人教版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)2.4.2《圓的一般方程》聽評(píng)課記錄一.基本信息

2023年10月26日，上午第二節(jié)課，聽課教師張明，學(xué)科為高中數(shù)學(xué)，授課班級(jí)為高一（7）班，教學(xué)主題為《圓的一般方程》。本次聽課旨在通過觀摩《圓的一般方程》的教學(xué)實(shí)踐，探討如何在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中有效落實(shí)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，特別是數(shù)學(xué)抽象和邏輯推理能力的提升。該課時(shí)內(nèi)容屬于人教版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)2.4.2節(jié)，主要引導(dǎo)學(xué)生理解圓的一般方程的定義，掌握其標(biāo)準(zhǔn)形式與一般形式之間的轉(zhuǎn)化，并能運(yùn)用一般方程解決實(shí)際問題。通過本次聽課，可以深入了解教師在處理教材難點(diǎn)時(shí)的策略以及學(xué)生對(duì)該知識(shí)點(diǎn)的掌握情況。

二.課堂觀察記錄

1.教學(xué)準(zhǔn)備

教師的教學(xué)計(jì)劃清晰，教學(xué)目標(biāo)明確，圍繞“理解圓的一般方程，掌握其與標(biāo)準(zhǔn)方程的轉(zhuǎn)化”展開。教學(xué)資源準(zhǔn)備充分，包括教材、多媒體課件、幾何畫板軟件等。教材中相關(guān)例題和習(xí)題的標(biāo)注清晰，多媒體課件直觀展示了圓的幾何特征與代數(shù)方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系，幾何畫板則用于動(dòng)態(tài)演示圓的方程變化，這些資源有效支持了教學(xué)內(nèi)容的呈現(xiàn)和學(xué)生認(rèn)知的發(fā)展。教師提前在黑板上演算了幾個(gè)典型例題，為課堂講解做了鋪墊，體現(xiàn)了對(duì)教學(xué)細(xì)節(jié)的重視。

2.教學(xué)過程

開始階段，教師通過復(fù)習(xí)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程導(dǎo)入新課。他先在黑板上畫了一個(gè)圓，并寫出其標(biāo)準(zhǔn)方程（x-1）2+(y+2)2=5，然后提問：“如果不用圓心（1，-2）和半徑√5來表示，而是用其他變量，如何用代數(shù)式描述這個(gè)圓？”學(xué)生經(jīng)過短暫思考后，部分人嘗試將方程展開得到x2+y2-2x+4y-1=0，教師對(duì)此給予肯定，并順勢(shì)引出“圓的一般方程”的概念。導(dǎo)入過程自然流暢，激發(fā)了學(xué)生的求知欲，效果良好。

展開階段，教師采用講授與討論相結(jié)合的方法展開教學(xué)。首先，他通過多媒體課件展示了圓的一般方程的定義：x2+y2+Dx+Ey+F=0，并強(qiáng)調(diào)D2+E2-4F>0是方程表示圓的充要條件。接著，通過例1“將圓的一般方程x2+y2-6x+4y-12=0化為標(biāo)準(zhǔn)方程”進(jìn)行講解，教師逐步引導(dǎo)學(xué)生完成配方過程：（x-3）2+(y+2)2=25，并解釋了配方在代數(shù)變形中的作用。隨后，教師組織學(xué)生分組討論“如何由標(biāo)準(zhǔn)方程求一般方程”，各小組在黑板上演算并展示結(jié)果，教師巡視指導(dǎo)，對(duì)錯(cuò)誤的做法及時(shí)糾正。這一環(huán)節(jié)中，教師還穿插了“隨堂練習(xí)”，讓學(xué)生判斷方程x2+y2-4x+6y+9=0是否表示圓，并說明理由。部分學(xué)生因?qū)Α癉2+E2-4F”條件理解不透徹而出現(xiàn)錯(cuò)誤，教師通過反例（如x2+y2-4x+6y+10=0）進(jìn)行辨析，幫助學(xué)生深化理解。

