第二十一章一元二次方程一、選擇題(共10小題,每小題3分,共30分.每小題有四個選項(xiàng),其中只有一個選項(xiàng)符合題意)1.(2022·北京西城區(qū)期中)若(m-1)x|m|+1-2x=3是關(guān)于x的一元二次方程,則m的值為()A.-1 B.1C.±1 D.無法確定2.(2022·廣東珠海期中)把2x(x-1)=3x化成一元二次方程的一般形式,則二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)分別是()A.2,5,0 B.2,-5,1C.2,-5,0 D.2,5,13.(2022·寧夏吳忠利通區(qū)期末)將一元二次方程x2+4x+2=0配方后,可得到方程()A.(x-2)2=2 B.(x+2)2=6C.(x-2)2=6 D.(x+2)2=24.(2021·山東煙臺模擬)若4a-2b+c=0,則一元二次方程ax2-bx+c=0(a≠0)必有一根是()A.0 B.無法確定C.-2 D.25.若2x2+1與4x2-2x-5互為相反數(shù),則x=()A.-1或23 B.1或-C.1或-32 D.1或6.(2022·河北保定市第十七中學(xué)月考)已知(x2+y2)2-y2=x2+6,則x2+y2=()A.-2 B.3C.-2或3 D.-3或27.(2022·河北唐山期中改編)小剛在解關(guān)于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)時,只抄對了a=1,b=3,解出其中一個根是x=-1.他核對時發(fā)現(xiàn)所抄的c值比原方程的c值小2,則原方程的根的情況是()A.不存在實(shí)數(shù)根B.有兩個不相等的實(shí)數(shù)根C.有一個根是x=-1D.有兩個相等的實(shí)數(shù)根8.(2021·天津河西區(qū)期中改編)生物學(xué)家研究發(fā)現(xiàn),很多植物的生長都有下面的規(guī)律,即主干長出若干數(shù)目的支干后,每個支干又會長出同樣數(shù)目的小分支.現(xiàn)有符合上述生長規(guī)律的某種植物,它的主干、支干和小分支的總數(shù)是91,則這種植物每個支干長出小分支的個數(shù)是()A.9 B.10C.-10 D.9或109.(2022·湖北武漢武昌區(qū)期末)若實(shí)數(shù)a,b分別滿足a2-6a+4=0,b2-6b+4=0,且a≠b,則a2+b2=()A.36 B.50 C.28 D.2510.(2022·山西晉中期中)如圖,在△ABC中,∠B=90°,AB=8cm,BC=6cm,動點(diǎn)P,Q分別從點(diǎn)A,B同時開始移動(移動方向如圖所示),點(diǎn)P的速度為1cm/s,點(diǎn)Q的速度為2cm/s,點(diǎn)Q移動到點(diǎn)C處停止,點(diǎn)P也隨之停止運(yùn)動.當(dāng)四邊形APQC的面積為12cm2時,點(diǎn)P運(yùn)動的時間是()A.6s B.2s或6sC.3s D.2s二、填空題(共5小題,每小題3分,共15分)11.(2021·遼寧錦州期末)已知關(guān)于x的一元二次方程x2-mx=0的一個根為1,則m=.

12.(2022·上海寶山區(qū)羅南中學(xué)月考)寫出兩根分別為1,2,且二次項(xiàng)系數(shù)為1的關(guān)于x的一元二次方程:.

13.(2022·云南文山期末)現(xiàn)規(guī)定一種新的運(yùn)算:abcd=ad-bc,當(dāng)x3x14.(2022·湖北孝感期中)若方程x2-2023x+1=0的一個根為a,則a2-2022a+2023a2+115.(2022·江西南昌段考)在2022年7月的日歷表上用一個方框圈出4個數(shù)(如圖所示),若圈出的4個數(shù)中,最小數(shù)與最大數(shù)的乘積為180,則這個最小數(shù)為.

