),an+13練2【難度】★★（題型辨析:本題歸屬于題型___）已知數(shù)列an和bn滿足a1=1,b1=0,數(shù)列an-b(1)分別求數(shù)列an-bn與(2)設(shè)數(shù)列an2-bn2的前n項(xiàng)和為Sn,若不等式Sn<t練3【難度】★★★（題型辨析:本題歸屬于題型___)設(shè)數(shù)列an滿足a1=2,a2=6,a3=12,數(shù)列(1)求證:數(shù)列an+1-an為等差數(shù)列,（2）設(shè)bn=1an+1+1anmt2-3t+16>b專題6.3求通項(xiàng)公式考點(diǎn)6.3.1通項(xiàng)公式與遞推公式基礎(chǔ)查漏補(bǔ)缺夯知識(shí)知識(shí)點(diǎn)遞推公式通過(guò)遞推公式給出一組確定的數(shù)列.遞推公式是數(shù)列所特有的表示法,它包含兩個(gè)部分,一是遞推關(guān)系,一是初始條件,二者缺一不可.后面我們會(huì)介紹一些根據(jù)遞推關(guān)系求通項(xiàng)的具體方法.因?yàn)閿?shù)列本身是一組有規(guī)律的數(shù)字,數(shù)列的規(guī)律往往通過(guò)遞推關(guān)系來(lái)表示,因此如何通過(guò)遞推關(guān)系發(fā)現(xiàn)數(shù)列的規(guī)律就顯得至關(guān)重要了,在這里我們會(huì)基于逆向思維(基于選項(xiàng)反推通項(xiàng))給出一種通項(xiàng)型數(shù)列選擇速算技巧.觸類旁通析典題題型I通項(xiàng)公式與遞推公式的基本概念例1匯夏★★數(shù)列23,2A.an=C.an=【答案】B【解析】根據(jù)題意,數(shù)列23,23,43×24-例2難度★已知數(shù)列an=2nA.1B.3C.5D.9【答案】D【解析】由題意,可知a2題型2通項(xiàng)型數(shù)列選擇速解技巧題目講解例3難度∧?在數(shù)列an中,2an-1aA.137B.139C.1【答案】B【解析】方法一:將a20看作an,則四個(gè)選項(xiàng)分別為1已知a1=1,a2=13,分別令方法二:∵2∴2∴數(shù)列1an是等差數(shù)列,設(shè)公差為則d=1a2-∴1∴a例4匯夏★★在數(shù)列an中,a1=1A.2120B.1920C.41【答案】C【解析】方法一:將a21看作an,則四個(gè)選項(xiàng)分別為又a1=1,經(jīng)檢驗(yàn)只有C方法二:由題意得,an∴1練1【難度】★★（題型辨析:本題歸屬于題型___）數(shù)列13,-1A.an=C.an=練2匯度★（題型辨析:本題歸屬于題型___）一個(gè)數(shù)列an的通項(xiàng)為an=2A.509B.829C.練3【難度】★（題型辨析：本題歸屬于題型___）已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an=sinnA.1B.12C.0D.-1練4[難度]

(題型辨析:本題歸屬于題型已知數(shù)列6,10,14,32,22練5【難度】★★（題型辨析:本題歸屬于題型___）已知數(shù)列an滿足2an-A.20202019B.20212020C.2022練6難度★★★（題型辨析:本題歸屬于題型___）已知數(shù)列an各項(xiàng)均不為零,且a1=3,an+1aA.19B.20C.22D.23練7【難度】★★（題型辨析:本題歸屬于題型______）已知數(shù)列an滿足a1=1A.12019B.12020C.1練8[難度]★★（題型辨析:本題歸屬于題型___）已知bn=1,n=1,A.40352020B.40372019C.2019考點(diǎn)6.3.2項(xiàng)與項(xiàng)遞推求通項(xiàng)查漏補(bǔ)缺夯知識(shí)求數(shù)列通項(xiàng)問(wèn)題是高中數(shù)學(xué)的一個(gè)重難點(diǎn)問(wèn)題.常見(jiàn)的求數(shù)列通項(xiàng)方法有項(xiàng)與項(xiàng)遞推求通項(xiàng),包括公式法、累加法、累乘法、輔助數(shù)列法,數(shù)列遞推法等;還有項(xiàng)與和遞推求通項(xiàng),包括和與和的遞推求通項(xiàng)、項(xiàng)與和的遞推求通項(xiàng),“特殊和”遞推求通項(xiàng)等.知識(shí)點(diǎn)1公式法已知或根據(jù)題目的條件能夠推出數(shù)列an為等差或等比數(shù)列,根據(jù)通項(xiàng)公式an=a1+n知識(shí)點(diǎn)2累加法當(dāng)數(shù)列an中有an-an-1=fn,即第n項(xiàng)與第n-1知識(shí)點(diǎn)3累乘法它與累加法類似,當(dāng)數(shù)列an中有anan-1=fn,即第n項(xiàng)與第n-1項(xiàng)的商是個(gè)有知識(shí)點(diǎn)4構(gòu)造數(shù)列法包括取倒數(shù)、取對(duì)數(shù)等取倒數(shù)法:這種方法適用于an=kan-1man-1+pn≥2取對(duì)數(shù)法:一般情況下適用于ank=an-1兩邊取對(duì)數(shù)構(gòu)造等比數(shù)列,再進(jìn)一步求解.知識(shí)點(diǎn)5數(shù)列遞推方法一次線性遞推、二階線性遞推,分式遞推與不動(dòng)點(diǎn)遞推等這幾種方法往往都需要構(gòu)造相應(yīng)的方程,進(jìn)而構(gòu)造出相應(yīng)的數(shù)列,再求出通項(xiàng),涉及的題目難度較大,需要同學(xué)們理解原理,并且能夠掌握相應(yīng)的步驟.不動(dòng)點(diǎn)法求數(shù)列通項(xiàng)的步驟:遞推數(shù)列an+1=aan+bcan+(1)若fx有兩個(gè)相異的不動(dòng)點(diǎn)p,q,則a（2）若fx只有唯一的不動(dòng)點(diǎn)p,則1an(3)若fx沒(méi)有不動(dòng)點(diǎn),則an觸類旁通析典題題型1累加法與累乘法例1(II)∧★)∧★數(shù)列an滿足a1=1,且aA.n2+n2B.n【答案】A【解析】由an=nan∴當(dāng)n≥2時(shí),anan∴aa1=1∴數(shù)列an的通項(xiàng)公式為a∴例2匯夏★★已知數(shù)列an中,a1=2,an【解析】∵數(shù)列an中,a∴==n∴a5=題型2一次線性式及其變形例3健度★★數(shù)列an中,an+1A.2100+1B.2101【答案】C【解析】∵a∴1∵1∴an+1是以2為首項(xiàng),∴an+1=則a100例4匯夏★★已知數(shù)列an滿足an+1=2anA.an是等差數(shù)列B.anC.an+1是等比數(shù)列D.【答案】D【解析】∵a∴a故數(shù)列an+2是以3為首項(xiàng),公比為題型3題目給出輔助數(shù)列求通項(xiàng)例5匯夏★數(shù)列an中,a1=2,an+1=an2,則下列結(jié)論中正確的是()A.C.數(shù)列l(wèi)nanD.