人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)《14.3角的平分線》同步練習(xí)題（附答案）

學(xué)校:班級(jí)：姓名：考號(hào)：

一、單選題

1.如圖，已知AB〃CD,直線EF分別交AB、CD于點(diǎn)E、F,FG平分NEFD交AB于點(diǎn)G,若NBEF

=70°,則NAGF的度數(shù)為（）

2.如圖，在VABC中，是高，AE是角平分線.若乙8?=6丫，ZC=70°,則NE4￡＞的大小為（）

A.5°B.10°C.15°D.20°

3.如圖，在RtZXABC中，ZC=90°,80是—ABC的平分線，DEJ.AB于點(diǎn)、E.若4C=5,DE=2,

則4。的長(zhǎng)為（）

A.2B.3C.4D.5

4.如圖，在VABC中，4。為“R4C的平分線，DEJ.AB于E,A3=6cm,AC=4cm,DE=2cmf

則VA8C的面積是（）

A

C.10cm2D.8cm2

5.如圖，射線OC平分/ACM,點(diǎn)D。分別在射線0c08上，過(guò)點(diǎn)。作OP_L。八于點(diǎn)尸.若

OQ=4,4OOQ的面積為10,則。夕的長(zhǎng)為（）

C.4D.3

6.如圖，AI3//CD,8P和CP分別平分/A5c和NOC8,AO過(guò)點(diǎn)P,且與人8垂直.若人。=8,則

點(diǎn)尸到BC的距離是（）

A.8B.6C.4D.2

7.如圖，在RSABC中,ZC=90°,BD是NABC的平分線，交AC于點(diǎn)D,若CD=n,AB=m,則

△ABD的面積是（）

1

A.mnB.ymnC.2mnD.mn

8.如圖，AO平分上BAC,QK/AB于點(diǎn)E,DFJ.AC于點(diǎn)F,則下列結(jié)論不正確的是（）

A.^AEG^^AFGB.

C.QEG玨DFGD.△BDE^KDF

二、填空題

9.如圖，在VA3C中，A￡＞平分/84C,AC=3,AB=4,若VA8C的面積為7,則點(diǎn)。到AC的

距離為

10.如圖，/ABC內(nèi)有一點(diǎn)。，使得N。8c=15、過(guò)。作Z）EJ_3C于E點(diǎn)，過(guò)。作OF//BC交44

于〃點(diǎn)，且DF=FB,若。石=4c〃z,貝心沙二cm.

11.如圖，在VA3C中，ZA=45°,ZABC=675°,點(diǎn)、E,尸是內(nèi)角/A8c與外角ZACO的三等分

線的交點(diǎn)，則N5FE=—.

E

BD

C

A

17.如圖，。。平分―498,OA=OB,戶為0。上一點(diǎn)，PM工BD于點(diǎn)、M,PN~AD于點(diǎn)、N.求

證：PM=PN.

18.埴空：如圖.在V4AC中，人Q平分NR4CDEA.AB,DFJLAC,垂足分別為盡E且月。=O,

試說(shuō)明A8=AC.

證明：???AO平分ZR4GDELAB,DF1AC,

:.DE=(角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距禽相等).

QDEtAB,DF1AC,

：./BED=ZCFD=

在.Ri^BED與RsCFD中,

BD=CD

?"=()，

:.RMBEgRsCFD(),

二.ZB=Z

：.AB=AC().

19.證明命題“角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等“，要根據(jù)題意，畫出圖形，并用符號(hào)表示已

知和求證，寫出證明過(guò)程，下面是小明同學(xué)根據(jù)題意畫出的圖形，并寫出了不完整的已知和求證.

(1)已知：如圖，〃\OC=NBOC,點(diǎn)P在OC上,,求證：.請(qǐng)你補(bǔ)全已知和求證.

⑵并寫出證明過(guò)程.

20.如圖，AB〃CD,以點(diǎn)A為圓心，小于AC長(zhǎng)為半徑作圓弧，分別交AB,AC于E,F兩點(diǎn)，再

分別以E,F為圓心，大于gEF長(zhǎng)為半徑作圓弧，兩條圓弧交于點(diǎn)P,作射線AP,交CD于點(diǎn)M.

