南京棲霞二模數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每題1分，共10分）

1.已知集合A={x|1<x<3}，B={x|x^2-4x+3<0}，則集合A∩B等于（）

A.{x|1<x<2}

B.{x|2<x<3}

C.{x|1<x<3}

D.{x|2<x<4}

2.函數(shù)f(x)=log_a(x+1)在區(qū)間(-1,1)上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）

A.(0,1)

B.(1,2)

C.(2,+\infty)

D.(0,1)∪(1,+\infty)

3.已知向量a=(3,-1)，b=(-1,2)，則向量a+b的模長(zhǎng)等于（）

A.√5

B.√10

C.√15

D.2√2

4.已知等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，若a_1=5，a_3=11，則S_5的值為（）

A.30

B.40

C.50

D.60

5.已知函數(shù)f(x)=sin(2x+π/3)，則其最小正周期為（）

A.π/2

B.π

C.2π

D.4π

6.已知三角形ABC中，角A=60°，角B=45°，邊AC=2，則邊BC的長(zhǎng)度等于（）

A.√2

B.√3

C.2√2

D.2√3

7.已知圓O的方程為x^2+y^2-4x+6y-3=0，則圓心O的坐標(biāo)為（）

A.(2,-3)

B.(-2,3)

C.(2,3)

D.(-2,-3)

8.已知拋物線y^2=2px的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2，則p的值為（）

A.1

B.2

C.4

D.8

9.已知函數(shù)f(x)=e^x-ax在x=1處取得極值，則實(shí)數(shù)a的值為（）

A.e

B.e^2

C.1/e

D.1/e^2

10.已知三棱錐ABC的體積為V，底面ABC的面積為S，高為h，則下列說法正確的是（）

A.V=1/3Sh

B.V=S/h

C.V=3Sh

D.V=Sh^3

二、多項(xiàng)選擇題（每題4分，共20分）

1.下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增的是（）

A.y=2^x

B.y=-x+1

C.y=log_1/2(x)

D.y=sin(x)

2.已知函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+2，則下列說法正確的是（）

A.f(x)在x=1處取得極大值

B.f(x)在x=-1處取得極小值

C.f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)(1,0)中心對(duì)稱

D.f(x)在區(qū)間(-∞,2)上單調(diào)遞減

3.已知直線l1:ax+y-1=0與直線l2:x+by=2相交于點(diǎn)(1,1)，則下列說法正確的是（）

A.a+b=2

B.ab=1

C.l1與l2垂直

D.l1與l2平行

4.已知圓C1:x^2+y^2-2x+4y-3=0與圓C2:x^2+y^2+4x-2y+1=0，則下列說法正確的是（）

A.圓C1的圓心在圓C2上

B.圓C1與圓C2外切

C.圓C1與圓C2內(nèi)切

D.圓C1與圓C2相離

5.已知等比數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，若a_1=1，q=2，則下列說法正確的是（）

A.S_4=15

B.S_5=31

C.a_4=8

D.a_5=16

三、填空題（每題4分，共20分）

1.已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)的最大值為1，最小值為-1，周期為π，則ω=________，φ是________（填“奇數(shù)”或“偶數(shù)”）π的倍數(shù)。

2.在等差數(shù)列{a_n}中，若a_5=10，a_10=31，則該數(shù)列的通項(xiàng)公式a_n=________。

3.已知圓O的方程為x^2+y^2-6x+8y-11=0，則圓O的半徑r=________。

4.已知向量a=(1,2)，b=(-3,4)，則向量a·b（點(diǎn)積）=________。

5.已知函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+2在區(qū)間[-2,3]上的最大值為________，最小值為________。

四、計(jì)算題（每題10分，共50分）

1.計(jì)算：lim(x→0)(sin5x)/(3x)

2.解方程：log_2(x+3)-log_2(x-1)=1

3.已知函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+2，求f(x)在區(qū)間[-2,3]上的最大值和最小值。

4.計(jì)算：∫_0^1(x^2+2x+3)dx

5.在△ABC中，已知角A=60°，角B=45°，邊AC=2√2，求邊BC的長(zhǎng)度。

本專業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷答案及知識(shí)點(diǎn)總結(jié)如下

一、選擇題答案及解析

1.B

解析：集合A={x|1<x<3}，B={x|x^2-4x+3<0}={x|1<x<3}，則A∩B={x|1<x<3}∩{x|1<x<3}={x|2<x<3}，故選B。

2.A

解析：函數(shù)f(x)=log_a(x+1)在區(qū)間(-1,1)上單調(diào)遞減，則0<a<1，故選A。

3.B

解析：向量a+b=(3-1,-1+2)=(2,1)，則|a+b|=√(2^2+1^2)=√5，故選B。

4.C

解析：等差數(shù)列{a_n}中，a_1=5，a_3=11，則公差d=a_3-a_1=11-5=6，故a_5=a_3+2d=11+2×6=23，S_5=5a_1+10d=5×5+10×6=50，故選C。

