5.1代數(shù)系統(tǒng)的組成

5.2半群與獨(dú)異點(diǎn)

5.3群

5.4子群與同態(tài)

5.5特殊的群

5.6陪集與同余關(guān)系

5.7環(huán)和域第5章代數(shù)結(jié)構(gòu)5.1.1運(yùn)算與代數(shù)系統(tǒng)

在學(xué)習(xí)初等代數(shù)時,我們引入了自然數(shù)集合N、整數(shù)集合Z、有理數(shù)集合Q、實(shí)數(shù)集合R、復(fù)數(shù)集合C等數(shù)集。在這些數(shù)集中，著重研究的是集合上的各種運(yùn)算,如+(加)、－(減)、×(乘)、÷(除)等運(yùn)算。在實(shí)際工程應(yīng)用中需要處理的對象并不都是單純的整數(shù)、有理數(shù)、實(shí)數(shù)或復(fù)數(shù)。這些對象相互作用生成一個新的對象亦可定義為元素間的運(yùn)算。5.1代數(shù)系統(tǒng)的組成在研究集合時,常常要研究所謂集合上的“運(yùn)算”及該運(yùn)算所具有的性質(zhì),如封閉性(closure)、交換律(alternativelaw)、分配律(distributivelaw)、結(jié)合律(associativelaw)、同態(tài)(homomorphism)、同構(gòu)(isomorphism)等。因此，在正式給出代數(shù)結(jié)構(gòu)的定義之前，先來說明什么是在一個集合上的運(yùn)算(operation)。

定義5.1.1

設(shè)A、B是非空集合，函數(shù)f：An→B稱為集合A上的一個n元運(yùn)算。當(dāng)n=1時，稱f為一元運(yùn)算；當(dāng)n=2時，稱f為二元運(yùn)算(binaryoperation)。

定義5.1.2

設(shè)A、B是非空集合，f：An→B是集合A上的一個n元運(yùn)算。若B

A，則稱該n元運(yùn)算是封閉的。

當(dāng)集合A是有限集時，例如A={a1,a2,…,an}時，A上的一元代數(shù)運(yùn)算Δ和二元代數(shù)運(yùn)算的運(yùn)算結(jié)果分別用如表5.1.1(a)和(b)所示。?表5.1.1形如表5.1.1的表常常被稱為運(yùn)算表，它由運(yùn)算符、行表頭元素、列表頭元素及運(yùn)算結(jié)果四部分組成。當(dāng)集合A的元素很少，特別限于少數(shù)幾個時，代數(shù)系統(tǒng)中的運(yùn)算常常用這種表給出。其優(yōu)點(diǎn)是簡明直觀，一目了然。

表5.1.2

定義5.1.3

設(shè)A是一個非空集合，fi是A上的ni元運(yùn)算，其中i=1，2，…，m。由A及f1,f2,…，fm組成的系統(tǒng)稱為代數(shù)系統(tǒng)，記為〈A，f1,f2,…，fm〉。集合A稱為代數(shù)系統(tǒng)〈A,f1,f2,…,fn〉的載體。

例2

設(shè)Z是整數(shù)集合，N4是Z中由模4的同余類組成的同余類集，在N4上定義兩個二元運(yùn)算+4和×4分別如下：對于任意的［i］，［j］∈N4，有

［i］+4［j］=［(i+j)(mod4)］

［i］×4［j］=［(i×j)(mod4)］試給出代數(shù)系統(tǒng)〈N4，+4，×4〉的運(yùn)算+4和×4的運(yùn)算表。

解N4={［0］，［1］，［2］，［3］}，運(yùn)算+4和×4的運(yùn)算表如表5.1.3所示。表5.1.3

定義5.1.4

設(shè)兩個代數(shù)系統(tǒng)〈A，f1,f2,…，fm〉和〈T，g1,g2,…，gm〉，如果fi和gi(1≤i≤m)具有相同的元數(shù)，則稱這兩個代數(shù)系統(tǒng)是同類型的。

〈A，f1,f2,…，fm〉代表一個代數(shù)系統(tǒng)，除特別指明外，其中運(yùn)算符fi為一元或二元運(yùn)算。根據(jù)需要對A及f1,f2,…，fm可置不同的集合符和運(yùn)算符。5.1.2運(yùn)算的性質(zhì)與代數(shù)常元

代數(shù)系統(tǒng)的性質(zhì)與運(yùn)算的性質(zhì)密切相關(guān)。對于實(shí)數(shù)集上的四則運(yùn)算，大家可自如使用結(jié)合律、交換律、分配律、消去律等運(yùn)算規(guī)律。顯然，任意對象和運(yùn)算構(gòu)成的代數(shù)系統(tǒng)并不一定具備上述運(yùn)算規(guī)律。下面將討論二元運(yùn)算的各種運(yùn)算規(guī)律及代數(shù)常元。

定義5.1.5

給定代數(shù)系統(tǒng)〈A，*〉，*是A上封閉的二元運(yùn)算，如果對于任何x，y∈A，均有

x*y=y*x

則稱運(yùn)算*滿足交換律或*是可交換的。

定義5.1.6

給定代數(shù)系統(tǒng)〈A，*〉，*是A上封閉的二元運(yùn)算，如果對于任何x，y，z∈A，均有

(x*y)*z=x*(y*z)

則稱運(yùn)算*滿足結(jié)合律或*是可結(jié)合的。

定義5.1.7

給定代數(shù)系統(tǒng)〈A，，*〉，和*是A上封閉的二元運(yùn)算，如果對于任何x，y，z∈A，均有

x*(y

z)=(x*y)(x*z)

則稱運(yùn)算*對于滿足左分配律，或者*對于是可左分配的。

如果對于任何x，y，z∈A，均有

(y

z)*x=(y*x)(z*x)

則稱運(yùn)算*對于滿足右分配律，或者*對于是可右分配的。

*對于既滿足左分配律又滿足右分配律，則稱*對于滿足分配律或是可分配的。

定理5.1.1

設(shè)〈A，，*〉是代數(shù)系統(tǒng)，和*是A上封閉的二元運(yùn)算，且*是可交換的。如果*對于滿足左分配律(或右分配律)，則*對于滿足分配律。

