第三章數(shù)學(xué)

大一輪復(fù)習(xí)202X/01/01§3.5導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的最值1.理解函數(shù)最值與極值的關(guān)系.2.掌握利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)最值的方法.3.會(huì)用導(dǎo)數(shù)研究生活中的最優(yōu)化問題.課標(biāo)要求第一部分落實(shí)主干知識(shí)第二部分探究核心題型01內(nèi)容索引02課時(shí)精練目錄落實(shí)主干知識(shí)01單擊此處添加章節(jié)副標(biāo)題1.函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上有最值的條件如果在區(qū)間[a，b]上函數(shù)y＝f(x)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，那么它必有最大值和最小值.2.求y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的最大(小)值的步驟(1)求函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)的

.(2)將函數(shù)y＝f(x)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值

比較，其中最大的一個(gè)是最大值，最小的一個(gè)是最小值.極值f(a)，f(b)1.判斷下列結(jié)論是否正確.(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)連續(xù)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上一定存在最值.(

)(2)函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)上不存在最值.(

)(3)函數(shù)的極大值不一定是最大值，但一定不是最小值.(

)(4)有極值的函數(shù)一定有最值，但有最值的函數(shù)不一定有極值.(

)×√×√2.函數(shù)f(x)＝x3－3x＋1在區(qū)間[－3，0]上的最大值、最小值分別是A.1，－1 B.1，－17C.3，－17 D.9，19f'(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，令f'(x)>0，得x>1或x<－1，令f'(x)<0，得－1<x<1，故f(x)在x＝－1處取得極大值，在x＝1處取得極小值，且f(－1)＝－1＋3＋1＝3，f(－3)＝－27＋9＋1＝－17，f(0)＝1，所以函數(shù)f(x)＝x3－3x＋1在區(qū)間[－3，0]上的最大值、最小值分別是3，－17.√

√1

4.函數(shù)f(x)＝x3－x2－x＋a在區(qū)間[0，2]上的最大值是3，則a的值為.解題時(shí)靈活應(yīng)用以下幾個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)(1)求最值時(shí)，應(yīng)注意極值點(diǎn)和所給區(qū)間的關(guān)系，關(guān)系不確定時(shí)，需要分類討論，不可想當(dāng)然認(rèn)為極值就是最值.(2)對(duì)于一般函數(shù)而言，函數(shù)的最值必在下列各點(diǎn)中取得：導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)、導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)、端點(diǎn).返回微點(diǎn)提醒探究核心題型02單擊此處添加章節(jié)副標(biāo)題

題型一利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值

(2)若a>0，求函數(shù)f(x)在[1，2]上的最小值.

求含有參數(shù)的函數(shù)的最值，需先求函數(shù)的定義域、導(dǎo)函數(shù)，通過對(duì)參數(shù)分類討論，判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而得到函數(shù)f(x)的最值.思維升華

題型二例2

(2024·淮安模擬)已知函數(shù)f(x)＝x2－(2a＋1)x＋alnx，a∈R.若f(x)在[1，e]上的最小值為－2a，求a的取值范圍.已知函數(shù)的最值求參數(shù)

③當(dāng)a≥e時(shí)，x∈[1，e]，f'(x)<0，所以f(x)在[1，e]上單調(diào)遞減，f(x)的最小值為f(e)<f(1)＝－2a，不滿足題意.綜上可知，實(shí)數(shù)a的取值范圍是(－∞，1].含參數(shù)最值問題，關(guān)鍵是先討論函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性畫出草圖，借助函數(shù)圖象，分類討論最值問題，由最值求參數(shù)的值時(shí)，要注意檢驗(yàn)所求的值是否滿足分類討論的條件.思維升華

題型三例3我國是一個(gè)人口大國，產(chǎn)糧、儲(chǔ)糧是關(guān)系國計(jì)民生的大事.現(xiàn)某儲(chǔ)糧機(jī)構(gòu)擬在長100米，寬80米的長方形地面建立兩座完全相同的糧倉(設(shè)計(jì)要求：頂部為圓錐形，底部為圓柱形，圓錐高與底面直徑之比為1∶10，糧倉高為50米，兩座糧倉連體緊靠矩形一邊)，已知稻谷容重為600千克每立方米，糧倉厚度忽略不計(jì)，估算兩個(gè)糧倉最多能儲(chǔ)存稻谷(π取近似值3)A.105000噸

B.68160噸C.157000噸

D.146500噸√生活中的優(yōu)化問題

解決最優(yōu)化問題，應(yīng)從以下幾個(gè)方面入手(1)設(shè)出變量，找出函數(shù)關(guān)系式，確定定義域.(2)在實(shí)際應(yīng)用問題中，若函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)只有一個(gè)極值點(diǎn)，則它就是最值點(diǎn).思維升華

24.4

返回課時(shí)精練03單擊此處添加章節(jié)副標(biāo)題答案123456789101112題號(hào)1234567答案CBCBACAC－1題號(hào)81112答案1

A0對(duì)一對(duì)

答案1234567891011129.答案123456789101112

9.答案123456789101112

10.答案123456789101112

10.答案123456789101112

10.

