廣東省英德市中考數(shù)學(xué)真題分類（勾股定理）匯編專項(xiàng)測(cè)試考試時(shí)間：90分鐘；命題人：教研組考生注意：1、本卷分第I卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，滿分100分，考試時(shí)間90分鐘2、答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級(jí)填寫在試卷規(guī)定位置上3、答案必須寫在試卷各個(gè)題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)的位置，如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用涂改液、膠帶紙、修正帶，不按以上要求作答的答案無效。第I卷（選擇題14分）一、單選題（7小題，每小題2分，共計(jì)14分）1、我圖古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中有這樣一個(gè)問題：今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，適與岸齊，問水深幾何？（注：丈、尺是長(zhǎng)度單位，1丈=10尺）意思為：如圖，有一個(gè)邊長(zhǎng)為1丈的正方形水池，在水池正中央有一根蘆葦，它高出水面1尺，如果把這根蘆葦拉向水池一邊的岸邊，它的頂端恰好碰到池邊的水面．則這根蘆葦?shù)拈L(zhǎng)度是（

）A．5尺 B．10尺 C．12尺 D．13尺2、如圖，在中，，，，為邊上一動(dòng)點(diǎn)，于，于，為中點(diǎn)，則的最小值為（

）.A． B． C． D．3、《九章算術(shù)》被尊為古代數(shù)學(xué)“群經(jīng)之首”，其卷九勾股定理篇記載：今有圓材埋于壁中，不知大小．以鋸鋸之，深一寸，鋸道長(zhǎng)一尺．問徑幾何？如圖，大意是，今有一圓柱形木材，埋在墻壁中，不知其大小，用鋸去鋸這個(gè)木材，鋸口深等于1寸，鋸道長(zhǎng)1尺，則圓形木材的直徑是（

）（1尺=10寸）A．12寸 B．13寸 C．24寸 D．26寸4、如圖，已知點(diǎn)E在正方形ABCD內(nèi)，滿足∠AEB=90°，AE=6，BE=8，則陰影部分的面積是()A．48 B．60C．76 D．805、如圖，中，，一同學(xué)利用直尺和圓規(guī)完成如下操作：①以點(diǎn)C為圓心，以CB為半徑畫弧，交AB于點(diǎn)G；分別以點(diǎn)G、B為圓心，以大于的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交點(diǎn)K，作射線CK；②以點(diǎn)B為圓心，以適當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)為半徑畫弧，交BC于點(diǎn)M，交AB的延長(zhǎng)線于N，分別以M、N為圓心，以大于的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)P，作直線BP交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，交射線CK于點(diǎn)E．請(qǐng)你觀察圖形，根據(jù)操作結(jié)果解答下列問題；過點(diǎn)D作交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，若，，則CE的長(zhǎng)為（

）A．13 B． C． D．6、如圖，長(zhǎng)方形紙片ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，將此長(zhǎng)方形紙片折疊，使點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，點(diǎn)C落在點(diǎn)H的位置，折痕為EF，則△ABE的面積為（