證明不妨設(shè)*對于滿足左分配律，任取x，y，z∈A，均有

x*(y

z)=(x*y)(x*z)，

則

(y

z)*x=x*(y

z)

=(x*y)(x*z)=(y*x)(z*x)

故*對于也滿足右分配律，因此*對于滿足分配律。

同理可證，如果*對于滿足右分配律，則*對于滿足分配律。

證畢

定義5.1.8

給定代數(shù)系統(tǒng)〈A，，*〉，和*是A上封閉的二元運(yùn)算，且和*是可交換的。如果對于任何x，y∈A，均有

x(x*y)=x

x*(x

y)=x

則稱運(yùn)算和運(yùn)算*滿足吸收律或可吸收的。

定義5.1.9

給定代數(shù)系統(tǒng)〈A，*〉，其中*是集合A上封閉的二元運(yùn)算，如果對于任何x∈A，均有x*x=x，則稱運(yùn)算*是等冪的；如果存在x∈A，使得x*x=x，則稱x是關(guān)于運(yùn)算*的等冪元。

對于等冪元，不難證明以下定理。

定理5.1.2

若x是代數(shù)系統(tǒng)〈A，*〉中關(guān)于*的等冪元，則對于任意正整數(shù)n，均有xn=x。

定義5.1.10

給定代數(shù)系統(tǒng)〈A，*〉，其中*是集合A上封閉的二元運(yùn)算。如果存在el∈A，使得對于任何x∈A，均有el*x=x，則稱el

是A上關(guān)于運(yùn)算*的左幺元或左單位元；如果存在er∈A，使得對于任何x∈A，均有x*er=x，則稱er

是A上關(guān)于運(yùn)算*的右幺元或右單位元；如果存在e∈A，使得對于任何x∈A，均有x*e=e*x=x，則稱e是A上關(guān)于運(yùn)算*的幺元(identity)或單位元。

定義5.1.11

給定代數(shù)系統(tǒng)〈A，*〉，其中*是集合A上封閉的二元運(yùn)算。如果存在θl∈A，使得對于任何x∈A，均有θl*x=θl，則稱θl是A上關(guān)于運(yùn)算*的左零元；如果存在θr∈A，使得對于任何x∈A，均有x*θr=θr，則稱θr是A上關(guān)于運(yùn)算*的右零元；如果存在θ∈A，使得對于任何x∈A，均有θ*x=x*θ=θ，則稱θ是A上關(guān)于運(yùn)算*的零元(zero)。

幺元或零元在代數(shù)系統(tǒng)中起著特殊的作用，通常稱它們?yōu)锳中的特異元或代數(shù)常元。對于存在代數(shù)常元的代數(shù)系統(tǒng)，為了突出代數(shù)常元，也經(jīng)常將代數(shù)常元寫在運(yùn)算的后面。如例2的代數(shù)系統(tǒng)〈N4，+4,×4〉可以記為代數(shù)系統(tǒng)〈N4，+4,×4,［0］，［1］〉，其中［0］為+4的幺元和×4的零元，［1］為×4的幺元。這樣含有代數(shù)常元的代數(shù)系統(tǒng)具有三個組成要素：載體、運(yùn)算、代數(shù)常元。表5.1.4

定理5.1.3

給定代數(shù)系統(tǒng)〈A，*〉，其中*是集合A上的二元運(yùn)算。若el和er分別是關(guān)于*的左、右幺元，則el=er，且*存在唯一幺元e。

證明

(1)首先證明el=er

。

由于el和er

分別是關(guān)于*的左、右幺元，故

er=el*er=el

(2)證明*存在唯一幺元e。

令e=er

，顯然e為*運(yùn)算的幺元。設(shè)e1，e2∈A都是*運(yùn)算的幺元，顯然

e1=e1*e2=e2

故*運(yùn)算存在唯一幺元。

證畢

定理5.1.4

給定代數(shù)系統(tǒng)〈A，*〉，其中*是集合A上的二元運(yùn)算。若θl

和θr

分別是關(guān)于*的左、右零元，則θl=θr

，且*存在唯一零元θ。

證明

(1)證明θl=θr。

由于θl

和θr

分別是關(guān)于*的左、右零元，故

θl=θl*θr=θr

(2)證明*存在唯一零元θ。

令θ=θr

，顯然θ為*運(yùn)算的零元。

設(shè)θ1，θ2∈A都是*運(yùn)算的零元，顯然

θ1=θ1*θ2=θ2

故*存在唯一零元θ。

證畢

定理5.1.5

給定代數(shù)系統(tǒng)〈A，*〉，且|A|＞1。如果θ，e∈A，其中θ和e分別為關(guān)于*的零元和幺元，則θ≠e。

證明用反證法。設(shè)θ=e,則x∈A，必有x=x*e=x*θ=θ=e，于是A中的所有元素都是相同的，即|A|=1。這與|A|＞1相矛盾，故θ≠e。

證畢

定義5.1.12

給定代數(shù)系統(tǒng)〈A，*〉，其中*是集合A上封閉的二元運(yùn)算，e為關(guān)于*的幺元。對于任何x∈A，如果存在yl∈A，使得yl*x=e，則稱yl是x的左逆元；如果存在yr∈A，使得x*yr=e，則稱yr

是x的右逆元；如果存在y∈A，使得x*y=y*x=e，則稱y是x的逆元(inverseelements)。

顯然，若y是x的逆元，則x也是y的逆元，因此稱x與y互為逆元。通常x的逆元表示為x－1。

定理5.1.6

給定代數(shù)系統(tǒng)〈A，*〉，其中*是集合A上封閉的二元運(yùn)算，e為關(guān)于*的幺元。如果*是可結(jié)合的，且A上每一個元素都有左逆元，則這個代數(shù)系統(tǒng)中任何一個元素的左逆元必定也是該元素的右逆元，且每個元素的逆元是唯一的。

