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山東省曲阜市中考數(shù)學(xué)真題分類(勾股定理)匯編同步測(cè)評(píng)考試時(shí)間:90分鐘;命題人:教研組考生注意:1、本卷分第I卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分,滿分100分,考試時(shí)間90分鐘2、答卷前,考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級(jí)填寫在試卷規(guī)定位置上3、答案必須寫在試卷各個(gè)題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)的位置,如需改動(dòng),先劃掉原來(lái)的答案,然后再寫上新的答案;不準(zhǔn)使用涂改液、膠帶紙、修正帶,不按以上要求作答的答案無(wú)效。第I卷(選擇題14分)一、單選題(7小題,每小題2分,共計(jì)14分)1、如圖所示,將一根長(zhǎng)為24cm的筷子,置于底面直徑為5cm,高為12cm的圓柱形水杯中,設(shè)筷子露在外面的長(zhǎng)為hcm,則h的取值范圍是()A.0<h≤11 B.11≤h≤12 C.h≥12 D.0<h≤122、兩只小鼴鼠在地下打洞,一只朝正北方向挖,每分鐘挖8cm,另一只朝正東方向挖,每分鐘挖6cm,10分鐘之后兩只小鼴鼠相距(
)A.50cm B.120cm C.140cm D.100cm3、已知直角三角形紙片的兩條直角邊長(zhǎng)分別為m和n(m<n),過(guò)銳角頂點(diǎn)把該紙片剪成兩個(gè)三角形,若這兩個(gè)三角形都為等腰三角形,則()A.m2+2mn+n2=0 B.m2﹣2mn+n2=0 C.m2+2mn﹣n2=0 D.m2﹣2mn﹣n2=04、如圖,小巷左右兩側(cè)是豎直的墻,一架梯子斜靠在左墻時(shí),梯子底端到左墻角的距離為0.7米,頂端距離地面2.4米,如果保持梯子底端位置不動(dòng),將梯子斜靠在右墻時(shí),頂端距離地面2米,那么小巷的寬度為(
)A.0.7米 B.1.5米 C.2.2米 D.2.4米5、已知直角三角形的兩條邊長(zhǎng)分別是3和4,那么這個(gè)三角形的第三條邊的長(zhǎng)為(
)A.5 B.25 C. D.5或6、已知點(diǎn)是平分線上的一點(diǎn),且,作于點(diǎn),點(diǎn)是射線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),若,則的最小值為(
)A.2 B.3 C.4 D.57、如圖所示,圓柱的高AB=3,底面直徑BC=3,現(xiàn)在有一只螞蟻想要從A處沿圓柱表面爬到對(duì)角C處捕食,則它爬行的最短距離是()A. B. C. D.第Ⅱ卷(非選擇題86分)二、填空題(8小題,每小題2分,共計(jì)16分)1、如圖,學(xué)校有一塊長(zhǎng)方形草坪,有極少數(shù)人為了避開拐角走“捷徑”,在草坪內(nèi)走出了一條“路”,他們僅僅少走了________步路(假設(shè)步為米),卻踩傷了花草.2、《九章算術(shù)》是我國(guó)古代最重要的數(shù)學(xué)著作之一,在勾股章中記載了一道“折竹抵地”問題:“今有竹高一丈,末折抵地,去本三尺,問折著高幾何?”翻譯成數(shù)學(xué)問題是:如圖所示,在ΔABC中,∠ACB=90o,AC+AB=10,BC=3,求AC的長(zhǎng),若設(shè)AC=x,則可列方程為________________.3、《九章算術(shù)》中記載著這樣一個(gè)問題:已知甲、乙兩人同時(shí)從同一地點(diǎn)出發(fā),甲的速度為7步/分,乙的速度為3步/分,乙一直向東走,甲先向南走10步,后又斜向北偏東方向走了一段后與乙相遇,那么相遇時(shí),甲、乙各走了多遠(yuǎn)?解:如圖,設(shè)甲乙兩人出發(fā)后x分鐘相遇.根據(jù)勾股定理可列得方程為______.4、已知a、b、c是一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng),如果滿足,則這個(gè)三角形的形狀是_______.5、已知,在中,,,,則的面積為__.6、如圖,已知中,,,動(dòng)點(diǎn)M滿足,將線段繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段,連接,則的最小值為_________.7、附加題:觀察以下幾組勾股數(shù),并尋找規(guī)律:①3,4,5;②5,12,13;③7,24,25;④9,40,41;…請(qǐng)你寫出有以上規(guī)律的第⑤組勾股數(shù):________.8、有一個(gè)水池,水面是一個(gè)邊長(zhǎng)為10尺的正方形,在水池正中央有一根蘆葦,它高出水面1尺.