三、解答題(共6小題,共55分)16.(共3小題,每小題4分,共12分)用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠?(1)y(y-1)=2-2y;(2)5x2-8x=-5;(3)(x+2)2-8(x+2)+15=0.17.(8分)(2022·河北滄州段考改編)嘉嘉與淇淇兩位同學(xué)解方程3(x-3)=(x-3)2的過程如下.嘉嘉:兩邊同時除以(x-3),得3=x-3,解得x=6.淇淇:移項(xiàng),得3(x-3)-(x-3)2=0,提取公因式,得(x-3)(3-x-3)=0.則x-3=0或3-x-3=0,解得x1=3,x2=0.(1)嘉嘉的解法,淇淇的解法.(填“正確”或“不正確”)

(2)請你給出正確的解法,并結(jié)合你的經(jīng)驗(yàn)提出一條解題注意事項(xiàng).18.(8分)(2022·湖南張家界期末改編)某校為響應(yīng)全民閱讀活動,在周六面向社會開放學(xué)校圖書館.據(jù)統(tǒng)計(jì),該校圖書館第一個月進(jìn)館256人次,第三個月進(jìn)館576人次,假設(shè)進(jìn)館人次的月平均增長率相同.(1)求進(jìn)館人次的月平均增長率;(2)因條件限制,學(xué)校圖書館每月接納不超過1000人次,在進(jìn)館人次的月平均增長率不變的條件下,校圖書館能否正常接納第四個月的進(jìn)館人次?請說明理由.19.(8分)新風(fēng)向新定義試題(2022·江蘇蘇州期中)如果關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有兩個不相等的實(shí)數(shù)根,其中一個根比另一個根大1,那么稱這樣的方程為“鄰根方程”.例如,一元二次方程x2+x=0的兩個實(shí)數(shù)根分別是x1=0,x2=-1,則方程x2+x=0是“鄰根方程”.(1)通過計(jì)算,判斷方程2x2-23x+1=0是否是“鄰根方程”.(2)已知關(guān)于x的方程x2-(m-1)x-m=0(m是常數(shù))是“鄰根方程”,求m的值.20.(9分)(2022·四川成都期中)如圖(1),用籬笆靠墻圍成矩形花圃ABCD,墻可利用的最大長度為15m,籬笆總長為24m.(1)若圍成的花圃面積為40m2,求BC的長;(2)如圖(2),若計(jì)劃在花圃中間用一道籬笆隔成兩個小矩形,且圍成的花圃總面積為50m2,則能否成功圍成花圃?如果能,求BC的長;如果不能,請說明理由.21.(10分)新風(fēng)向探究性試題(2022·河南洛陽期中)閱讀并完成下列問題:任意給定一個矩形A,是否存在另一矩形B,使它的周長和面積分別是已知矩形周長和面積的一半?(1)當(dāng)已知矩形A的兩邊長分別為6和1時,小亮同學(xué)是這樣研究的:設(shè)所求矩形的兩邊長分別是x和y,由題意可得方程組x消去y,得2x2-7x+6=0.∵Δ=49-48=1>0,∴x1=,x2=,

∴滿足要求的矩形B存在.(2)如果已知矩形A的兩邊長分別為2和1,那么請你仿照小亮的方法研究是否存在滿足要求的矩形B.(3)如果矩形A的兩邊長分別為m和n,那么請你研究當(dāng)m,n滿足什么條件時,矩形B存在,并說明理由.第二十一章一元二次方程答案1.A由題意得,|m|+1=2,且m-1≠0,解得m=-1.2.C2x(x-1)=3x化成一般形式為2x2-5x=0,所以二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)分別是2,-5,0.3.D將方程x2+4x+2=0移項(xiàng),得x2+4x=-2,配方得x2+4x+22=-2+22,即(x+2)2=2.4.D∵4a-2b+c=0,∴a×22-b×2+c=0,∴方程ax2-bx+c=0(a≠0)必有一根為2.5.B由題意可得,2x2+1+4x2-2x-5=0,即3x2-x-2=0,解得x=1或-236.B(換元法)∵(x2+y2)2-y2=x2+6,∴(x2+y2)2-(x2+y2)=6.設(shè)x2+y2=m,原方程化為m2-m-6=0,解得m1=3,m2=-2.∵x2+y2>0,∴x2+y2=3.7.A∵小剛在解關(guān)于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)時,只抄對了a=1,b=3,解出其中一個根是x=-1,∴(-1)2-3+c=0,解得c=2,故原方程中c=4,則Δ=9-4×1×4=-7<0,∴原方程的根的情況是不存在實(shí)數(shù)根.故選A.8.A設(shè)這種植物每個支干長出x個小分支,依題意可得支干的數(shù)量為x,小分支的數(shù)量為x·x=x2,根據(jù)題意可列出方程1+x+x2=91,解得x1=9,x2=-10(舍去),故這種植物每個支干長出9個小分支.9.C∵a2-6a+4=0,b2-6b+4=0,且a≠b,∴a,b可以看作方程x2-6x+4=0的兩個根,∴a+b=6,ab=4,∴原式=(a+b)2-2ab=62-2×4=28.10.D設(shè)動點(diǎn)P,Q運(yùn)動ts時,四邊形APQC的面積為12cm2,則BP=(8-t)cm,BQ=2tcm.由題意得,12×(8-t)×2t=12×6×8-12,解得t1=2,t2=6.∵當(dāng)t=6時,BQ=12cm,不合題意,∴動