）A．6cm2 B．8cm2 C．10cm2 D．12cm27、如圖所示，圓柱的高AB=3，底面直徑BC=3，現(xiàn)在有一只螞蟻想要從A處沿圓柱表面爬到對(duì)角C處捕食，則它爬行的最短距離是（）A． B． C． D．第Ⅱ卷（非選擇題86分）二、填空題（8小題，每小題2分，共計(jì)16分）1、在一棵樹的5米高B處有兩個(gè)猴子為搶吃池塘邊水果，一只猴子爬下樹跑到A處（離樹10米）的池塘邊．另一只爬到樹頂D后直接躍到A處，距離以直線計(jì)算，如果兩只猴子所經(jīng)過的距離相等，則這棵樹高_(dá)______米.2、如圖，一艘輪船位于燈塔P的南偏東方向，距離燈塔50海里的A處，它沿正北方向航行一段時(shí)間后，到達(dá)位于燈塔P的北偏東方向上的B處，此時(shí)B處與燈塔P的距離為___________海里（結(jié)果保留根號(hào)）．3、把兩個(gè)同樣大小含角的三角尺按如圖所示的方式放置，其中一個(gè)三角尺的銳角頂點(diǎn)與另一個(gè)三角尺的直角頂點(diǎn)重合于點(diǎn)，且另外三個(gè)銳角頂點(diǎn)在同一直線上．若，則____．4、如圖，折疊直角三角形紙片ABC，使得兩個(gè)銳角頂點(diǎn)A、C重合，設(shè)折痕為DE，若AB=4，BC=3，則△ADC的周長(zhǎng)是__________

5、《九章算術(shù)》是我國(guó)古代最重要的數(shù)學(xué)著作之一，在勾股章中記載了一道“折竹抵地”問題：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，問折著高幾何？”翻譯成數(shù)學(xué)問題是：如圖所示，在ΔABC中，∠ACB=90o，AC+AB=10，BC=3，求AC的長(zhǎng)，若設(shè)AC=x，則可列方程為________________．6、如圖，在中，，將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，過點(diǎn)作，垂足為，若，，則的長(zhǎng)為__．7、如圖，在中，，于點(diǎn)D．E為線段BD上一點(diǎn)，連結(jié)CE，將邊BC沿CE折疊，使點(diǎn)B的對(duì)稱點(diǎn)落在CD的延長(zhǎng)線上．若，，則的面積為__________．8、如圖，△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，AB＝5，AC＝3，則BD的長(zhǎng)是__．三、解答題（7小題，每小題10分，共計(jì)70分）1、如圖②，它可以看作是由邊長(zhǎng)為a、b、c的兩個(gè)直角三角形（如圖①C為斜邊）拼成的，其中A、C、D三點(diǎn)在同一條直線上，(1)請(qǐng)從面積出發(fā)寫出一個(gè)表示a、b、c的關(guān)系的等式；（要求寫出過程）(2)如圖③④⑤，以直角三角形的三邊為邊或直徑，分別向外部作正方形、半圓、等邊三角形，這三個(gè)圖形中面積關(guān)系滿足的有_______個(gè)．(3)如圖⑥，直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)分別為3，5，分別以直角三角形的三邊為直徑作半圓，則圖中陰影部分的面積為_______．2、如圖，點(diǎn)是正方形內(nèi)一點(diǎn)，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到的位置，若，求的度數(shù)．3、如圖，在一次地震中，一棵垂直于地面且高度為16米的大樹被折斷，樹的頂部落在離樹根8米處，即，求這棵樹在離地面多高處被折斷（即求AC的長(zhǎng)度）？4、閱讀下面材料：小明遇到這樣一個(gè)問題：∠MBN＝30°，點(diǎn)A為射線BM上一點(diǎn)，且AB＝4，點(diǎn)C為射線BN上動(dòng)點(diǎn)，連接AC，以AC為邊在AC右側(cè)作等邊三角形ACD，連接BD．當(dāng)AC⊥BN時(shí)，求BD的長(zhǎng)．小明發(fā)現(xiàn)：以AB為邊在左側(cè)作等邊三角形ABE，連接CE，能得到一對(duì)全等的三角形，再利用∠EBC＝90°，從而將問題解決（如圖1）．請(qǐng)回答：(1)在圖1中，小明得到的全等三角形是△≌△；BD的長(zhǎng)為．(2)動(dòng)點(diǎn)C在射線BN上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)運(yùn)動(dòng)到AC時(shí)，求BD的長(zhǎng)；(3)動(dòng)點(diǎn)C在射線BN上運(yùn)動(dòng)，求△ABD周長(zhǎng)最小值．5、如圖所示，在中，，，，為邊上的中點(diǎn).（1）求、的長(zhǎng)度；（2）將折疊，使與重合，得折痕；求、的長(zhǎng)度.6、（1）如圖１是一個(gè)重要公式的幾何解釋，請(qǐng)你寫出這個(gè)公式；（2）伽菲爾德（1881年任美國(guó)第20屆總統(tǒng)）利用（1）中的公式和圖2證明了勾股定理（1876年4月1日發(fā)表在《新英格蘭教育日志》上），現(xiàn)請(qǐng)你嘗試證明過程．說明：．