如果把這根蘆葦拉向水池一邊的中點(diǎn),它的頂端恰好到達(dá)池邊的水面,這根蘆葦?shù)拈L(zhǎng)度為_____尺.三、解答題(7小題,每小題10分,共計(jì)70分)1、臺(tái)風(fēng)是一種自然災(zāi)害,它以臺(tái)風(fēng)中心為圓心在周圍上千米的范圍內(nèi)形成極端氣候,有極強(qiáng)的破壞力,有一臺(tái)風(fēng)中心沿東西方向AB由點(diǎn)A行駛向點(diǎn)B,已知點(diǎn)C為一海港,且點(diǎn)C與直線AB上兩點(diǎn)A、B的距離分別為300km和400km,又AB=500km,以臺(tái)風(fēng)中心為圓心周圍250km以內(nèi)為受影響區(qū)域.(1)海港C會(huì)受臺(tái)風(fēng)影響嗎?為什么?(2)若臺(tái)風(fēng)的速度為20km/h,臺(tái)風(fēng)影響該海港持續(xù)的時(shí)間有多長(zhǎng)?2、已知:整式A=(n2﹣1)2+(2n)2,整式B>0.嘗試化簡(jiǎn)整式A.發(fā)現(xiàn)A=B2.求整式B.聯(lián)想:由上可知,B2=(n2﹣1)2+(2n)2,當(dāng)n>1時(shí),n2﹣1,2n,B為直角三角形的三邊長(zhǎng),如圖,填寫下表中B的值;直角三角形三邊n2﹣12nB勾股數(shù)組Ⅰ8勾股數(shù)組Ⅱ353、在△ABC中,,AB=5cm,AC=3cm,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā),沿射線BC以1cm/s的速度移動(dòng),設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒,當(dāng)△ABP為直角三角形時(shí),求t的值.4、細(xì)心觀察圖形,認(rèn)真分析各式,然后解答問題.OA22=,;OA32=12+,;OA42=12+,…(1)請(qǐng)用含有n(n是正整數(shù))的等式表示上述變規(guī)律:OAn2=______;Sn=______.(2)求出OA10的長(zhǎng).(3)若一個(gè)三角形的面積是,計(jì)算說(shuō)明他是第幾個(gè)三角形?(4)求出S12+S22+S32+…+S102的值.5、如圖,在△ABC和△DEB中,AC∥BE,∠C=90°,AB=DE,點(diǎn)D為BC的中點(diǎn),.(1)求證:△ABC≌△DEB.(2)連結(jié)AE,若BC=4,直接寫出AE的長(zhǎng).6、如圖,在正方形ABCD中,E是邊AB上的一動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)F在邊BC的延長(zhǎng)線上,且,連接DE,DF.(1)求證:;(2)連接EF,取EF中點(diǎn)G,連接DG并延長(zhǎng)交BC于H,連接BG.①依題意,補(bǔ)全圖形;②求證:;③若,用等式表示線段BG,HG與AE之間的數(shù)量關(guān)系,請(qǐng)直接寫出結(jié)論.7、如圖,在一次地震中,一棵垂直于地面且高度為16米的大樹被折斷,樹的頂部落在離樹根8米處,即,求這棵樹在離地面多高處被折斷(即求AC的長(zhǎng)度)?-參考答案-一、單選題1、B【解析】【分析】根據(jù)題意畫出圖形,先找出h的值為最大和最小時(shí)筷子的位置,再根據(jù)勾股定理解答即可.【詳解】解:當(dāng)筷子與杯底垂直時(shí)h最大,h最大=24﹣12=12cm.當(dāng)筷子與杯底及杯高構(gòu)成直角三角形時(shí)h最小,如圖所示:此時(shí),AB===13cm,∴h=24﹣13=11cm.∴h的取值范圍是11cm≤h≤12cm.故選:B.【考點(diǎn)】本題考查了勾股定理的實(shí)際應(yīng)用問題,解答此題的關(guān)鍵是根據(jù)題意畫出圖形找出何時(shí)h有最大及最小值,同時(shí)注意勾股定理的靈活運(yùn)用,有一定難度.2、D【解析】【分析】畫出圖形,利用勾股定理即可求解.【詳解】解:如圖,cm,cm,∴在中,cm,故選:D【考點(diǎn)】本題考查了勾股定理的應(yīng)用,理解題意,畫出圖形是解題的關(guān)鍵.3、C【解析】【分析】如圖,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理可得m2+m2=(n-m)2,整理即可求解【詳解】m2+m2=(n﹣m)2,2m2=n2﹣2mn+m2,m2+2mn﹣n2=0.