證明設(shè)a,b,c∈A,且b是a的左逆元，c是b的左逆元。因?yàn)?/p>

(b*a)*b=e*b=b

所以

a*b=(e*a)*b

=((c*b)*a)*b

=(c*(b*a))*b

=c*((b*a)*b)

=c*b

=e

因此，b也是a的右逆元。設(shè)元素a有兩個逆元b與c，則

b=b*e=b*(a*c)

=(b*a)*c

=e*c

=c

因此，a的逆元是唯一的。

證畢

定義5.1.13

給定代數(shù)系統(tǒng)〈A，*〉，*是集合A上封閉的二元運(yùn)算。

(1)存在

x∈A，且x不是運(yùn)算*的左零元，對于任何y,z∈A，如果x*y=x*z，則有y=z，稱x是關(guān)于*的左可約元。

(2)存在x∈A，且x不是運(yùn)算*的右零元，對于任何y,z∈A，如果y*x=z*x，則有y=z，稱x是關(guān)于*的右可約元。

(3)對于任何x，y，

z∈A，且x不是運(yùn)算*的左零元，如果x*y=x*z，則有y=z，稱運(yùn)算*滿足左可約律。

(4)對于任何x，y，z∈A，且x不是運(yùn)算*的右零元，如果y*x=z*x，則有y=z，稱運(yùn)算*滿足右可約律。

(5)若x既是關(guān)于*的左可約元又是關(guān)于*的右可約元，則稱x為關(guān)于*的可約元。若運(yùn)算*既滿足左可約律又滿足右可約律，則稱*滿足可約律。

5.2.1半群

定義5.2.1

給定代數(shù)系統(tǒng)〈S，*〉，*是S上的二元運(yùn)算，如果滿足：

(1)*在S上封閉。

(2)*在S上可結(jié)合，

則稱〈S，*〉為半群(semigroup)。5.2半群與獨(dú)異點(diǎn)

定理5.2.1

設(shè)〈S，*〉是一個半群，如果S是一個有限集，則存在a∈S，使得a*a=a。

證明設(shè)|S|=n，b∈S，由運(yùn)算*的封閉性以及S為有限集可知：

根據(jù)鴿巢原理，必有bi=bj(j＞i)，令p=j－i,顯然p≥1,則有

bi=bj=bp+i=bp*bi

bi=bp*bibi+1=bp*bi+1

…

bkp=bp*bkp(kp≥i)再由bkp=bp*bkp遞推可得：

bkp=bp*bkp=bp*bp*bkp=b2p*bkp=……=bkp*bkp

令a=bkp，則有a=a*a。

證畢

5.2.2獨(dú)異點(diǎn)

定義5.2.2

給定代數(shù)系統(tǒng)〈M，*〉，*是M上的二元運(yùn)算，如果滿足：

(1)*在M上封閉；

(2)*在M上可結(jié)合；

(3)*有幺元，

則稱〈M，*〉為獨(dú)異點(diǎn)(monoid)。

由定義可以看出，獨(dú)異點(diǎn)是含有幺元的半群。因此通常亦將獨(dú)異點(diǎn)叫做含幺半群。有時為了強(qiáng)調(diào)幺元e的存在性，獨(dú)異點(diǎn)也可表示為〈M，*，e〉。

定理5.2.2

設(shè)〈M，*〉是一個獨(dú)異點(diǎn)，｜M｜≥2，則在關(guān)于運(yùn)算*的運(yùn)算表中任何兩行或兩列都是不相同的。

證明設(shè)M中關(guān)于運(yùn)算*的幺元是e。對于任何a,b∈M且a≠b，均有

e*a=a≠b=e*b

a*e=a≠b=b*e

所以,在*的運(yùn)算表中不可能有兩行或兩列是相同的。

證畢5.3.1群的定義及其性質(zhì)

定義5.3.1

給定代數(shù)系統(tǒng)〈G，*〉，*是G上的二元運(yùn)算，如果滿足：

(1)*運(yùn)算在G上封閉；

(2)*運(yùn)算是可結(jié)合的；

(3)關(guān)于*運(yùn)算存在幺元e；

(4)G中每個元素關(guān)于*運(yùn)算都是可逆的，即G中每個元素均存在逆元,則稱〈G，*〉是群(Group)。5.3群

定義5.3.2

給定群〈G，*〉，若G是有限集，則稱〈G，*〉是有限群。G的基數(shù)稱為該有限群的階數(shù)(order)。若集合G是無限的，則稱〈G，*〉為無限群。

定理5.3.1

設(shè)〈G，*〉是群，且|G|＞1，則群〈G，*〉無零元。

證明設(shè)〈G，*〉是群，且|G|＞1，幺元為e，采用反證法。

假設(shè)群〈G，*〉有零元θ，根據(jù)定理5.1.5知，θ≠e，又因?yàn)閤∈G，均有x*θ=θ*x=θ≠e，所以，零元θ不存在逆元，與〈G，*〉是群矛盾，所以群〈G，*〉無零元。

證畢

定理5.3.2

在任何一個群〈G，*〉中，幺元是唯一的等冪元。

證明因?yàn)閑*e=e，故e是群〈G，*〉的等冪元，假設(shè)a∈G，a是等冪元，由于〈G，*〉是群，a必然存在逆元a－1∈G，則有

a=e*a=(a－1*a)*a=a－1*(a*a)

=a－1*a=e

故幺元e是群〈G，*〉中的唯一等冪元。

證畢

定理5.3.3

給定群〈G，*〉，則a，b，c∈G，若a*b=a*c或b*a=c*a，必有b=c，即群滿足消去律。

證明設(shè)a*b=a*c，由于〈G，*〉是群，a必然存在逆元a－1∈G，則有

a－1*(a*b)=a－1*(a*c)