7、在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，求△ABC的面積．某學(xué)習(xí)小組經(jīng)過合作交流，給出了下面的解題思路，請(qǐng)你按照他們的解題思路完成解答過程．-參考答案-一、單選題1、D【解析】【分析】依題意，蘆葦?shù)拈L(zhǎng)度為直角三角形的斜邊，水深為一直角邊，另一直角邊為5尺，由勾股定理即可列出方程，進(jìn)而得到答案．【詳解】解：設(shè)水深x尺，則蘆葦?shù)拈L(zhǎng)度為（x+1）尺，依題意，由勾股定理，得：，解得，所以蘆葦?shù)拈L(zhǎng)度為13尺．故選D．【考點(diǎn)】本題考查勾股定理的應(yīng)用，將題目描述問題轉(zhuǎn)化成直角三角形求邊長(zhǎng)的問題是解題的關(guān)鍵．2、D【解析】【分析】先根據(jù)矩形的判定得出AEPF是矩形，再根據(jù)矩形的性質(zhì)得出EF，AP互相平分，且EF=AP，再根據(jù)垂線段最短的性質(zhì)就可以得出AP⊥BC時(shí)，AP的值最小，即AM的值最小，根據(jù)面積關(guān)系建立等式求出其解即可．【詳解】解：如圖，連接AP，∵AB=3，AC=4，BC=5，∴∠EAF=90°，∵PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，∴四邊形AEPF是矩形，∴EF，AP互相平分．且EF=AP，∴EF，AP的交點(diǎn)就是M點(diǎn)．∵當(dāng)AP的值最小時(shí)，AM的值就最小，∴當(dāng)AP⊥BC時(shí)，AP的值最小，即AM的值最?。逜P?BC=AB?AC，∴AP?BC=AB?AC，∵AB=3，AC=4，BC=5，∴5AP=3×4，∴AP=，∴AM=．故選：D．【考點(diǎn)】本題考查了矩形的性質(zhì)的運(yùn)用，勾股定理的運(yùn)用，三角形的面積公式的運(yùn)用，垂線段最短的性質(zhì)的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是求出AP的最小值．3、D【解析】【分析】連接OA、OC，由垂徑定理得AC＝BC＝AB＝5寸，連接OA，設(shè)圓的半徑為x寸，再在Rt△OAC中，由勾股定理列出方程，解方程可得半徑，進(jìn)而直徑可求．【詳解】解：連接OA、OC，如圖：由題意得：C為AB的中點(diǎn)，則O、C、D三點(diǎn)共線，OC⊥AB，∴AC＝BC＝AB＝5（寸），設(shè)圓的半徑為x寸，則OC＝（x﹣1）寸．在Rt△OAC中，由勾股定理得：52+（x﹣1）2＝x2，解得：x＝13．∴圓材直徑為2×13＝26（寸）．故選：D【考點(diǎn)】本題主要考查了垂徑定理的應(yīng)用，勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握垂徑定理，由勾股定理得出方程是解題的關(guān)鍵．4、C【解析】【詳解】解：∵∠AEB=90°，AE=6，BE=8，∴AB=∴S陰影部分=S正方形ABCD-SRt△ABE=102-=100-24=76.故選：C.5、D【解析】【分析】先證明CE=CD=DF，BC=BF=5，利用勾股定理求出AB，設(shè)CE=CD=DF=x，在Rt△ADF中，利用勾股定理構(gòu)建方程求解即可．【詳解】解：由作圖知CE⊥AB，BD平分∠CBF，∴∠1=∠2=∠3，∵∠CEB+∠3=∠2+∠CDE=90°，∴∠CEB=∠CDE，∴CD=CE，在△DBC和△DBF中，，∴△BDC≌△BDF（AAS），∴CD=DF，BC=BF=5，∵∠ACB=90°，AC=12，BC=5，∴AB=，設(shè)EC=CD=DF=x，在Rt△ADF中，則有（12+x）2=x2+182，∴x=，∴CE=，故選D．【考點(diǎn)】本題考查作圖-復(fù)雜作圖，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定，以及勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)構(gòu)建方程解決問題，屬于中考常考題型．6、A【解析】【分析】根據(jù)折疊的條件可得：，在中，利用勾股定理就可以求解．【詳解】將此長(zhǎng)方形折疊，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，，，根據(jù)勾股定理得：，解得：．．故選：A．【考點(diǎn)】本題考查了利用勾股定理解直角三角形，掌握直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方是解題的關(guān)鍵．