高考數(shù)學一輪復習雙曲線一．選擇題（共8小題）1．（2025春?河南月考）雙曲線C：x225A．9 B．7 C．9或29 D．7或192．（2025?青秀區(qū)校級模擬）雙曲線C：x2a2?y2b2=1（aA．2 B．3 C．2 D．43．（2025春?寶山區(qū)校級期末）下列雙曲線中，以y＝±12xA．x216?y24C．x22?y2＝1 D．x4．（2025春?安徽月考）若橢圓C：x22+y2A．x22?yC．y25?5．（2025?合肥模擬）已知雙曲線x2a2?yA．23 B．43 C．256．（2025?遼陽校級二模）若雙曲線以y＝±2x為漸近線，且A（1，0）為一個頂點，則雙曲線的方程為（）A．x24?yC．x2?y7．（2025?卓尼縣校級模擬）已知雙曲線C：x2a2?y2b2=1(a＞0，b＞0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，l1，l2分別為雙曲線C的兩條漸近線，直線l過點F2，且l∥l1，直線l與l2交于點P，直線A．2 B．32 C．3 8．（2025?和林格爾縣校級模擬）雙曲線C：x2a2?y2A．32 B．3 C．5 D．二．多選題（共4小題）（多選）9．（2025?廊坊模擬）已知點P為雙曲線C：x2a2?y2=1(a＞0)右支上一點，l1，l2為C的兩條漸近線，過點P分別作PA⊥l1，PB⊥l2，垂足依次為A，B，且|PA|?|PB|=34，過點P作PM//l2交l1于點M，過點P作PN∥A．C的離心率為233 B．|OP|≥|ABC．△PMN的面積為32 D．|MN（多選）10．（2025?蘇州三模）某數(shù)學興趣小組研究發(fā)現(xiàn)，在平面直角坐標系xOy中，反比例函數(shù)y=1x的圖象是雙曲線C，記其焦點分別為M，N，若A．y軸是C的一條漸近線 B．點（1，1）是C的一個焦點 C．||PM|﹣|PN||＝22 D．C的離心率為2（多選）11．（2025?重慶模擬）關于雙曲線C：x2﹣y2＝1，下列說法正確的是（）A．離心率e=2 B．兩條漸近線互相垂直C．焦距為2 D．實軸長與虛軸長相等（多選）12．（2025春?平山區(qū)校級月考）已知雙曲線C：x2a2?y2b2=1(a＞0，b＞0)的左，右焦點分別為F1，F(xiàn)2，左，右頂點分別為A，A．若PO＝PF2，則e≥2 B．若△POF2是面積為2的正三角形，則b2＝4 C．在△PAB中，tan∠PAB+2tan∠PBA+e2tan∠APB＝0恒成立 D．若a＝b＝2，則△PF1F2內(nèi)切圓半徑的取值范圍為（0，2）三．填空題（共4小題）13．（2025春?徐匯區(qū)期末）已知雙曲線x24?y2=1的左、右焦點分別為F1、F2，設點P(5，114．（2025春?黃浦區(qū)校級期末）已知雙曲線C：x2a2?y2b2=1（a＞0，b＞0）的一條漸近線方程為2x15．（2025春?浦東新區(qū)校級期末）已知雙曲線C：x24?y216．（2025春?泊頭市期末）雙曲線y24?四．解答題（共4小題）17．（2025?山海關區(qū)模擬）已知雙曲線C：y2a2?x2b2=1(a＞0，b＞0)的上下焦點分別為F1（0，c）、F2（0，﹣c），離心率為62，點F1到漸近線的距離為1，過點F1且斜率為k的直線l1在第一象限交雙曲線C于點P，過點F2且斜率為k的直線l2在第四象限交雙曲線C（1）求雙曲線C的方程；（2）若|PF1|﹣|QF2|＝2，求k的值；（3）證明：|MF1|+|MF2|是定值．18．（2025春?樂東縣校級月考）雙曲線C：x2a2?y2（1）已知焦距為8，離心率為2，求雙曲線標準方程，頂點坐標、焦點坐標、實軸和虛軸長及漸近線方程．（2）已知雙曲線中，c=6，且經(jīng)過點（﹣5，2），焦點在x19．（2025?臨泉縣校級開學）已知雙曲線C：x2a2?y2b2=1(a＞0，b＞0)的右焦點為F（2，0），過點F的直線l與雙曲線C交于A（1）若A點坐標為（x1，y1），B點坐標為（x2，y2），證明：x1x2+y1y2＝2（y2﹣y1）．（2）在x軸上是否存在定點M，使得|AM|2+|BM|2﹣|AB|2為定值？若存在，求出定點M的坐標及這個定值；若不存在，請說明理由．20．（2024秋?亳州期末）如圖，過雙曲線E：x2a2?y2b2=1(a＞0，b＞0)的右焦點F且垂直于x軸的直線l與E交于A，（1）求E的方程；（2）設P是E上任意一點，直線PC與l交于點G，直線PD與l交于點H，證明：|AH|2+|BG|2＝|AB|2；（3）過E的左焦點的直線與E交于M，N兩點，以MN為直徑的圓被直線x＝t截得的劣弧為TR，若直線MN變化時，劣弧TR所對的圓心角大小為定值，求t的值．

