18.5分式方程預(yù)習(xí)講義思維導(dǎo)圖學(xué)習(xí)目標(biāo)理解分式方程的概念，能識(shí)別分式方程掌握可化為一元一次方程的分式方程的解法理解分式方程驗(yàn)根的必要性，會(huì)進(jìn)行驗(yàn)根能列分式方程解決簡單的實(shí)際問題培養(yǎng)方程建模思想和檢驗(yàn)意識(shí)知識(shí)點(diǎn)梳理分式方程的定義分母中含有未知數(shù)的方程示例：1/(x+2)=3，(x-1)/x=2分式方程的解法基本解法步驟：去分母（方程兩邊同乘最簡公分母）解整式方程驗(yàn)根（將解代入最簡公分母檢驗(yàn)）寫出結(jié)論增根的產(chǎn)生：使最簡公分母為零的根必須舍去實(shí)際應(yīng)用工程問題：工作效率=工作量/時(shí)間行程問題：速度=路程/時(shí)間分配問題：建立等量關(guān)系易錯(cuò)點(diǎn)提醒忘記檢驗(yàn)是最常見錯(cuò)誤去分母時(shí)漏乘不含分母的項(xiàng)解整式方程時(shí)計(jì)算錯(cuò)誤實(shí)際問題中單位不統(tǒng)一忽略實(shí)際問題中分母不為零的隱含條件混淆分式運(yùn)算與分式方程解法知識(shí)點(diǎn)小結(jié)核心概念：分母含未知數(shù)的方程關(guān)鍵步驟：去分母→解方程→驗(yàn)根重要原則：所有解必須通過檢驗(yàn)應(yīng)用價(jià)值：解決工程、行程等實(shí)際問題數(shù)學(xué)思想：轉(zhuǎn)化思想（化分式方程為整式方程）學(xué)習(xí)建議概念理解通過對(duì)比一元一次方程理解分式方程特點(diǎn)重點(diǎn)理解增根的產(chǎn)生原因方法掌握先練習(xí)基礎(chǔ)的分式方程解法再練習(xí)需要因式分解的方程最后解決實(shí)際問題思維培養(yǎng)養(yǎng)成"解必檢驗(yàn)"的解題習(xí)慣建立"實(shí)際問題→數(shù)學(xué)模型→求解驗(yàn)證"的思維流程培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)拇鷶?shù)運(yùn)算習(xí)慣學(xué)習(xí)建議一、選擇題1．小明用滴滴打車去火車站，他可以選擇兩條不同路線：路線A的全程是15千米，但交通擁堵；路線B的全程比路線A的全程多6千米，但平均車速是走路線A時(shí)速度的1.5倍，走路線B的全程比走路線A少用15分鐘．設(shè)走路線A時(shí)的平均速度為x千米/小時(shí)，根據(jù)題意，可列分式方程（）A．15x?15+6C．15+61.5x?152．某藥店購進(jìn)A，B兩種的口罩，其中A種口罩的單價(jià)比B種口罩的單價(jià)低0.2元．已知該店主購進(jìn)A種口罩用了920元，購進(jìn)B種口罩用了500元，且所購進(jìn)的A種口罩的數(shù)量比B種口罩多20個(gè)．設(shè)藥店購進(jìn)A種款式的口罩x個(gè)，則所列方程正確的是（）A．920x=500C．920x=5003．對(duì)于兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)a，b，規(guī)定：max{a,b}表示a，b中的較大值，如max{2,4}=4，按照這個(gè)規(guī)定，方程A．x=?3 B．x=3 C．x=1或x=?3 D．x=1或x=34．若關(guān)于x的方程x?1x?5=mxA．?85 B．?85或?2 C．5．A，B兩地相距48千米，一艘輪船從A地順流航行至B地，又立即從B地逆流返回A地，共用去9小時(shí)，已知水流速度為4千米/時(shí)，若設(shè)該輪船在靜水中的速度為x千米/時(shí)，則可列方程（）A．48x+4+48C．48x+4=9 D．6．甲、乙、丙三名打字員承擔(dān)一項(xiàng)打字任務(wù)，已知如下信息：信息一：甲單獨(dú)完成任務(wù)所需時(shí)間比乙單獨(dú)完成任務(wù)所需時(shí)間多5小時(shí)；信息二：甲4小時(shí)完成工作量與乙3小時(shí)完成工作量相等；信息三：丙的工作效率是甲的工作效率的2倍如果每小時(shí)只安排1名打字員，那么按照甲、乙、丙的順序至完成工作任務(wù)，共需（）。A．1316小時(shí) B．1312小時(shí) C．1417．下列關(guān)于x的方程是分式方程的是（）A．2+x5=3+x6 B．x2?3=二、填空題8．《步輦圖》是唐朝畫家閻立本的作品，如圖是它的局部畫面，裝裱前是一個(gè)長為54cm，寬為27cm的矩形，裝裱后，整幅圖畫寬與長的比是11:20，且四周邊框的寬度相等，則邊框的寬度應(yīng)是多少cm？