(a－1*a)*b=(a－1*a)*c

e*a=e*c

b=c

同理可證，若b*a=c*a，也必有b=c。

證畢

定理5.3.4

給定群〈G，*〉，則對于任何a，b∈G：

(1)存在唯一的x∈G，使得a*x=b，即方程a*x=b在群〈G，*〉中有唯一解x。

(2)存在唯一的y∈G，使得y*a=b，即方程y*a=b在群〈G，*〉中有唯一解y。

證明

(1)設(shè)a的逆元為a－1，令x=a－1*b,

則a*x=a*(a－1*b)=(a*a－1)*b=e*b=b，即x=a－1*b是a*x=b的解。若另有解x′滿足a*x′=b，則

a－1*(a*x′)=a－1*b

x′=a－1*b=x

故方程a*x=b在群〈G，*〉中的解唯一。

類似地可以證明(2)，于是定理得證。

證畢

定理5.3.5

設(shè)〈G，*〉是群，則a，b∈G，(a*b)－1=b－1*a－1。

證明設(shè)a的逆元為a－1，b的逆元為b－1，則

(a*b)*(b－1*a－1)=a*(b*b－1)*a－1=(a*e)*a－1=a*a－1=e

(b－1*a－1)*(a*b)=b－1*(a－1*a)*b=(b－1*e)*b=b－1*b=e

故(a*b)－1=b－1*a－1。

證畢5.3.2群中元素的階

定義5.3.3

給定群〈G，*〉，幺元e，對于a∈G，使得an=e的最小正整數(shù)n稱為a的階或周期，記為|a|，并稱a的階是有限的,否則,稱a的階是無限的。

定理5.3.6

給定群〈G，*〉，對于任何a∈G，a與a－1具有相同的階。

證明由定理5.3.5可知，對任意正整數(shù)k，均有

(a－1)k=(ak)－1

(1)

ak=［(a－1)k］－1

(2)

由式(1)和式(2)知，a的階有限當(dāng)且僅當(dāng)a－1的階有限，因此，若a的階無限，當(dāng)且僅當(dāng)a－1的階無限。下面考察a和a－1的階均有限的情況：設(shè)a∈G，a的階是n，a－1的階是m，則

由式(1)知，(a－1)n=(an)－1=e－1=e，則m≤n。

由式(2)知，am=［(a－1)m］－1=e－1=e，則n≤m。

從而得到，n=m，因此a與a－1具有相同的階。

證畢

定理5.3.7

給定群〈G，*〉，a∈G，a的階為n∈N，k為整數(shù)，則ak=e當(dāng)且僅當(dāng)k=mn時，其中m為整數(shù)。

證明充分性。設(shè)k=mn，則

ak=amn=(an)m=em=e

必要性。設(shè)ak=e，令k=mn+r，0≤r＜n，則

e=ak=amn+r=amn*ar=(an)m*ar=em*ar=ar

又因?yàn)閍的階為n，所以得到r=0，即k=mn。

證畢

推論若an=e且沒有n的因子d(1＜d＜n)，使得ad=e，則a的階為n。

5.4.1子群

定義5.4.1

設(shè)〈A，f1,f2,…，fm〉是一代數(shù)系統(tǒng)，A′是個非空集合且如果滿足：

(1)A′A；

(2)運(yùn)算f1,f2,…，fm在A′上封閉,

則稱〈A′，f1,f2,…，fm〉是〈A，f1,f2,…，fm〉的子代數(shù)。5.4子群與同態(tài)?

定義5.4.2

給定群〈G，*〉及非空集合H

G，若〈H，*〉是群，則稱〈H，*〉為群〈G，*〉的子群。

對于任何群〈G，*〉，e

是關(guān)于*的幺元，〈{e}，*〉和〈G，*〉都是〈G，*〉的子群，并且稱為群〈G，*〉的平凡子群(trivialsubgroup)。?

定理5.4.1〈H，*〉是群〈G，*〉的子群，則必有eH=eG，其中eH和eG分別是〈H，*〉和〈G，*〉的幺元，即群與其子群具有相同的幺元。

證明

eH是子群〈H，*〉的幺元，任取x∈H，則有x∈G，因此

eH*x=x=eG*x

根據(jù)群滿足消去律可得，eH=eG。

證畢

定理5.4.2

給定群〈G，*〉及非空子集HG，則〈H，*〉是〈G，*〉的子群，當(dāng)且僅當(dāng)對于任何a，b∈H，有a*b∈H，且對于任何a∈H，有a－1∈H。

證明必要性。a，b∈H，因?yàn)椤碒，*〉是群，*在H上封閉，所以a*b∈H。

設(shè)eH和eG分別是〈H，*〉和〈G，*〉的幺元，a∈H，又設(shè)a在子群〈H，*〉中的逆元為b∈H，因?yàn)閍*b=eH=eG=a*a－1，所以b=a－1，故a－1∈H。

充分性。由于a，b∈H，有a*b∈H，故H對*運(yùn)算封閉，運(yùn)算*的可結(jié)合性在H上是可保持的，又由于a∈H，有a－1∈H，故H

中的元素均存在逆元，且a*a－1=e∈H，即H中存在幺元，故〈H，*〉是〈G，*〉的子群。

證畢

定理5.4.3

給定群〈G，*〉及非空H

G，則〈H，*〉是〈G，*〉的子群當(dāng)且僅當(dāng)a，b∈H，必有a*b－1∈H。

證明必要性是顯然的。

充分性。(1)證明〈G，*〉中的幺元e也是〈H，*〉中的幺元。

a∈H，有e=a*a－1∈H，即〈H，*〉中有幺元e。

(2)證明H中每個元素都有逆元。

a∈H，因?yàn)閑∈H，則有e*a－1∈H，即a－1∈H。

?

