專升本數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指導(dǎo)總結(jié)1.函數(shù)、極限與連續(xù)例1：求函數(shù)(y=frac{sqrt{4x^2}}{x1})的定義域要使函數(shù)有意義，則根號下的數(shù)非負(fù)且分母不為(0)。即(begin{cases}4x^2geq0x1neq0end{cases})。由(4x^2geq0)得((2+x)(2x)geq0)，解得(2leqxleq2)；由(x1neq0)得(xneq1)。所以函數(shù)的定義域?yàn)?[2,1)cup(1,2])。例2：求(limlimits_{xto1}frac{x^21}{x1})當(dāng)(xto1)時，分子分母都趨于(0)，可對分子進(jìn)行因式分解：(frac{x^21}{x1}=frac{(x+1)(x1)}{x1}=x+1)（(xneq1)）。所以(limlimits_{xto1}frac{x^21}{x1}=limlimits_{xto1}(x+1)=2)。例3：判斷函數(shù)(f(x)=begin{cases}x+1,xgeq0x1,xlt0end{cases})在(x=0)處的連續(xù)性先求(f(0))，將(x=0)代入(f(x)=x+1)（因?yàn)?x=0)滿足(xgeq0)）得(f(0)=1)。再求左極限(limlimits_{xto0^{}}f(x)=limlimits_{xto0^{}}(x1)=1)，右極限(limlimits_{xto0^{+}}f(x)=limlimits_{xto0^{+}}(x+1)=1)。因?yàn)樽髽O限不等于右極限，所以函數(shù)(f(x))在(x=0)處不連續(xù)。2.導(dǎo)數(shù)與微分例4：求(y=x^3+2x^25x+7)的導(dǎo)數(shù)根據(jù)求導(dǎo)公式((x^n)^prime=nx^{n1})，常數(shù)的導(dǎo)數(shù)為(0)。(y^prime=(x^3+2x^25x+7)^prime=(x^3)^prime+2(x^2)^prime5(x)^prime+(7)^prime=3x^2+4x5)。例5：求(y=sin(2x))的導(dǎo)數(shù)令(u=2x)，則(y=sinu)。根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則(y^prime_x=y^prime_ucdotu^prime_x)。(y^prime_u=(sinu)^prime=cosu)，(u^prime_x=(2x)^prime=2)。所以(y^prime=2cos(2x))。例6：求函數(shù)(y=x^2lnx)的微分先求導(dǎo)數(shù)(y^prime=(x^2lnx)^prime=(x^2)^primelnx+x^2(lnx)^prime)。((x^2)^prime=2x)，((lnx)^prime=frac{1}{x})，則(y^prime=2xlnx+x)。根據(jù)微分公式(dy=y^primedx)，所以(dy=(2xlnx+x)dx)。3.中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用例7：證明方程(x^33x+1=0)在區(qū)間((0,1))內(nèi)有且僅有一個實(shí)根設(shè)(f(x)=x^33x+1)，(f(x))在([0,1])上連續(xù)，在((0,1))內(nèi)可導(dǎo)。(f(0)=1)，(f(1)=13+1=1)，由零點(diǎn)定理可知，至少存在一點(diǎn)(xiin(0,1))，使得(f(xi)=0)。(f^prime(x)=3x^23=3(x^21))，在((0,1))內(nèi)(f^prime(x)lt0)，所以(f(x))在((0,1))上單調(diào)遞減，故方程(x^33x+1=0)在區(qū)間((0,1))內(nèi)有且僅有一個實(shí)根。例8：求函數(shù)(y=x^33x^2+1)的單調(diào)區(qū)間和極值(y^prime=3x^26x=3x(x2))。令(y^prime=0)，得(x=0)或(x=2)。當(dāng)(xlt0)時，(y^primegt0)，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)(0ltxlt2)時，(y^primelt0)，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)(xgt2)時，(y^primegt0)，函數(shù)單調(diào)遞增。(x=0)時，(y=1)為極大值；(x=2)時，(y=2^33times2^2+1=3)為極小值。4.不定積分例9：求(int(2x+3)dx)根據(jù)不定積分的運(yùn)算法則(int(f(x)+g(x))dx=intf(x)dx+intg(x)dx)和(intkx^ndx=frac{k}{n+1}x^{n+1}+C)（(nneq1)）。