高考總復習優(yōu)化設(shè)計GAOKAOZONGFUXIYOUHUASHEJI指點迷津(二)第三章2026巧用函數(shù)性質(zhì)的二級結(jié)論解客觀題關(guān)于函數(shù)的奇偶性、周期性、對稱性,有很多重要的二級結(jié)論,運用這些結(jié)論解決客觀題非常簡潔、高效,舉例說明如下.一、應用奇函數(shù)的二級結(jié)論解題結(jié)論1:如果函數(shù)f(x)是奇函數(shù)且在x=0處有意義,那么f(0)=0.結(jié)論2:若奇函數(shù)f(x)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上有最值,則f(x)max+f(x)min=0.結(jié)論3:若函數(shù)f(x)是奇函數(shù),且g(x)=f(x)+c,則必有g(shù)(-x)+g(x)=2c.結(jié)論4:若函數(shù)f(x)是奇函數(shù),且g(x)=f(x)+c,g(x)在定義域上有最值,則必有g(shù)(x)max+g(x)min=2c.例1.設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),當x≥0時,f(x)=3x-4x+a,則f(-1)=(

)答案

D解析

由題意得f(0)=1+a=0,解得a=-1,即當x≥0時,f(x)=3x-4x-1,于是f(-1)=-f(1)=-(31-4-1)=2,故選D.A.-1 B.0 C.1 D.2答案

B

例2.已知函數(shù)f(x)=aln(x+)+bsinx+2,若f(-3)=7,則f(3)的值(

)A.等于-7 B.等于-5C.等于-3 D.無法確定答案

C對點訓練2對于函數(shù)f(x)=,若f(5)+f(-5)=4,則a=

.

答案

2例3.已知函數(shù)f(x)=的最大值為M,最小值為m,則M+m=

.

答案

2對點訓練3若對?x,y∈R,有f(x+y)=f(x)+f(y)-4,函數(shù)g(x)=+f(x)在區(qū)間[-2021,2021]上存在最大值和最小值,則其最大值與最小值的和為(

)A.4 B.8

C.12

D.16B二、應用周期性的二級結(jié)論解題對f(x)定義域內(nèi)任一自變量的值x(a,b為非零常數(shù)):結(jié)論1:若函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=a與x=b對稱,則f(x)的一個周期為2|b-a|(b≠a).結(jié)論2:若函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(a,0)對稱,又關(guān)于點(b,0)對稱,則f(x)的一個周期為2|b-a|(b≠a).結(jié)論3:若函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=a對稱,又關(guān)于點(b,0)對稱,則f(x)的一個周期為4|b-a|(b≠a).(注意:結(jié)論1—結(jié)論3的記憶:兩次對稱成周期,兩軸兩心二倍差,一軸一心四倍差)例4.定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(1+x)=f(1-x).當x∈[0,1]時,f(x)=x3+3x,則f(2023)=(

)A.-4 B.0

C.4 D.14答案A解析由題意,函數(shù)f(x)滿足f(1+x)=f(1-x),變形可得f(2+x)=f(-x),又由f(x)為奇函數(shù),故f(-x)=-f(x),則有f(x+2)=-f(x),∴f(x+4)=-f(x+2)=f(x),即函數(shù)f(x)是周期為4的周期函數(shù).當x∈[0,1]時,f(x)=x3+3x,故f(2

023)=f(2

024-1)=f(506×4-1)=f(-1)=-f(1)=-4.故選A.對點訓練4已知函數(shù)f(x),g(x)的定義域均為R,且f(x)+f(2-x)=4,g(x)=f(x-1)+1,若g(x+1)為偶函數(shù),且f(2)=0,則g(2022)+g(2023)=(

)A.5 B.4

C.3

D.0解析∵f(x)+f(2-x)=4,∴f(x)的圖象以點(1,2)為對稱中心,且f(1)=2.∵g(x+1)為偶函數(shù),∴g(x)的圖象關(guān)于直線x=1對稱,又f(x-1)=g(x)-1,即f(x-1)的圖象關(guān)于直線x=1對稱,∴f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱,即f(x)為偶函數(shù),且f(-2)=f(2).由f(x)+f(2-x)=4知,f(x+2)+f(x)=4,∴f(x+2)=f(2-x)=f(x-2),從而得f(x+4)=f(x),∴f(x)的周期為4,g(x)的周期為4,故g(2

022)+g(2

023)=g(2)+g(-1)=f(1)+1+f(-2)+1=2+1+0+1=4.故選B.答案

B答案BC∴f(-1)=f(4).故C正確;∵g(2+x)為偶函數(shù),∴g(2-x)=g(2+x),∴g(x)的圖象關(guān)于直線x=2對稱.∵g(x)=f'(x),g(x)的圖象關(guān)于直線x=2對稱,構(gòu)造函數(shù)f(x)=sin(πx)符合題目要求,g(x)=πcos(πx),而g(-1)=πcos(-π)=-π,g(2)=πcos

2π=π,故D錯誤.故選BC.對點訓練5已知f(x)是定義域為R的奇函數(shù),若f(x+1)為偶函數(shù),f(1)=1,則f(2020)-f(2019)=(

)A.-2 B.-1 C.0

D.1D三、應用函數(shù)圖象對稱性的二級結(jié)論解題結(jié)論1:若函數(shù)f(x+a)是偶函數(shù),則函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=a對稱.結(jié)論2:若函數(shù)f(x+a)是奇函數(shù),則函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(a,0)中心對稱.例6.(2023江西臨川一中期末)若函數(shù)f(x)的定義域為R,且f(x+1)是偶函數(shù),f(x+3)是奇函數(shù),則函數(shù)f(x)的一條對稱軸為(

)A.x=2023 B.x=2022C.x=2021 D.x=2020答案

C解析

由f(x+1)是偶函數(shù),得f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對稱,由f(x+3)是奇函數(shù),得f(x)的圖象關(guān)于點(3,0)中心對稱,∴f(x)的周期T=4|3-1|=8,∵f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對稱,∴f(x)的圖象關(guān)于直線x=1+=5對稱,∴f(x)的對稱軸為x=1+8k,k∈Z或x=5+8k,k∈Z.∵2

020=252×8+4,2

021=252×8+5,2

022=252×8+6,2

023=252×8+7,∴函數(shù)f(x)的一條對稱軸為直線x=2

021.故選C.對點訓練6已知函數(shù)f(x)的定義域為R,f(x+1)為偶函數(shù),f(x+2)為奇函數(shù),且滿足f(1)+f(2)=2,則

f(k)=(

)A.-2023 B.0 C.2

D.2023答案

B解析∵f(x+1)為偶函數(shù),∴f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對稱,∵f(x+2)為奇函數(shù),∴f(x)的圖象關(guān)于點(2,0)中心對稱,且f(2)=0,∴f(x)的周期為T=4|2-1|=4.由f(1)+f(2)=2,得f(1)=2,點(1,2)關(guān)于點(2,0)成中心對稱的點為(3,-2),即f(3)=-2.由f(x)的