§3.6函數(shù)中的構(gòu)造問題01數(shù)學(xué)

大一輪復(fù)習(xí)1.函數(shù)中的構(gòu)造問題是高考考查的一個(gè)熱點(diǎn)內(nèi)容，經(jīng)常以客觀題出現(xiàn)，通過已知等式或不等式的結(jié)構(gòu)特征，構(gòu)造新函數(shù)，解決比較大小、解不等式、恒成立等問題.2.同構(gòu)函數(shù)問題是指在不等式、方程、函數(shù)中，通過等價(jià)變形形成相同形式，再構(gòu)造函數(shù)，同構(gòu)法主要解決含有指數(shù)、對(duì)數(shù)混合的等式或不等式問題.重點(diǎn)解讀

√題型一命題點(diǎn)1利用f(x)與x構(gòu)造函數(shù)導(dǎo)數(shù)型構(gòu)造函數(shù)令g(x)＝xf(x)，x∈R，因?yàn)閒(x)＝f(－x)，所以g(－x)＝－xf(－x)＝－xf(x)＝－g(x)，所以g(x)為奇函數(shù)，又因?yàn)楫?dāng)x∈(－∞，0]時(shí)，f(x)＋xf'(x)>0，所以當(dāng)x∈(－∞，0]時(shí)，g'(x)＝f(x)＋xf'(x)>0，所以g(x)在(－∞，0]上單調(diào)遞增，又g(x)為奇函數(shù)，所以g(x)在R上單調(diào)遞增，

思維升華跟蹤訓(xùn)練1已知定義在(0，＋∞)上的函數(shù)f(x)滿足xf'(x)－f(x)<0，且f(2)＝2，則f(ex)－ex>0的解集是A.(－∞，ln2) B.(ln2，＋∞)C.(0，e2) D.(e2，＋∞)√

例2已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)＋f'(x)>0，且有f(3)＝3，則f(x)>3e3－x的解集為

.

設(shè)F(x)＝f(x)·ex，則F'(x)＝f'(x)·ex＋f(x)·ex＝ex[f(x)＋f'(x)]>0，∴F(x)是增函數(shù).又f(3)＝3，則F(3)＝f(3)·e3＝3e3.∵f(x)>3e3－x等價(jià)于f(x)·ex>3e3，即F(x)>F(3)，∴x>3，即所求不等式的解集為(3，＋∞).(3，＋∞)命題點(diǎn)2利用f(x)與ex構(gòu)造函數(shù)

思維升華跟蹤訓(xùn)練2已知f(x)為定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)，f'(x)為其導(dǎo)函數(shù)，且f(x)<f'(x)恒成立，則A.f(2025)<ef(2026)B.ef(2025)<f(2026)C.ef(2025)＝f(2026)D.ef(2025)>f(2026)√

√命題點(diǎn)3利用f(x)與sinx，cosx構(gòu)造函數(shù)

思維升華

√

題型二

√命題點(diǎn)1雙變量同構(gòu)同構(gòu)法構(gòu)造函數(shù)

例5

(多選)若ea＋a>b＋lnb(a，b為變量)成立，則下列選項(xiàng)正確的是A.a>lnb

B.a<lnbC.ea>b

D.ea<b√√命題點(diǎn)2指對(duì)同構(gòu)方法一由ea＋a>b＋lnb，可得ea＋a>elnb＋lnb，令f(x)＝ex＋x，則f(a)>f(lnb)，因?yàn)閒(x)在R上是增函數(shù)，所以a>lnb，即ea>b.方法二由ea＋a>b＋lnb，可得ea＋lnea>b＋lnb，令g(x)＝x＋lnx，則g(ea)>g(b)，因?yàn)間(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)，所以ea>b，即a>lnb.指對(duì)同構(gòu)的常用形式(1)積型：aea≤blnb，一般有三種同構(gòu)方式：①同左構(gòu)造形式：aea≤lnbelnb，構(gòu)造函數(shù)f(x)＝xex；②同右構(gòu)造形式：ealnea≤blnb，構(gòu)造函數(shù)f(x)＝xlnx；③取對(duì)構(gòu)造形式：a＋lna≤lnb＋ln(lnb)(a>0，b>1)，構(gòu)造函數(shù)f(x)＝x＋lnx.思維升華

思維升華(3)和、差型：ea±a>b±lnb，一般有兩種同構(gòu)方式：①同左構(gòu)造形式：ea±a>elnb±lnb，構(gòu)造函數(shù)f(x)＝ex±x；②同右構(gòu)造形式：ea±lnea>b±lnb，構(gòu)造函數(shù)f(x)＝x±lnx.思維升華跟蹤訓(xùn)練4