(1)若NACD=114。，求NMAB的度數(shù);

(2)若CN_LAM,垂足為N,求證：aACN且△MCN.

在VANC'中，。是.邊上的點(diǎn)(不與點(diǎn)從C重合)，連接AO.

BDCAB

圖2圖3

⑴如圖1,當(dāng)點(diǎn)。是8C邊上的中點(diǎn)時(shí)，S用心S.?D=_；

⑵如圖2,當(dāng)A。是N84C的平分線時(shí)，若AB=〃?,AC=n,求，八切：的值(用含“，"的代

數(shù)式表示)；

⑶如圖3,A。平分N8AC,延長(zhǎng)A。到E,使得A。=OE,連接也，如果4c=2,A8=4,SffDE=6,

那么S“E=_.

參考答案

題號(hào)12345678

答案CBBCBCBD

1.C

【分析】先根據(jù)平行線的性質(zhì)得出NEG/=/。的，再根據(jù)FG平分/OE尸得出田'G=NDFG,根據(jù)

等腰三角形的性質(zhì)和三角形的為角和即可得出結(jié)論.

【詳解】解：證明：???AB〃CD,

，NEGF=NDFG,

：FG平分NDEF,

，NEFG=NDFG,

AZEFG=ZEGF,

VZBEF=70°,

???NAGF=NEFG=g(180°-70°)=55°,

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查的是平行線的性質(zhì)，熟知平行線及角平分線的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵.

2.B

【分析】本題t要考查了三角形的內(nèi)角和定理.，角平分線，解答的關(guān)鍵是結(jié)合圖形分析清楚角與角之

間的數(shù)量關(guān)系.由A。是高，NC=70。，可得NC4￡>=20。，再日AE是的角平分線，ZMC=60°,

從而得NC4E=30。，進(jìn)而可求NE4O的度數(shù).

【詳解】解：?.?4￡）是VA3C的高，ZC=70°,

/.ZADC=90°,

ZC4D=1800-zLWC-ZC=2（T,

???AE是/84C的角平分線，ZH4C=60°,

ZCAE=-^I3AC=30°,

2

：./LEAD=ZC4E-Z.CAD=10°.

故選：B.

3.B

【分析】本題考查的是角平分線的性質(zhì)，掌握“角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等”是解題的

關(guān)鍵，由NC=90。，BO是一八AC的平分線，DEJ.AB,DE=2,證明C7）=OE=2,再利用線段

的和差關(guān)系可得答案.

【詳解】解：:NC=90c,8D是ZA6C的平分線，DEJ.AB,DE=2,

CD=DE=2,

'：AC=5,

/.AD=AC-CD=5-2=3,

故選：B.

4.C

【分析】本題考查了角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等.作。/上AC于點(diǎn)片

先根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到則根據(jù)三角形面積公式得到工人8?/無(wú)《AC?OF,解答即可.

22

【詳解】解：作DFJ.AC于點(diǎn),F,

A

；AO為/84C的平分線，DE上AB于點(diǎn)、E,。尸工4?于點(diǎn)產(chǎn)，

DE=DF=2cm,

?S&\BD+S&ACD=S^*BC，

：.-AB?DE-AC?DF1倉(cāng)62+，倉(cāng)*2=10cm2,

2222

故選：C.

5.B

【分析】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)，過(guò)點(diǎn)。作。于點(diǎn)M,利用角的平分線的性質(zhì)得到

DP=DM,利用三角形的面積公式求出QM=5即可得到答案.

【詳解】解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)。作。于點(diǎn)M,

;射線OC平分NAO8,DP_OA,DMLOB,

???OQ=4,a。。。的面積為10,

???；OQOM=IO；

,\-x4D/W=IO

2;

解得DW=5,

???DP=5

故選B.

6.C

【詳解】過(guò)點(diǎn)P作PE_LBC于E,

■:AB//CD,附_L48,

APD±CD,

和CP分別平分NA3C和NOC3,

：,PA=PE,PD=PE,

：,PE=PA=PD,

PA+PD=AD=S,

???％=-4,

AP￡=4.