數(shù)列l(wèi)nan【答案】C【解析】數(shù)列an中,a∴a2=22=4,a3=∵數(shù)列an中,a∴l(xiāng)nan+1lnan=2,∴數(shù)列l(wèi)nan例6匯夏★★已知正項(xiàng)數(shù)列an滿足a1=1,a2=2,且對(duì)任意的正整數(shù)n,1+an+12是an2和【解析】由題可知21+an+∴an+12-an2是以即an當(dāng)n≥2時(shí)2當(dāng)n=1時(shí),a1∴an2=∴a題型4題目未給出輔助數(shù)列求通項(xiàng)例7匯夏★★已知數(shù)列an中,a1=23,an+A.33n-1B.3n-【答案】D【解析】由an可得an+1=a可得數(shù)列1an是首項(xiàng)為32,公差為則1an=32例8匯夏★★若數(shù)列an滿足a則aA.2n+1B.2n【答案】A【解析】數(shù)列an滿足a1=1,2an=an∴數(shù)列1an是等差數(shù)列,首項(xiàng)為1a1=∴1an=1題型5二階線性遞推特征根方程求通項(xiàng)例9匯夏★★在數(shù)列an中,a1=A.2n-1+1B.【答案】A【解析】根據(jù)題意,在數(shù)列an中,a變形可得:an又由a1=2,a則數(shù)列an+1-an為等比數(shù)列,則an則a=例10匯夏★★已知數(shù)列an滿足下列條件,求通項(xiàng)公式(1)a1(2)a1=3,a【解析】(1)由an+a∵則an+2-2又a2∴數(shù)列an是以3為首項(xiàng),以2為公比的等比數(shù)列則an(2)由an+2=2∵a∴a則數(shù)列an+1+an是以9∴a∴a則an當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),a(n≥累加得an驗(yàn)證n=1當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),an≥累加得an綜上,a舉一反三練方法答案見(jiàn)答案冊(cè)P15練1【難度】★★（題型辨析:本題歸屬于題型___）已知數(shù)列an中,a1=2,練2【難度】★★（題型辨析:本題歸屬于題型___）已知數(shù)列an,a1練3【難度】★★（題型辨析:本題歸屬于題型___）已知數(shù)列an,a1=3,an練4【難度】★★（題型辨析：本題歸屬于題型___）已知數(shù)列an滿足a(1)求證:數(shù)列an+1(2)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式練5【難度】★★（題型辨析：本題歸屬于題型___）已知數(shù)列an滿足a(1)求數(shù)列an+1（2）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式練6【難度】★★（題型辨析：本題歸屬于題型___）已知數(shù)列an中,a1=-1,且an+1=an+練7【難度】★★（題型辨析:本題歸屬于題型___）已知數(shù)列an滿足an+1-an=nn∈N*,且練8【難度】★★（題型辨析:本題歸屬于題型___）已知數(shù)列an,a1練9【難度】★★（題型辨析:本題歸屬于題型___）數(shù)列an滿足a1=2,a2=1并且1練10【難度】★★（題型辨析:本題歸屬于題型___）在數(shù)列an中,a2=2練11【難度】★★（題型辨析:本題歸屬于題型___）已知數(shù)列an的首項(xiàng)a1=35,an+練12【難度】★★（題型辨析:本題歸屬于題型___）已知數(shù)列an中,a1=4A.148B.124C.23練13【難度】★★★（題型辨析:本題歸屬于題型___）已知數(shù)列an滿足a1=1,a2=13,且練14【難度】★★（題型辨析:本題歸屬于題型___）已知數(shù)列an滿足a1=1練15【難度】★★★（題型辨析:本題歸屬于題型___）已知數(shù)列an滿足:an+1+an-1an+1-a考點(diǎn)6.3.3項(xiàng)與和遞推求通項(xiàng)查漏補(bǔ)缺夯知識(shí)知識(shí)點(diǎn)項(xiàng)與和遞推求通項(xiàng)項(xiàng)與和遞推求通項(xiàng)問(wèn)題包括:和與和遞推求通項(xiàng),項(xiàng)與和遞推求通項(xiàng)以及“特殊和”求通項(xiàng).針對(duì)和與和遞推求通項(xiàng),項(xiàng)與和遞推求通項(xiàng)這兩類問(wèn)題,我們的解決方案如下:題干中給出了Sn與an的遞推關(guān)系,我們觀察其中的形式,利用:an=S1,n=1,Sn-Sn-1,n≥2把Sn與觸類旁通析典題題型I和與和的遞推求通項(xiàng)例1是度∧?已知數(shù)列an中,a1=12,其前na(1)求證:數(shù)列1Sn(2)求證:S1【解析】(1)當(dāng)n≥2時(shí),整理得Sn從而1Sn構(gòu)成以2為首項(xiàng),2（2）方法一:由(1)可知,1S∴當(dāng)n=1時(shí),當(dāng)n≥2時(shí),∴12n方法二:n=1時(shí)同方法一,當(dāng)n≥21∴+1題型2項(xiàng)與和的遞推求通項(xiàng)例2匯夏★★已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,滿足(1)求證:數(shù)列an是等差數(shù)列(2)若數(shù)列an的公差不為0,數(shù)列an中的部分項(xiàng)組成數(shù)列ak1,ak2,ak3,?,ak【解析】(1)由Sn=na1∴2即n-∴n兩式相減得na∴a∴數(shù)列an是等差數(shù)列(2)等差數(shù)列an的公差d≠0,其子數(shù)列a其中k1=1,k且有a52=a1化為a1=2d,則子數(shù)列akn為首項(xiàng)為2d,公比為a5則akn=2d×題型3“特殊和”求通項(xiàng)例3匯夏★★設(shè)數(shù)列an滿足a1+2a2+4a3+?+2n-1anA.121-12n【答案】C【解析】由a1得a1①-②得2n∴an=12∴數(shù)列an是以14為首項(xiàng),以12∴例4匯夏★已知數(shù)列an滿足a1+2A.2B.3C.4D.8【答案】C【解析】依題意,由a1+a兩式相減,可得n化簡(jiǎn)整理,得a舉一反三練方法答案見(jiàn)答案冊(cè)P22練1【難度】★★（題型辨析:本題歸屬于題型___）已知正項(xiàng)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,且(1)求a1(2)求證:數(shù)列an是等差數(shù)列練2【難度】★★（題型辨析:本題歸屬于題型___）已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,且(1)求數(shù)列an+a(2)求證:數(shù)列an是等差數(shù)列練3【難度】★★（題型辨析:本題歸屬于題型___）已知正項(xiàng)數(shù)列an的首項(xiàng)a1=1,前n項(xiàng)和Sn滿足(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式（2）記數(shù)列1anan+1的前n項(xiàng)和為Tn,若對(duì)任意的n∈N*,不等式練4【難度】★★（題型辨析:本題歸屬于題型___）已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,且滿足a=12,判斷1Sn與a練5【難度】★★（題型辨析:本題歸屬于題型___）設(shè)數(shù)列an滿足a1+2a2+練6【難度】★★（題型辨析:本題歸屬于題型___）已知數(shù)列an滿足a1+2a2+3a3+?+nan=練7【難度】★★（題型辨析:本題歸屬于題型___）已知數(shù)列an滿足a1+2a2+?