在技術(shù)應(yīng)用方面，教師利用幾何畫板動(dòng)態(tài)演示了圓心位置和半徑大小的變化，當(dāng)學(xué)生完成例2“求過點(diǎn)（1，2）、（3，0）、（-1，-4）的圓的一般方程”后，教師通過軟件驗(yàn)證了結(jié)果的正確性，直觀性極強(qiáng)。此外，教師還利用課件中的互動(dòng)答題功能，隨機(jī)展示練習(xí)題，學(xué)生通過平板電腦提交答案，教師即時(shí)反饋，增強(qiáng)了課堂的趣味性和競(jìng)爭(zhēng)性。

結(jié)束階段，教師帶領(lǐng)學(xué)生總結(jié)本節(jié)課的核心內(nèi)容：圓的一般方程的形式、判別條件以及與標(biāo)準(zhǔn)方程的互化方法。通過提問“為什么D2+E2-4F>0是必要條件？”引導(dǎo)學(xué)生從代數(shù)角度思考，部分學(xué)生能結(jié)合判別式與二次函數(shù)圖像進(jìn)行解釋，教師對(duì)此給予高度評(píng)價(jià)。最后，布置作業(yè)時(shí)，教師將題目分為基礎(chǔ)題和拓展題，基礎(chǔ)題要求學(xué)生寫出給定圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，拓展題則要求學(xué)生證明“過定點(diǎn)（a，b）的圓的一般方程中，D、E、F滿足的關(guān)系式”，分層設(shè)計(jì)體現(xiàn)了因材施教的理念。

3.師生互動(dòng)

課堂中師生交流頻繁，教師通過提問、追問、點(diǎn)評(píng)等方式與學(xué)生互動(dòng)。例如，在講解配方時(shí)，教師會(huì)問“如何將-6x轉(zhuǎn)化為(x-3)2的一部分？”，在討論分組時(shí)，教師會(huì)巡視并參與小組討論，對(duì)學(xué)生的思路進(jìn)行引導(dǎo)。學(xué)生的反應(yīng)積極，大部分能跟上教師的節(jié)奏，但仍有少數(shù)學(xué)生在理解“D2+E2-4F”時(shí)表現(xiàn)出遲疑，教師通過個(gè)別輔導(dǎo)和類比解析幫助他們克服困難。在互動(dòng)答題環(huán)節(jié)，學(xué)生的參與度極高，正確率也在80%以上，教師通過“搶答”和“積分”等形式調(diào)動(dòng)了課堂氣氛。

4.學(xué)生學(xué)習(xí)狀態(tài)

學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性較高，尤其是在幾何畫板演示和互動(dòng)答題環(huán)節(jié)，學(xué)生表現(xiàn)出濃厚的興趣。課堂專注度整體良好，但部分學(xué)生在書寫方程時(shí)出現(xiàn)筆誤，反映出對(duì)細(xì)節(jié)的忽視。合作學(xué)習(xí)方面，小組討論時(shí)學(xué)生分工明確，有的負(fù)責(zé)計(jì)算，有的負(fù)責(zé)講解，但個(gè)別小組因分工不均導(dǎo)致效率較低。教師通過表?yè)P(yáng)優(yōu)秀小組和示范合理分工的方式，逐步提升了學(xué)生的合作能力。

5.課堂管理

課堂紀(jì)律良好，學(xué)生能遵守課堂規(guī)則，教師通過眼神示意和手勢(shì)引導(dǎo)維持秩序。時(shí)間分配合理，導(dǎo)入5分鐘，展開30分鐘，結(jié)束5分鐘，互動(dòng)答題環(huán)節(jié)占5分鐘，符合教學(xué)計(jì)劃。課堂節(jié)奏控制得當(dāng)，教師能在關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)調(diào)整語(yǔ)速，如講解判別式時(shí)放慢語(yǔ)速，確保學(xué)生理解。但個(gè)別練習(xí)時(shí)間略顯倉(cāng)促，教師應(yīng)在后續(xù)教學(xué)中優(yōu)化時(shí)間分配。

6.教學(xué)技術(shù)使用

現(xiàn)代教育技術(shù)的應(yīng)用較為充分，多媒體課件直觀展示了圓的幾何特征，幾何畫板動(dòng)態(tài)演示了方程變化，互動(dòng)答題系統(tǒng)增強(qiáng)了課堂互動(dòng)性。技術(shù)對(duì)教學(xué)效果的支持顯著，特別是幾何畫板的應(yīng)用，使學(xué)生能直觀理解抽象概念，提高了學(xué)習(xí)效率。教師應(yīng)繼續(xù)探索更多技術(shù)工具，如在線測(cè)試平臺(tái)，以進(jìn)一步優(yōu)化教學(xué)。