故選：C.

7.B

作OE_L/W交AB于點(diǎn)E,

???B。是N4BC的平分線，ZC=90°,

???CD=DE=n,

SABE)=—ABDE=—mn.

A22

故選B.

8.D

【分析】先利用證明△AEOgZXA/7。得到AE=ARNEDA=NFDG,ZDAE=ZDAF,從而可以

利用“SAS'證明△AEG0Z\A〃G,ADEGWADFG,由此求解即可.

【詳解】解:???4)平分N84C,DELAB,DF1.AC,

:,DE=DF,ZDEA=ZDFA=W

9：AD=AD,

???△AEO絲△AFQ(”L),故B不符合題意；

：.AE=AF,/EDA=/FDG,ZDAE=ZDAFf

*：AG=AG,DG=DG

.?.△4EG^AAFG(SAS),ADEG學(xué)ADFG(SAS),故A和C不符合題意；

根據(jù)現(xiàn)有條件無(wú)法證明^BDEdCDF,故D符合題意；

【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握

相關(guān)知識(shí)進(jìn)行求解.

9.2

【分析】本題考查角平分線的此質(zhì)，根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等，設(shè)點(diǎn)。到A/3的距離

為h,根據(jù)三角形的面積進(jìn)行求解即可.

【詳解】解：設(shè)點(diǎn)。到AB的距離為〃，

:4。平分—3AC,

???點(diǎn)。到AC的距離也為〃，

由題意，得：S^RC=^AB/i^ACh=^(3+4)h=7,

解得：h=2；

故答案為：2.

10.8

【分析】過(guò)D作DG_LAB,根據(jù)“7/3C得出41=4DBC,又DF=FB,則乙1=乙2,即可證明BA平

分N43C,然后利用30。直角三角形的性質(zhì)求出DF即可.

【詳解】解：過(guò)D作DG1AB

-DF//BC

?,.zl=z.DBC

又:DF=FB

.-.zl=z2=1S°

???Z.2=zDBC

???BA平分/ABC

?:DE1BC,DG1AB

...DE=DG=4

vz3=z.2+z.l=30°

.，.DF=2DG=8cm

故答案為：8.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)，求出ABDE是30。直角三角形是解題的關(guān)鍵.

11.52.5°.

【分析】過(guò)點(diǎn)尸作于點(diǎn)FNLCE千點(diǎn)、N,尸"_L4￡,根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得

FM=FH,FM=FN,再由內(nèi)角和即可求解.

【詳解】如圖，過(guò)點(diǎn)尸作fM_L8C于點(diǎn)M,F7V_LCE1于點(diǎn)N,FH1BE,交班:的延長(zhǎng)線于點(diǎn)〃,

,?,點(diǎn)E,產(chǎn)是內(nèi)角ZABC與外角NACO的三等分線的交點(diǎn)，

廠是NEW）的平分線，

又?：FMA.BD,FH上BE,

:.FM=FH,同理可得=

??.FN=FH,

又?：FNA.EC,FH±EH,

，EF是ZCEH的平分線，

VZA=45°,ZABC=67.5°,

AZACM=ZA+ZABC=112.5°,ZAC8=67.5。

?:點(diǎn)、E，尸是內(nèi)角—人BC與外角NAC、。的三等分線的交點(diǎn)，

2II

/.ZEBC=-ZABC=45°,ZACE=-/ACM=-x!12.5=37.5°,

333

???/ECB=ZACB+ZACE=67.5°+37.5°=105°,

???ZBEC=180°-ZEBC-/ECB=180o-45°-105o=30°,

:.Z.CEH=180°-Z5EC=180c-30°=150°,

/.NCEF=NHEF=75。,

???NBFE+ZFEC=NECB+ZFBC=105。+22.5°=127.5°,

???NBFE=127.5°-75°=52.5°,

故答案為：52.5°.