+na練8【難度】★★（題型辨析:本題歸屬于題型___）數(shù)列an滿足a1+2專題6.4數(shù)列求和考點(diǎn)6.4.1等差等比數(shù)列求和問(wèn)題知識(shí)點(diǎn)錯(cuò)位相減法錯(cuò)位相減法是求解由等差數(shù)列an和等比數(shù)列bn對(duì)應(yīng)項(xiàng)之積組成的數(shù)列cn(即cn=anbn)過(guò)程的訓(xùn)練.課本中在講等比數(shù)列的時(shí)候,有推導(dǎo)過(guò)等比數(shù)列的求和公式,其過(guò)程正是利用錯(cuò)位相減的原理,等比數(shù)列的通項(xiàng)bn其實(shí)可以看成等差數(shù)列通項(xiàng)anan=1與等比數(shù)列通項(xiàng)通項(xiàng)公式:a∴觸類旁通析典題題型I錯(cuò)位相減法例1健度★★已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,且(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式(2)令bn=anlog2an,求數(shù)列bn【解析】(1)當(dāng)n=1時(shí),當(dāng)n≥2時(shí),an故an(2)由(1)得,bn∴T2T①-②得,-T整理得Tn題型2錯(cuò)位相減公式法速算技巧例2匯夏★★已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為S(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式(2)求數(shù)列an?2an的前【解析】(1)∵2∴4n≥2時(shí),兩式相減得,4a即2a∵a∴a又2S1=2a∴an是首項(xiàng)為1,公差為2∴a綜上所述,an(2)方法一:an根據(jù)速算技巧:通項(xiàng)公式:a∴可知d=∴A=43,方法二:an設(shè)數(shù)列an?2an的前n∴T4①-②得,-2n∴舉一反三練方法答案見(jiàn)答案冊(cè)P26練1匯廈★★已知an為各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列,且a(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式(2)令bn=an?log3an,求數(shù)列b練2匯團(tuán)★★已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,且2Sn=n2+n,數(shù)列bn(1)求數(shù)列an和bn(2)求數(shù)列anbn的前n項(xiàng)和考點(diǎn)6.4.2裂項(xiàng)求和問(wèn)題查漏補(bǔ)缺夯知識(shí)知識(shí)點(diǎn)裂項(xiàng)相消法裂項(xiàng)相消法在考試中一般用于解決分式或者根式的數(shù)列問(wèn)題,利用裂項(xiàng)相消法將一項(xiàng)裂為兩項(xiàng).常見(jiàn)的裂項(xiàng)相消的類型如下:(1)1n(2)1n(3)12n(4)1n觸類旁通析典題題型1分式裂項(xiàng)問(wèn)題例1匯夏★Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和,已知(1)求an的通項(xiàng)公式(2)設(shè)bn=1anan+1,求數(shù)列【解析】(1)由an2+2a兩式相減得an即2a∵an>∵當(dāng)n=1時(shí),a12+2a則an是首項(xiàng)為3,公差d=2∴an的通項(xiàng)公式(2)∵a∴b∴數(shù)列bn的前n項(xiàng)和=1題型2其他裂項(xiàng)問(wèn)題練1【難度】★★★（題型辨析:本題歸屬于題型______）已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,且(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式(2)設(shè)bn=1log13an,cn=b練2【難度】★★★（題型辨析:本題歸屬于題型______）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn>1,且(1)求an的通項(xiàng)公式(2)若數(shù)列bn滿足bn=1an+an+1練3【難度】★★（題型辨析:本題歸屬于題型___）已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn滿足(1)求an的通項(xiàng)公式(2)求數(shù)列1a2n-1a2n+練4[難度]★★（題型辨析:本題歸屬于題型___）已知數(shù)列an是遞增的等比數(shù)列,且a(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式(2)設(shè)Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和,bn=an+1SnSn+考點(diǎn)6.4.3換序求和法查漏補(bǔ)缺夯知識(shí)知識(shí)點(diǎn)1分組求和法往往可以把數(shù)列看成幾個(gè)簡(jiǎn)單數(shù)列的線性組合(通常是等差數(shù)列與等比數(shù)列),分別求和再相加或者相減.知識(shí)點(diǎn)2倒序相加法倒序相加法指的是將數(shù)列的前n項(xiàng)和正著寫一遍,再倒著寫一遍,最后兩式相加.能夠利用倒序相加來(lái)求和的題目,是因?yàn)轭}目給出數(shù)列或者函數(shù)自身具備明顯的特征,那就是首項(xiàng)與末項(xiàng)相加為定值.一般題中出現(xiàn)x1+x2=k(k為觸類旁通析典題題型1分組求和與倒序相加法例1匯夏★★已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,等比數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Tn,(1)求數(shù)列an,b(2)設(shè)cn=an+bn,求數(shù)列cn【解析】(1)已知公差為d的等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,公比為q的等比數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Tn,∴22+d=bn(2)由于cn∴=例2匯廈★★設(shè)fx=13x+3,利用課本中推導(dǎo)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的方法A.3B.43C.233【答案】B【解析】∵f∴設(shè)S=∴兩個(gè)式子相加得2S∴S舉一反三練方法練1【難度】★★（題型辨析:本題歸屬于題型___）設(shè)fx=12x+2,利用課本中推導(dǎo)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的方法,可A.2B.22C.32練2【難度】★★（題型辨析:本題歸屬于題型___）函數(shù)fx對(duì)任意x∈R都有fx+f1-x=12,數(shù)列an滿足a練3【難度】★★（題型辨析:本題歸屬于題型___）在等差數(shù)列ann∈N*中(1)