高中數(shù)學(xué)人教B版必修四3.1.1《兩角和與差的余弦》聽評課記錄1一.基本信息

聽課日期：2023年10月26日

聽課時間：上午第二節(jié)課

授課教師姓名：李明

學(xué)科/課程名稱：高中數(shù)學(xué)

班級/年級：高一（3）班

教學(xué)主題或章節(jié)：人教B版必修四3.1.1《兩角和與差的余弦》

聽課人姓名：王靜

聽課人職務(wù)：高中數(shù)學(xué)教研組長

聽課目的：教學(xué)研究

二.課堂觀察記錄

1.教學(xué)準(zhǔn)備

教師的教學(xué)計劃清晰，教學(xué)目標(biāo)明確，圍繞“兩角和與差的余弦公式”的推導(dǎo)和應(yīng)用展開。教學(xué)資源準(zhǔn)備充分，包括人教B版教材、幾何畫板軟件、電子白板等。教材重點標(biāo)注了公式推導(dǎo)的步驟，教具準(zhǔn)備了一個角度測量器，用于演示兩角和的幾何意義。多媒體資源中包含了公式的動畫演示和例題的動態(tài)解析，為后續(xù)教學(xué)提供了直觀支持。

2.教學(xué)過程

開始階段：教師通過復(fù)習(xí)特殊角的余弦值和余弦定理，以“如何計算α+β的余弦值”為問題情境導(dǎo)入新課，通過提問“cos(30°+45°)是否等于cos30°+cos45°”引發(fā)學(xué)生思考，效果較好，激發(fā)了學(xué)生的求知欲。

展開階段：教師采用講授與實驗相結(jié)合的方法。首先，利用幾何畫板動態(tài)演示α+β的余弦值，通過旋轉(zhuǎn)角尺的演示，直觀展示cos(α+β)的幾何意義，隨后逐步推導(dǎo)公式。在推導(dǎo)過程中，教師引導(dǎo)學(xué)生思考“如何將角α和角β轉(zhuǎn)化為同角相加或相減的形式”，并鼓勵學(xué)生自主嘗試，部分學(xué)生通過小組討論得出了輔助角的方法。例題教學(xué)中，教師通過電子白板動態(tài)解析例題的解題步驟，并強調(diào)公式的應(yīng)用技巧，如“符號判斷”和“角的范圍限制”，加深了學(xué)生對公式的理解。

結(jié)束階段：教師通過總結(jié)公式推導(dǎo)過程和典型例題，歸納出“兩角和與差的余弦公式”的核心要點，并布置作業(yè)，包括基礎(chǔ)題（公式記憶和簡單計算）和拓展題（公式變形和實際應(yīng)用），分層設(shè)計合理。

3.師生互動

師生交流頻率較高，教師通過提問、追問和鼓勵性語言與學(xué)生互動。例如，在推導(dǎo)公式時，教師提問“cos(α+β)是否等于cosα+cosβ”，有學(xué)生回答“不成立”，教師追問“為什么”，引導(dǎo)學(xué)生思考“余弦值的幾何意義”，促進了學(xué)生的深度思考。學(xué)生參與度較高，部分學(xué)生主動舉手發(fā)言，小組討論時也能積極表達(dá)觀點。反應(yīng)情況方面，學(xué)生對動態(tài)演示和例題解析反應(yīng)明顯，課堂氣氛活躍。

4.學(xué)生學(xué)習(xí)狀態(tài)

學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性較高，對公式的推導(dǎo)過程充滿好奇，部分學(xué)生通過實驗工具輔助理解公式。專注度方面，大部分學(xué)生能跟隨教師思路，但少數(shù)學(xué)生在例題講解時注意力有所分散，可能因為公式記憶負(fù)擔(dān)較重。合作學(xué)習(xí)情況良好，小組討論時學(xué)生能分工合作，共同推導(dǎo)公式，并互相解釋概念。

5.課堂管理

課堂紀(jì)律良好，學(xué)生能遵守課堂規(guī)則，教師通過眼神和手勢進行非語言管理，有效維持了課堂秩序。時間分配合理，導(dǎo)入環(huán)節(jié)5分鐘，推導(dǎo)環(huán)節(jié)15分鐘，例題講解10分鐘，總結(jié)作業(yè)布置5分鐘，整體節(jié)奏平穩(wěn)。

6.教學(xué)技術(shù)使用

現(xiàn)代教育技術(shù)使用得當(dāng)，幾何畫板的動態(tài)演示直觀展示了公式的幾何意義，電子白板的多媒體資源豐富了教學(xué)內(nèi)容，技術(shù)對教學(xué)效果的支持作用顯著。部分學(xué)生利用電子白板記錄筆記，提高了學(xué)習(xí)效率。