(3)證明*在H上是封閉的。

a，b∈H，由(2)知b－1∈H，則a*b=a*(b－1)－1∈H。

(4)運(yùn)算*的可結(jié)合性在H上是可保持的。

因此〈H，*〉是〈G，*〉的子群。

證畢

定理5.4.4

給定群〈G，*〉及非空有限集H

G，則〈H，*〉是〈G，*〉的子群當(dāng)且僅當(dāng)a，b∈H，均有a*b∈H，即H對*運(yùn)算封閉。

證明必要性是顯然的。

充分性。設(shè)e是群〈G，*〉的幺元，令|H|=n。

(1)a，b∈H，有a*b∈H，即H對*運(yùn)算封閉。

(2)a∈H，。

?根據(jù)鴿巢原理，必存在i，j∈{1，2，…，n+1}，1≤i＜j≤n+1且滿足ai=aj，因此有，e*ai=aj－i*ai。

由〈G，*〉是群，*滿足消去律，可得e=aj－i，所以H中有幺元e=aj－i

。

(3)利用(2)，如果j－i＞1，則a－1=aj－i－1∈H；如果j－i=1，則a=e，即a－1=e－1=e∈H。因此H中任何元素a的逆元a－1∈H。

(4)運(yùn)算*的可結(jié)合性在H上是可保持的。

綜上所述，〈H，*〉是〈G，*〉的子群。

證畢5.4.2同態(tài)與同構(gòu)

定義5.4.3

設(shè)A=〈S,*〉和A′=〈S′,*′〉是兩個代數(shù)系統(tǒng)，其中，S和S′是集合，*和*′為二元運(yùn)算。設(shè)f是從S到S′的一個映射，若對任意a,b∈S滿足：

f(a*b)=f(a)*′f(b)

則稱f為由A到A′的一個同態(tài)映射，也稱A同態(tài)于A′，記為A~A′。通常把〈f(S),*′〉稱為A在同態(tài)映射f下的同態(tài)像。

兩個代數(shù)系統(tǒng)A=〈S,*〉和A′=〈S′,*′〉在同態(tài)下的相互關(guān)系可以用圖5.4.1來直觀描述。圖5.4.1

定理5.4.5

給定A=〈S，*〉和A′=〈S′,*′〉是兩個代數(shù)系統(tǒng)，f為從代數(shù)系統(tǒng)A到代數(shù)系統(tǒng)A′的同態(tài)映射，則：

(1)如果A=〈S，*〉是半群，則A在映射f下的同態(tài)像〈f(A)，*′〉是半群。

(2)如果A=〈S，*〉是獨(dú)異點(diǎn)，則A在映射f下的同態(tài)像〈f(A)，*′〉是獨(dú)異點(diǎn)。

(3)如果A=〈S，*〉是群，則A在映射f下的同態(tài)像〈f(A)，*′〉是群。

證明

(3)任取a,b∈f(A)，必存在x,y∈A，使得f(x)=a，f(y)=b，故

a*′b=f(x)*′f(y)=f(x*y)∈f(A)

故*′運(yùn)算在f(A)上封閉。

任取a,b,c∈f(A)，必存在x,y,z∈A，使得f(x)=a，f(y)=b，f(z)=c，因?yàn)?運(yùn)算在A上是可結(jié)合的，所以有

a*′(b*′c)=f(x)*′(f(y)*′f(z))=f(x)*′f(y*z)

=f(x*(y*z))=f((x*y)*z)

=f(x*y)*′f(z)

=(f(x)*′f(y))*′f(z)

=(a*′b)*′c

設(shè)eA是群〈A，*〉的幺元，任取a∈f(A)，必存在x∈A，使得f(x)=a，則

f(eA)*′a=f(eA)*′f(x)=f(eA*x)=f(x)=a

a*′f(eA)=f(x)*′f(eA)=f(x*eA)=f(x)=a

故f(eA)是代數(shù)系統(tǒng)〈f(A)，*′〉中的幺元。任取a∈f(A)，必存在x∈A，使得f(x)=a。因?yàn)椤碅，*〉是群，所以x－1∈A，有f(x－1)∈f(A)，則

f(x－1)*′a=f(x－1)*′f(x)=f(x－1*x)=f(eA)

a*′f(x－1)=f(x)*′f(x－1)=f(x*x－1)=f(eA)

故f(x－1)是a的逆元。

綜上所述，代數(shù)系統(tǒng)〈f(A)，*′〉是群。

(1)、(2)的證明留作練習(xí)。

證畢

推論1

設(shè)g為從群〈G，*〉到群〈H，〉的群同態(tài)映射，若〈S，*〉是群〈G，*〉的子群且g(S)={g(a)|a∈S}，則〈g(S)，〉為群〈H，〉的子群。

證明設(shè)〈S，*〉是群〈G，*〉的子群且g(S)={g(a)|a∈S}，任取x，y∈g(S)，存在a，b∈S，使得x=g(a)，y=g(b)。由于a*b－1∈S，因此有

x

y－1=g(a)(g(b))－1=g(a)g(b－1)

=g(a*b－1)∈g(S)

故〈g(S)，〉為群〈H，〉的子群。

證畢

推論2

若g是從群〈G，*〉到代數(shù)系統(tǒng)〈H，〉的滿同態(tài)映射，則代數(shù)系統(tǒng)〈H，〉為群。

設(shè)f是群〈G，*〉到群〈H，*〉的同態(tài)，群〈G，*〉的幺元的像一定是群〈H，*〉的幺元，但群〈H，*〉幺元的原像并不一定唯一。這里引入同態(tài)核的概念。

定義5.4.5

設(shè)f是群〈G，*〉到群〈H，*〉的同態(tài)映射，eH是群〈H，*〉中的幺元，令Kf＝{x|x∈G∧f(x)＝eH}，稱Kf為群同態(tài)映射f的同態(tài)核(kernal)。

定理5.4.6

設(shè)f為群〈G，*〉到群〈H，〉的同態(tài)映射，則f的同態(tài)核Kf是G的子群。

證明設(shè)群〈G，*〉和群〈H，〉的幺元分別為e1、e2，f的同態(tài)核記為Kf，則e2=f(e1),對任意的k1,k2∈Kf，有

f(k1*k2)=f(k1)f(k2)=e2

e2=e2

故k1*k2∈Kf，*運(yùn)算在Kf上封閉。對任意的k∈Kf，有

f(k－1)=［f(k)］－1=(e2)－1=e2

故k－1∈Kf，所以f的同態(tài)核Kf是G的子群。

證畢

定義5.4.6

設(shè)A=〈S，*〉是一個代數(shù)系統(tǒng)，如果f為從A=〈S，*〉到A=〈S，*〉的同態(tài)映射，則稱f為由A到A的一個自同態(tài)映射。如果f為從A=〈S，*〉到A=〈S，*〉的同構(gòu)映射，則稱f為由A到A的一個自同構(gòu)映射。