求an的公差d及通項(xiàng)a(2)記bn=2an+nn∈N*,求數(shù)列專題6.5數(shù)列放縮查漏補(bǔ)缺夯知識(shí)知識(shí)點(diǎn)數(shù)學(xué)歸納法數(shù)學(xué)歸納法是一種數(shù)學(xué)證明方法,通常被用于證明某個(gè)給定命題在整個(gè)(或者局部）自然數(shù)范圍內(nèi)成立,其證明步驟如下:①證明當(dāng)n=1②假設(shè)n=kk≥1,k∈N*考點(diǎn)6.5.1通項(xiàng)型放縮問(wèn)題觸類旁通析典題題型I利用數(shù)學(xué)歸納法放縮例1匯夏★★已知數(shù)列an是遞增等差數(shù)列,a1=2,其前n項(xiàng)和為Snn∈(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)an及前n項(xiàng)和(2)若數(shù)列bn滿足bn=2an2-1+1,計(jì)算bn的前n項(xiàng)和Tn【解析】(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,則d∵a1,∴a42=a化為9d2-8d-解得d=∴an=(2)bn∴bn的前n項(xiàng)和當(dāng)n≥5時(shí),n∈N*下面利用數(shù)學(xué)歸納法證明當(dāng)n≥5,n∈N*①當(dāng)n=5時(shí),25=32,5②假設(shè)當(dāng)n=k∈N*k≥則n=k+1∵2∴2k2+2>k綜上得,當(dāng)n≥5時(shí),題型2對(duì)遞推關(guān)系本身進(jìn)行放縮例2匯夏★★★已知數(shù)列an滿足:a(1)求證:當(dāng)n≥2時(shí),(2)求證:an（3）求證:an<4312e-1【解析】(1)a1利用數(shù)學(xué)歸納法證明:①n=2時(shí),a2②假設(shè)n=k≥2時(shí),則當(dāng)n=k+1不等式成立.綜上可得,當(dāng)n≥2時(shí),(2)由an可得,an∴===∴（3）由遞推公式及（1）的結(jié)論有a利用導(dǎo)數(shù)可得ln1對(duì)(*)兩邊取對(duì)數(shù)并利用已知不等式得ln即lna則lna求和可得ln∴l(xiāng)na∵e3<2.723∴a舉一反三練方法練1【難度】★★（題型辨析:本題歸屬于題型___）已知數(shù)列an為等差數(shù)列,且有a(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)an及其前n項(xiàng)和（2）記數(shù)列1Sn2的前n項(xiàng)和為Tn,都有Tn練2【難度】★★（題型辨析:本題歸屬于題型___）已知正項(xiàng)數(shù)列an中,a求證:(1)1<(2)n+(3)12考點(diǎn)6.5.2求和型放縮問(wèn)題查漏補(bǔ)缺夯知識(shí)知識(shí)點(diǎn)放縮法放縮為可裂項(xiàng)的數(shù)列是求和型放縮常見(jiàn)的解決方法,這種放縮靈活性較強(qiáng),這里給出幾種放縮方式與推導(dǎo)過(guò)程:(1)1k≥(2)1=(3)1k-除了放縮為可裂項(xiàng)的數(shù)列,利用等比數(shù)列進(jìn)行放縮也是一種重要的解決方法,若通項(xiàng)an含有qn這樣指數(shù)函數(shù)形式的式子,我們均采用等比數(shù)列放縮法,即作商anan-1,使之大于或小于一個(gè)常數(shù),這個(gè)常數(shù)是anan-1當(dāng)觸類旁通析典題題型I放縮為可裂項(xiàng)的數(shù)列例1匯夏★★★已知Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和,a1=1,且(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式（2）設(shè)數(shù)列1an的前n項(xiàng)和為Tn,求證:對(duì)于任意n∈有Tn【解析】(1)依題意,2S當(dāng)n≥2時(shí),由①-②得2S∴2∴an+1n∴當(dāng)n=1時(shí),又a1∴an=n2n≥2,∴a(2)由(1)知,an當(dāng)n≥3時(shí).∴1∴===∴對(duì)任意n∈N*,當(dāng)n≥3時(shí)題型2放縮為等比數(shù)列求和例2難度★★★已知數(shù)列an滿足:a(1)設(shè)a>0,若數(shù)列l(wèi)oga1an+1是公差為2（2）設(shè)數(shù)列anan+1的前n項(xiàng)和為S【解析】(1)∵a等式兩邊同時(shí)取以a為底的對(duì)數(shù)可得log根據(jù)數(shù)列l(wèi)oga1an+可知loga4=2,(2)由(1)可知數(shù)列1an+1可得1a可得數(shù)列an的通項(xiàng)公式為a記bn=ana顯然bn為正項(xiàng)數(shù)列,因此S構(gòu)造數(shù)列cn滿足cn=bn記cn的前n項(xiàng)和為Tn,可得而cn=bn-從而Sn<4n+4舉一反三練方法答案見(jiàn)答案冊(cè)P33練1【難度】★★★（題型辨析:本題歸屬于題型___）已知數(shù)列an是等差數(shù)列,其首項(xiàng)和公差都為1,數(shù)列bn是等比數(shù)列,其首項(xiàng)和公比都為2,數(shù)列an?bn的前(1)求Sn（2）求證:當(dāng)n∈N*時(shí)練2【難度】★★★（題型辨析:本題歸屬于題型___）已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,且滿足（1）求證:數(shù)列1an+12是等比數(shù)列,并求出(2)求證:21練3-難度★★★（題型辨析:本題歸屬于題型___）數(shù)列an滿足a1+2a2bn+1=n(1)求數(shù)列an和bn(2)設(shè)Tn=i=1(3)設(shè)cn=an+練4一組度★★★（題型辨析:本題歸屬于題型設(shè)數(shù)列an滿足a(1)求證數(shù)列an-n為等比數(shù)列,并求數(shù)列a(2)若c1=1,bn=cn+1-cn=第7章立體幾何知己知彼曉考頻立體幾何是歷年來(lái)高考必考的熱點(diǎn),選填題與解答題皆有涉及,并且難度在逐漸提高.此部分內(nèi)容在高考考卷中所占分值較大,題目形式靈活多變,解題需要具有一定的空間想象能力,一直以來(lái)是學(xué)生較大的失分點(diǎn).本部分根據(jù)高中所學(xué)的立體幾何內(nèi)容中涉及的知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行區(qū)分,編制對(duì)應(yīng)練習(xí).其中主要包括空間幾何體問(wèn)題、空間中的位置關(guān)系、空間中的角度與距離三大類型，其中各大類型題目均包含多種題型,便于學(xué)生進(jìn)行相應(yīng)題目歸類和識(shí)別標(biāo)志,從而快速掌握整個(gè)立體幾何體系.