故選C.4、C【解析】【分析】在直角三角形中利用勾股定理計(jì)算出直角邊,即可求出小巷寬度.【詳解】在Rt△A′BD中,∵∠A′DB=90°,A′D=2米,BD2+A′D2=A′B′2,∴BD2+22=6.25,∴BD2=2.25,∵BD>0,∴BD=1.5米,∴CD=BC+BD=0.7+1.5=2.2米.故選:C.【考點(diǎn)】本題考查勾股定理的運(yùn)用,利用梯子長(zhǎng)度不變找到斜邊是關(guān)鍵.5、D【解析】【分析】分情況討論:①當(dāng)邊長(zhǎng)為4的邊作斜邊時(shí);②當(dāng)邊長(zhǎng)為4的邊作直角邊時(shí),利用勾股定理分別求解即可.【詳解】解:當(dāng)邊長(zhǎng)為4的邊作斜邊時(shí),第三條邊的長(zhǎng)度為;當(dāng)邊長(zhǎng)為4的邊作直角邊時(shí),第三條邊的長(zhǎng)度為;綜上分析可知,這個(gè)三角形的第三條邊的長(zhǎng)為5或,故D正確.故選:D.【考點(diǎn)】本題主要考查了勾股定理,掌握分類討論的思想是解題的關(guān)鍵.6、B【解析】【分析】根據(jù)垂線段最短可得PN⊥OA時(shí),PN最短,再根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等可得PM=PN,再結(jié)合勾股定理求解即可.【詳解】解:當(dāng)PN⊥OA時(shí),PN的值最小,∵OC平分∠AOB,PM⊥OB,∴PM=PN,∵,,,∴由勾股定理可知:PM=3,∴PN的最小值為3.故選B.【考點(diǎn)】本題考查了角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等的性質(zhì),垂線段最短的性質(zhì)及勾股定理,熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.7、C【解析】【分析】要求最短路徑,首先要把圓柱的側(cè)面展開,利用兩點(diǎn)之間線段最短,然后利用勾股定理即可求解.【詳解】解:把圓柱側(cè)面展開,展開圖如圖所示,點(diǎn)A、C之間的最短距離為線段AC的長(zhǎng).在Rt△ADC中,∠ADC=90°,CD=AB=3,AD為底面半圓弧長(zhǎng),AD=π,∴AC=,故選C.【考點(diǎn)】本題考查了平面展開-最短路徑問題,解題的關(guān)鍵是會(huì)將圓柱的側(cè)面展開,并利用勾股定理解答.二、填空題1、【解析】【分析】少走的距離是AC+BC-AB,在直角△ABC中根據(jù)勾股定理求得AB的長(zhǎng)即可.【詳解】解:如圖,∵在中,,∴米,則少走的距離為:米,∵步為米,∴少走了步.故答案為:.【考點(diǎn)】本題考查正確運(yùn)用勾股定理.善于觀察題目的信息,掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵.2、【解析】【分析】設(shè)AC=x,則AB=10-x,再由即可列出方程.【詳解】解:∵,且,∴,在Rt△ABC中,由勾股定理有:,即:,故可列出的方程為:,故答案為:.【考點(diǎn)】本題考查了勾股定理的應(yīng)用,熟練掌握勾股定理是解決本題的關(guān)鍵.3、【解析】【分析】設(shè)甲、乙二人出發(fā)后相遇的時(shí)間為x,然后利用勾股定理列出方程即可.【詳解】解:設(shè)經(jīng)x秒二人在C處相遇,這時(shí)乙共行AC=3x,甲共行AB+BC=7x,∵AB=10,∴BC=7x-10,又∵∠A=90°,∴BC2=AC2+AB2,∴(7x-10)2=(3x)2+102,故答案是:(7x-10)2=(3x)2+102.【考點(diǎn)】本題考查了勾股定理的應(yīng)用,解題的關(guān)鍵是從實(shí)際問題中抽象出直角三角形.4、直角三角形【解析】【分析】根據(jù)絕對(duì)值、完全平方數(shù)和算數(shù)平方根的非負(fù)性,可求解出a、b、c的值,再根據(jù)勾股定理的逆定理判斷即可.【詳解】解:由題意得:,解得:,∵,∴三角形為直角三角形.故答案為直角三角形.