(int(2x+3)dx=int2xdx+int3dx=2timesfrac{1}{2}x^2+3x+C=x^2+3x+C)。例10：求(intfrac{1}{x^2+4}dx)將原式變形為(intfrac{1}{4(frac{x^2}{4}+1)}dx=frac{1}{4}intfrac{1}{(frac{x}{2})^2+1}dx)。令(u=frac{x}{2})，則(dx=2du)，(frac{1}{4}intfrac{1}{(frac{x}{2})^2+1}dx=frac{1}{2}intfrac{1}{u^2+1}du)。根據(jù)(intfrac{1}{u^2+1}du=arctanu+C)，所以(intfrac{1}{x^2+4}dx=frac{1}{2}arctan(frac{x}{2})+C)。5.定積分例11：求(int_{0}^{1}(x^2+1)dx)根據(jù)牛頓萊布尼茨公式(int_{a}^f(x)dx=F(b)F(a))，其中(F(x))是(f(x))的一個原函數(shù)。先求(f(x)=x^2+1)的原函數(shù)(F(x)=frac{1}{3}x^3+x+C)。(int_{0}^{1}(x^2+1)dx=(frac{1}{3}x^3+x)big|_{0}^{1}=(frac{1}{3}+1)0=frac{4}{3})。例12：計算(int_{1}^{1}x^3cosxdx)設(shè)(f(x)=x^3cosx)，(f(x)=(x)^3cos(x)=x^3cosx=f(x))，所以(f(x))是奇函數(shù)。根據(jù)定積分的性質(zhì)，若(f(x))在([a,a])上是奇函數(shù)，則(int_{a}^{a}f(x)dx=0)，所以(int_{1}^{1}x^3cosxdx=0)。6.向量代數(shù)與空間解析幾何例13：已知向量(vec{a}=(1,2,3))，(vec=(2,1,1))，求(vec{a}cdotvec)根據(jù)向量點(diǎn)積公式(vec{a}cdotvec=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3)。(vec{a}cdotvec=1times2+(2)times1+3times(1)=223=3)。例14：求過點(diǎn)((1,2,3))且與平面(2xy+3z5=0)平行的平面方程已知平面(2xy+3z5=0)的法向量(vec{n}=(2,1,3))，所求平面與已知平面平行，則所求平面法向量也為(vec{n}=(2,1,3))。根據(jù)平面的點(diǎn)法式方程(A(xx_0)+B(yy_0)+C(zz_0)=0)，其中((x_0,y_0,z_0)=(1,2,3))，(A=2)，(B=1)，(C=3)?？傻?2(x1)(y+2)+3(z3)=0)，即(2xy+3z13=0)。7.多元函數(shù)微分學(xué)例15：求函數(shù)(z=x^2y+sin(xy))的偏導(dǎo)數(shù)(frac{partialz}{partialx})和(frac{partialz}{partialy})求(frac{partialz}{partialx})時，把(y)看作常數(shù)，(frac{partialz}{partialx}=2xy+ycos(xy))。求(frac{partialz}{partialy})時，把(x)看作常數(shù)，(frac{partialz}{partialy}=x^2+xcos(xy))。例16：求函數(shù)(z=x^2+y^2)在點(diǎn)((1,2))處的全微分先求偏導(dǎo)數(shù)(frac{partialz}{partialx}=2x)，(frac{partialz}{partialy}=2y)。將(x=1)，(y=2)代入得(frac{partialz}{partialx}big|_{(1,2)}=2)，(frac{partialz}{partialy}big|_{(1,2)}=4)。根據(jù)全微分公式(dz=frac{partialz}{partialx}dx+frac{partialz}{partialy}dy)，所以(dzbig|_{(1,2)}=2dx+4dy)。8.二重積分例17：計算(iint_{D}xydxdy)，其中(D)是由(x=1)，(x=2)，(y=0)，(y=x)所圍成的區(qū)域(iint_{D}xydxdy=int_{1}^{2}dxint_{0}^{x}xydy)。先計算內(nèi)層積分(int_{0}^{x}xydy=xint_{0}^{x}ydy=xtimesfrac{1}{2}y^2big|_{0}^{x}=frac{1}{2}x^3)。再計算外層積分(int_{1}^{2}frac{1}{2}x^3dx=frac{1}{2}timesfrac{1}{4}x^4big|_{1}^{2}=frac{1}{8}(161)=frac{15}{8})。9.微分方程例18：求微分方程(frac{dy}{dx}=2x)的通解對(frac{dy}{dx}=2x)兩邊同時積分得(y=int2xdx=x^2+C)，這就是該微分方程的通解。