123456789101112知識(shí)過關(guān)答案√123456789101112答案

123456789101112答案

√123456789101112答案3.已知函數(shù)f(x)＝lnx＋ax在(0，1)上有最大值，則a的取值范圍是A.(0，＋∞) B.(0，1)C.(－∞，－1) D.(－1，0)√123456789101112答案

123456789101112答案

√123456789101112答案

123456789101112答案二、多項(xiàng)選擇題5.已知定義在R上的函數(shù)f(x)，其導(dǎo)函數(shù)f'(x)的大致圖象如圖所示，則下列敘述正確的是A.f(a)<f(b)<f(c)B.函數(shù)f(x)在x＝c處取得最大值，在x＝e處取得最小值C.函數(shù)f(x)在x＝c處取得極大值，在x＝e處取得極小值D.函數(shù)f(x)的最小值為f(d)√√123456789101112答案由題圖可知，當(dāng)x≤c時(shí)，f'(x)≥0，所以函數(shù)f(x)在(－∞，c]上單調(diào)遞增，又a<b<c，所以f(a)<f(b)<f(c)，故A正確；因?yàn)閒'(c)＝0，f'(e)＝0，且當(dāng)x<c時(shí)，f'(x)>0；當(dāng)c<x<e時(shí)，f'(x)<0；當(dāng)x>e時(shí)，f'(x)>0.所以函數(shù)f(x)在x＝c處取得極大值，但不一定取得最大值，在x＝e處取得極小值，但不一定是最小值，故B不正確，C正確；由題圖可知，當(dāng)d≤x≤e時(shí)，f'(x)≤0，所以函數(shù)f(x)在[d，e]上單調(diào)遞減，從而f(d)>f(e)，故D不正確.123456789101112答案6.(2025·莆田模擬)已知函數(shù)f(x)＝(x2－3x＋1)ex，則下列說法中正確的是A.f(x)在R上有兩個(gè)極值點(diǎn)B.f(x)無最大值、無最小值C.f(x)有最小值、無最大值D.函數(shù)f(x)在R上有三個(gè)零點(diǎn)√√123456789101112答案

123456789101112答案當(dāng)x<0時(shí)，x2－3x＋1>0，ex>0，∴f(x)>0在(－∞，0)上恒成立，可作出f(x)的圖象如圖所示，對(duì)于A，f(x)的極大值點(diǎn)為－1，極小值點(diǎn)為2，A正確；對(duì)于B，C，f(－1)不是f(x)的最大值，f(2)是f(x)的最小值，B錯(cuò)誤，C正確；對(duì)于D，由圖象可知，f(x)在R上有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，D錯(cuò)誤.三、填空題7.已知函數(shù)y＝(x＋a)ex的最小值為－1，則實(shí)數(shù)a＝

.

123456789101112答案y'＝(x＋a＋1)ex，當(dāng)x∈(－∞，－a－1)時(shí)，y'<0，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)x∈(－a－1，＋∞)時(shí)，y'>0，函數(shù)單調(diào)遞增，故當(dāng)x＝－a－1時(shí)，函數(shù)取得極小值，也是最小值，為－e－a－1，故－e－a－1＝－1，所以a＝－1.－1123456789101112答案8.(2024·雅安模擬)已知f(x)＝lnx，g(x)＝x，若f(m)＝g(n)，則m－n的最小值為

.

1123456789101112答案由題設(shè)f(m)＝g(n)＝t，則lnm＝n＝t，得m＝et，n＝t，則m－n＝et－t，設(shè)h(x)＝ex－x，h'(x)＝ex－1，令h'(x)＝0，得x＝0，當(dāng)x∈(－∞，0)時(shí)，h'(x)<0，h(x)單調(diào)遞減，當(dāng)x∈(0，＋∞)時(shí)，h'(x)>0，h(x)單調(diào)遞增，所以當(dāng)x＝0時(shí)，函數(shù)取得最小值，h(0)＝1，所以m－n的最小值為1.123456789101112答案

123456789101112答案

123456789101112答案(2)年產(chǎn)量為多少萬件時(shí)，小王在這一產(chǎn)品的生產(chǎn)中所獲年利潤最大？最大年利潤是多少？123456789101112答案

10.設(shè)函數(shù)f(x)＝x2＋ax－lnx，a∈R.(1)若函數(shù)f(x)在[1，2]上單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；123456789101112答案123456789101112答案(2)令g(x)＝f(x)－x2，是否存在實(shí)數(shù)a，使得當(dāng)x∈(0，e](e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))時(shí)，函數(shù)g(x)的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，說明理由.123456789101112答案

123456789101112答案

123456789101112答案能力拓展11.已知函數(shù)f(x)＝x3－3x，x∈(a，a＋4)存在最小值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為A.[－2，1) B.(－2，1)C.[－3，1) D.(－3，1)√123456789101112答案∵f(x)＝x3－3x，∴f'(x)＝3x2－3，令f'(x)＝3x2－3＝0，得x＝±1，且當(dāng)x<－1時(shí)，f'(x)>0；當(dāng)－1<x<1時(shí)，f'(x)<0，當(dāng)x>1時(shí)，f'(x)>0，∴f(x)在(－∞，－1)上單調(diào)遞增，在(－1，1)上單調(diào)遞減，在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，又f(－1)＝2，f(1)＝－2，令f(x