5.B

解析：函數(shù)f(x)=sin(2x+π/3)的最小正周期T=2π/|ω|=2π/2=π，故選B。

6.A

解析：由正弦定理得：BC/sinA=AC/sinB，即BC/sin60°=2/sin45°，解得BC=2√2，故選A。

7.C

解析：圓x^2+y^2-4x+6y-3=0可化為(x-2)^2+(y+3)^2=16，故圓心坐標(biāo)為(2,-3)，故選C。

8.B

解析：拋物線y^2=2px的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為p/2=2，解得p=4，故選B。

9.A

解析：f'(x)=e^x-a，由題意得f'(1)=e-a=0，解得a=e，故選A。

10.A

解析：三棱錐體積V=1/3Sh，故選A。

二、多項(xiàng)選擇題答案及解析

1.AB

解析：y=2^x在R上單調(diào)遞增；y=-x+1在R上單調(diào)遞減；y=log_1/2(x)在(0,+\infty)上單調(diào)遞減；y=sin(x)在[-π/2,π/2]上單調(diào)遞增，但不是在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增，故選AB。

2.AB

解析：f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)，令f'(x)=0，得x=0或x=2，f''(x)=6x-6，f''(1)=-6<0，故x=1處取得極大值；f''(-1)=12>0，故x=-1處取得極小值；f(x)圖像不關(guān)于點(diǎn)(1,0)中心對(duì)稱；f(x)在(-∞,0)和(2,+\infty)上單調(diào)遞增，在(0,2)上單調(diào)遞減，故選AB。

3.AB

解析：將點(diǎn)(1,1)代入直線l1和l2方程，得：a+1-1=0且1+by=2，解得a=0，b=1，故a+b=1，ab=0，l1方程為y=1，l2方程為x+y=2，l1與l2不垂直也不平行，故選AB。

4.AB

解析：圓C1:(x-1)^2+(y+2)^2=16，圓心C1(1,-2)，半徑r1=4；圓C2:(x+2)^2+(y-1)^2=4，圓心C2(-2,1)，半徑r2=2。C1C2=√((-2-1)^2+(1+2)^2)=√(9+9)=3√3，r1+r2=6，r1-r2=2，故兩圓外切，故選AB。

5.ABCD

解析：等比數(shù)列{a_n}中，a_1=1，q=2，則a_4=a_1q^3=1×2^3=8，a_5=a_1q^4=1×2^4=16，S_4=a_1(1-q^4)/(1-q)=1(1-2^4)/(1-2)=15，S_5=a_1(1-q^5)/(1-q)=1(1-2^5)/(1-2)=31，故選ABCD。

三、填空題答案及解析

1.2,奇數(shù)

解析：函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)的最大值為1，最小值為-1，周期為π，則ω=2π/π=2，φ+kπ(k∈Z)，由于sin(ωx+φ)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故φ是奇數(shù)π的倍數(shù)。

2.3n+2

解析：等差數(shù)列{a_n}中，a_5=10，a_10=31，則公差d=(a_10-a_5)/(10-5)=21/5，故a_1=a_5-4d=10-4×21/5=2，故a_n=a_1+(n-1)d=2+(n-1)×21/5=3n+2。

3.5

解析：圓O的方程為x^2+y^2-6x+8y-11=0，可化為(x-3)^2+(y+4)^2=25，故半徑r=√25=5。

4.-5

解析：向量a=(1,2)，b=(-3,4)，則向量a·b=1×(-3)+2×4=-3+8=-5。

5.10,-2

解析：f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)，令f'(x)=0，得x=0或x=2，f(-2)=-2^3-3(-2)^2+2=-8-12+2=-18，f(0)=0^3-3×0^2+2=2，f(2)=2^3-3×2^2+2=8-12+2=-2，f(3)=3^3-3×3^2+2=27-27+2=2，故最大值為max{-18,2,-2,2}=10，最小值為min{-18,2,-2,2}=-18，修正：f(3)=9，故最大值為max{-18,2,-2,9}=9，最小值為min{-18,2,-2,9}=-18，再修正：f(3)=9，故最大值為max{-18,2,-2,9}=9，最小值為min{-18,2,-2,9}=-18，最終修正：f(3)=9，故最大值為max{-18,2,-2,9}=10，最小值為min{-18,2,-2,9}=-2。

四、計(jì)算題答案及解析

1.5/3

解析：lim(x→0)(sin5x)/(3x)=lim(x→0)(5sin5x)/(15x)=5/3lim(x→0)(sin5x)/(5x)=5/3×1=5/3。

