考點(diǎn)規(guī)范練41立體幾何中的向量方法基礎(chǔ)鞏固組1.已知平面α內(nèi)有一點(diǎn)M(1,1,2),平面α的一個(gè)法向量為n=(6,3,6),則下列點(diǎn)P中,在平面α內(nèi)的是()A.P(2,3,3)B.PB(2,0,1)C.P(4,4,0)D.PD(3,3,4)2.(2017陜西西安月考)如圖,F是正方體ABCDA1B1C1D1的棱CD的中點(diǎn).E是BB1上一點(diǎn),若D1F⊥DE,則有()A.B1E=EBB.B1E=2EBC.B1E=12D.E與B重合3.(2017四川成都調(diào)研)如圖所示,在正方體ABCDA1B1C1D1中,棱長(zhǎng)為a,M,N分別為A1B和AC上的點(diǎn),A1M=AN=2a3,則MN與平面BB1C1C的位置關(guān)系是(A.相交 B.平行 C.垂直 D.不能確定4.在直三棱柱ABCA1B1C1中,若BC⊥AC,∠A=π3,AC=4,AA1=4,M為AA1的中點(diǎn),P為BM的中點(diǎn),Q在線段CA1上,A1Q=3QC,則異面直線PQ與AC所成角的正弦值為(A.3913 B.21313 C.25.(2017浙江溫州質(zhì)檢)已知AB=(1,5,2),BC=(3,1,z),若AB⊥BC,BP=(x1,y,3),且BP⊥平面ABC,則x=,y=,6.(2017浙江杭州模擬)在長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中,AB=2,BC=AA1=1,則D1C1與平面A1BC1所成角的正弦值為.

7.(2017浙江湖州模擬)過(guò)正方形ABCD的頂點(diǎn)A作線段PA⊥平面ABCD,若AB=PA,則平面ABP與平面CDP所成的二面角為.

能力提升組8.如圖,正方體ABCDA1B1C1D1中,E,F分別在A1D,AC上,且A1E=23A1D,AF=13AC,則(A.EF至多與A1D,AC之一垂直B.EF⊥A1D,EF⊥ACC.EF與BD1相交D.EF與BD1異面9.(2017浙江鎮(zhèn)海模擬)在直三棱柱A1B1C1ABC中,∠BAC=π2,AB=AC=AA1=1,已知G和E分別為A1B1和CC1的中點(diǎn),D與F分別為線段AC和AB上的動(dòng)點(diǎn)(不包括端點(diǎn)),若GD⊥EF,則線段DF的長(zhǎng)度的取值范圍為(A.55,1C.255,10.(2017浙江金華聯(lián)考)已知斜四棱柱ABCDA1B1C1D1的各棱長(zhǎng)均為2,∠A1AD=60°,∠BAD=90°,平面A1ADD1⊥平面ABCD,則直線BD1與平面ABCD所成的角的正切值為()A.34 B.134 C.391311.(2017浙江紹興)如圖,在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCDA1B1C1D1中,P,Q分別是線段CC1,BD上的點(diǎn),R是直線AD上的點(diǎn),滿足PQ∥平面ABC1D1,PQ⊥RQ,且P,Q不是正方體的頂點(diǎn),則|PR|的最小值是()A.426 B.305 C.5212.如圖,矩形CDEF所在的平面與矩形ABCD所在的平面垂直,AD=2,DE=3,AB=4,EF=4EG,點(diǎn)M在線段GF上(包括兩端點(diǎn)),點(diǎn)N在線段AB上,且GM=AN,則二面角MDNC的平面角的取值范圍為(A.[30°,45°] B.[45°,60°]C.[30°,90°) D.[60°,90°)13.如圖,正方體ABCDA1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1,E,F分別是棱BC,DD1上的點(diǎn),如果B1E⊥平面ABF,則CE與DF的和的值為.

14.(2017浙江名校聯(lián)考)如圖,正方體ABCDA1B1C1D1的棱長(zhǎng)為3,在面對(duì)角線A1D上取點(diǎn)M,在面對(duì)角線CD1上取點(diǎn)N,使得MN∥平面AA1C1C,當(dāng)線段MN長(zhǎng)度取到最小值時(shí),三棱錐A1MND1的體積為.