7、C【解析】【分析】要求最短路徑，首先要把圓柱的側(cè)面展開，利用兩點(diǎn)之間線段最短，然后利用勾股定理即可求解．【詳解】解：把圓柱側(cè)面展開，展開圖如圖所示，點(diǎn)A、C之間的最短距離為線段AC的長(zhǎng)．在Rt△ADC中，∠ADC=90°，CD=AB=3，AD為底面半圓弧長(zhǎng)，AD=π，∴AC=，故選C．【考點(diǎn)】本題考查了平面展開-最短路徑問題，解題的關(guān)鍵是會(huì)將圓柱的側(cè)面展開，并利用勾股定理解答．二、填空題1、【解析】【分析】由題意知AD＋DB＝BC＋CA，設(shè)BD＝x，則AD＝15－x，且在直角△ACD中，代入勾股定理公式中即可求x的值，樹高CD＝(5＋x)米即可．【詳解】解：由題意知AD＋DB＝BC＋CA，且CA＝10米，BC＝5米，設(shè)BD＝x，則AD＝15－x，∵在Rt△ACD中，由勾股定理可得：CD2＋CA2＝AD2，即，解得x＝2.5米，故樹高為CD＝5＋x＝7.5（米），答：樹高為7.5米．故答案為：7.5．【考點(diǎn)】本題考查了勾股定理在實(shí)際生活中的應(yīng)用，本題中找到AD＋DB＝BC＋CA的等量關(guān)系，并根據(jù)勾股定理列方程求解是解題的關(guān)鍵．2、．【解析】【分析】先作PC⊥AB于點(diǎn)C，然后利用勾股定理進(jìn)行求解即可．【詳解】解：如圖，作PC⊥AB于點(diǎn)C，在Rt△APC中，AP=50海里，∠APC=90°-60°=30°，∴海里，海里，在Rt△PCB中，PC=海里，∠BPC=90°-45°=45°，∴PC=BC=海里，∴海里，故答案為：．【考點(diǎn)】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用-方向角問題，求三角形的邊或高的問題一般可以轉(zhuǎn)化為用勾股定理解決問題，解決的方法就是作高線．3、．【解析】【分析】如圖，先利用等腰直角三角形的性質(zhì)求出，，再利用勾股定理求出DF，即可得出結(jié)論．【詳解】如圖，過點(diǎn)作于，在中，，，，兩個(gè)同樣大小的含角的三角尺，，在中，根據(jù)勾股定理得，，，故答案為．【考點(diǎn)】此題主要考查了勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，正確作出輔助線是解本題的關(guān)鍵．4、【解析】【分析】首先根據(jù)勾股定理設(shè)，求出AD、CD，再求出AB，相加即可．【詳解】解：∵折疊直角三角形紙片，使兩個(gè)銳角頂點(diǎn)、重合，∴，設(shè)，則，故，∵，∴，即，解得，∴．則在中，由勾股定理得∴AC=5∴周長(zhǎng)為AD+CD+AB=．故答案為：．【考點(diǎn)】本題考查了勾股定理的應(yīng)用以及折疊的性質(zhì)，掌握勾股定理和折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5、【解析】【分析】設(shè)AC=x，則AB=10-x，再由即可列出方程．【詳解】解：∵，且，∴，在Rt△ABC中，由勾股定理有：，即：，故可列出的方程為：，故答案為：．【考點(diǎn)】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握勾股定理是解決本題的關(guān)鍵．6、【解析】【分析】過作，為垂足，通過已知條件可以求得，，從而求得，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，即可求解．【詳解】解：過作，為垂足，，又，，又，，在與中，，，，∴，在中，，設(shè)，則由勾股定理可得即解得故答案為．【考點(diǎn)】此題主要考查了三角形全等的證明方法和直角三角形的有關(guān)性質(zhì)，利用已知條件合理構(gòu)造直角三角形是解決本題的關(guān)鍵．7、【解析】【分析】在△ABC中由等面積求出，進(jìn)而得到，設(shè)BE=x，進(jìn)而DE=DB-BE=，最后在中使用勾股定理求出x即可求解．【詳解】解：在中由勾股定理可知：，∵，∴，∴，在中由勾股定理可知：，∴，設(shè)BE=x，由折疊可知：BE=B’E，且DE=DB-BE=，在中由勾股定理可知：，代入數(shù)據(jù)：∴，解得，∴，∴，故答案為：．【考點(diǎn)】本題考查了勾股定理求線段長(zhǎng)、折疊的性質(zhì)等，解題的關(guān)鍵是掌握折疊的性質(zhì)，熟練使用勾股定理求線段長(zhǎng)．8、2.5【解析】【分析】首先先過點(diǎn)D作AB的垂直線段DE，根據(jù)勾股定理把BC求出,然后根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理得出DE=DC，再根據(jù)ABC的面積等于ACD的面積加上ABD的面積，把CD求出，最后BD的長(zhǎng)度即可求出．