融會(huì)貫通搭體系專題7.1空間幾何體考點(diǎn)7.1.1基本問(wèn)題查漏補(bǔ)缺夯知識(shí)知識(shí)點(diǎn)1圓柱、圓錐、圓臺(tái)的表面積院圓錐圓臺(tái)側(cè)面展開(kāi)圖底面積S側(cè)面積SSS表面積S知識(shí)點(diǎn)2柱、錐、臺(tái)的體積圖形體積公式圓柱底面半徑為r,高為h錐體圓錐底面半徑為r,高為h續(xù)表圖形體積公式臺(tái)體棱臺(tái)上底面積為S',下底面積為S,高為h圓臺(tái)上底半徑為r,下底半徑為R,高為h,V觸類旁通析典題題型1柱錐臺(tái)的體積與表面積例1匯夏★棱長(zhǎng)均為1的正四面體的表面積是()A.3B.23C.33【答案】A【解析】∵正四面體的棱長(zhǎng)均為1,∴正四面體每一個(gè)面均為邊長(zhǎng)等于1的等邊三角形,其面積S1因此正四面體的表面積是S=例2匯夏★★正四棱臺(tái)上、下底面邊長(zhǎng)分別為2?cm,4?cm,側(cè)棱長(zhǎng)為2A.6?cm2B.24?cm2【答案】D【解析】設(shè)a=2h∴棱臺(tái)的側(cè)面積S=例3匯夏★用一平面截圓柱,得到如圖所示的幾何體,截面橢圓的長(zhǎng)軸兩端點(diǎn)到底面的距離分別為3和5,圓柱的底面直徑為4,則該幾何體的體積為（?）A.16πB.32πC.8π64π【答案】A【解析】截面橢圓的長(zhǎng)軸兩端點(diǎn)到底面的距離分別為3和5,∴將兩個(gè)相同的幾何體可以拼接成一個(gè)底面直徑為4,高為8的圓柱,∴幾何體的體積V=D.6例4匯夏★如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為矩形,PD⊥底面ABCD,若ABA.18B.12C.9【答案】D【解析】四棱錐P-ABCD中,底面矩形ABCDS∵PD⊥底面ABCD,∴四棱錐的高為∴該四棱錐的體積為V四棱錐題型2三視圖(新高考不考)例5匯夏★★某幾何體的三視圖如圖所示,網(wǎng)格的長(zhǎng)度單位為1?cm,則這個(gè)幾何體的體積是A.4?cm3C.103?cm【答案】C【解析】由三視圖還原原幾何體如圖,該幾何體為四棱錐P-ABCD,PD⊥PD=底面四邊形ABCD中,AB=4,AD=1,AB⊥AD,C到AD∴S∴該幾何體的體積V=例6難度★★一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示,其表俯視圖面積為5π+2πA.2πB.7πC.11π3D.【答案】B【解析】根據(jù)幾何體的三視圖轉(zhuǎn)換為直觀圖,則該幾何體是由一個(gè)底面半徑為r,高為r的圓錐和一個(gè)底面半徑為r,高為2r的圓柱組成的組合體,如圖所示.∴S解得r=故V=舉一反三練方法答案見(jiàn)答案冊(cè)P37練1【難度】★★（題型辨析:本題歸屬于題型______）若圓錐的軸截面為等邊三角形,則該圓錐的側(cè)面積與表面積的比值為()A.12B.23C.練2【難度】★★（題型辨析：本題歸屬于題型___）底面是菱形的棱柱其側(cè)棱垂直于底面,且側(cè)棱長(zhǎng)為5,底面菱形的對(duì)角線的長(zhǎng)分別是214和102A.130B.140C.150D.160練3【難度】★★（題型辨析:本題歸屬于題型___）已知圓錐的母線長(zhǎng)是2,高是2,則該圓錐的表面積是()A.42+C.2+2練4(難度)★★(題型辨析:本題歸屬于題型___)金剛石的成分為純碳,是自然界中天然存在的最堅(jiān)硬物質(zhì),它的結(jié)構(gòu)是由8個(gè)等邊三角形組成的正八面體.若某金剛石的棱長(zhǎng)為2,則它的體積為（?）A.423C.832練5(難度★(題型辨析:本題歸屬于題型___)如圖,在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,三棱錐A.13B.C.12D.練6【難度】★★（題型辨析：本題歸屬于題型___）圓臺(tái)的上、下底面半徑分別為2,4,母線長(zhǎng)為3,則圓臺(tái)的體積為()A.2853πB.28πC.練7【難度】★★（題型辨析:本題歸屬于題型___）在《九章算術(shù)》中,將底面是直角三角形的直三棱柱稱為“塹堵”.如圖,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1,粗實(shí)線畫出的是某“塹堵”的三視圖,則該“塹堵”的側(cè)面積為（?）A.48B.42C.36D.30練8【難度】★★（題型辨析:本題歸屬于題型___）俯視圖某幾何體的三視圖如圖所示,其中正視圖中,上半部分弓形所在圓O的半徑為1,∠AOB=π2,下半部分矩形中AB=A.2+3πC.12+練9【難度】★★（題型辨析：本題歸屬于題型___）俯視圖某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為（?）A.54B.45C.27D.81練10【難度】★★（題型辨析:本題歸屬于題型___）某幾何體的三視圖如圖所示(單位:cm),則正(主)視圖側(cè)(左)視圖俯視圖該幾何體的表面積(單位:cm2)是A.56B.48C.80D.72考點(diǎn)7.1.2與球有關(guān)的問(wèn)題查漏補(bǔ)缺夯知識(shí)知識(shí)點(diǎn)1球的表面積和體積:S知識(shí)點(diǎn)2外接球與內(nèi)切球的常見(jiàn)模型（1）外接球七大模型模型適用幾何體解題流程公式漢堡模型圓柱、直棱柱或一條側(cè)棱垂直底面的棱錐(底面有外接圓的找底面外接圓半徑r,找高h(yuǎn)斗笠模型圓錐、頂點(diǎn)在底面的射影是底面外心的棱錐（正棱錐）找底面外接圓半徑r,找高h(yuǎn)R墻角模型三組線線垂直型三棱錐先補(bǔ)成長(zhǎng)方體,再找錐,找長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高:a,b麻花模型對(duì)棱相等的三棱錐先補(bǔ)成長(zhǎng)方體,再找錐,找長(zhǎng)方體的三對(duì)面對(duì)角線:xR懷表模型兩全等等腰三角形折疊式棱錐找等腰三角形底邊上的高H,找外接圓半徑r,找面角αR“L”模型面面垂直型棱錐找兩個(gè)面外接圓半徑r1,r2,找面面交線R鱷魚模型普通三棱錐找兩個(gè)面外接圓圓心到交線的距離m,n,找二面角α（2）內(nèi)切球萬(wàn)能公式（棱錐）R=3VS(注:V表示棱錐的體積,S觸類旁通析典題題型I已知幾何體求外接球例1匯夏★如圖,某三棱錐的三視圖均為直角三角形.若該三棱錐的頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上,則該球的表面積為()A.25πB.50πC.1253π【答案】B【解析】由題意可知,題中三視圖對(duì)應(yīng)的三棱錐各個(gè)頂點(diǎn)均在一個(gè)長(zhǎng)、寬、高分別為5,3,4的長(zhǎng)方體上,則原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求長(zhǎng)方體的外接球的表面積,由題意可得2R2即4R2=50,例2匯夏★已知正方體的棱長(zhǎng)為1,則該正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)和外接球的半徑分別是()A.2;2B.2;2【答案】D【解析】由正方體的棱長(zhǎng)為1,易知其體對(duì)角線長(zhǎng)為3,而其外接球直徑即為其體對(duì)角線長(zhǎng),∴體對(duì)角線長(zhǎng)為3,外接球半徑為32題型2已知外接球求解幾何體例3難度★★如圖,正方體ABCD-A1B1C1D中,E是棱AA1的中點(diǎn)于524,則正方體ABCD-A.1B.2C.22D.