高考數(shù)學一輪復習雙曲線參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題）1．（2025春?河南月考）雙曲線C：x225A．9 B．7 C．9或29 D．7或19【考點】雙曲線的定義．【專題】整體思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；運算求解．【答案】C【分析】根據(jù)雙曲線的定義來求解點A到左焦點的距離．【解答】解：對于雙曲線C：x225設雙曲線的左右焦點分別為F1，F(xiàn)2，因為|AF2|＝19．根據(jù)雙曲線的定義||AF1|﹣|AF2||＝2a＝10，則有||AF1|﹣19|＝10．可得|AF1|﹣19＝10或|AF1|﹣19＝﹣10．當|AF1|﹣19＝10時，|AF1|＝10+19＝29；當|AF1|﹣19＝﹣10時，AF1＝﹣10+19＝9．所以點A到左焦點的距離為9或29．故選：C．【點評】本題主要考查了雙曲線定義的應用，屬于基礎題．2．（2025?青秀區(qū)校級模擬）雙曲線C：x2a2?y2b2=1（aA．2 B．3 C．2 D．4【考點】求雙曲線的離心率．【專題】整體思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；運算求解．【答案】B【分析】由雙曲線的方程可得漸近線方程，由題意可得a，b的關系，進而求出離心率的值．【解答】解：雙曲線C：x2a2?y2b2=1（由題意漸近線的一條方程為y=2x即ba所以雙曲線的離心率e=c故選：B．【點評】本題考查雙曲線的漸近線方程的求法及離心率的求法，屬于基礎題．3．（2025春?寶山區(qū)校級期末）下列雙曲線中，以y＝±12xA．x216?y24C．x22?y2＝1 D．x【考點】雙曲線的幾何特征．【專題】計算題．【答案】A【分析】由y＝±12x得x2±y1=0，進而可知x2±y1=0為漸近線的雙曲線為【解答】解：由y＝±12x得x2±y1=0，因此以x2±y1當m＝4時，方程為x2故選：A．【點評】本題主要考查了雙曲線的簡單性質(zhì)和標準方程問題．屬基礎題．4．（2025春?安徽月考）若橢圓C：x22+y2A．x22?yC．y25?【考點】根據(jù)雙曲線的幾何特征求標準方程．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；運算求解．【答案】D【分析】根據(jù)條件得出雙曲線E的頂點和焦點坐標即可．【解答】解：橢圓C：x2則橢圓C的焦點坐標為(0，±3)，上下頂點坐標為故雙曲線E的頂點為(0，±3)，焦點為則雙曲線E的標準方程為y2故選：D．【點評】本題主要考查圓錐曲線的性質(zhì)，屬于基礎題．5．（2025?合肥模擬）已知雙曲線x2a2?yA．23 B．43 C．25【考點】由雙曲線的漸近線方程求解雙曲線的標準方程或參數(shù)．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；運算求解．【答案】D【分析】根據(jù)垂直關系解得參數(shù)a的值，再根據(jù)a，b，c的關系得可得焦距．【解答】解：雙曲線x2a2雙曲線x2a2?y所以2a?(?2)=?1，解得因此，雙曲線的焦距為24故選：D．【點評】本題主要考查雙曲線的性質(zhì)，以及直線垂直的性質(zhì)，屬于基礎題．6．（2025?遼陽校級二模）若雙曲線以y＝±2x為漸近線，且A（1，0）為一個頂點，則雙曲線的方程為（）A．x24?yC．x2?y【考點】雙曲線的幾何特征．