定理5.4.7

設(shè)G為所有具有一個二元運(yùn)算代數(shù)系統(tǒng)的集合，則G中代數(shù)系統(tǒng)間的同構(gòu)關(guān)系是等價關(guān)系。

證明

(1)任取〈X，*〉∈G，因?yàn)楹愕扔成涫峭瑯?gòu)映射，即〈X，*〉≌〈X，*〉，顯然同構(gòu)關(guān)系是自反的。

(2)任取〈X，*〉，〈Y，〉∈G，若〈X，*〉≌〈Y,〉且f為其同構(gòu)映射，則f1為從〈Y,〉到〈X，*〉的同構(gòu)映射。因此，〈Y,〉≌〈X，*〉,即同構(gòu)關(guān)系是對稱的。

(3)任取〈X，*〉，〈Y，〉，〈Z，⊙〉∈G，設(shè)〈X，*〉≌〈Y,〉，〈Y,〉≌〈Z，⊙〉，f為〈X，*〉到〈Y，〉的同構(gòu)映射，g為〈Y，〉到〈Z，⊙〉的同構(gòu)映射，則gf為從〈X，*〉到〈Z，⊙〉的同構(gòu)映射，即〈X，*〉≌〈Z，⊙〉。因此，傳遞性成立。

可見,同構(gòu)關(guān)系滿足自反性、對稱性和傳遞性。因此，同構(gòu)關(guān)系是等價關(guān)系。

證畢5.5.1交換群

定義5.5.1

給定群〈G，*〉，若*是交換的，則稱〈G，*〉是交換群(或阿貝爾群、Abel群)。

5.5特殊的群

定理5.5.1

設(shè)〈G，*〉是一個群，則〈G，*〉是一個交換群當(dāng)且僅當(dāng)對于任何a,b∈G，有(a*b)2=a2*b2。

證明必要性。設(shè)〈G，*〉是一個交換群，任取a,b∈G，則有：

(a*b)2=(a*b)*(a*b)=((a*b)*a)*b=(a*(b*a))*b

=(a*(a*b))*b=((a*a)*b)*b

=(a*a)*(b*b)=a2*b2

充分性。設(shè)〈G，*〉是一個群，且對于任何a,b∈G，有(a*b)2=a2*b2，則由：

(a*b)*(a*b)=(a*a)*(b*b)

a－1*(a*b)*(a*b)*b－1=a－1*(a*a)*(b*b)*b－1

(a－1*a)*(b*a)*(b*b－1)=(a－1*a)*(a*b)*(b*b－1)

b*a=a*b

得出*可交換，所以〈G，*〉是一個交換群。

證畢

定理5.5.2

設(shè)〈G，*〉是一個群，如果對于任何x∈G，有x2=e，則〈G，*〉是一個交換群。

證明任取x,y∈G，由已知條件知，(x*y)2=e，x2*y2=e*e=e，從而得到：(x*y)2=x2*y2，根據(jù)定理5.5.2，〈G，*〉是一個交換群。

證畢5.5.2置換群

定義5.5.2

令S是非空有限集合，從S到S的雙射p：S→S稱為集合S上的置換，|S|稱為置換的階。

若S={x1，x2，…，xn}，則一個n階置換p可表示為

設(shè)|S|=n，用Sn表示S中的所有置換的集合。顯然，Sn含有n!個不同的置換。

在Sn上可以定義兩種二元運(yùn)算和

，其中稱為左復(fù)合運(yùn)算，

稱為右復(fù)合運(yùn)算。對于任何pi，pj∈Sn，pi

pj表示先進(jìn)行pj置換，再進(jìn)行pi置換，pi

pj表示先進(jìn)行pi置換，再進(jìn)行pj置換。

事實(shí)上，置換既是函數(shù)又是二元關(guān)系，置換的左復(fù)合就是函數(shù)的復(fù)合運(yùn)算，而置換的右復(fù)合

就是關(guān)系的復(fù)合運(yùn)算，對于任意x∈S有：

(pi

pj)(x)=(pj

pi)(x)=pj(pi(x))

為了避免混淆，下面只對右復(fù)合

進(jìn)行討論，關(guān)于左復(fù)合有類似的結(jié)論?！?/p>

°

°

°

定理5.5.3〈Sn，

〉是一個群，其中

是置換的右復(fù)合運(yùn)算。

證明由于Sn是S上所有n!個不同的置換構(gòu)成的集合，且每一個置換又都是S上的一個雙射，因此由函數(shù)和雙射的性質(zhì)很容易得到以下結(jié)論：

(1)任取pi，pj∈Sn，pi

pj∈Sn，所以

在Sn上是封閉的。

(2)任取pi，pj，pk∈Sn，(pi

pj)

pk=pi

(pj

pk)，所以

在Sn上是可結(jié)合的。

(3)存在恒等置換pe=Is∈Sn，對于任何pi∈Sn，pe

pi=pi

pe=pi，所以pe是Sn中關(guān)于

的幺元。

(4)任取pi∈Sn，pi存在逆函數(shù)pi－1∈Sn，pi

pi

－1=pi－1

pi=pe，所以Sn中每個元素關(guān)于

存在逆元。

故〈Sn,

〉是一個群。

證畢

定義5.5.3

給定n個元素組成的集合S，S上的若干置換及其置換的右復(fù)合運(yùn)算

所構(gòu)成的群稱為n次置換群(substitutiongroup)。特別地，置換群〈Sn，

〉稱為n次對稱群(symmetricgroup)。

定理5.5.4

設(shè)〈G，*〉為群，那么運(yùn)算表中的每一行和列表頭(或每一列和行表頭)都構(gòu)成集合G的一個置換。

證明這里只證〈G，*〉的運(yùn)算表中的每一行和列表頭都構(gòu)成集合G的一個置換。

設(shè)G={a1，a2，…，an}，任取元素ai∈G，考察ai對應(yīng)的行ai*a1，ai*a2，…，ai*an。

設(shè)aj是G中的任一元素，由于aj=ai*(ai－1*aj)，而ai－1*

aj∈G，所以aj必定出現(xiàn)在ai對應(yīng)的行中。

再證在ai對應(yīng)的行中aj只出現(xiàn)一次，可用反證法。設(shè)在ai對應(yīng)的行中aj出現(xiàn)兩次或更多次，即存在ah，ak∈G，且ah≠ak，使得

ai*ah＝ai*ak＝aj，由于〈G，*〉為群，滿足可約性，又推出ah=ak，產(chǎn)生矛盾。

因而證明了是集合G的一個置換。

對列的證明過程與上述證明過程類似。

證畢

定理5.5.5(Cayley定理)