例19：求微分方程(y^prime+2y=0)的通解這是一階線性齊次微分方程，其通解公式為(y=Ce^{intP(x)dx})，這里(P(x)=2)。(intP(x)dx=int2dx=2x)，所以通解為(y=Ce^{2x})。10.級數(shù)例20：判斷級數(shù)(sum_{n=1}^{infty}frac{1}{n(n+1)})的斂散性將(frac{1}{n(n+1)})拆分為(frac{1}{n}frac{1}{n+1})。則(S_n=sum_{k=1}^{n}frac{1}{k(k+1)}=sum_{k=1}^{n}(frac{1}{k}frac{1}{k+1})=(1frac{1}{2})+(frac{1}{2}frac{1}{3})+cdots+(frac{1}{n}frac{1}{n+1})=1frac{1}{n+1})。(limlimits_{ntoinfty}S_n=limlimits_{ntoinfty}(1frac{1}{n+1})=1)，所以級數(shù)(sum_{n=1}^{infty}frac{1}{n(n+1)})收斂。例21：求冪級數(shù)(sum_{n=0}^{infty}frac{x^n}{n!})的收斂半徑根據(jù)冪級數(shù)收斂半徑公式(R=limlimits_{ntoinfty}left|frac{a_n}{a_{n+1}}right|)，這里(a_n=frac{1}{n!})，(a_{n+1}=frac{1}{(n+1)!})。(left|frac{a_n}{a_{n+1}}right|=frac{(n+1)!}{n!}=n+1)，(limlimits_{ntoinfty}left|frac{a_n}{a_{n+1}}right|=limlimits_{ntoinfty}(n+1)=infty)，所以收斂半徑(R=infty)。11.函數(shù)、極限與連續(xù)補(bǔ)充例22：求(limlimits_{xtoinfty}frac{3x^2+2x1}{2x^2x+3})分子分母同時除以(x^2)，(limlimits_{xtoinfty}frac{3x^2+2x1}{2x^2x+3}=limlimits_{xtoinfty}frac{3+frac{2}{x}frac{1}{x^2}}{2frac{1}{x}+frac{3}{x^2}})。當(dāng)(xtoinfty)時，(frac{1}{x}to0)，(frac{1}{x^2}to0)，所以極限為(frac{3}{2})。例23：設(shè)(f(x)=begin{cases}frac{sinx}{x},xneq0a,x=0end{cases})在(x=0)處連續(xù)，求(a)的值(limlimits_{xto0}f(x)=limlimits_{xto0}frac{sinx}{x}=1)，因?yàn)楹瘮?shù)在(x=0)處連續(xù)，則(f(0)=limlimits_{xto0}f(x))，即(a=1)。12.導(dǎo)數(shù)與微分補(bǔ)充例24：求(y=e^{cosx})的導(dǎo)數(shù)令(u=cosx)，則(y=e^u)。根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則(y^prime_x=y^prime_ucdotu^prime_x)，(y^prime_u=e^u)，(u^prime_x=sinx)。所以(y^prime=e^{cosx}sinx)。例25：求曲線(y=x^32x+1)在點(diǎn)((1,0))處的切線方程先求導(dǎo)數(shù)(y^prime=3x^22)，將(x=1)代入得切線斜率(k=y^primebig|_{x=1}=32=1)。根據(jù)點(diǎn)斜式方程(yy_0=k(xx_0))，其中((x_0,y_0)=(1,0))，(k=1)，切線方程為(y=x1)。13.中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用補(bǔ)充例26：求函數(shù)(y=xln(1+x))的單調(diào)區(qū)間和極值(y^prime=1frac{1}{1+x}=frac{x}{1+x})，定義域?yàn)?xgt1)。令(y^prime=0)，得(x=0)。當(dāng)(1ltxlt0)時，(y^primelt0)，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)(xgt0)時，(y^primegt0)，函數(shù)單調(diào)遞增。(x=0)時，(y=0)為極小值。例27：證明當(dāng)(xgt0)時，(e^xgt1+x)設(shè)(f(x)=e^xx1)，(f(0)=e^001=0)。(f^prime(x)=e^x1)，當(dāng)(xgt0)時，(f^prime(x)=e^x1gt0)，所以(f(x))在((0,+infty))上單調(diào)遞增。