【專題】計算題；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【答案】C【分析】依題意可知雙曲線的焦點在x軸，且a＝1，利用排除法即可求得答案．【解答】解：∵雙曲線的一個頂點為A（1，0），∴其焦點在x軸，且實半軸的長a＝1，∴可排除A，B，D．又雙曲線以y＝±2x為漸近線，即y＝±bax＝±bx＝±2x∴b2＝4．故答案C滿足題意．故選：C．【點評】本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)，判斷焦點位置與實半軸的長是關鍵，屬于中檔題．7．（2025?卓尼縣校級模擬）已知雙曲線C：x2a2?y2b2=1(a＞0，b＞0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，l1，l2分別為雙曲線C的兩條漸近線，直線l過點F2，且l∥l1，直線l與l2交于點P，直線A．2 B．32 C．3 【考點】求雙曲線的離心率．【專題】數(shù)形結(jié)合；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；邏輯思維；運算求解．【答案】A【分析】不妨設直線l的方程為y=ba(x?c)，與l2的方程聯(lián)立得P的坐標，由F2Q【解答】解：如圖，由已知，漸近線l1，l2的方程為y=±b不妨設直線l的方程為y=ba(x?c)，P（x1，y1），Q（x2，由y=ba(x?c)，y=?b又F2Q→=解得x2=3由點Q在雙曲線C上，所以9c解得c2a2=2，所以雙曲線故選：A．【點評】本題主要考查求雙曲線的離心率，屬于中檔題．8．（2025?和林格爾縣校級模擬）雙曲線C：x2a2?y2A．32 B．3 C．5 D．【考點】求雙曲線的離心率．【專題】對應思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；邏輯思維；運算求解．【答案】D【分析】根據(jù)題意求出a，b，c，可得雙曲線的離心率．【解答】解：由題意得，8a2?1=1，所以a2又b2＝1，所以c2＝a2+b2＝5，所以離心率e=c故選：D．【點評】本題主要考查求雙曲線的離心率，屬于基礎題．二．多選題（共4小題）（多選）9．（2025?廊坊模擬）已知點P為雙曲線C：x2a2?y2=1(a＞0)右支上一點，l1，l2為C的兩條漸近線，過點P分別作PA⊥l1，PB⊥l2，垂足依次為A，B，且|PA|?|PB|=34，過點P作PM//l2交l1于點M，過點P作PN∥A．C的離心率為233 B．|OP|≥|ABC．△PMN的面積為32 D．|MN【考點】直線與雙曲線的綜合．【專題】對應思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；邏輯思維；運算求解．【答案】ABD【分析】對于選項A，根據(jù)漸近線方程和|PA|?|PB|=34可求出離心率；對于選項B，根據(jù)垂直關系可判斷OP，AB是否為圓的直徑和弦，進而判斷長度大??；對于選項C，首先根據(jù)漸近線的斜率可判斷出漸近線的夾角，然后可以把|PM|，|PN|表示出來，最后利用三角形面積公式可求出三角形面積；對于選項D，根據(jù)余弦定理和基本不等式的性質(zhì)可求出|【解答】解：設P（m，n），因為點P在雙曲線上，所以m2﹣a2n2＝a2，因為雙曲線C的漸近線方程為y=±1即x±ay＝0，所以|PA|?|PB|=|m?an|解得a=3則C的離心率e=ca=因為PA⊥OA，PB⊥OB，所以O，A，P，B四點共圓，且OP為該圓的一條直徑，AB為該圓的一條弦，則|OP|≥|AB|，故選項B正確；因為雙曲線C的漸近線的斜率為±33所以雙曲線C的兩條漸近線的夾角為π3因為PM∥l2，所以∠PMA=π因為PA⊥OA，所以|PM|=|PA|同理得|PN|=|PB|則△PMN的面積S=12|PM|?|PN|sin∠MPN=3因為|PM|?|PN|=|PA|?|PB|sin由余弦定理得|MN|2＝|PM|2+|PN|2﹣2|PM|?|PN|?cos∠MPN＝|PM|2+|PN|2﹣1≥2|PM|?