三.教學(xué)效果評(píng)價(jià)

1.目標(biāo)達(dá)成

本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)明確且適切，聚焦于“理解圓的一般方程及其與標(biāo)準(zhǔn)方程的互化”這一核心內(nèi)容，同時(shí)兼顧了數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)的培養(yǎng)。從課堂觀察來看，目標(biāo)達(dá)成度較高。首先，在知識(shí)層面，學(xué)生能夠準(zhǔn)確復(fù)述圓的一般方程的形式x2+y2+Dx+Ey+F=0，并理解D2+E2-4F>0是方程表示圓的充要條件。通過例題和隨堂練習(xí)，大部分學(xué)生掌握了將一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程的配方法，以及由標(biāo)準(zhǔn)方程求一般方程的代數(shù)變形。例如，在例1講解后，當(dāng)教師提出“將x2+y2-6x+4y-12=0化為標(biāo)準(zhǔn)方程”的隨堂練習(xí)時(shí)，約80%的學(xué)生能夠獨(dú)立完成配方過程，并在黑板或練習(xí)本上正確寫出（x-3）2+(y+2)2=25。在例2中，要求學(xué)生求過三點(diǎn)（1，2）、（3，0）、（-1，-4）的圓的一般方程，部分學(xué)生能正確列出方程組并求解，暴露出少數(shù)學(xué)生在解三元一次方程組時(shí)的計(jì)算錯(cuò)誤，但教師及時(shí)糾正，體現(xiàn)了對(duì)細(xì)節(jié)的關(guān)注。從互動(dòng)答題環(huán)節(jié)的數(shù)據(jù)來看，基礎(chǔ)題的正確率超過85%，表明學(xué)生對(duì)核心知識(shí)點(diǎn)的掌握較為扎實(shí)。

在能力層面，學(xué)生的邏輯推理能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力得到鍛煉。特別是在討論“如何由標(biāo)準(zhǔn)方程求一般方程”時(shí)，部分學(xué)生能主動(dòng)思考并表達(dá)自己的思路，如學(xué)生A提出“將(x-a)2+(y-b)2=r2展開即可”，教師對(duì)此給予肯定，并引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)出“標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程的互化本質(zhì)是代數(shù)變形”。在判別式條件的討論中，學(xué)生B能結(jié)合二次函數(shù)圖像解釋“為什么D2+E2-4F>0”，顯示出一定的邏輯思維深度。然而，仍有部分學(xué)生在應(yīng)用判別式時(shí)出現(xiàn)混淆，如將“>0”誤記為“<0”，反映出對(duì)概念的理解不夠透徹，需要教師在后續(xù)教學(xué)中加強(qiáng)辨析。

在素養(yǎng)層面，本節(jié)課通過幾何畫板的動(dòng)態(tài)演示，幫助學(xué)生建立了幾何直觀與代數(shù)表達(dá)的聯(lián)系，促進(jìn)了數(shù)學(xué)抽象能力的提升。例如，當(dāng)教師演示圓心位置隨D、E變化時(shí)，學(xué)生能直觀理解一般方程中D、E對(duì)圓心坐標(biāo)的影響，這種具身認(rèn)知的方式有效降低了理解難度。此外，通過小組討論和互動(dòng)答題，學(xué)生的合作意識(shí)和表達(dá)能力得到提升，部分內(nèi)向的學(xué)生在同伴鼓勵(lì)下也積極參與到課堂活動(dòng)中?？傮w而言，教學(xué)目標(biāo)基本達(dá)成，但部分學(xué)生的高階思維能力仍需加強(qiáng)。

2.知識(shí)掌握

學(xué)生對(duì)圓的一般方程的知識(shí)點(diǎn)掌握較好，主要體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：