【答案】B【解析】設(shè)B1D的中點(diǎn)為F,易證BD⊥BB∴三棱錐E-BB1D的外接球的球心在設(shè)正方體棱長(zhǎng)為a,三棱錐外接球球心為O,則OF∴R解得a=例4匯夏★★已知三棱錐A-BCD的外接球半徑為1,△BCD是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形,則三棱錐AA.34B.33C.6【答案】A【解析】設(shè)△BCD的外接圓的半徑為r則由正弦定理得3sin60°=2r故外接球的球心在平面BCD內(nèi),當(dāng)點(diǎn)A到平面BCD的距離為球的半徑1時(shí),三棱錐A-BCD的體積最大,體積的最大值為題型3內(nèi)切球問(wèn)題例5匯夏★正四面體內(nèi)放入一個(gè)可以自動(dòng)充氣的球,當(dāng)球和四面體的面相切時(shí),球的半徑與該正四面體的高的比值為()A.12B.13C.1【答案】C【解析】設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為a,高為h,內(nèi)切球的半徑為r,如圖,設(shè)底面正三角形的中心為O'則CD=正四面體的表面積S=由等體積法得VP即13×12×∴r例6匯夏★★已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為4,球O是正方體的內(nèi)切球,MN是球O的直徑,點(diǎn)GA.0,4B.0,8【答案】B【解析】由正方體ABCD-A1B1C1D1可得球O的半徑為2,正方體體對(duì)角線長(zhǎng)為43由題意,MN是球O的直徑,可得OM+則GM?ON當(dāng)點(diǎn)G在正方體面對(duì)角線的交點(diǎn)時(shí),GO2最小,且最小值為則GO2-4當(dāng)點(diǎn)G在正方體頂點(diǎn)時(shí),GO2最大,且最大值為則GO2-4∴GM?GN的取值范圍為舉一反三練方法練1【難度】★★（題型辨析:本題歸屬于題型___）球O為三棱錐P-ABC的外接球,△ABC和△PBC都是邊長(zhǎng)為23的正三角形,平面PBC⊥A.28πB.20πC.18πD.16π練2【難度】★★（題型辨析：本題歸屬于題型___）已知正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為2,高為2,若該正四棱錐所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)球O的球面上,則球O的表面積為()A.5πB.6πC.8πD.9π練3【難度】★★（題型辨析:本題歸屬于題型___）如果一個(gè)正方體的八個(gè)頂點(diǎn)都在半徑為2的球面上,則該正方體的體積為()A.839B.32C.16練4【難度】★（題型辨析:本題歸屬于題型___）俯視圖一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示,其中正視圖和側(cè)視圖是腰長(zhǎng)為1的兩個(gè)全等的等腰直角三角形,則該幾何體的外接球的表面積是()A.12πB.4C.3πD.12練5【難度】★★（題型辨析:本題歸屬于題型___）已知正三棱錐P-ABC,點(diǎn)P,A,B,C都在直徑為3的球面上,若PA,A.32B.64C.3練6【難度】★★（題型辨析:本題歸屬于題型___）在外接球半徑為4的正三棱錐中,體積最大的正三棱錐的高h(yuǎn)A.143B.134C.7練7【難度】★★（題型辨析:本題歸屬于題型___）已知三棱錐S-ABC的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上,△ABC是等腰直角三角形,AB=AC=1,SA為球O的直徑,且A.56B.33C.2練8【難度】★★（題型辨析:本題歸屬于題型___）若正三棱臺(tái)ABC-A1B1C1的各頂點(diǎn)都在表面積為65π的球O的表面上,且ABA.3B.4C.3或3D.3或4練9【難度】★★（題型辨析:本題歸屬于題型___）若圓錐的內(nèi)切球(球面與圓錐的側(cè)面以及底面都相切)的半徑為1,當(dāng)該圓錐體積是球體積兩倍時(shí)，該圓錐的高為()A.2B.4C.3D.2練10[難度]★★（題型辨析:本題歸屬于題型___）已知直三棱柱ABC-A1B1C1的底面是正三角形,AB=23,D是側(cè)面BCC1B1的中心,A.1010B.C.31010練11【難度】★★（題型辨析:本題歸屬于題型___）設(shè)棱長(zhǎng)為a的正四面體的高、內(nèi)切球的半徑、外接球的半徑分別為h,r,R,A.h=RC.r=6練12[難度]★★（題型辨析:本題歸屬于題型___）已知點(diǎn)O到直三棱柱ABC-A1B1C1各面的距離都相等,球O是直三棱柱ABC-A1B1C1的內(nèi)切球,若球A.43B.163C.8考點(diǎn)7.1.3幾何體綜合問(wèn)題查漏補(bǔ)缺夯知識(shí)知識(shí)點(diǎn)1祖暅原理祖暅原理,又名等冪等積定理,內(nèi)容是:夾在兩個(gè)平行平面間的兩個(gè)幾何體,被平行于這兩個(gè)平行平面的任何平面所截,如果截得兩個(gè)截面的面積總相等,那么這兩個(gè)幾何體的體積相等.祖暅之《綴術(shù)》有云:“緣冪勢(shì)既同,則積不容異”.知識(shí)點(diǎn)2歐拉公式簡(jiǎn)單多面體的頂點(diǎn)數(shù)V、棱數(shù)E及面數(shù)F滿足關(guān)系式:V+觸類旁通析典題題型1祖暅原理例1匯度★★南北朝時(shí)期數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家祖晅提出了著名的祖暅原理:冪勢(shì)既同,則積不容異.其中“冪”指截面積,“勢(shì)”指幾何體的高.意思是說(shuō):兩個(gè)等高幾何體,若在每一等高處截面積都相等,則兩個(gè)幾何體體積相等.已知某不規(guī)則幾何體與一個(gè)由正方體和三棱錐組成的幾何體滿足“冪勢(shì)同”,組合體的三視圖如圖所示,則該不規(guī)則幾何體的體積為()A.263B.10C.12D.【答案】A【解析】根據(jù)幾何體的三視圖轉(zhuǎn)換為直觀圖,則該幾何體由一個(gè)棱長(zhǎng)為2的正方體和一個(gè)底面為直角三角形、高為1的三棱錐組成的組合體,如圖所示.故V=例2匯夏★★我國(guó)南北朝時(shí)期的數(shù)學(xué)家祖暅提出了一個(gè)原理“冪勢(shì)既同,則積不容異”,即夾在兩個(gè)平行平面之間的兩個(gè)幾何體,被平行于這兩個(gè)平面的任意平面所截,如果截得的兩個(gè)截面的面積總相等,那么這兩個(gè)幾何體的體積相等.現(xiàn)有某幾何體和一個(gè)圓錐滿足祖暅原理的條件,若該圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是半徑為2的一個(gè)半圓,則該幾何體的體積為()A.3πB.C.3π3【答案】C【解析】圓錐底面周長(zhǎng)為12∴圓錐的底面半徑r=1,圓錐的高∴圓錐的體積為V=由祖暅原理,該幾何體的體積也為3π3.