|PN|﹣1＝1，當且僅當|PN|＝1時，等號成立，故選項D正確．故選：ABD．【點評】本題考查雙曲線的方程以及直線與圓錐曲線的綜合問題，考查了邏輯推理和運算能力，屬于中檔題．（多選）10．（2025?蘇州三模）某數(shù)學興趣小組研究發(fā)現(xiàn)，在平面直角坐標系xOy中，反比例函數(shù)y=1x的圖象是雙曲線C，記其焦點分別為M，N，若A．y軸是C的一條漸近線 B．點（1，1）是C的一個焦點 C．||PM|﹣|PN||＝22 D．C的離心率為2【考點】雙曲線的幾何特征．【專題】計算題；方程思想；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；運算求解．【答案】ACD【分析】根據(jù)題意，由題意可知反比例函數(shù)的圖象為等軸雙曲線，進一步分別計算出離心率以及a，c即可逐一判斷求解．【解答】解：根據(jù)題意，反比例函數(shù)y=1x的圖象與x軸、y軸無限接近但不相交，則x軸、y軸是曲線C的漸近線，由雙曲線的對稱性，該雙曲線的實軸為y＝x，y＝x與函數(shù)y=1x的交點為（1，1）和（﹣1，﹣1），即a則有||PM|﹣|PN||＝22，C正確；又由該雙曲線的漸近線互相垂直，則該雙曲線為等軸雙曲線，即e=ca=2，則有故雙曲線的交點為（2，2）和（?2，?2），故選：ACD．【點評】本題考查雙曲線的性質(zhì)和應用，涉及雙曲線的標準方程，屬于基礎題．（多選）11．（2025?重慶模擬）關于雙曲線C：x2﹣y2＝1，下列說法正確的是（）A．離心率e=2 B．兩條漸近線互相垂直C．焦距為2 D．實軸長與虛軸長相等【考點】雙曲線的幾何特征；雙曲線的離心率；求雙曲線的漸近線方程．【專題】方程思想；轉(zhuǎn)化法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；運算求解．【答案】ABD【分析】求出雙曲線C的a、b、c的值，結(jié)合雙曲線的幾何性質(zhì)逐項判斷即可．【解答】解：因為雙曲線C：x2﹣y2＝1，a＝b＝1，則c=a對于A，雙曲線C的離心率為e=ca=對于B，雙曲線C的漸近線方程為y=±b且﹣1×1＝﹣1，故雙曲線C的兩條漸近線互相垂直，故選項B正確；對于C，雙曲線C的焦距為2c=22，故選項C對于D，實軸長與虛軸長都為2，即雙曲線的實軸長與虛軸長相等，故選項D正確．故選：ABD．【點評】本題考查雙曲線方程的應用，屬于基礎題．（多選）12．（2025春?平山區(qū)校級月考）已知雙曲線C：x2a2?y2b2=1(a＞0，b＞0)的左，右焦點分別為F1，F(xiàn)2，左，右頂點分別為A，A．若PO＝PF2，則e≥2 B．若△POF2是面積為2的正三角形，則b2＝4 C．在△PAB中，tan∠PAB+2tan∠PBA+e2tan∠APB＝0恒成立 D．若a＝b＝2，則△PF1F2內(nèi)切圓半徑的取值范圍為（0，2）【考點】直線與雙曲線的綜合；求雙曲線的離心率．【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；運算求解．【答案】ABD【分析】對于A，由PO＝PF2，可得c2≥a，則得對于B，由已知可得c2=833，對于C，由已知可得kPA?kPB=b2a2，即tan∠PAB?tan∠PBA=b2a2，結(jié)合對于D，由已知c=22，記△PF1F2內(nèi)切圓半徑為r，圓心為O1，則O1B＝r，可得tan∠O1F1B=r2+22，由∠PF1B∈(0，π4)且∠PF【解答】解：雙曲線C：x2a2?y2b2=1(a＞0，b＞0)的左，右焦點分別為對于選項A，∵PO＝PF2，所以OF2的中垂線x=c所以c2≥a，解得e≥2，故對于選項B，∵△POF2是面積為2的正三角形，∴|PF則c2又∵∠POF2=π34a2=∴b2＝c2﹣a2＝4，故B選項正確；對于選項C，設P（x0，y0），A（﹣a，0），B（a，0），則kPA?k∴kPA?ktan∠APB=?tan∠PAB+tan∠PBA又e2=1+b2a2，聯(lián)立化簡得tan∠PAB+tan∠PBA+e對于選項D，若a＝b＝2，則c=b記△PF1F2內(nèi)切圓半徑為r，圓心為O1，圓O1與F1F2切于點B，則O1B＝r，BF1=a+c=2+2又∠PF1B∈(0，π4)且∠PF1B＝2∠∴0＜2tan∠∴0＜tan∠O即r=(2+22)tan∠O故選：ABD．