三.教學(xué)效果評價

1.目標(biāo)達(dá)成

本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)明確且適切，圍繞“理解兩角和與差的余弦公式的推導(dǎo)過程，掌握公式的結(jié)構(gòu)特點，并能初步應(yīng)用公式進行簡單計算”展開。從課堂觀察和隨堂練習(xí)來看，大部分學(xué)生達(dá)到了預(yù)期的學(xué)習(xí)目標(biāo)。在公式推導(dǎo)環(huán)節(jié)，通過幾何畫板的動態(tài)演示和教師的逐步引導(dǎo)，學(xué)生能夠理解公式背后的幾何意義，部分學(xué)生甚至能自主提出“α-β”公式的推導(dǎo)思路，表明學(xué)生對公式的生成過程有了較好的把握。在例題應(yīng)用環(huán)節(jié)，85%以上的學(xué)生能夠獨立完成基礎(chǔ)計算題，說明公式應(yīng)用的目標(biāo)基本達(dá)成。然而，仍有少數(shù)學(xué)生在符號判斷和角的范圍限制方面存在困難，需要在后續(xù)教學(xué)中加強針對性指導(dǎo)。總體而言，教學(xué)目標(biāo)的達(dá)成度較高，符合學(xué)生的認(rèn)知水平。

2.知識掌握

學(xué)生對知識點的理解和記憶情況良好。通過課堂提問和小組討論，可以看出學(xué)生能夠清晰地闡述公式的推導(dǎo)步驟，并解釋公式中各個字母的含義。例如，在討論“cos(α+β)為什么等于cosαcosβ-sinαsinβ”時，有學(xué)生結(jié)合幾何畫板演示解釋了“余弦值等于鄰邊比斜邊”，幫助其他同學(xué)理解了公式的幾何基礎(chǔ)。在技能掌握方面，學(xué)生的計算能力有所提升，尤其是在例題講解后，通過教師強調(diào)“先化簡再計算”的步驟，學(xué)生的計算錯誤率明顯降低。部分學(xué)生能夠靈活運用公式解決簡單的實際問題，如計算角度測量中的余弦值，體現(xiàn)了知識的遷移能力。但仍有部分學(xué)生在復(fù)雜角的變形和公式選擇方面存在不足，例如在解決“cos(π-α)”時，部分學(xué)生直接套用公式而不是利用誘導(dǎo)公式簡化，說明學(xué)生對公式的靈活應(yīng)用能力仍需加強。

3.情感態(tài)度價值觀

本節(jié)課在情感態(tài)度價值觀方面促進了學(xué)生的全面發(fā)展。首先，教師通過動態(tài)演示和問題情境激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，部分學(xué)生在推導(dǎo)過程中表現(xiàn)出強烈的探究欲望，主動提出改進方案，體現(xiàn)了積極的學(xué)習(xí)態(tài)度。其次，小組合作環(huán)節(jié)培養(yǎng)了學(xué)生的團隊意識，學(xué)生在討論中學(xué)會傾聽和表達(dá)，部分內(nèi)向的學(xué)生在同伴鼓勵下也參與了討論，增強了自信心。此外，教師通過分層作業(yè)設(shè)計，讓不同水平的學(xué)生都能獲得成就感，例如基礎(chǔ)題幫助后進生鞏固公式，拓展題挑戰(zhàn)優(yōu)等生的思維深度，體現(xiàn)了因材施教的教學(xué)理念。在課堂氛圍方面，教師通過鼓勵性語言和及時反饋，營造了輕松愉快的學(xué)習(xí)環(huán)境，部分學(xué)生在回答問題時能夠主動修正錯誤，展現(xiàn)了良好的學(xué)習(xí)品質(zhì)。然而，仍有少數(shù)學(xué)生在面對復(fù)雜問題時表現(xiàn)出焦慮情緒，說明教師需要進一步關(guān)注學(xué)生的心理狀態(tài)，通過更多的小組互助和個別輔導(dǎo)幫助學(xué)生克服困難，培養(yǎng)堅韌的學(xué)習(xí)品質(zhì)。總體而言，本節(jié)課在促進學(xué)生全面發(fā)展方面取得了積極效果，但仍有提升空間。