設(shè)邊框的寬度為xcm，根據(jù)題意，可列方程為．9．分式方程12x?5=310．若關(guān)于x的分式方程2x?mx+1=3的解是負(fù)數(shù)，則字母m的取值范圍是11．甲、乙二人做某種機(jī)械零件，已知甲每小時(shí)比乙多做6個(gè)，甲做90個(gè)零件所用的時(shí)間與乙做60個(gè)零件所用的時(shí)間相等.設(shè)甲每小時(shí)做x個(gè)零件，依題意列方程為.12．如圖，點(diǎn)A，B在數(shù)軸上，它們表示的數(shù)分別為?2，xx+2（1）若點(diǎn)A，B到原點(diǎn)的距離相等，則x的值為．（2）若點(diǎn)C在數(shù)軸上表示的數(shù)為12x+4，且點(diǎn)A，B到點(diǎn)C的距離相等，則x的值為13．若關(guān)于x的一元一次不等式組x+32≤42x?a≥2，至少有2個(gè)整數(shù)解，且關(guān)于y的分式方程a?114．某中學(xué)假期后勤中的一項(xiàng)工作是請(qǐng)30名木工制作200把椅子和100張課桌，已知一名工人在單位時(shí)間內(nèi)可以制作10把椅子或7張課桌，將這30名工人分成兩組，一組制作課桌，一組制作椅子，兩組同時(shí)開工．應(yīng)分配人制作課桌，才能使完成此項(xiàng)工作的時(shí)間最短．三、解答題15．命題“x=3是方程x?3x、16．從廣州到某市，可乘坐普通列車或高鐵，已知高鐵的行駛路程是400千米，普通列車的行駛路程是高鐵的行駛路程的1.（1）求普通列車的行駛路程；（2）若高鐵的平均速度(千米/時(shí))是普通列車平均速度(千米/時(shí))的2.5倍，且乘坐高鐵所需時(shí)間比乘坐普通列車所需時(shí)間縮短17．為賡續(xù)中華優(yōu)秀文脈，促進(jìn)文明交流互鑒，某社區(qū)準(zhǔn)備聘請(qǐng)甲、乙兩支施工隊(duì)參與布置一條長為1200米的宣傳長廊．已知甲隊(duì)單獨(dú)布置完成工程比乙隊(duì)單獨(dú)布置完成工程多用10天，乙隊(duì)每天布置的數(shù)量是甲隊(duì)每天布置的數(shù)量的1.5倍．（1）求甲、乙兩支施工隊(duì)每天分別布置完成多少米宣傳長廊？（2）現(xiàn)將宣傳長廊布置任務(wù)交給乙隊(duì)并要求25天內(nèi)完成．乙隊(duì)布置若干天后因接到其它布置任務(wù)，經(jīng)社區(qū)同意將余下布置任務(wù)全部交給甲隊(duì)完成．求在轉(zhuǎn)交給甲隊(duì)之前乙隊(duì)至少要布置多少天才能按時(shí)完成全部任務(wù)？18．已知點(diǎn)A,B在數(shù)軸上所對(duì)應(yīng)的數(shù)分別為mx?3，7?2x3?x，若（1）當(dāng)m=3時(shí)，求x的值；（2）若不存在滿足條件的x，求m的值．19．為防控“新型冠狀病毒”，某藥店分別用1600元、6000元購進(jìn)兩批防護(hù)口罩，第二批防護(hù)口罩的數(shù)量是第一批的3倍，但單價(jià)比第一批貴2元，請(qǐng)問藥店第一批防護(hù)口罩購進(jìn)了多少只？（1）填空①同學(xué)甲：設(shè)，則方程為60003x?②同學(xué)乙：設(shè)，則方程為3×1600x（2）請(qǐng)選擇其中一名同學(xué)的設(shè)法，寫出完整的解答過程．20．一小船由A港順流而下到B港需6?，由B港逆流而上到A港需8?.某天早晨6點(diǎn)，該船由A港出發(fā)駛向B港，到達(dá)B港時(shí)，發(fā)現(xiàn)船上一救生圈在途中掉入水中，于是立刻返回，Ih后遇到救生圈.（1）該船按水流速度由A港漂流到B港需要多少小時(shí)？（2）救生圈是何時(shí)掉入水中的？21．已知點(diǎn)A（0，y）在y軸正半軸上，以O(shè)A為邊作等邊△OAB，其中y是方程32y?2（1）求點(diǎn)A的坐標(biāo)；（2）如圖1，點(diǎn)P在x軸正半軸上，以AP為邊在第一象限內(nèi)作等邊△APQ，連QB并延長交x軸于點(diǎn)C，求證OC=BC；（3）如圖2，若點(diǎn)M為y軸正半軸上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M在點(diǎn)A的上邊，連MB，以MB為邊在第一象限內(nèi)作等邊△MBN，連NA并延長交x軸于點(diǎn)D，當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)時(shí)，DN?AM的值是否發(fā)生變化？若不變，求出其值；若變化，求出其變化的范圍．