【考點(diǎn)】本題主要考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)和勾股定理的逆定理,運(yùn)用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出a、b、c的值是解題的關(guān)鍵.5、2或14#14或2【解析】【分析】過(guò)點(diǎn)B作AC邊的高BD,Rt△ABD中,∠A=45°,AB=4,得BD=AD=4,在Rt△BDC中,BC=4,得CD==5,①△ABC是鈍角三角形時(shí),②△ABC是銳角三角形時(shí),分別求出AC的長(zhǎng),即可求解.【詳解】解:過(guò)點(diǎn)作邊的高,中,,,,在中,,,①是鈍角三角形時(shí),,;②是銳角三角形時(shí),,,故答案為:2或14.【考點(diǎn)】本題考查了勾股定理,三角形面積求法,解題關(guān)鍵是分類討論思想.6、##【解析】【分析】證明△AMC≌△BNC,可得,再根據(jù)三角形三邊關(guān)系得出當(dāng)點(diǎn)N落在線段AB上時(shí),最小,求出最小值即可.【詳解】解:∵線段繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段,∴,,∵,,∴,∴△AMC≌△BNC,∴,∵∴的最小值為;故答案為:.【考點(diǎn)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì),勾股定理,解題關(guān)鍵是證明三角形全等,得出,根據(jù)三角形三邊關(guān)系取得最小值.7、11,60,61【解析】【分析】由所給勾股數(shù)發(fā)現(xiàn)第一個(gè)數(shù)是奇數(shù),且逐步遞增2,知第5組第一個(gè)數(shù)是11,第二、第三個(gè)數(shù)相差為1,設(shè)第二個(gè)數(shù)為x,則第三個(gè)數(shù)為,由勾股定理得:,計(jì)算求解即可.【詳解】解:由所給勾股數(shù)發(fā)現(xiàn)第一個(gè)數(shù)是奇數(shù),且逐步遞增2,∴知第5組第一個(gè)數(shù)是11,第二、第三個(gè)數(shù)相差為1,設(shè)第二個(gè)數(shù)為x,則第三個(gè)數(shù)為,由勾股定理得:,解得x=60,∴第5組數(shù)是:11、60、61故答案為:11、60、61.【考點(diǎn)】本題考查了數(shù)字類規(guī)律,勾股定理等知識(shí).解題的關(guān)鍵在于推導(dǎo)規(guī)律.8、13【解析】【分析】找到題中的直角三角形,設(shè)水深為x尺,根據(jù)勾股定理解答.【詳解】解:設(shè)水深為尺,則蘆葦長(zhǎng)為尺,根據(jù)勾股定理得:,解得:,蘆葦?shù)拈L(zhǎng)度(尺,答:蘆葦長(zhǎng)13尺.故答案為:13.【考點(diǎn)】本題考查正確運(yùn)用勾股定理.善于觀察題目的信息是解題以及學(xué)好數(shù)學(xué)的關(guān)鍵.三、解答題1、(1)會(huì),理由見解析;(2)7h【解析】【分析】(1)利用勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形,進(jìn)而利用三角形面積得出CD的長(zhǎng),從而判斷出海港C是否受臺(tái)風(fēng)影響;(2)利用勾股定理得出ED以及EF的長(zhǎng),進(jìn)而得出臺(tái)風(fēng)影響該海港持續(xù)的時(shí)間.【詳解】解:(1)如圖所示,過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB于D點(diǎn),∵AC=300km,BC=400km,AB=500km,∴,∴△ABC為直角三角形,∴,∴,∴,∵以臺(tái)風(fēng)中心為圓心周圍250km以內(nèi)為受影響區(qū)域,∴海港C會(huì)受到臺(tái)風(fēng)影響;(2)由(1)得CD=240km,如圖所示,當(dāng)EC=FC=250km時(shí),即臺(tái)風(fēng)經(jīng)過(guò)EF段時(shí),正好影響到海港C,此時(shí)△ECF為等腰三角形,∵,∴EF=140km,∵臺(tái)風(fēng)的速度為20km/h,∴140÷20=7h,∴臺(tái)風(fēng)影響該海港持續(xù)的時(shí)間有7h.【考點(diǎn)】本題考查的是勾股定理在實(shí)際生活中的運(yùn)用,解答此類題目的關(guān)鍵是構(gòu)造出直角三角形,再利用勾股定理解答.2、A=(n2+1)2,B=n2+1,15,17;12,37【解析】【分析】先根據(jù)整式的混合運(yùn)算法則求出A,進(jìn)而求出B,再把n的值代入即可解答.