任意n階群必同構(gòu)于一個n次置換群。5.5.3循環(huán)群

定義5.5.4

給定群〈G，*〉，令Z整數(shù)集合，若存在g∈G，對于任何a∈G，存在i∈Z，使得a=gi，則稱〈G，*〉是循環(huán)群(cyclicgroup)，稱g是循環(huán)群〈G，*〉的生成元(generater)，同時稱循環(huán)群〈G，*〉是由g生成的，把群〈G，*〉常記為(g)。若生成元g的階(order)有限，則稱〈G，*〉為有限循環(huán)群，否則稱為無限循環(huán)群。

例如，〈Z,+〉是無限循環(huán)群，0是幺元，1或－1是生成元(注意生成元不唯一，10=(－1)0=0)。

定理5.5.6

每個循環(huán)群都是Abel群。

證明設(shè)〈G，*〉是一個循環(huán)群，a是該群的生成元，對于任意的x,y∈G

，必有r,s∈Z，使得x=ar，y=as，這樣就推出：

x*y=ar*as=ar+s=as+r=as*ar=y*x

從而得到，運(yùn)算*可交換，即〈G，*〉是阿貝爾群。

證畢

定理5.5.7

設(shè)〈G，*〉是g生成的有限循環(huán)群，如果|G|=n，則G={g1，g2，…，gn－1，gn=e}，且n是使gn=e的最小正整數(shù)。其中，e是群〈G，*〉的幺元。

證明首先證明g1，g2，…，gn－1

均不等于e。假設(shè)存在某個正整數(shù)m,m＜n，有g(shù)m=e。由于〈G，*〉是一個循環(huán)群，所以任取a∈G，存在k∈Z，使得gk=a。令k=mq+r,其中q是某個整數(shù),0≤r＜m,則有

a=gk=gmq+r=(gm)q*ar=(e)q*ar=ar

這表明G中每一個元素都可寫成gr(0≤r＜m)的形式，這樣G中最多有m個不同的元素，這與|G|=n矛盾。所以，如果m＜n，則gm≠e，故g1，g2,…,gn－1均不等于e。

其次證明g1，g2,…，gn互不相同。假設(shè)存在gi=gj，其中1≤i＜j≤n

，則gj－i=e，而且1≤j－i＜n

，這已證明不可能成立。

由于〈G，*〉是群，且|G|=n，g1，g2

，…，gn∈G，必有G={g1，g2

，…，gn}，又因?yàn)槿骸碐，*〉有幺元e，推出gn=e。

證畢

定理5.5.8

循環(huán)群〈G，*〉的任何子群都是循環(huán)群。

證明設(shè)循環(huán)群〈G，*〉的生成元為g，〈H，*〉是〈G，*〉的任意子群。

(1)若〈H，*〉是〈G，*〉的平凡子群，則〈H，*〉顯然是循環(huán)群。

(2)若〈H，*〉是〈G，*〉的非平凡子群。設(shè)m是滿足gm∈H

的最小正整數(shù)。對于任意gp∈H，令p＝qm+r(其中0≤r≤m－1，q＞0)，能夠得到gr＝gp－qm＝gp*(gm)－q∈H，因?yàn)閙是使gm∈H的最小正整數(shù)，所以r＝0，即gp＝(gm)q。這說明H中任意元素都可由gm生成。

所以，〈H，*〉是以gm為生成元的循環(huán)群。

證畢

定理5.5.9

任意k階有限循環(huán)群同構(gòu)于模k加群。

證明設(shè)〈G，*〉是g生成的k階有限循環(huán)群，|G|=k，則

gk=e，G={g0=e，g=g1，g2，…，gk－1}

其中，e是群〈G，*〉的幺元。

模k加群為〈Nk，+k〉，其中Nk={［0］,［1］,…,［k－1］}，［x］+k［y］=［x+y］。作映射f:

G→Nk，f(gi)=［i］，0≤i≤k－1，顯然f是雙射的。同時任取x,y∈G，令x=gi，y=gj，有

f(x*y)=f(gi*gj)=f(gi+j)=f(g(i+j)modk)

=［(i+j)modk］=［i］+k［j］=f(gi)+kf(gj)=f(x)+kf(y)

所以f是〈G，*〉到〈Nk，+k〉的同構(gòu)映射。

證畢5.6.1陪集與拉格朗日定理

定義5.6.1

設(shè)〈H，*〉是群〈G，*〉的子群，且a∈G，稱集合

a*H={a*h|h∈H}

為由a確定的H在G中的左陪集(leftcoset)，簡稱左陪集，簡記為aH,a稱為左陪集aH的代表元素。

類似地可定義由a確定的H在G中的右陪集Ha(rightcoset)。

顯然，若〈G，*〉是Abel群，并且〈H，*〉是其子群，則aH=Ha，即任意元素的左陪集等于其右陪集，此時aH=Ha可簡稱陪集。

5.6陪集與同余關(guān)系

定理5.6.1

設(shè)〈H，*〉是群〈G，*〉的子群，對任意a∈G，則a∈aH。

證明因?yàn)閑∈H，故a=a*e∈aH。

證畢

定理5.6.2

設(shè)〈H，*〉為群〈G，*〉的子群，e為群〈G，*〉的幺元，對于任何a,b∈G，則有：

(1)H為〈G，*〉中的左陪集。

(2)aH=H當(dāng)且僅當(dāng)a∈H。

(3)b∈aH當(dāng)且僅當(dāng)aH=bH。

(4)aH=bH當(dāng)且僅當(dāng)b－1*a∈H。

(5)或者aH=bH,或者aH∩bH=。?