【點(diǎn)睛】此題考查了三角形內(nèi)用和定理，三角形外角的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)定理和判定定理，解題

的關(guān)鍵是熟練掌握三角形外角的性質(zhì).

12.6

【分析】依據(jù)條件可得/以M=/C3O,進(jìn)而可得出￡*〃BC,進(jìn)而得到^COP中。尸邊上的高為4cm,

再根據(jù)三角形面積計(jì)算公式，即可得到^OR7的面積.

【詳解】解：?；BE=OE,

:?/EBO=/EOB,

〈BO平分NA8C,

:?/EBO=NCBO,

：.NEOB=NCBO,

，EF〃BC,

???點(diǎn)O到8C的距離為4cm,

???△COF中OF邊上的高為4cm,

又,:0F=3cm,

/.△OFC的面積為!x3x4=6cm?

故答案為：6.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的定義以及三角形的面積，判定EF〃BC是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

13.5

【分析】由AO平分/BAC推出=從而證明出△四度"aXSAS),得到=

ZABD=ZACD,從而證明出△8E0￡F3(AAS),得到CE=B"，從而證明出,

得到他=AF,從而證明出AAEZ運(yùn)△AFD(SAS),得至lJO￡=。。從而證明出通瓦注△CFD(SAS),

即可得到答案.

【詳解】解：???4。平分N8AC,

:.^BAD=ZCAD,

在△A3D和“8中，

AB=AC

?/BAD=ZCAD,

AD=AD

.-^ABD^ACD(SAS),

：.BD=CD,ZABD^ZACDt

NDBC=NDCB,

VAB=AC,

ZABC=ZACB,

在V8EC和ACFB中,

NEBC=NFCB

<NECB=NFBC,

BC=CB

.-.△BEC^ACFB(AAS),

;,CE=BF,

在△人防和八4。七中，

AB=AC

<乙ABF=ZACE,

BF=CE

.-.△ABF^AACE(SAS),

:.AE=AF,

在△AED和△AFQ中，

AE=AF

<NEAD=NFAD,

AD=AD

.?.△AED^Am(SAS),

:.DE=DF,

在△班。和△CTO中，

DE=DF

<ZEDB=ZFDC,

BD=CD

/.△BEZ)^ACFD(SAS),

二.全等三角形共有5對(duì)，

故答案為：5.

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定定理有

SAS,ASA,AAS,SSS,全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊機(jī)等.

14.15

【分析】根據(jù)作圖過(guò)程得出AP平分NB4C，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出力石=8=6,再根據(jù)已知線

段之比求出〃繼而可得結(jié)果.

【詳解】解：由作圖可知：AP平分/84C,

???NC=90。，點(diǎn)。到A8的距離是6,

/.DE=CD=6,

I3D:CD=3:2,

3等=9,

：.BC=BD+CD=9+6=\5,

故答案為：15.

【點(diǎn)睛】本題考查了作圖-基本作圖、角平分線的性質(zhì)的運(yùn)用，解決本題的關(guān)鍵是掌握角平分線的性

質(zhì)，即角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等.

15.35°

【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角的三條角平分線交于一點(diǎn)可知，4。平分NZMC,再由角平分線的定義可以

得至lJ//18C=2NO8C=50。，ZZCT=2Z067^=60°,由三角形直角和定理求出N84C的度數(shù)即可得到答

案.

【詳解】解：???N4BC、NAC8的平分線交于點(diǎn)O,

???AO平分N8AC,

???N4BC=2NOBC=50。，NAC8=2NOCB=60。，ZOAC=-ABAC,

2

:.ZBAC=}80°-AABC-ZACB=10°,

：.ZOAC=35%

故答案為：35。.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的定義，三角形內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知

識(shí)進(jìn)行求解.

16.見解析

【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)作出即可.先根據(jù)垂直的定義得出乙4。8=9()。，故

N8尸D+NP80=9O。.再根據(jù)余角的定義得出4QP+48Q=90。，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出

"3Q=NPBD,再由/BPD=可知ZAPQ=ZAQP,據(jù)此可得出結(jié)論.

【詳解】8。就是所求的/ABC的平分線,P、Q就是所求作的點(diǎn).