(1)若2x－2y<3－x－3－y，則A.ln(y－x＋1)>0 B.ln(y－x＋1)<0C.ln|x－y|>0 D.ln|x－y|<0由2x－2y<3－x－3－y，得2x－3－x<2y－3－y，令f(t)＝2t－3－t，∵y＝2t為增函數(shù)，y＝3－t為減函數(shù)，∴f(t)為增函數(shù)，∴x<y，∴y－x＋1>1，∴l(xiāng)n(y－x＋1)>0，故A正確，B錯(cuò)誤；∵|x－y|與1的大小不確定，故C，D無法確定.√

(2)(2024·鹽城模擬)若不等式ax－exlna≤0(a>e)在x∈[2，＋∞)上恒成立，則實(shí)數(shù)a的最大值為

.

e2課時(shí)精練02單擊此處添加章節(jié)副標(biāo)題答案12345678910題號(hào)1234567答案CBDBBCBC(2，＋∞)題號(hào)8910答案e

C對(duì)一對(duì)

12345678910知識(shí)過關(guān)答案√12345678910答案

12345678910答案

√12345678910答案令g(x)＝f(x)－x2，則g'(x)＝f'(x)－2x>0，所以g(x)在R上單調(diào)遞增，又f(2)＝5，所以g(2)＝f(2)－22＝1，不等式f(x)>x2＋1，即f(x)－x2>1，即g(x)>g(2)，所以x>2，即不等式f(x)>x2＋1的解集為(2，＋∞).12345678910答案

√12345678910答案

12345678910答案4.設(shè)a，b都為正數(shù)，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，若aea<blnb，則A.ab>e B.b>eaC.ab<e D.b<ea√12345678910答案由aea<blnb，得ealnea<blnb.設(shè)f(x)＝xlnx(x>0)，因?yàn)閍>0，則ea>1，因?yàn)閎>0，且blnb>aea>0，則b>1.當(dāng)x>1時(shí)，f'(x)＝lnx＋1>0，則f(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，ealnea<blnb，即f(ea)<f(b)，所以ea<b.12345678910答案二、多項(xiàng)選擇題5.(2025·滁州模擬)已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，其導(dǎo)函數(shù)為f'(x)，且對(duì)任意的x∈R，都有f(x)＋f'(x)>0，則下列說法正確的是A.ef(1)<f(0) B.ef(1)>f(0)C.2f(ln2)<ef(1) D.2f(ln2)>ef(1)√√12345678910答案令g(x)＝exf(x)，所以g'(x)＝exf(x)＋exf'(x)＝ex[f(x)＋f'(x)]>0，所以g(x)在R上是增函數(shù)，所以g(0)<g(1)，即f(0)<ef(1)，故A錯(cuò)誤，B正確；又g(ln2)<g(1)，所以eln2f(ln2)<ef(1)，即2f(ln2)<ef(1)，故C正確，D錯(cuò)誤.12345678910答案6.已知正數(shù)a，b滿足2a＋log2a＝4b＋2log4b，則A.a>2b

B.a<2bC.a>b

D.a<b√√12345678910答案原等式可化為2a＋log2a＝22b＋log2b，令f(x)＝2x＋log2x，顯然f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，∵2b>b>0，∴2a＋log2a＝22b＋log2b<22b＋log2(2b)，∴f(a)<f(2b)，∴a<2b，故A錯(cuò)誤，B正確；又2a＋log2a＝22b＋log2b>2b＋log2b，∴f(a)>f(b)，∴a>b，故C正確，D錯(cuò)誤.三、填空題7.已知f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，f'(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，且滿足f(x)<－xf'(x)，則不等式f(x＋1)>(x－1)f(x2－1)的解集是

.

12345678910答案(2，＋∞)12345678910答案根據(jù)題意，構(gòu)造函數(shù)y＝xf(x)，x∈(0，＋∞)，則y'＝f(x)＋xf'(x)<0，所以函數(shù)y＝xf(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減.又因?yàn)閒(x＋1)>(x－1)f(x2－1)，所以(x＋1)f(x＋1)>(x2－1)f(x2－1)，所以0<x＋1<x2－1，解得x>2.所以不等式f(x＋1)>(x－1)f(x2－1)的解集是(2，＋∞).12345678910答案

e12345678910答案

12345678910答案

12345678910答案9.(2024·南通模擬)已知函數(shù)f(x)及其導(dǎo)函數(shù)f'(x)的定義域均為(0，＋∞)，若xf'(x)<2f(x)，則A.4e2f(2)<16f(e)<e2f(4