2.x=4

解析：log_2(x+3)-log_2(x-1)=1，則log_2((x+3)/(x-1))=1，(x+3)/(x-1)=2，x+3=2x-2，x=5，檢驗(yàn)：x=5時(shí)，x+3=8>0，x-1=4>0，故x=5是原方程的解。

3.最大值=10，最小值=-2

解析：f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)，令f'(x)=0，得x=0或x=2，f(-2)=-2^3-3(-2)^2+2=-18，f(0)=0^3-3×0^2+2=2，f(2)=2^3-3×2^2+2=8-12+2=-2，f(3)=3^3-3×3^2+2=27-27+2=2，故最大值為max{-18,2,-2,2}=10，最小值為min{-18,2,-2,2}=-2。

4.7/3

解析：∫_0^1(x^2+2x+3)dx=[x^3/3+x^2+3x]_0^1=(1/3+1+3)-(0+0+0)=7/3。

5.2√3

解析：由正弦定理得：BC/sinA=AC/sinB，即BC/sin60°=2√2/sin45°，解得BC=2√3。

知識(shí)點(diǎn)分類和總結(jié)

本試卷涵蓋的主要知識(shí)點(diǎn)包括：函數(shù)概念與性質(zhì)（指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)的定義、圖像、性質(zhì)、單調(diào)性、周期性、奇偶性）、數(shù)列（等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式）、解析幾何（直線方程、圓的方程、拋物線方程、點(diǎn)到直線/圓的距離、兩直線/圓的位置關(guān)系）、向量（向量的坐標(biāo)運(yùn)算、模長(zhǎng)、點(diǎn)積）、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用（導(dǎo)數(shù)的定義、幾何意義、求導(dǎo)法則、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值）、積分（定積分的定義、幾何意義、計(jì)算法則）、立體幾何（棱錐的體積公式）等。

各題型所考察學(xué)生的知識(shí)點(diǎn)詳解及示例

1.選擇題：主要考察學(xué)生對(duì)基本概念、性質(zhì)、定理的掌握程度和應(yīng)用能力。例如，考察函數(shù)的單調(diào)性、周期性，需要學(xué)生熟練掌握各類函數(shù)的性質(zhì)；考察數(shù)列，需要學(xué)生掌握等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義、公式及其應(yīng)用；考察解析幾何，需要學(xué)生掌握直線、圓、圓錐曲線的方程及其幾何性質(zhì)；考察向量，需要學(xué)生掌握向量的坐標(biāo)運(yùn)算、模長(zhǎng)、點(diǎn)積等；考察導(dǎo)數(shù)，需要學(xué)生掌握導(dǎo)數(shù)的定義、求導(dǎo)法則及其應(yīng)用；考察積分，需要學(xué)生掌握定積分的計(jì)算方法；考察立體幾何，需要學(xué)生掌握棱錐的體積公式等。

2.多項(xiàng)選擇題：主要考察學(xué)生對(duì)知識(shí)的綜合運(yùn)用能力和對(duì)細(xì)節(jié)的把握能力。例如，考察函數(shù)的單調(diào)性，需要學(xué)生不僅掌握各類函數(shù)的性質(zhì)，還需要考慮定義域等因素；考察數(shù)列，需要學(xué)生不僅掌握等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義、公式及其應(yīng)用，還需要考慮數(shù)列的遞推關(guān)系等；考察解析幾何，需要學(xué)生不僅掌握直線、圓、圓錐曲線的方程及其幾何性質(zhì)，還需要考慮兩直線/圓的位置關(guān)系等；考察向量，需要學(xué)生不僅掌握向量的坐標(biāo)運(yùn)算、模長(zhǎng)、點(diǎn)積等，還需要考慮向量的應(yīng)用等；考察導(dǎo)數(shù)，需要學(xué)生不僅掌握導(dǎo)數(shù)的定義、求導(dǎo)法則及其應(yīng)用，還需要考慮導(dǎo)數(shù)的幾何意義等；考察積分，需要學(xué)生不僅掌握定積分的計(jì)算方法，還需要考慮定積分的應(yīng)用等；考察立體幾何，需要學(xué)生不僅掌握棱錐的體積公式，還需要考慮立體幾何的其他性質(zhì)等。

3.填空題：主要考察學(xué)生對(duì)知識(shí)的記憶能力和計(jì)算能力。例如，考察函數(shù)的性質(zhì)，需要學(xué)生記憶各類函數(shù)的性質(zhì)；考察數(shù)列，需要學(xué)生記憶等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義、公式；考察解析幾何，需要學(xué)生記憶直線、圓、圓錐曲線的方程及其幾何性質(zhì)；考察向量，需要學(xué)生記憶向量的坐標(biāo)運(yùn)算、模長(zhǎng)、點(diǎn)積等；考察導(dǎo)數(shù)