四、總結(jié)與建議

1.總體評價

本節(jié)課整體印象良好，是一節(jié)設(shè)計科學(xué)、實施有效的數(shù)學(xué)課。授課教師李明老師展現(xiàn)了扎實的專業(yè)素養(yǎng)和豐富的教學(xué)經(jīng)驗，能夠準(zhǔn)確把握教材重難點，并采用恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)方法進行突破。最突出的優(yōu)點是教學(xué)設(shè)計注重直觀性和探究性，通過幾何畫板的動態(tài)演示將抽象的公式轉(zhuǎn)化為可視化的幾何意義，有效降低了學(xué)生的學(xué)習(xí)難度。同時，教師善于創(chuàng)設(shè)問題情境，通過啟發(fā)式提問引導(dǎo)學(xué)生思考，激發(fā)了學(xué)生的求知欲和主體性。課堂互動充分，小組討論和師生交流環(huán)節(jié)設(shè)計合理，學(xué)生參與度高，課堂氣氛活躍。此外，教師的教學(xué)技術(shù)運用嫻熟，多媒體資源與教學(xué)目標(biāo)結(jié)合緊密，有效輔助了知識點的理解和技能的訓(xùn)練。不足之處在于，對于部分學(xué)生的個體差異關(guān)注不夠細(xì)致，尤其是在公式靈活應(yīng)用和符號判斷方面存在困難的學(xué)生，需要更多針對性的指導(dǎo)?？傮w而言，本節(jié)課達(dá)到了預(yù)期的教學(xué)目標(biāo)，體現(xiàn)了以學(xué)生為中心的教學(xué)理念，為后續(xù)教學(xué)提供了有益的參考。

2.改進建議

針對存在的問題，提出以下改進措施以進一步提升教學(xué)質(zhì)量：

（1）加強個別輔導(dǎo)與分層教學(xué)。針對學(xué)生在公式應(yīng)用和符號判斷方面存在的問題，教師可以課后利用自習(xí)時間進行個別輔導(dǎo)，或者設(shè)計不同難度的練習(xí)題，讓學(xué)生根據(jù)自身情況選擇完成。例如，對于基礎(chǔ)薄弱的學(xué)生，可以重點練習(xí)“角的范圍限制”的判斷，而優(yōu)等生則可以挑戰(zhàn)更復(fù)雜的公式變形題。

（2）豐富公式推導(dǎo)的驗證方法。雖然幾何畫板的動態(tài)演示能夠直觀展示公式的幾何意義，但為了讓學(xué)生更全面地理解公式，教師可以補充三角函數(shù)單位圓的驗證方法，或者引導(dǎo)學(xué)生利用向量數(shù)量積推導(dǎo)公式，增加學(xué)生的認(rèn)知維度。例如，在推導(dǎo)cos(α-β)時，可以引入向量OA=(cosα,sinα),OB=(cosβ,sinβ)，通過向量數(shù)量積計算cos<0xE2><0x82><0x98>OB，從而推導(dǎo)出公式，幫助學(xué)生建立多角度理解公式的意識。

（3）強化公式應(yīng)用的典型題訓(xùn)練。在例題教學(xué)中，教師可以增加不同類型的典型題，如“已知三角函數(shù)值求角”、“三角形中的余弦值計算”等，并強調(diào)解題步驟的規(guī)范性和符號判斷的準(zhǔn)確性。例如，在解決“cos(α+β)=1/2,α,β∈(0,π/2)”求sin(α+β)時，需要引導(dǎo)學(xué)生先確定角的范圍再進行計算，避免漏解。

（4）利用技術(shù)手段進行個性化學(xué)習(xí)?？梢钥紤]使用在線學(xué)習(xí)平臺，如GeoGebra或Kahoot，讓學(xué)生通過互動練習(xí)鞏固公式，并實時反饋學(xué)習(xí)情況。教師可以根據(jù)平臺數(shù)據(jù)了解每個學(xué)生的學(xué)習(xí)進度和薄弱環(huán)節(jié)，從而進行更有針對性的教學(xué)。例如，可以設(shè)計一個“兩角和與差的余弦公式”的在線闖關(guān)游戲，讓學(xué)生在趣味中鞏固知識。

3.后續(xù)跟蹤

建議進行后續(xù)聽課跟進改進情況。計劃采取以下支持措施幫助教師成長：

（1）安排二次聽課。在一個月后安排二次聽課，重點關(guān)注教師是否根據(jù)建議改進了教學(xué)設(shè)計和實施策略，特別是針對個別差異的輔導(dǎo)方法和公式應(yīng)用的訓(xùn)練設(shè)計。聽課結(jié)束后，將組織教研組進行評課，共同探討改進效果和進一步優(yōu)化的方向。

（2）提供教學(xué)資源支持。為教師提供更多關(guān)于三角函數(shù)教學(xué)的優(yōu)秀案例和教學(xué)設(shè)計，包括分層教學(xué)的具體實施方法、公式推導(dǎo)的多種驗證途徑等，豐富教師的教學(xué)資源庫。例如，可以推薦一些國內(nèi)外關(guān)于三角函數(shù)教學(xué)的期刊文章和在線課程，幫助教師拓展教學(xué)思路。

（3）開展專題研討活動。組織關(guān)于“三角函數(shù)公式教學(xué)”的專題研討活動，邀請經(jīng)驗豐富的教師分享教學(xué)心得，共同探討如何更好地突破教學(xué)難點。例如，可以圍繞“如何提高學(xué)生公式應(yīng)用的能力”、“如何利用技術(shù)手段輔助三角函數(shù)教學(xué)”等主題展開討論，形成可操作的教學(xué)策略。

（4）