【注意】BQ的長不大于BC的長點(diǎn)P,Q運(yùn)動2s時11.1把x=1代入方程x2-mx=0,得1-m=0,解得m=1.12.x2-3x+2=013.2或3由題意得xx-23x=x2-3(x-2)=2x,整理得x2-5x+6=0,解得x1=2,x14.2022由題意可得,a2-2023a+1=0,∴a2=2023a-1,a2+1=2023a,∴原式=2023a-1-2022a+20232023a=a+1a-1=a2+1a-1=15.10設(shè)這個最小數(shù)為x,則最大數(shù)為(x+8),根據(jù)題意得x(x+8)=180,整理得x2+8x-180=0,解得x1=10,x2=-18(不合題意,舍去),所以這個最小數(shù)為10.16.【參考答案】(1)移項(xiàng),得y(y-1)+2(y-1)=0,(2分)因式分解,得(y+2)(y-1)=0,解得y1=-2,y2=1.(4分)(2)移項(xiàng),得5x2-8x+5=0.因?yàn)閍=5,b=-8,c=5,所以Δ=b2-4ac=64-100=-36<0,(2分)所以方程無實(shí)數(shù)根.(4分)(3)(整體思想)把(x+2)看成一個整體,因式分解,得[(x+2)-3][(x+2)-5]=0,(2分)整理,得(x-1)(x-3)=0,解得x1=1,x2=3.(4分)17.【參考答案】(1)不正確不正確(2分)(2)正確的解法是:3(x-3)=(x-3)2,移項(xiàng),得3(x-3)-(x-3)2=0,提取公因式,得(x-3)(3-x+3)=0,則x-3=0或3-x+3=0,解得x1=3,x2=6.(6分)注意事項(xiàng):移項(xiàng)時要注意正負(fù)號的改變,或除數(shù)不能為0(言之有理即可).(8分)18.【參考答案】(1)設(shè)進(jìn)館人次的月平均增長率為x,根據(jù)題意得,256(1+x)2=576,解得x1=0.5=50%,x2=-2.5(不合題意,舍去).答:進(jìn)館人次的月平均增長率是50%.(4分)(2)能.(5分)理由:576×(1+50%)=864(人次),∵864<1000,∴校圖書館能正常接納第四個月的進(jìn)館人次.(8分)19.【參考答案】(1)是.(1分)理由:Δ=(-23)2-4×2×1=4>0,故方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根.解一元二次方程,得x1=3+12,x2=3-12.∵3+12-3∴方程2x2-23x+1=0是“鄰根方程”.(4分)(2)解方程,得x=m或x=-1.(5分)∵方程x2-(m-1)x-m=0(m是常數(shù))是“鄰根方程”,∴|m-(-1)|=1,∴m=-1+1或m=-1-1,(7分)解得m=0或-2.(8分)20.【參考答案】(1)設(shè)BC的長為xm,則AB的長為24-x2根據(jù)題意,得x·24-x2=整理,得x2-24x+80=0.(2分)解得x1=4,x2=20.∵20>15,∴x2=20不符合題意,舍去,∴BC的長為4m.(4分)(2)不能.(5分)理由:設(shè)BC的長為ym,則AB的長為24-y3根據(jù)題意,得y·24-y3整理,得y2-24y+150=0.(7分)∵Δ=(-24)2-4×1×150=-24<0,∴該方程無實(shí)數(shù)根,∴不能圍成總面積為50m2的花圃.(9分)21