首先，概念理解較為清晰。通過教師的講解和例題的示范，學(xué)生能夠區(qū)分圓的一般方程與標(biāo)準(zhǔn)方程的區(qū)別，并記住一般方程的特殊條件D2+E2-4F>0。在隨堂練習(xí)中，當(dāng)教師提問“方程x2+y2-4x+6y+9=0是否表示圓”時(shí)，多數(shù)學(xué)生能正確判斷為否，并說明理由（因?yàn)?2+62-4×9=0，不滿足>0）。這表明學(xué)生對(duì)判別式的應(yīng)用已初步掌握。

其次，技能掌握較為熟練。將一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程的配方法是本節(jié)課的重點(diǎn)技能，大部分學(xué)生能夠獨(dú)立完成。例如，在例1的練習(xí)中，學(xué)生C能按照步驟寫出（x-3）2+(y+2)2=25，并在括號(hào)內(nèi)注明圓心（3，-2）和半徑5。然而，部分學(xué)生在配方過程中出現(xiàn)符號(hào)錯(cuò)誤，如將-6x誤配為（x+3）2，反映出對(duì)平方差公式和變形技巧的掌握不夠牢固。教師通過點(diǎn)撥“注意展開后的系數(shù)匹配”幫助學(xué)生糾正，但這類問題仍需在后續(xù)練習(xí)中加強(qiáng)鞏固。

再次，應(yīng)用能力有待提升。雖然學(xué)生能夠進(jìn)行方程的互化，但在解決實(shí)際問題時(shí)，部分學(xué)生仍感吃力。例如，在拓展題“證明過定點(diǎn)（a，b）的圓的一般方程中，D、E、F滿足的關(guān)系式”中，僅少數(shù)學(xué)生能嘗試代入并推導(dǎo)，多數(shù)學(xué)生缺乏將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)證明的思路。這表明學(xué)生在知識(shí)的遷移應(yīng)用方面存在短板，需要教師在教學(xué)中增加相關(guān)訓(xùn)練。此外，在幾何畫板演示環(huán)節(jié)，雖然學(xué)生能觀察到圓心位置的變化，但只有少數(shù)學(xué)生能主動(dòng)提出“若圓心在x軸上，則E=0”等結(jié)論，說明學(xué)生的觀察總結(jié)能力仍需培養(yǎng)。

總體而言，學(xué)生掌握了圓的一般方程的基本形式和判別條件，并能進(jìn)行簡(jiǎn)單的互化，但對(duì)復(fù)雜應(yīng)用和深度理解的掌握程度不足，需要教師在后續(xù)教學(xué)中注重分層遞進(jìn)和思維訓(xùn)練。

3.情感態(tài)度價(jià)值觀

本節(jié)課在促進(jìn)學(xué)生全面發(fā)展方面取得了一定成效，主要體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：

首先，學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣得到激發(fā)。教師通過動(dòng)態(tài)演示、互動(dòng)答題和分層作業(yè)等方式，使課堂充滿趣味性。特別是幾何畫板的應(yīng)用，讓學(xué)生直觀感受到數(shù)學(xué)的動(dòng)態(tài)美，部分學(xué)生在操作過程中表現(xiàn)出濃厚的探究欲。在互動(dòng)答題環(huán)節(jié)，學(xué)生的搶答和積分競(jìng)爭(zhēng)進(jìn)一步調(diào)動(dòng)了積極性，課堂氛圍活躍，這表明學(xué)生在情感上對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)產(chǎn)生了正向態(tài)度。

其次，學(xué)生的學(xué)習(xí)習(xí)慣得到培養(yǎng)。教師通過強(qiáng)調(diào)書寫規(guī)范、要求詳細(xì)說明解題步驟等方式，引導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣。例如，在例1講解時(shí)，教師特意指出“配方過程要寫清變形依據(jù)”，并在學(xué)生練習(xí)中檢查格式，部分學(xué)生因此開始注重細(xì)節(jié)。此外，小組討論時(shí)的分工合作也培養(yǎng)了學(xué)生的責(zé)任感和團(tuán)隊(duì)精神，如學(xué)生D在討論例2時(shí)主動(dòng)承擔(dān)計(jì)算任務(wù)，并負(fù)責(zé)向全班匯報(bào)結(jié)果。這些細(xì)節(jié)反映出學(xué)生在態(tài)度上更加認(rèn)真投入。