證明

(1)因?yàn)槿鬳是〈G，*〉的幺元，則e*H={e*h|h∈H}=H。

(2)必要性。假設(shè)aH=H。由于a=a*e∈aH=H，故a∈H。

充分性。假設(shè)a∈H，顯然a－1∈H，任取x∈aH，存在h∈H，使得x=a*h，由于a∈H且〈H，*〉為群，故x∈H，aH

H。

任取x∈H，a*a－1*x∈H，令h1=a－1*x,則h1∈H，又因?yàn)閤=a*a－1*x=a*h1∈aH，推出H

aH。

從而得到，aH=H。

因此，aH=H當(dāng)且僅當(dāng)a∈H成立。??

(3)必要性。設(shè)b∈aH，則存在h1∈H，使得b=a*h1，

b－1=h1－1*a－1。

任取x∈bH，存在h∈H，使得x=b*h，則

x=b*h=a*h1*h=a*(h1*h)∈aH

故bH

aH。

任取x∈aH，存在h∈H，使得x=a*h，則

x=a*h=(b*b－1)*(a*h)=b*(b－1*a*h)

=b*(h1－1*a－1*a*h)=b*(h1－1*h)∈bH

故aH

bH。

因此，aH=bH。

充分性是顯然的。

因此，b∈aH當(dāng)且僅當(dāng)aH=bH成立。??

(4)必要性。假設(shè)aH=bH，存在h1，h2∈H，使得a*h1=b*h2,這樣就有：

b－1*a*h1*h1－1=b－1*b*h2*h1－1

因此，b－1*a=h2*h1－1∈H。

充分性。假設(shè)b－1*a∈H。任取x∈aH，存在h∈H，使得x=a*h，則

x=a*h=(b*b－1)*(a*h)=b*(b－1*a)*h∈bH

故aH

bH。

任取x∈bH，存在h∈H，使得x=b*h，則

x=b*h=(a*a－1)*(b*h)=a*(a－1*b)*h=a*(b－1*a)－1*h∈aH

故bH

aH。

所以aH=bH成立。

因此，aH=bH當(dāng)且僅當(dāng)b－1*a∈H成立。??

定理5.6.3

若〈H，*〉是群〈G，*〉的子群，則H的每個左陪集與H等勢。

證明任取左陪集aH，其中a∈G，建立由H到aH的映射如下：

f(h)=a*h

其中h∈H。

f顯然是滿射，下面證明它是單射。

若a*h1=a*h2，h1,h2∈H，則根據(jù)群的可約律知h1=h2，即若f(h1)=f(h2)，必有h1=h2。故f是雙射的。

證畢

定義5.6.2

設(shè)〈H，*〉是群〈G，*〉的子群，定義G上二元關(guān)系R={〈a，b〉|a，b∈G且aH=bH}，稱R為〈H，*〉的左陪集關(guān)系。

定理5.6.4

設(shè)〈H，*〉是群〈G，*〉的子群，則〈H，*〉左陪集關(guān)系R是一個等價關(guān)系，且對于任何a∈G，有［a］R=aH。

證明任取a∈G，因?yàn)閍H=aH，所以〈a，

a〉∈R，故R是自反的。

任取a，b∈G，且〈a，b〉∈R，則aH=bH，即bH=aH，所以〈b，a〉∈R，故R是對稱的。

任取a,b,c∈G，且〈a，b〉∈R，〈b，c〉∈R，則aH=bH，bH=cH，即有aH=cH，〈a，c〉∈R，故R是傳遞的。

因此，R是等價關(guān)系。

對于任何x∈G，由于x∈［a］R〈a，x〉∈R

aH=xH

x∈aH，故有［a］R=aH。

證畢

定理5.6.5(Lagrange定理)若〈H，*〉是有限群〈G，*〉的子群，且|G|=n，|H|=m，則n=mk，其中k∈Z+，Z+是正整數(shù)集合。

證明設(shè)R為〈H，*〉的左陪集關(guān)系，則G關(guān)于R的商集G/R={［x］R|x∈G}，再假設(shè){［x］R|x∈G}中所有不同的等價類有k個，分別是［a1］R，［a2］R，…,［ak］R，其中a1，a2,…,ak∈G，由于G/R={［x］R|x∈G}=｛［a1］R，［a2］R，…,［ak］R｝是G的一個劃分，這樣就得到：

n=|G|=|［a1］R∪［a2］R∪…∪［ak］R|

=|［a1］R|+|［a2］R|+…+|［ak］R|

=|a1H|+|a2H|+…+|akH|=k|H|

即n=mk。

證畢

推論1

任何階為素數(shù)的有限群必不存在非平凡子群。

推論2

設(shè)〈G，*〉是n階群，對于任何a∈G，若a的階為r，則r必是n的因子，且有an＝e。

證明任取a∈G，且設(shè)a的階為r，即有ar=a0=e，不難證明〈{a0,a1,a2,…,ar－1}，*〉是〈G，*〉的子群，|{a0,a1,a2,…,ar－1}|=r。

由拉格朗日定理可知，r是n的因子。

令n=mr,其中m、r為正整數(shù)，則有an＝arm=(ar)m=em=e。

證畢

推論3

階為素數(shù)的群〈G，*〉必為循環(huán)群，且G中任何非幺元元素均為生成元。

證明設(shè)〈G，*〉是群，|G|＝p，p是素數(shù)，e為幺元。任取a∈G，且a≠e，設(shè)a的階為m，因?yàn)閙是p的因子且m≠1，所以m=p，G={a1，a2，…，ap=e}，即〈G，*〉是循環(huán)群，a是生成元，從而得到：階為素數(shù)的群〈G，*〉必為循環(huán)群，且G中任何非幺元元素均為生成元。

證畢

*5.6.2正規(guī)子群

定義5.6.3

設(shè)〈H，*〉是群〈G，*〉的子群，若對于G中任意元a，有aH=Ha，則稱〈H，*〉是