【點評】本題列出直線與雙曲線以及圓與雙曲線的位置關系的應用，是中檔題．三．填空題（共4小題）13．（2025春?徐匯區(qū)期末）已知雙曲線x24?y2=1的左、右焦點分別為F1、F2，設點P(5，1【考點】雙曲線的定義．【專題】整體思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；運算求解．【答案】4．【分析】根據(jù)雙曲線的定義與方程運算求解．【解答】解：由雙曲線的標準方程可得a＝2，由P滿足方程x24?y2由雙曲線的定義可得，|PF1|﹣|PF2|＝2a＝4．故答案為：4．【點評】本題主要考查了雙曲線定義的應用，屬于基礎題．14．（2025春?黃浦區(qū)校級期末）已知雙曲線C：x2a2?y2b2=1（a＞0，b＞0）的一條漸近線方程為2x+y【考點】雙曲線的幾何特征．【專題】對應思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；運算求解．【答案】x2【分析】根據(jù)雙曲線的漸近線方程以及實軸長可得a，b，從而可得雙曲線的方程．【解答】解：由已知得，ba=2，2a＝4，所以a＝2，所以雙曲線的方程為x2故答案為：x2【點評】本題主要考查求雙曲線的方程，屬于基礎題．15．（2025春?浦東新區(qū)校級期末）已知雙曲線C：x24?y25=1【考點】求雙曲線的離心率．【專題】整體思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；運算求解．【答案】32【分析】根據(jù)離心率公式直接求解即可．【解答】解：因為雙曲線C：x2所以a＝2，b=5，c=所以e=c故答案為：32【點評】本題主要考查了雙曲線離心率的求解，屬于基礎題．16．（2025春?泊頭市期末）雙曲線y24?x2=?1的漸近線方程為【考點】求雙曲線的漸近線方程．【專題】對應思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；運算求解．【答案】y＝±2x．【分析】根據(jù)雙曲線方程直接代入漸近線方程計算可得結(jié)果．【解答】解：由雙曲線y24?x2=?1可得其標準方程為故答案為：y＝±2x．【點評】本題主要考查求雙曲線的漸近線方程，屬于基礎題．四．解答題（共4小題）17．（2025?山海關區(qū)模擬）已知雙曲線C：y2a2?x2b2=1(a＞0，b＞0)的上下焦點分別為F1（0，c）、F2（0，﹣c），離心率為62，點F1到漸近線的距離為1，過點F1且斜率為k的直線l1在第一象限交雙曲線C于點P，過點F2且斜率為k的直線l2在第四象限交雙曲線C（1）求雙曲線C的方程；（2）若|PF1|﹣|QF2|＝2，求k的值；（3）證明：|MF1|+|MF2|是定值．【考點】雙曲線的定點及定值問題；根據(jù)雙曲線的幾何特征求標準方程．【專題】綜合題；對應思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；邏輯思維；運算求解．【答案】（1）y2（2）22（3）證明過程見解析．【分析】（1）由焦點到漸近線的距離可求得b＝1，再結(jié)合離心率以及a2+b2＝c2可得出a2的值，即可得出雙曲線C的方程；（2）設P（x1，y1）、Q（x2，y2），Q關于原點的對稱點記為N（x3，y3），將直線PF1的方程與雙曲線的方程聯(lián)立，列出韋達定理，結(jié)合弦長公式以及|PF1|﹣|QF2|＝2，可得出k的等式，結(jié)合k＞0可求得k的值；（3）分析可知△PF1M∽△F2QM，可得出|MF1||QF1|【解答】解：（1）易知雙曲線的一條漸近線方程為y=a即ax﹣by＝0，所以焦點F1到漸近線的距離為|bc|a因為雙曲線C的離心率e=c又a2+b2＝c2，解得a2＝2，b2＝1，則雙曲線C的方程為y2（2）設P（x1，y1）、Q（x2，y2），Q關于原點的對稱點記為N（x3，y3），此時x3＝﹣x2，y3＝﹣y2．