再次，學(xué)生的思維品質(zhì)得到提升。通過判別式條件的辨析、拓展題的挑戰(zhàn)等環(huán)節(jié)，學(xué)生的批判性思維和探究精神得到鍛煉。例如，在互動(dòng)答題中，有學(xué)生質(zhì)疑“為什么D2+E2-4F=0時(shí)方程不表示圓？”，教師對(duì)此給予肯定，并引導(dǎo)全班討論，最終得出“此時(shí)方程退化為一點(diǎn)”的結(jié)論。這一過程不僅鞏固了知識(shí)，更培養(yǎng)了學(xué)生的質(zhì)疑意識(shí)和創(chuàng)新思維。此外，在小組討論中，教師鼓勵(lì)學(xué)生“從不同角度思考問題”，如學(xué)生E提出“除了代數(shù)法，是否可以用幾何法判斷圓的存在？”，雖然想法不成熟，但教師及時(shí)鼓勵(lì)，保護(hù)了學(xué)生的探索熱情。

最后，學(xué)生的價(jià)值觀得到引導(dǎo)。教師通過分層作業(yè)的設(shè)計(jì)，體現(xiàn)了對(duì)個(gè)體差異的尊重，讓每個(gè)學(xué)生都能在原有基礎(chǔ)上獲得進(jìn)步；通過強(qiáng)調(diào)合作學(xué)習(xí)，培養(yǎng)了學(xué)生的集體榮譽(yù)感；通過幾何畫板的應(yīng)用，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)與科技的結(jié)合，激發(fā)了追求科學(xué)的精神。這些元素共同促進(jìn)了學(xué)生的全面發(fā)展。

總體而言，本節(jié)課在情感態(tài)度價(jià)值觀方面取得了良好效果，但仍有提升空間。例如，部分學(xué)生因基礎(chǔ)薄弱而缺乏自信，教師應(yīng)在課堂中增加更多鼓勵(lì)性評(píng)價(jià)；部分學(xué)生習(xí)慣于被動(dòng)接受知識(shí)，教師應(yīng)設(shè)計(jì)更多開放性問題，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)探究。這些方面需要在后續(xù)教學(xué)中持續(xù)關(guān)注和改進(jìn)。

四、總結(jié)與建議

1.總體評(píng)價(jià)

本節(jié)課整體印象良好，是一節(jié)較為成功的高中數(shù)學(xué)課。教師教學(xué)設(shè)計(jì)思路清晰，目標(biāo)明確，能夠圍繞“圓的一般方程”這一核心知識(shí)點(diǎn)展開教學(xué)，并注重與標(biāo)準(zhǔn)方程的互化以及判別式條件的理解和應(yīng)用。課堂節(jié)奏把握較為得當(dāng)，時(shí)間分配合理，教學(xué)環(huán)節(jié)過渡自然，從導(dǎo)入、展開到結(jié)束，邏輯性強(qiáng)，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律。最突出的優(yōu)點(diǎn)在于教師能夠有效利用現(xiàn)代教育技術(shù)手段輔助教學(xué)，特別是幾何畫板的動(dòng)態(tài)演示和互動(dòng)答題系統(tǒng)的應(yīng)用，極大地豐富了教學(xué)形式，提升了學(xué)生的參與度和直觀理解能力。幾何畫板的應(yīng)用將抽象的代數(shù)方程與直觀的幾何圖形結(jié)合起來，幫助學(xué)生建立了知識(shí)間的聯(lián)系，促進(jìn)了數(shù)學(xué)抽象能力的培養(yǎng)；互動(dòng)答題系統(tǒng)則增加了課堂的趣味性和即時(shí)反饋性，有效激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，并便于教師掌握學(xué)情。此外，教師的教學(xué)語(yǔ)言規(guī)范、簡(jiǎn)潔，能夠結(jié)合實(shí)例進(jìn)行講解，并注重啟發(fā)式教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生思考和探究。例如，在討論判別式條件時(shí)，教師沒有直接給出結(jié)論，而是通過反例和追問引導(dǎo)學(xué)生逐步發(fā)現(xiàn)規(guī)律，這種教學(xué)方式有助于培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力。在小組討論環(huán)節(jié)，教師巡視指導(dǎo)，關(guān)注到每個(gè)小組的討論情況，體現(xiàn)了對(duì)學(xué)生個(gè)體學(xué)習(xí)的重視。總體而言，本節(jié)課教學(xué)目標(biāo)達(dá)成度較高，教學(xué)效果顯著，體現(xiàn)了教師較強(qiáng)的專業(yè)素養(yǎng)和教學(xué)能力。