則當(dāng)(xgt0)時，(f(x)gtf(0)=0)，即(e^xgt1+x)。14.不定積分補(bǔ)充例28：求(intfrac{x}{sqrt{1x^2}}dx)令(u=1x^2)，則(du=2xdx)，(xdx=frac{1}{2}du)。(intfrac{x}{sqrt{1x^2}}dx=frac{1}{2}intfrac{1}{sqrt{u}}du=frac{1}{2}times2sqrt{u}+C=sqrt{1x^2}+C)。例29：求(intxsinxdx)用分部積分法，設(shè)(u=x)，(dv=sinxdx)，則(du=dx)，(v=cosx)。根據(jù)(intudv=uvintvdu)，(intxsinxdx=xcosx+intcosxdx=xcosx+sinx+C)。15.定積分補(bǔ)充例30：求(int_{0}^{frac{pi}{2}}sin^2xdx)根據(jù)(sin^2x=frac{1cos2x}{2})，則(int_{0}^{frac{pi}{2}}sin^2xdx=int_{0}^{frac{pi}{2}}frac{1cos2x}{2}dx)。(=frac{1}{2}int_{0}^{frac{pi}{2}}dxfrac{1}{2}int_{0}^{frac{pi}{2}}cos2xdx=frac{1}{2}xbig|_{0}^{frac{pi}{2}}frac{1}{4}sin2xbig|_{0}^{frac{pi}{2}}=frac{pi}{4})。例31：設(shè)(f(x))在([a,a])上連續(xù)，證明(int_{a}^{a}f(x)dx=int_{0}^{a}[f(x)+f(x)]dx)(int_{a}^{a}f(x)dx=int_{a}^{0}f(x)dx+int_{0}^{a}f(x)dx)。令(t=x)，則(dx=dt)，(int_{a}^{0}f(x)dx=int_{a}^{0}f(t)dt=int_{0}^{a}f(t)dt=int_{0}^{a}f(x)dx)。所以(int_{a}^{a}f(x)dx=int_{0}^{a}[f(x)+f(x)]dx)。16.向量代數(shù)與空間解析幾何補(bǔ)充例32：已知向量(vec{a}=(2,1,3))，(vec=(1,2,2))，求(vec{a}timesvec)(vec{a}timesvec=begin{vmatrix}vec{i}&vec{j}&vec{k}2&1&31&2&2end{vmatrix}=vec{i}begin{vmatrix}1&32&2end{vmatrix}vec{j}begin{vmatrix}2&31&2end{vmatrix}+vec{k}begin{vmatrix}2&11&2end{vmatrix})(=vec{i}(26)vec{j}(43)+vec{k}(4+1)=4vec{i}+7vec{j}+5vec{k}=(4,7,5))。例33：求過點(diǎn)((2,1,3))且與直線(frac{x1}{2}=frac{y+1}{1}=frac{z2}{3})垂直的平面方程直線的方向向量(vec{s}=(2,1,3))就是所求平面的法向量。根據(jù)平面的點(diǎn)法式方程(2(x2)(y+1)+3(z3)=0)，即(2xy+3z14=0)。17.多元函數(shù)微分學(xué)補(bǔ)充例34：求函數(shù)(z=ln(x^2+y^2))的二階偏導(dǎo)數(shù)(frac{partial^2z}{partialx^2})先求一階偏導(dǎo)數(shù)(frac{partialz}{partialx}=frac{2x}{x^2+y^2})。再求二階偏導(dǎo)數(shù)(frac{partial^2z}{partialx^2}=frac{2(x^2+y^2)2xtimes2x}{(x^2+y^2)^2}=frac{2y^22x^2}{(x^2+y^2)^2})。例35：求函數(shù)(z=x^3y^2)在點(diǎn)((1,2))處沿向量(vec{a}=(3,4))方向的方向?qū)?shù)先求偏導(dǎo)數(shù)(frac{partialz}{partialx}=3x^2y^2)，(frac{partialz}{partialy}=2x^3y)。將((1,2))代入得(frac{partialz}{partialx}big|_{(1,2)}=12)，(frac{partialz}{partialy}big|_{(1,2)}=4)。向量(vec{a}=(3,4))的單位向量(vec{e}=(frac{3}{5},frac{4}{5}))。根據(jù)方向?qū)?shù)公式(frac{partialz}{partiall}=frac{partialz}{partialx}cosalpha+frac{partialz}{partialy}cosbeta)，方向?qū)?shù)為(12timesfrac{3}{5}+4timesfrac{4}{5}=frac{36+16}{5}=10.4)。18.