參考答案1．D2．C3．C4．B5．A6．C7．C8．27+2x9．x=310．m>-3，且m≠-2．11．90x＝12．（1）?4（2）?513．414．1315．解：命題“x=3是方程x?3x2?3所以x=3是原方程的解，所以命題“x=3是方程x?3x16．（1）解：根據(jù)題意得：400×1.3=520(答：普通列車的行駛路程是520千米；（2）解：設(shè)普通列車平均速度是x千米/時(shí)，則高鐵平均速度是2.5x千米520x解得：x=120，經(jīng)檢驗(yàn)x=120是原方程的解，則高鐵的平均速度是120×2.5=300(千米/答：高鐵的平均速度是300千米/時(shí)．17．（1）解：設(shè)甲支施工隊(duì)每天布置完成x米宣傳長廊，則乙支施工隊(duì)每天布置完成1.5x米宣傳長廊，

由題意得：1200x?12001.5x=10，

解得：x＝40，

經(jīng)檢驗(yàn)，x＝40是所列方程的解，且符合題意，（2）解：設(shè)在轉(zhuǎn)交給甲隊(duì)之前乙隊(duì)要布置y天才能按時(shí)完成全部任務(wù)，

由題意得：40（25?y）＋60y≥1200，

解得：y≥10，

∴y的最小值為10，

答：在轉(zhuǎn)交給甲隊(duì)之前乙隊(duì)至少要布置10天才能按時(shí)完成全部任務(wù)．18．解：A,B兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則A,B兩點(diǎn)表示的數(shù)互為相反數(shù)

則mx?3（1）把m=3代入得：3x?3去分母得：3+2x?7=0，解得：x=2，經(jīng)檢驗(yàn)x=2是分式方程的解；

則x=2；（2）去分母得：m?7?2x=0，即由不存在滿足條件x的值，得到x=3，把x=3代入得：m+6?7=0，解得：m=1．

則m=1.19．（1）購進(jìn)第一批防護(hù)口罩x只；2；第一批防護(hù)口罩的單價(jià)為x元；x+2（2）解：同學(xué)甲：設(shè)藥店第一批防護(hù)口罩購進(jìn)了x只，則方程為60003x﹣1600解得x＝200．經(jīng)檢驗(yàn)x＝200是原方程的解，且符合題意．答：藥店第一批防護(hù)口罩購進(jìn)了200只；同學(xué)乙：設(shè)藥店第一批防護(hù)口罩的單價(jià)為x元，則方程為3×1600x＝6000解得x＝8．經(jīng)檢驗(yàn)x＝8是所列方程的解，所以，1600x答：藥店第一批防護(hù)口罩購進(jìn)了200只；20．（1）解：設(shè)小船按水流速度由A港漂流到B港需要x小時(shí)，根據(jù)題意得：1解得x=48，經(jīng)檢驗(yàn)x=48符合題意，答：小船按水流速度由A港漂流到B港需要48小時(shí).（2）解：設(shè)救生圈是在y點(diǎn)鐘落下水中的，由（1）小題結(jié)果，救生圈每小時(shí)順?biāo)鞯木嚯x等于全程的148∵小船早晨6時(shí)從A港出發(fā)，順流航行需6小時(shí)，∴它在中午12點(diǎn)鐘到達(dá)B港.而救生圈在y點(diǎn)鐘就已掉下水，到這時(shí)已漂流的時(shí)間為（12-y）小時(shí)，在這段時(shí)間里，每小時(shí)船行駛?cè)痰?，救生圈沿著航行方向漂流全程的1船與救生圈同向而行，距離拉大，船到B港后立刻掉頭去找救生圈，1小時(shí)后找到，在這一小時(shí)內(nèi)，船與救生圈相向而行，將原已拉開的距離縮短為0，由此得方程：(12?y)(解得：y=11，答：救生圈是在上午11點(diǎn)鐘掉下水的21．（1）解：∵32y?2去分母，得3+y-1=6，解得y=4經(jīng)檢驗(yàn)y=4是原方程的解∴點(diǎn)A（0，4）（2）證明：∵△APQ、△ABO都是等邊三角形∴AO=AB，AP=AQ，∠BAO=∠PAQ=60°∴∠PAO=∠BAQ∴△PAO?△QAB（SAS）∴∠QBA=∠POA=90°∵△ABO是等邊三角形∴∠AOB=∠ABO=60°∴∠COB=∠CBO=30°∴CO