題型例3匯度★★★如果空間凸多面體的頂點(diǎn)數(shù)為V,棱數(shù)為E,面數(shù)為F,那么V-E+F=2,這個(gè)定理是由瑞士數(shù)學(xué)家歐拉在1752年提出的,該定理提供了拓?fù)渥儞Q的不變量而發(fā)展了拓?fù)鋵W(xué),被稱為拓?fù)鋵W(xué)的歐拉定理或歐拉公式.1996年諾貝爾化學(xué)獎(jiǎng)授予對(duì)發(fā)現(xiàn)C60有重大貢獻(xiàn)的三位科學(xué)家,C60構(gòu)成的分子,它是形如足球的多面體,這個(gè)多面體有60個(gè)頂點(diǎn),以每一個(gè)頂點(diǎn)為端點(diǎn)都有三條棱,面的形狀只有五邊形和六邊形,則C60分子中六邊形的個(gè)數(shù)為A.12B.16C.18D.20【答案】D【解析】由題意可得,V=60,則設(shè)六邊形有x個(gè),則五邊形有32-x由棱數(shù)可得,6x+解得x=20,∴例4難度★★★北京大興國(guó)際機(jī)場(chǎng)的顯著特點(diǎn)之一是各種彎曲空間的運(yùn)用,在數(shù)學(xué)上用曲率刻畫空間彎曲性.規(guī)定:多面體的頂點(diǎn)的曲率等于2π與多面體在該點(diǎn)的面角之和的差(多面體的面的內(nèi)角叫做多面體的面角,角度用弧度制),多面體面上非頂點(diǎn)的曲率均為零,多面體的總曲率等于該多面體各頂點(diǎn)的曲率之和.例如:正四面體在每個(gè)頂點(diǎn)有3個(gè)面角,每個(gè)面角是π3,所以正四面體在每個(gè)頂點(diǎn)的曲率為2π-3×π3=①正方體在每個(gè)頂點(diǎn)的曲率均為π2②任意四棱錐的總曲率均為4π;③若某類多面體的頂點(diǎn)數(shù)V,棱數(shù)E,面數(shù)F滿足V-E+F=其中,所有正確結(jié)論的序號(hào)是()A.①②B.①③C.②③D.①②③【答案】D【解析】①根據(jù)曲率的定義可得正方體在每個(gè)頂點(diǎn)的曲率為2π-3×π2=π2,故①正確;②由定義可得多面體的總曲率=2π×頂點(diǎn)數(shù)-各面內(nèi)角和,因?yàn)樗睦忮F有5個(gè)頂點(diǎn),5個(gè)面,分別為4個(gè)三角形和1個(gè)四邊形,③記多面體各個(gè)面為nii∈則所有的面角和為i=1F根據(jù)定義可得該類多面體的總曲率為2πV-2πE-F=4π,4π題型3折疊、旋轉(zhuǎn)和對(duì)稱的動(dòng)態(tài)問(wèn)題例5匯夏★★★在矩形ABCD中,BC=2,M為BC的中點(diǎn),將△ABM和△DCM分別沿AM,DM翻折,使點(diǎn)B與點(diǎn)C重合于點(diǎn)P,若A.12πB.17πC.24πD.68π【答案】B【解析】根據(jù)題意,矩形ABCD折疊成三棱錐M-PAD,如圖所示.由于矩形ABCD中,BC過(guò)程中,滿足PM⊥AP,PM⊥DP,且AP∩在△ADP中,AD設(shè)該三角形的外接圓的半徑為R,圓心為E,則2R=ADsin∠APD=根據(jù)折疊性質(zhì)得,MP=易知三棱錐的外接球的球心即為PM的中垂線與過(guò)△ADP的外接圓的圓心的垂線的交點(diǎn)O,設(shè)外接球的半徑為r,則r∴外接球的表面積為4?例6匯夏★★★有很多立體圖形都體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美,其中半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體,半正多面體因其最早由阿基米德研究發(fā)現(xiàn),故也被稱為阿基米德體.如圖所示是一個(gè)棱數(shù)為24的半正多面體,且所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)正方體的表面上,它也可以看成是由一個(gè)正方體截去八個(gè)一樣的四面體所得的.若被截正方體的棱長(zhǎng)為0.5?m,則該半正多面體的表面積為A.6?m2C.3+3【答案】D【解析】由圖形可得,該半正多面體共有6個(gè)全等的正方形和8個(gè)全等的正三角形,且正方形和正三角形的邊長(zhǎng)都是0.5×∴該半正多面體的表面積為S3+舉一反三練方法練1【難度】★★★（題型辨析:本題歸屬于題型______）我國(guó)南北朝時(shí)期的數(shù)學(xué)家祖暅提出了計(jì)算體積的祖暅原理：冪勢(shì)既同，則積不容異.意思是:兩個(gè)等高的幾何體若在所有等高處的水平截面的面積相等,則這兩個(gè)幾何體的體積相等.已知曲線C:y=x2,直線l為曲線C在點(diǎn)1,1處的切線.如圖1所示,陰影部分為曲線C、直線l以及x軸所圍成的平面圖形,記該平面圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所得的幾何圖1③①②④圖①是底面直徑和高均為1的圓錐;圖②是將底面直徑和高均為1的圓柱挖掉一個(gè)與圓柱同底等高的倒置圓錐得到的幾何體;圖③是底面邊長(zhǎng)和高均為1的正四棱錐;圖④是將上底面直徑為2,下底面直徑為1,高為1的圓臺(tái)挖掉一個(gè)底面直徑為2,高為1的倒置圓錐得到的幾何體.根據(jù)祖暅原理，以上四個(gè)幾何體中與T的體積相等的是()A.①B.②C.③D.④練2【難度】★★★（題型辨析:本題歸屬于題型___）用祖暅原理計(jì)算球的體積時(shí),夾在兩個(gè)平行平面之間的兩個(gè)幾何體,被平行于這兩個(gè)平面的任意一個(gè)平面所截,若截面面積都相等,則這兩個(gè)幾何體的體積相等.構(gòu)造一個(gè)底面半徑和高都與球的半徑相等的圓柱,與半球(如圖1)放置在同一平面上,然后在圓柱內(nèi)挖去一個(gè)以圓柱下底面圓心為頂點(diǎn),圓柱上底面為底面的圓錐后得到一新幾何體(如圖2),用任何一個(gè)平行于底面的平面去截它們時(shí),可證得所截得的兩個(gè)截面面積相等,由此可證明新幾何體與半球體積相等.現(xiàn)將橢圓x216+y236=1繞y軸旋轉(zhuǎn)一周后得一橄欖狀的幾何體(圖1圖2圖3A.64πB.148πC.128πD.32π中國(guó)南北朝時(shí)期偉大的科學(xué)家祖暅總結(jié)了魏晉時(shí)期著名數(shù)學(xué)家劉徽的有關(guān)工作,提出“冪勢(shì)既同,則積不容異”,“冪”是截面積,“勢(shì)”是幾何體的高,即兩個(gè)等高的幾何體若在所有等高處的水平截面的面積相等,則這兩個(gè)幾何體的體積相等,上述原理稱為“祖暅原理”.一個(gè)上底面邊長(zhǎng)為1,下底面邊長(zhǎng)為2,側(cè)棱長(zhǎng)為13的正六棱臺(tái)與一個(gè)不規(guī)則幾何體滿足“冪勢(shì)既同”,則該不規(guī)則幾何體的體積為()A.7239C.183練4[難度]★★★（題型辨析:本題歸屬于題型______）中國(guó)古代數(shù)學(xué)家劉徽在《九章算術(shù)注》中,稱一個(gè)正方體內(nèi)兩個(gè)互相垂直的內(nèi)切圓柱所圍成的立體為“牟合方蓋”,劉徽未能求得牟合方蓋的體積,直言“欲陋形措意,懼失正理”,不得不說(shuō)“敢不闕疑,以俟能言者”.約200年后,祖沖之的兒子祖暅提出“冪勢(shì)既同,則積不容異”,后世稱為祖暅原理,即:兩等高立體,若在每一等高處的截面面積都相等,則兩立體體積相等.如圖,祖暅利用八分之一正方體去掉八分之一牟合方蓋后的幾何體與底面邊長(zhǎng)和高均為二分之一正方體的棱長(zhǎng)的倒正四棱錐“等冪等積”,計(jì)算出牟合方蓋的體積,據(jù)此可知,牟合方蓋的體積與其外切正方體的體積之比為()A.13B.23C.8練5難度★★（題型辨析:本題歸屬于題型___）1750年,歐拉在給哥德巴赫的一封信中列舉了多面體的一些性質(zhì),其中一條是:如果用V,E和F表示凸多面體的頂點(diǎn)數(shù)、棱數(shù)和面數(shù),則有如下關(guān)系:V-E+F=2.A.30B.14C.20D.26練6【難度】★★★（題型辨析:本題歸屬于題型___）碳60C60是一種非金屬單質(zhì),它是由60形似足球,又稱為足球烯.