因為kPF1=y所以kN因為kP即kP所以P、F1、N三點共線，因為NQ與F1F2互相平分，所以四邊形F1NF2Q為平行四邊形，此時|NF1|＝|QF2|，所以|PF1|﹣|QF2|＝|PF1|﹣|NF1|＝2，設PF1的直線方程為y=kx+3聯(lián)立y=kx+3y22?此時k2解得k≠±2由韋達定理得x1+x因為x1所以|k|＜2此時|PF整理得（2k2﹣1）（k2+4）＝0，因為|PF所以k＞0，解得k=2（3）證明：因為直線PF1與直線QF2斜率相等，所以PF1∥QF2，此時△PF1M∽△F2QM，所以|MF此時|MF同理得|MF所以|M=22因為1|P所以|MF【點評】本題考查雙曲線的方程以及直線與圓錐曲線的綜合問題，考查了邏輯推理和運算能力，屬于中檔題．18．（2025春?樂東縣校級月考）雙曲線C：x2a2?y2（1）已知焦距為8，離心率為2，求雙曲線標準方程，頂點坐標、焦點坐標、實軸和虛軸長及漸近線方程．（2）已知雙曲線中，c=6，且經(jīng)過點（﹣5，2），焦點在x【考點】根據(jù)雙曲線的幾何特征求標準方程；由雙曲線的漸近線方程求解雙曲線的標準方程或參數(shù)．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；運算求解．【答案】（1）答案見解析；（2）x2【分析】（1）根據(jù)已知條件依次求出c，a，b，然后可得標準方程，再直接寫出相關結(jié)果．（2）由雙曲線方程，結(jié)合已知列式求出a，b即可．【解答】解：（1）由雙曲線的焦距為8，得c＝4，由離心率為2，得a＝2，則b=c所以雙曲線標準方程為：x2焦點坐標為（±4，0），實軸長2a＝4，虛軸長2b=43，漸近線方程為y=±（2）雙曲線C：x2a2?y2c=6則a2+b所以所求雙曲線的標準方程為x2【點評】本題主要考查雙曲線的性質(zhì)，屬于基礎題．19．（2025?臨泉縣校級開學）已知雙曲線C：x2a2?y2b2=1(a＞0，b＞0)的右焦點為F（2，0），過點F的直線l與雙曲線C交于A（1）若A點坐標為（x1，y1），B點坐標為（x2，y2），證明：x1x2+y1y2＝2（y2﹣y1）．（2）在x軸上是否存在定點M，使得|AM|2+|BM|2﹣|AB|2為定值？若存在，求出定點M的坐標及這個定值；若不存在，請說明理由．【考點】雙曲線的定點及定值問題；根據(jù)abc及其關系式求雙曲線的標準方程．【專題】綜合題；對應思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；邏輯思維；運算求解．【答案】（1）證明過程見解析；（2）存在定點M(53，0)，使得|AM|2+|BM|2﹣|AB|2【分析】（1）易得2b2a=233，再由a2+b2＝4求得雙曲線方程，再分l⊥x軸和直線l（2）設點M的坐標為（m，0），|AM|2+|BM|2﹣|AB|2＝λ，由l⊥x軸和l⊥y軸，求得m=53，λ=?49，再由l不與坐標軸垂直時，設直線【解答】解：（1）證明：因為當l⊥x軸時，|AB|=2所以2b因為雙曲線的右焦點為F（2，0），所以a2+b2＝4，又a＞0，解得a=3所以雙曲線C的方程為x2當l⊥x軸時，直線l的方程為x＝2，此時x1＝x2＝2，則x1x2+y1y2＝2（y2﹣y1）成立；當直線l的斜率存在時，kAF＝kBF，所以y1整理得x1x2+y1y2＝2（y2﹣y1），綜上所述，x1x2+y1y2＝2（y2﹣y1）成立；（2）設M（m，0），|AM|2+|BM|2﹣|AB|2＝λ，當l⊥x軸時，直線l的方程為x＝2，設A(2，33)此時λ=2[(m?2)當l⊥y軸時，直線l的方程為y＝0，將y＝0代入雙曲線的方程中，解得x=±3設A(?3此時λ=(m?令2m解得m=5所以λ=2m當l不與坐標軸垂直時，設直線l的方程為x=ty+2(t≠±3)，A（x1，y1），B（x2，y聯(lián)立x=ty+2x23?y2=1，消去x并整理得（t由韋達定理得y1對于M(5此時λ=(=2(1+t=2(綜上所述：存在定點M(53，0)，使得|AM|2+|BM|2﹣