15.三棱柱ABCA1B1C1的底是邊長(zhǎng)為1的正三角形,高AA1=1,在AB上取一點(diǎn)P,設(shè)△PA1C1與面A1B1C1所成的二面角為α,△PB1C1與面A1B1C1所成的二面角為β,則tan(α+β)的最小值是.

16.(2017浙江溫州聯(lián)考)如圖,在幾何體SABCD中,AD⊥平面SCD,BC∥AD,AD=DC=2,BC=1,又SD=2,∠SDC=120°,F是SA的中點(diǎn),E在SC上,AE=5.(1)求證:EF∥平面ABCD;(2)求直線SE與平面SAB所成角的正弦值.17.(2017課標(biāo)Ⅱ高考)如圖,四棱錐PABCD中,側(cè)面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD,AB=BC=12AD,∠BAD=∠ABC=90°,E是PD的中點(diǎn)(1)證明:直線CE∥平面PAB;(2)點(diǎn)M在棱PC上,且直線BM與底面ABCD所成角為45°,求二面角MABD的余弦值.答案：1.A逐一驗(yàn)證法,對(duì)于選項(xiàng)A,MP=(1,4,1),∴MP·n=612+6=0,∴∴點(diǎn)P在平面α內(nèi),同理可驗(yàn)證其他三個(gè)點(diǎn)不在平面α內(nèi).2.A分別以DA,DC,DD1為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為2,則D(0,0,0),F(0,1,0),D1(0,0,2),設(shè)E(2,2,z),D1F=(0,1,2),DE=(2,2,z),∵D1F·DE=0×2+1×22z=0,∴3.B分別以C1B1,C1D1,C1C所在直線為x,y,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,如圖,∵A1M=AN=23a,則Ma,23a,a3,N2a3,2a3,a,∴MN=-a3,0,23a.又C1(0,0,0),D1(0,a,0),∴C1D1=(0,a,0),4.C以C為原點(diǎn),CB所在直線為x軸,CA所在直線為y軸,CC1所在直線為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,則由題意得A(0,4,0),C(0,0,0),B(43,0,0),M(0,4,2),A1(0,4,4),P(23,2,1),則CQ=14CA1=14(0,4,4)=(0,1,1),∴Q(0,1,1),AC=(0,設(shè)異面直線PQ與AC所成角為θ,cosθ=|cos<AC,PQ∴sinθ=1-11325.4071574由條件得3+5-2z=0,x-6.13以D為原點(diǎn),DA為x軸,DC為y軸,DD1為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)n=(x,y,z)為平面A1BC1的法向量,則n·A1B=0,n·A1C1=0,即2y-z=0,-x+2y=0,令z=2,則y=1,x=2,于是n=(2,1,2),7.45°如圖,建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)AB=PA=1,則A(0,0,0),D(0,1,0),P(0,0,1),由題意,AD⊥平面PAB,設(shè)E為PD的中點(diǎn),連接AE,則AE⊥PD,又CD⊥平面PAD,∴CD⊥AE,從而AE⊥平面PCD.∴AD=(0,1,0),AE=0,12,12分別是平面PAB、平面PCD故平面PAB與平面PCD所成的二面角為45°.8.B以D點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),以DA,DC,DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1,則A1(1,0,1),D(0,0,0),A(1,0,0),C(0,1,0),E13,0,13,F2A1D=(1,0,1),AC=EF=13,EF=13B從而EF∥BD1,EF⊥A1D,EF⊥AC.故選B.9.A建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則A(0,0,0),E0,1,12,G12,0,1由于GD⊥EF,所以x+2y1=0y∈DF=x當(dāng)y=25時(shí),線段DF長(zhǎng)度的最小值是5當(dāng)y=0時(shí),線段DF長(zhǎng)度的最大值是1.而不包括端點(diǎn),故y=0不能取.故選A.10.C取AD中點(diǎn)O,連接OA1,易證A1O⊥平面ABCD.