其結(jié)構(gòu)是由五元環(huán)(正五邊形面）和六元環(huán)(正六邊形面)組成的封閉的凸多面體,共32個(gè)面,且滿足:頂點(diǎn)數(shù)-棱數(shù)+面數(shù)=2,則其六元環(huán)的個(gè)數(shù)為A.12B.20C.32D.60練7【難度】★★★（題型辨析:本題歸屬于題型___）正多面體各個(gè)面都是全等的正多邊形,其中,面數(shù)最少的是正四面體,面數(shù)最多的是正二十面體,它們被稱為柏拉圖多面體(PlatonicSolids).某些病毒,如皰疹病毒就擁有正二十面體的外殼.正二十面體是由20個(gè)等邊三角形所組成的正多面體.已知多面體滿足:頂點(diǎn)數(shù)-棱數(shù)+面數(shù)=2,則正二十面體的頂點(diǎn)的個(gè)數(shù)為A.30B.20C.12D.10練8[難度]★★★（題型辨析:本題歸屬于題型___）一個(gè)凸多面體的面數(shù)為8,頂點(diǎn)數(shù)為10,則它的棱數(shù)為()A.24B.22C.18D.16練9【難度】★★（題型辨析:本題歸屬于題型___）魯班鎖是中國(guó)傳統(tǒng)的智力玩具,起源于中國(guó)古代建筑中首創(chuàng)的榫卯結(jié)構(gòu),它的外觀是如圖所示的十字立方體,其上下、左右、前后完全對(duì)稱,6根等長(zhǎng)的正四棱柱體分成3組,經(jīng)90°榫卯起來(lái).若正四棱柱的高為8,底面正方形的邊長(zhǎng)為2,現(xiàn)將該魯班鎖放進(jìn)一個(gè)球形容器內(nèi),則該球形容器的表面積至少為()(容器壁的厚度忽略不計(jì),結(jié)果保留πA.96πB.84πC.42πD.16π練10[難度]★★（題型辨析:本題歸屬于題型___）已知圖1是棱長(zhǎng)為1的正六邊形ABCDEF,將其沿直線FC折疊成如圖2所示的空間圖形F'A'E'-C'B'D圖1圖2A.38B.716C.1練11【難度】★★（題型辨析:本題歸屬于題型___）如圖所示,從一個(gè)半徑1+3一塊中間是正方形,四周是四個(gè)正三角形的紙板,以此為表面(舍棄陰影部分)折疊成一個(gè)正四棱錐,則該四棱錐的體積是()A.423?m3B.2專題7.2空間中的位置關(guān)系考點(diǎn)7.2.1位置關(guān)系選擇填空查漏補(bǔ)缺夯知識(shí)知識(shí)點(diǎn)1空間中3個(gè)基本事實(shí):自然語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言基本事實(shí)1過(guò)不在同一條直線上的三點(diǎn),有且只有一個(gè)平面A,B,C三點(diǎn)不共線?存在唯一的平面α基本事實(shí)2如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi),那么這條直線在此平面內(nèi)A∈l,B∈l且A基本事實(shí)3如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn),那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線P∈α且P∈β?知識(shí)點(diǎn)2平面基本事實(shí)的推論:（1）經(jīng)過(guò)一條直線和直線外的一點(diǎn),有且僅有一個(gè)平面;（2）經(jīng)過(guò)兩條相交直線,有且僅有一個(gè)平面;（3）經(jīng)過(guò)兩條平行直線,有且僅有一個(gè)平面.觸類旁通析典題題型I空間位置關(guān)系的定性判定例1匯夏★★若直線a,b是異面直線,點(diǎn)O是空間中不在直線a,b上的A.不存在過(guò)點(diǎn)O且與直線a,bB.過(guò)點(diǎn)O一定可以作一條直線與直線a,bC.過(guò)點(diǎn)O可以作無(wú)數(shù)多條直線與直線a,bD.過(guò)點(diǎn)O至多可以作一條直線與直線a,b【答案】D【解析】直線a,b是異面直線,點(diǎn)O是空間中不在直線a,b上的任意一點(diǎn),設(shè)直線a與點(diǎn)O由題意可知b?α,∴直線b與平面α若直線b與平面α相交,如圖1,記b∩①若PO∥a,則不存在過(guò)點(diǎn)O且與直線a,b②若PO與a不平行,則直線PO即為過(guò)點(diǎn)O且與直線a,b都相交的圖2若直線b與平面α平行,如圖2,則不存在過(guò)點(diǎn)O且與a,b綜上,過(guò)點(diǎn)O至多可以作一條直線與直線a,b例2匯度★★下列結(jié)論錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)是()（1）若一條直線和平面內(nèi)一條直線平行,那么這條直線和這個(gè)平面平行;(2)若直線a//平面α,P∈α,則過(guò)點(diǎn)P且平行于直線（3）如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線平行于另一個(gè)平面,那么這兩個(gè)平面平行;（4）如果兩個(gè)平面平行，那么分別在這兩個(gè)平面內(nèi)的兩條直線平行或異面.A.0B.1C.3D.2【答案】C【解析】對(duì)于(1),若一條直線和平面內(nèi)一條直線平行,當(dāng)該直線也在平面內(nèi)時(shí),那么這條直線和這個(gè)平面不平行,故(1)錯(cuò)誤;對(duì)于(2),若直線a//平面α,P∈α,則過(guò)點(diǎn)P且平行于直線a的直線只有一條對(duì)于(3),如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線平行于另一個(gè)平面,當(dāng)這兩條直線平行時(shí),這兩個(gè)平面平行或相交,故(3)錯(cuò)誤;對(duì)于(4),如果兩個(gè)平面平行,那么分別在這兩個(gè)平面內(nèi)的兩條直線平行或異面,故(4)正確.∴錯(cuò)誤的有3個(gè).題型2空間位置關(guān)系的定量計(jì)算例3匯夏★★如圖,在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,點(diǎn)P為線段A.存在點(diǎn)P使得D1P與BB.不存在點(diǎn)P使得D1PC.不存在點(diǎn)P使得D1P與BC所成角為D.存在點(diǎn)P使得平面BCP與平面DCP所成角為π3【答案】【解析】∵P在面D1C1BA內(nèi),B∴無(wú)論P(yáng)怎么移動(dòng),都有B1C⊥D1P,當(dāng)P在正方體中心時(shí),D1當(dāng)P在A或C1時(shí),D∴3故存在點(diǎn)P,使D1P+A1P=2∵BC//A1D1,∴D1P與BCP在C1時(shí),D1P與A1D1的夾角為π2,P在A時(shí),而π4<π3<π2,∴存在符合條件的點(diǎn)點(diǎn)P與C1重合時(shí),平面BCP與平面DCP所成角為π當(dāng)點(diǎn)P與A重合時(shí),平面BCP與平面DCP重合,此時(shí)平面BCP與平面DCP所成角為0,∴存在點(diǎn)P使得平面BCP與平面DCP所成角為