證明：?.?AO_L8c

AZA￡>5=90°,

:?/BPD+4PBD=90。.

???ZBAC=90°,

/.ZAQP+ZA8Q=90°.

丁/ABQ=4PBD,

：.NBPD="QP.

,/NBPD=ZAPQ、

???N4PQ-4QP,

???AP=AQ.

【點(diǎn)睛】本題考查的是作圖-基本作圖，熟知角平分線的作法和性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵.

17.見解析

【分析】由已知容易求證△OBD@Z\OAD(SAS),可得N3=N4,再根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理，可

證PM=PN.

【詳解】???0D平分NAOB,

AZ1=Z2.

在AOBD和^OAD中，

OB=OA

?Z1=Z2,

OD=OD

AAOBD^AOAD(SAS).

，/3=N4.

VPM1BD,PN1AD,

/.PM=PN.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線性質(zhì)定理及其逆定理，由已知能夠證明

△OBD^AOAD是解決的關(guān)鍵.

18.DF；90；DF；HL；C；等角對(duì)等邊

【分析】此題重點(diǎn)考查全等三角形的判定與性質(zhì)、角的平分線的性質(zhì)定理等知識(shí)，證明

RidDBWR小戶是解題的關(guān)鍵.

由AO平分N84GDE1AB,DF1AC,即可根據(jù)直角三角形全等的判定定理證明

Rt^DBE^RtJXJF,得/8=/C,即可證明.

【詳解】證明：???A。平分N朋GDE1AB,DFLAC,

DE=DF（角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等）.

QDE1AB,DF1AC,

:"BED=/CFD=軟.

在RABED與RjCFD中,

[BD=CD

\DE=DF

/.Rt^BE哈RidCFD（西,

/.ZB=ZC,

:.AB=AC（等角對(duì)等邊）.

故答案為：DF；90；DF；HL；C；等角對(duì)等邊.

19.（1）PD±OA,PE工OB,垂足分別為。、E；PD=PE

（2）證明見解析

【分析】（1）根據(jù)文字描述證明命題”角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等“，結(jié)合已知圖形即可

寫出已知和求證；

（2）根據(jù)叨JLO4,PELOB,得到NPDO=NPEO=90。，從而利用兩個(gè)三角形全等的判定定理得

到△PDO0△尸EO（AAS）,最后利用兩個(gè)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等得到

【詳解】（1）解：已知：如圖，NA0C=N80C,點(diǎn)P在。。上，PD1OAPELOB,垂足分別為。、

Ex

求證：PD-PE.

(2)證明：VPDLOA,PELOB,

：.ZPDO=ZPEO=90°,

在和△PEO中，

NPDO=/PEO

<4Aoe=/BOC,

OP=OP

：.APDOAAS),

，PD=PE，

【點(diǎn)睛】本題考查證明命題“角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等”的解法步驟，涉及文字描述的

兒何證明題的己知和求證的書寫、兩個(gè)三角形全等的判定與性質(zhì)，熟練掌握兩個(gè)三角形全等的判定定

理及相關(guān)性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)駛.

20.(1)33°(2)證明見解析

【詳解】(1)解：???AB〃CD,AZACD+ZCAB=180°.

XVZACD=114°,AZCAB=66°.

由作法知，AM是NACB的平分線，.\ZAMB=|ZCAB=33°.

(2)證明：：AM平分NCAB,/.ZCAM=ZMAB,

VAB//CD,AZMAB=ZCMA./.ZCAN=ZCMN.

又「CNLAM,.\ZANC=ZMNC.

在△ACN和^MCN中，

VZANC=ZMNC,ZCAN=ZCMN,CN=CN,AAACN^AMCN(AAS).

(1)由作法知，AM是NACB的平分線，由AB〃CD,根據(jù)兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)的性質(zhì)，得

ZCAB=66°,從而求得NMAB的度數(shù).

（2）要證△ACNe^MCN,山己知，CN_LAM即NANC=/MNC=90。；又CN是公共邊，故只要再

有一邊或一角相等即可,考慮到AB〃