2.改進(jìn)建議

盡管本節(jié)課表現(xiàn)優(yōu)秀，但為了進(jìn)一步提升教學(xué)質(zhì)量，仍有一些方面可以改進(jìn)：

首先，在知識(shí)深度挖掘方面，可以適當(dāng)增加拓展延伸。本節(jié)課主要聚焦于圓的一般方程的基本形式和判別條件，對(duì)于一些更深入的內(nèi)容，如“圓系方程”的引入或“一般方程與標(biāo)準(zhǔn)方程互化的幾何意義”的探討，可以適當(dāng)涉及，以激發(fā)學(xué)生的探究欲望，培養(yǎng)更高階的思維能力。例如，在講解完例2后，可以簡(jiǎn)要提及“過三點(diǎn)確定的圓是唯一的，但方程形式可能不同”，為后續(xù)學(xué)習(xí)圓系方程埋下伏筆。此外，在判別式條件的討論中，可以引導(dǎo)學(xué)生思考“為什么D2+E2-4F>0時(shí)表示圓？”，結(jié)合二次函數(shù)圖像進(jìn)行解釋，加深學(xué)生對(duì)判別式幾何意義的理解。

其次，在學(xué)生差異化關(guān)注方面，可以進(jìn)一步加強(qiáng)分層教學(xué)。雖然教師布置了分層作業(yè)，但在課堂互動(dòng)和練習(xí)環(huán)節(jié)，仍以中等水平學(xué)生的需求為主，對(duì)基礎(chǔ)薄弱和學(xué)有余力的學(xué)生關(guān)注不夠充分。例如，在隨堂練習(xí)中，大部分題目難度適中，對(duì)于基礎(chǔ)較差的學(xué)生可能存在困難，對(duì)于學(xué)有余力的學(xué)生則挑戰(zhàn)性不足。建議教師設(shè)計(jì)更多彈性化的練習(xí)題或思考題，如為后進(jìn)生提供“判斷方程是否表示圓的簡(jiǎn)化版本”，為優(yōu)等生設(shè)置“求過定點(diǎn)且滿足特定條件的圓的方程”等。在小組討論時(shí)，可以采用異質(zhì)分組，并明確不同層次學(xué)生的任務(wù)，如讓基礎(chǔ)較好的學(xué)生負(fù)責(zé)計(jì)算，基礎(chǔ)較弱的學(xué)生負(fù)責(zé)檢查和記錄，確保每個(gè)學(xué)生都能參與其中并獲得進(jìn)步。此外，教師可以在巡視時(shí)對(duì)后進(jìn)生進(jìn)行更有針對(duì)性的輔導(dǎo)，如單獨(dú)講解易錯(cuò)點(diǎn)，或提供提示性的引導(dǎo)問題。

再次，在技術(shù)應(yīng)用方面，可以更注重技術(shù)的深度整合。雖然幾何畫板和互動(dòng)答題系統(tǒng)得到了應(yīng)用，但技術(shù)的融入仍可以更自然、更深入。例如，在講解判別式時(shí)，除了動(dòng)態(tài)演示圓的大小變化，還可以利用軟件繪制多個(gè)不同D2+E2-4F值的方程圖像，進(jìn)行對(duì)比分析，讓學(xué)生直觀感受條件對(duì)圖形的影響。在互動(dòng)答題環(huán)節(jié)，可以設(shè)計(jì)一些需要協(xié)作才能完成的題目，如要求小組共同提交一個(gè)正確答案，以促進(jìn)團(tuán)隊(duì)協(xié)作。此外，教師可以探索更多技術(shù)工具，如在線數(shù)學(xué)平臺(tái)，讓學(xué)生課后也能進(jìn)行練習(xí)和探究，形成線上線下混合式學(xué)習(xí)模式。

最后