【詳解】A=(n2﹣1)2+(2n)2=n4﹣2n2+1+4n2=n4+2n2+1=(n2+1)2,∵A=B2,B>0,∴B=n2+1,當(dāng)2n=8時(shí),n=4,n2﹣1=42﹣1=15,n2+1=42+1=17;當(dāng)n2﹣1=35時(shí),n=±6(負(fù)值舍去),2n=2×6=12,n2+1=37.直角三角形三邊n2﹣12nB勾股數(shù)組Ⅰ15817勾股數(shù)組Ⅱ351237故答案為:15,17;12,37.【考點(diǎn)】本題考查了勾股數(shù)的定義及勾股定理的逆定理:已知△ABC的三邊滿足a2+b2=c2,則△ABC是直角三角形.3、當(dāng)△ABP為直角三角形時(shí),t=4或.【解析】【分析】當(dāng)△ABP為直角三角形時(shí),分兩種情況:①當(dāng)∠APB為直角時(shí),②當(dāng)∠BAP為直角時(shí),分別求出此時(shí)t的值即可.【詳解】在Rt△ABC中,由勾股定理得:,∴BC=4cm,由題意得:BP=tcm.,①當(dāng)∠APB為直角時(shí),如圖①,點(diǎn)P與點(diǎn)C重合,BP=BC=4cm,∴t=4;②當(dāng)∠BAP為直角時(shí),如圖②,BP=tcm.CP=(t-4)cm,AC=3cm,在Rt△ACP中,,在Rt△BAP中,,即,解得,答:當(dāng)△ABP為直角三角形時(shí),t=4或.【考點(diǎn)】本題考查了勾股定理以及直角三角形的知識(shí),解答本題的關(guān)鍵是掌握勾股定理的應(yīng)用,以及分類討論,否則會(huì)出現(xiàn)漏解.4、(1)OAn2=n;Sn=;(2)OA10=;(3)說(shuō)明他是第20個(gè)三角形;(4).【解析】【分析】(1)利用已知可得OAn2,注意觀察數(shù)據(jù)的變化,(2)結(jié)合(1)中規(guī)律即可求出OA102的值即可求出,(3)若一個(gè)三角形的面積是,利用前面公式可以得到它是第幾個(gè)三角形,(4)根據(jù)題意列出式子即可求出.【詳解】(1)結(jié)合已知數(shù)據(jù),可得:OAn2=n;Sn=;(2)∵OAn2=n,∴OA10=;(3)若一個(gè)三角形的面積是,根據(jù):Sn==,∴=2=,∴說(shuō)明他是第20個(gè)三角形,(4)S12+S22+S32+…+S102,=,=,=,=.故答案為(1)OAn2=n;Sn=;(2)OA10=;(3)說(shuō)明他是第20個(gè)三角形;(4).【考點(diǎn)】本題考查規(guī)律型:圖形的變化類,勾股定理的應(yīng)用.5、(1)見解析;(2)【解析】【分析】(1)根據(jù)平行可得∠DBE=90°,再由HL定理證明直角三角形全等即可;(2)構(gòu)造,利用矩形性質(zhì)和勾股定理即可求出AE長(zhǎng).【詳解】(1)∵AC∥BE,∴∠C+∠DBE=180°.∴∠DBE=180°-∠C=180°-90°=90°.∴△ABC和△DEB都是直角三角形.∵點(diǎn)D為BC的中點(diǎn),,∴AC=DB.
∵AB=DE,∴Rt△ABC≌Rt△DEB(HL).(2).過(guò)程如下:連接AE、過(guò)A點(diǎn)作AH⊥BE,∵∠C=90°,∠DBE=90°.∴,,∴AH=BC=4,,∴,在中,.【考點(diǎn)】本題主要考查了直角三角形全等的判定和勾股定理解三角形,解題關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形,利用用平行線間的距離處處相等得線段AH=BC,從而利用勾股定理求AE.6、(1)見解析(2)①見解析;②見解析;③BG2+HG2=4AE2.【解析】【分析】(1)證△ADE≌△CDF(SAS),得∠ADE=∠CDF,再證∠EDF=90°,即可得出結(jié)論;(2)①依題意,補(bǔ)全圖形即可;②由直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得DG=EF,BG=EF,即可得出結(jié)論;③先證△DEF是等腰直角三角形,得∠DEG=45°,再證DG⊥EF,DG=EF=EG,BG=EF=EG=FG,得∠GDF=45°,∠EDG=∠DEG=45°,∠GBF=∠GFB,然后證△CDH≌△CDF(ASA),得CH=CF,再由勾股定理即可求解.(1)證明:∵四邊形ABCD是正方形,∴AD=CD,∠A=∠B=∠BCD=∠ADC=90°,∴∠DCF=90°,即∠A=∠DCF,又∵AE=CF,∴△ADE≌△CDF(SAS),∴∠ADE=∠CDF,∵∠ADE+∠CDE
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