微分幾何考試試題及答案

一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.以下哪個(gè)是曲面的第一基本形式的系數(shù)？（）A.LB.EC.ND.M答案：B2.在曲線論中，弧長參數(shù)s的導(dǎo)數(shù)的模（）。A.小于1B.等于1C.大于1D.不確定答案：B3.平面曲線的曲率（）。A.恒為0B.恒為1C.不為0D.不確定答案：A4.圓柱面的高斯曲率（）。A.0B.1C.-1D.2答案：A5.空間曲線的撓率為0時(shí)，曲線是（）。A.平面曲線B.直線C.圓D.橢圓答案：A6.曲面的第二基本形式的系數(shù)有（）個(gè)。A.1B.2C.3D.4答案：C7.球面上一點(diǎn)處的法曲率（）。A.是常數(shù)B.不是常數(shù)C.等于0D.等于1答案：A8.對(duì)于正則曲線，其切向量（）。A.恒為0B.不為0C.可正可負(fù)D.不確定答案：B9.以下哪種曲面是可展曲面？（）A.球面B.圓柱面C.雙曲面D.拋物面答案：B10.曲線的自然參數(shù)化是（）。A.唯一的B.不唯一的C.不存在的D.不確定答案：A二、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.以下哪些是曲面的內(nèi)蘊(yùn)量？（）A.高斯曲率B.平均曲率C.測地曲率D.第一基本形式答案：A、C2.曲線的弗雷內(nèi)公式涉及到（）。A.切向量B.主法向量C.副法向量D.法向量答案：A、B、C3.以下哪些曲面是直紋面？（）A.錐面B.旋轉(zhuǎn)曲面C.柱面D.雙曲拋物面答案：A、C、D4.影響曲面第二基本形式的因素有（）。A.曲面的形狀B.曲面的參數(shù)化C.曲面的法向量D.曲面的第一基本形式答案：A、C5.對(duì)于空間曲線，以下說法正確的是（）。A.撓率反映曲線的扭曲程度B.曲率反映曲線的彎曲程度C.弧長是曲線的一個(gè)不變量D.曲線的參數(shù)方程唯一答案：A、B、C6.以下屬于曲面的局部性質(zhì)的有（）。A.法曲率B.高斯曲率C.測地三角形內(nèi)角和D.曲面的面積答案：A、B、C7.曲面的等溫參數(shù)表示下（）。A.第一基本形式具有特殊形式B.第二基本形式不變C.高斯曲率計(jì)算簡化D.測地曲率容易計(jì)算答案：A、C8.關(guān)于曲線的密切平面，以下正確的是（）。A.由切向量和主法向量確定B.與曲線的撓率有關(guān)C.是過曲線上一點(diǎn)的平面D.垂直于法平面答案：A、B、C9.在曲面的等距變換下（）。A.第一基本形式不變B.高斯曲率不變C.第二基本形式不變D.測地曲率不變答案：A、B、D10.以下關(guān)于曲面的漸近曲線的說法正確的是（）。A.漸近方向上法曲率為0B.曲面上可能有多條漸近曲線C.漸近曲線與曲面的形狀有關(guān)D.漸近曲線的參數(shù)方程容易求得答案：A、B、C三、判斷題（每題2分，共10題）1.曲線的曲率恒為正。（）答案：錯(cuò)誤2.曲面的第一基本形式是正定的二次型。（）答案：正確3.可展曲面的高斯曲率恒為0。（）答案：正確4.空間曲線的撓率是唯一確定的。（）答案：正確5.球面上任意兩點(diǎn)間的測地線是唯一的。（）答案：錯(cuò)誤6.曲面的第二基本形式與第一基本形式無關(guān)。（）答案：錯(cuò)誤7.平面曲線的密切平面就是曲線所在的平面。（）答案：正確8.圓柱面和圓錐面是等距等價(jià)的。（）答案：錯(cuò)誤9.曲線的自然參數(shù)化下弧長參數(shù)的導(dǎo)數(shù)恒為1。（）答案：正確10.曲面的平均曲率為0時(shí)，曲面是極小曲面。（）答案：正確四、簡答題（每題5分，共4題）1.簡述曲線的曲率的幾何意義。答案：曲線的曲率刻畫了曲線的彎曲程度。在曲線的一點(diǎn)處，曲率越大，曲線在該點(diǎn)附近彎曲得越厲害；曲率越小，曲線在該點(diǎn)附近彎曲程度越小。2.什么是曲面的等距變換？答案：曲面的等距變換是一種保持曲面上曲線長度不變的變換。即若存在一個(gè)從曲面S1到曲面S2的映射，使得曲面上任意曲線的長度在映射前后不變，則稱此映射為等距變換。3.簡述曲面的第一基本形式的作用。答案：曲面的第一基本形式可以用來計(jì)算曲面上曲線的長度、兩曲線的交角等內(nèi)蘊(yùn)量，它是研究曲面內(nèi)蘊(yùn)幾何性質(zhì)的重要工具。4.說明空間曲線的撓率的計(jì)算方法。答案：對(duì)于空間曲線r(s)（s為弧長參數(shù)），撓率τ=(r′(s)×r″(s))·r?(s)/|r′(s)×r″(s)|2，可通過曲線的各階導(dǎo)數(shù)來計(jì)算撓率。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論平面曲線與空間曲線的曲率的區(qū)別。答案：平面曲線曲率只描述曲線在平面內(nèi)的彎曲程度；空間曲線曲率與曲線在空間中的彎曲有關(guān)，同時(shí)空間曲線還有撓率描述其扭曲情況，平面曲線撓率為0，而空間曲線曲率和撓率共同刻畫其形狀。2.如何從幾何上理解曲面的高斯曲率？答案：高斯曲率反映曲面的局部彎曲性質(zhì)。正高斯曲率處曲面類似球面局部向內(nèi)彎曲；負(fù)高斯曲率處類似馬鞍面，有不同方向的彎曲；高斯曲率為0時(shí)曲面局部類似平面或柱面。3.闡述可展曲面的特點(diǎn)及其幾何意義。答案：可展曲面高斯曲率為0。幾何意義在于它可由平面經(jīng)過連續(xù)變形（無伸縮）得到，如圓柱面、圓錐