建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,得B(2,1,0),D1(0,2,3),BD1=(2,3,3),平面ABCD的一個(gè)法向量為n=(0,0,1),設(shè)BD1與平面ABCD所成的角為θ∴sinθ=|BD1·n||BD11.B如圖,分別以AB,AD,AA1所在直線為x,y,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,則B(1,0,0),D(0,1,0),B1(1,0,1),C(1,1,0),設(shè)P(1,1,m)(0≤m≤1),BQBD=λ(0≤λ≤1),Q(x0,y0則(x01,y0,0)=λ(1,1,0),∴∴Q(1λ,λ,0),∴PQ=(λ,λ1,m)連接B1C,∵正方體ABCDA1B1C1D1中,BCC1B1是正方形,AB⊥平面BCC1B1,∴B1C⊥AB,B1C⊥BC1,又AB∩BC1=B,∴B1C⊥平面ABC1D1,∵PQ∥平面ABC1D1,∴B1C⊥PQ,又B1C=(0,1,1),∴B1C·PQ=λ1+m=∴Q(m,1m,0),PQ=(m1,m,m),設(shè)R(0,n,0),則RQ=(m,1mn,0),∵PQ⊥RQ,∴PQ·RQ=m(m1)m(1mn)=0,即n=2∴R(0,22m,0),PR=(1,12m,m),|PR|=1+(∴當(dāng)m=25時(shí),|PR|的最小值是305.12.B如圖建立空間直角坐標(biāo)系,則由條件知A(2,0,0),G(0,1,3),M(0,t,3)(1≤t≤4),由GM=AN可設(shè)N(2,t1,0),則平面DNC的法向量為m=(0,0,1),設(shè)平面MDN的法向量為n=(x,y,z),由n·DM=0,n·DN=0,得ty+3z=0,2x+(t-1)y=0,令z=∵1∴cos<n,m>∈12,22,即<∴二面角MDNC的平面角的取值范圍為π4,π13.1以D1A1,D1C1,D1D分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)CE=x,DF=y,則易知E(x,1,1),B1(1,1,0),F(0,0,1y),B(1,1,1),∴B1E=(x1,0,1),∴FB由于B1E⊥平面ABF,所以FB·B1E=(1,1,y)·(x1,0,1)=014.1如圖所示,建立空間直角坐標(biāo)系,從而可設(shè)M(m,0,m),N(0,n,3n),∴MN=(m,n,3nm),而平面ACC1A1的一個(gè)法向量是n=(1,1,0),∴MN·n=0∴MN2=m2+n2+(3nm)2=2m2+(32m)2=6m212m+9=6(m1)2+3當(dāng)且僅當(dāng)m=1時(shí),等號(hào)成立,此時(shí)VA1MND1=VNA115.8313作PP1⊥A1B1,則PP1是三棱柱的高,過(guò)P1作P1H⊥A1C1,則∠PHP1=設(shè)AP=x,BP=1x(0≤x≤1),tanα=23x,同理tanβ=tan(α+β)=2316.(1)證明連接AE,DE,AC,∵AD⊥平面SCD,DE?平面SCD,∴AD⊥DE,∴DE=AE2又∵CD=SD=2,∠SDC=120°,∴E是SC的中點(diǎn),又F是SA的中點(diǎn),∴EF∥AC,又EF?平面ABCD,AC?平面ABCD,∴EF∥平面ABCD.(2)解在平面SCD內(nèi)過(guò)點(diǎn)D作SD的垂線交SC于M,以D為原點(diǎn),以DM為x軸,DS為y軸,DA為z軸建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz,∴D(0,0,0),S(0,2,0),A(0,0,2),C(3,1,0),B(3,1,1),∴SC=(3,3,0),SA=(0,2,2),SB=(3,設(shè)平面SAB的法向量為n=(x,y,z),則n∴令z=1得n=23∴cos<n,SC>=n·SC設(shè)直線SE與平面SAB所成角為θ,則sinθ=|cos<n,SC>|=1017.(1)證明取PA的中點(diǎn)F,連接EF,BF.因?yàn)镋是PD的中點(diǎn),所以EF∥AD,EF=12AD,由∠BAD=∠ABC=90°得BC∥AD,又BC=12AD,所以EFBC.四邊形BCEF為平行四邊形,CE∥BF.又BF?平面PAB,CE?平面PAB,故CE∥平面(2)解由已知得BA⊥AD,以A為坐標(biāo)原點(diǎn),AB的方向?yàn)閤軸正方向,|AB|為單位長(zhǎng),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz,則A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),P(0,1,3),PC=(1,0,3)