【詳解】過點(diǎn)D作DEAB于E，在ABC中，C=，AB=5，AC=3，∴，∵AD平分BAC，∴DE=DC，∵，即，解得CD=1.5，∴BD=4-CD=4-1.5=2.5，故答案為：2.5．【考點(diǎn)】本題考查了勾股定理和角平分線的性質(zhì)定理，正確作出輔助線，根據(jù)面積相等把CD求出是解題的關(guān)鍵．三、解答題1、(1)(2)3(3)7.5【解析】【分析】（1）梯形的面積等于三個(gè)直角三角形的面積的和．即可得：；（2）根據(jù)勾股定理可得三個(gè)圖形中面積關(guān)系滿足的有3個(gè)；（3）根據(jù)半圓面積和勾股定理即可得結(jié)論：，進(jìn)而求解．(1)解：四邊形ABED的面積可以表示為：，也可以表示為，所以，整理得；(2)設(shè)直角三角形的三條邊按照從小到大分別為a，b，c，則，圖③，∵，∴，圖④，∵∴，圖⑤，∵∴，故答案為：3．(3)∵，∴，∵，∴．【考點(diǎn)】本題考查了勾股定理的證明，解決本題的關(guān)鍵是掌握勾股定理．2、【解析】【分析】連接EE`,如圖,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得BE=BE'=2,AE=CE'=1,∠EBE`=90°,則可判斷△BEE`為等腰直角三角形,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得EE`=BE=2,∠BE`E=45°,在△CEE'中,由于CE`+EE'=CE,根據(jù)勾股定理的逆定理得到△CEE`為直角三角形,即∠EE`C=90°,然后利用∠BE'C=∠BE'E+∠CE'E求解【詳解】連接EE`,如圖,∵△ABE繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△CBE`∴BE=BE'=2,AE=CE'=1,∠EBE'=90°∴△BEE'為等腰直角三角形∴EE'=BE=2,∠BE'E=45°在△CEE`中,CE=3,CE'=1,EE'=2,∵1+(2)=3∴CE+EE'=CE∴△CEE'為直角三角形∴∠EE'C=90°∴∠BE'C=∠BE'E+∠CE'E=135°【考點(diǎn)】此題考查了等腰直角三角形，勾股定理的逆定理，正方形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，利用勾股定理證明三角形是直角三角形是解題關(guān)鍵3、這棵樹在離地面6米處被折斷【解析】【分析】設(shè)，利用勾股定理列方程求解即可.【詳解】解：設(shè)，∵在中，，∴，∴．答：這棵樹在離地面6米處被折斷【考點(diǎn)】本題考查了勾股定理，熟練掌握勾股定理是解答本題的關(guān)鍵．直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方．當(dāng)題目中出現(xiàn)直角三角形，且該直角三角形的一邊為待求量時(shí)，常使用勾股定理進(jìn)行求解．有時(shí)也可以利用勾股定理列方程求解．4、(1)ABD，ACE，；(2)BD的長(zhǎng)為；(3)＋4．【解析】【分析】（1）根據(jù)SAS可證△ABD≌△ACE，得出BD＝CE，利用勾股定理求出CE即可得出BD的長(zhǎng)度；（2）作AH⊥BC于點(diǎn)H，以AB為邊在左側(cè)作等邊△ABE，連接CE，求出BH，HC即BC的長(zhǎng)度，再利用勾股定理即可求出CE的長(zhǎng)度，由（1）知BD＝CE，據(jù)此得解；（3）作AH⊥BC于點(diǎn)H，以AB為邊在左側(cè)作等邊△ABE，延長(zhǎng)EB至F，使BF＝EB，連接AF交BN于C'，連接EC'，此時(shí)BD＋AC'有最小值即為AF，此時(shí)△ABD周長(zhǎng)＝AF＋AB最小，求出AF即可．(1)解：∵△ACD和△ABE是等邊三角形，∴∠EAB＝∠DAC＝60°，AD＝AC，∴∠EAB＋∠BAC＝∠DAC＋∠BAC，即∠EAC＝∠BAD，在△ABD和△AEC中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD＝CE，∵AB＝4，∠MBN＝30°，∴AC＝2，∴BC＝，∴BD＝CE＝，故答案為：ABD，ACE，；(2)解：如下圖，作AH⊥BC于點(diǎn)H，以AB為邊在左側(cè)作等邊△ABE，連接CE，∵AB＝4，∠MAN＝30°，∴AH＝2，BH＝，∵AC＝，∴HC＝，∴BC＝BH＋HC＝＋＝，∴CE＝，由（1）可