二重積分補(bǔ)充例36：計算(iint_{D}e^{x+y}dxdy)，其中(D)是由(x=0)，(x=1)，(y=0)，(y=1)所圍成的區(qū)域(iint_{D}e^{x+y}dxdy=int_{0}^{1}dxint_{0}^{1}e^{x+y}dy)。先計算內(nèi)層積分(int_{0}^{1}e^{x+y}dy=e^xint_{0}^{1}e^ydy=e^x(e1))。再計算外層積分(int_{0}^{1}e^x(e1)dx=(e1)e^xbig|_{0}^{1}=(e1)^2)。19.微分方程補(bǔ)充例37：求微分方程(y^{primeprime}3y^prime+2y=0)的通解特征方程為(r^23r+2=0)，因式分解得((r1)(r2)=0)，解得(r_1=1)，(r_2=2)。通解為(y=C_1e^x+C_2e^{2x})。例38：求微分方程(y^primey=x)的通解這是一階線性非齊次微分方程，先求對應(yīng)的齊次方程(y^primey=0)的通解，為(y=Ce^x)。用常數(shù)變易法，設(shè)非齊次方程的解為(y=C(x)e^x)，代入原方程可得(C^prime(x)=xe^{x})。(C(x)=intxe^{x}dx=xe^{x}e^{x}+C)。所以原方程通解為(y=Ce^xx1)。20.級數(shù)補(bǔ)充例39：判斷級數(shù)(sum_{n=1}^{infty}frac{2^n}{n!})的斂散性用比值判別法，(limlimits_{ntoinfty}left|frac{a_{n+1}}{a_n}right|=limlimits_{ntoinfty}frac{frac{2^{n+1}}{(n+1)!}}{frac{2^n}{n!}}=limlimits_{ntoinfty}frac{2}{n+1}=0lt1)，所以級數(shù)收斂。例40：求冪級數(shù)(sum_{n=1}^{infty}frac{(x1)^n}{n})的收斂區(qū)間先求收斂半徑(R=limlimits_{ntoinfty}left|frac{a_n}{a_{n+1}}right|=limlimits_{ntoinfty}frac{n+1}{n}=1)。令(t=x1)，當(dāng)(t=1)時，級數(shù)(sum_{n=1}^{infty}frac{1}{n})發(fā)散；當(dāng)(t=1)時，級數(shù)(sum_{n=1}^{infty}frac{(1)^n}{n})收斂。所以原冪級數(shù)的收斂區(qū)間為([0,2))。21.函數(shù)、極限與連續(xù)綜合例41：求(limlimits_{xto0}frac{sqrt{1+x}1}{x})分子有理化，(frac{sqrt{1+x}1}{x}=frac{(sqrt{1+x}1)(sqrt{1+x}+1)}{x(sqrt{1+x}+1)}=frac{1+x1}{x(sqrt{1+x}+1)}=frac{1}{sqrt{1+x}+1})。當(dāng)(xto0)時，極限為(frac{1}{2})。例42：設(shè)(f(x))在([a,b])上連續(xù)，且(f(a)lta)，(f(b)gtb)，證明至少存在一點(diǎn)(xiin(a,b))，使得(f(xi)=xi)設(shè)(F(x)=f(x)x)，(F(x))在([a,b])上連續(xù)。(F(a)=f(a)alt0)，(F(b)=f(b)bgt0)，由零點(diǎn)定理可知，至少存在一點(diǎn)(xiin(a,b))，使得(F(xi)=0)，即(f(xi)=xi)。22.導(dǎo)數(shù)與微分綜合例43：已知(y=x^x)，求(y^prime)兩邊取對數(shù)(lny=xlnx)，兩邊對(x)求導(dǎo)(frac{y^prime}{y}=lnx+1)。則(y^prime=y(lnx+1)=x^x(lnx+1))。例44：求曲線(y=frac{1}{x})在點(diǎn)((1,1))處的切線與法線方程(y^prime=frac{1}{x^2})，在(x=1)處切線斜率(k=1)。切線方程為(y1=(x1))，即(x+y2=0)；法線斜率為(1)，法線方程為(y1=x1)，即(xy=0)。23.中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用綜合例45：求函數(shù)(y=x^42x^2+5)在區(qū)間([2,2])上的最大值和最小值(y^prime=4x^34x=4x(x^21)=4x(x1)(x+1))。令(y^prime=0)，得(x=0)，(x=1)，(x=1)。(y(2)=168+5=13)，(y(1)=12+5=4)，(y(0)=5)，(y(1)=4)，(y(2)=13)。所以最大值為(13)，最小值為(4)。例46：證明當(dāng)(xgt1)時，(2sqrt{x}gt3frac{1}{x})設(shè)(f(x)=2sqrt{x}3+frac{1}{x})，(f(1)=23+1=0)。(f^prime(x)=frac{1}{sqrt{x}}frac{1}{x^2}=frac{x^