§9.3一元線性回歸模型及其應用01數(shù)學

大一輪復習1.了解樣本相關系數(shù)的統(tǒng)計含義.2.了解最小二乘法原理，掌握一元線性回歸模型參數(shù)的最小二乘估計方法.3.針對實際問題，會用一元線性回歸模型進行預測.課標要求第一部分落實主干知識第二部分探究核心題型01內(nèi)容索引02課時精練目錄落實主干知識02單擊此處添加章節(jié)副標題1.變量的相關關系(1)相關關系：兩個變量有關系，但又沒有確切到可由其中的一個去精確地決定另一個的程度，這種關系稱為相關關系.(2)相關關系的分類：

和

.(3)線性相關：一般地，如果兩個變量的取值呈現(xiàn)正相關或負相關，而且散點落在

附近，我們就稱這兩個變量線性相關.正相關負相關一條直線

正相關負相關強弱

觀測值預測值

×√√×

√√

x12345y66788

√3.(2024·茂名模擬)已知變量x和y的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如表：

0.6

返回微點提醒探究核心題型03單擊此處添加章節(jié)副標題例1

(1)對四組數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計，獲得如圖所示的散點圖，關于其樣本相關系數(shù)的比較，正確的是A.r4<r2<0<r1<r3 B.r2<r4<0<r3<r1C.r2<r4<0<r1<r3 D.r4<r2<0<r3<r1√題型一成對數(shù)據(jù)的相關性由散點圖可知，樣本相關系數(shù)r2，r4所在散點圖的兩個變量呈負相關，r1，r3所在散點圖的兩個變量呈正相關，所以r1，r3都為正數(shù)，r2，r4都為負數(shù).r1，r2所在散點圖點的分布近似在一條直線上，線性相關性比較強，樣本相關系數(shù)的絕對值接近1，而r3，r4所在散點圖點的分布比較分散，線性相關性比較弱，則r2<r4，r1>r3，綜上所得，r2<r4<0<r3<r1.(2)(2024·石家莊模擬)某校為了解本校高一男生身高和體重的相關關系，在該校高一年級隨機抽取了7名男生，測量了他們的身高和體重得下表：身高x(單位：cm)167173175177178180181體重y(單位：kg)90545964677276由表格制作成如圖所示的散點圖：

√

思維升華

√√

題型二例2

根據(jù)統(tǒng)計，某蔬菜基地西紅柿畝產(chǎn)量的增加量y(百千克)與某種液體肥料每畝的使用量x(千克)之間對應數(shù)據(jù)的散點圖如圖所示.(1)從散點圖可以看出，可用線性回歸模型擬合y與x的關系，請計算樣本相關系數(shù)r并判斷它們的相關程度；命題點1一元線性回歸模型

回歸模型

例3

某大型現(xiàn)代化農(nóng)場在種植某種大棚有機無公害的蔬菜時，為創(chuàng)造更大價值，提高畝產(chǎn)量，積極開展技術創(chuàng)新活動.該農(nóng)場采用了延長光照時間的方案，該農(nóng)場選取了20間大棚(每間一畝)進行試點，得到各間大棚產(chǎn)量數(shù)據(jù)并繪制成散點圖.光照時長為x(單位：小時)，大棚蔬菜產(chǎn)量為y(單位：噸/畝)，記w＝lnx.命題點2非線性回歸模型參考數(shù)據(jù)：290102.4524870540.281371578.2272.1

(1)根據(jù)散點圖判斷，y＝a＋bx與y＝c＋dlnx哪一個適宜作為大棚蔬菜產(chǎn)量y關于光照時長x的經(jīng)驗回歸方程類型(給出判斷即可，不必說明理由)；根據(jù)散點圖，開始的點在某條直線旁，但后面的點會越來越偏離這條直線，因此y＝c＋dlnx更適宜作為大棚蔬菜產(chǎn)量y關于光照時長x的經(jīng)驗回歸方程類型.(2)根據(jù)(1)的判斷結果及表中數(shù)據(jù)，建立y關于x的經(jīng)驗回歸方程(結果保留小數(shù)點后兩位)；參考數(shù)據(jù)：290102.4524870540.281371578.2272.1

(3)根據(jù)實際種植情況，發(fā)現(xiàn)上述回歸方程在光照時長位于6~14小時內(nèi)擬合程度良好，利用(2)中所求方程估計當光照時長為e2小時時(e為自然對數(shù)的底數(shù))，大棚蔬菜的畝產(chǎn)量.參考數(shù)據(jù)：290102.4524870540.281371578.2272.1

求經(jīng)驗回歸方程的步驟思維升華跟蹤訓練2

(1)現(xiàn)有一組數(shù)據(jù)如表所示，

x12345yee3e4e6e7√

x12345yee3e4e6e7z13467

x12345yee3e4e6e7z13467(2)(2024·新鄉(xiāng)模擬)氮氧化物是一種常見的大氣污染物，如圖為我國2014年至2022年氮氧化物排放量(單位：萬噸)的折線圖，其中年份代碼1~9分別對應年份2014~2022.

可以預測2025年的氮氧化物排放量，但不可以預測2035年的氮氧化物排放量.理由如下：2025年與所給數(shù)據(jù)的年份較接近，因而可以認為短期內(nèi)氮氧化物排放量將延續(xù)該趨勢，故可以用此模型進行預測；2035年與所給數(shù)據(jù)的年份相距過遠，而影響氮氧化物排放量的因素有很多，這些因素在短期內(nèi)可能保持不變，但從長期看很有可能會變化，因而用此模型預測可能是不準確的.殘差分析

題型三

檢驗回歸模型的擬合效果的兩種方法(1)殘差分析：通過殘差分析發(fā)現(xiàn)原始數(shù)據(jù)中的可疑數(shù)據(jù)，判斷所建立模型的擬合效果.(2)R2分析：通過公式計算R2，R2越大，殘差平方和越小，模型的擬合效果越好；R2越小，殘差平方和越大，模型的擬合效果越差.思維升華

√√√

(2)(2024·呂梁模擬)某市2018年至2022年新能源汽車的年銷量y(單位：百臺)與年份代號x的數(shù)據(jù)如表：年份20182019202020212022年份代號x01234年銷量y1015203035

－0.5

返回課時精練04單擊此處添加章節(jié)副標題答案123456789101112題號1234567答案ADCDABDACD乙題號81112答案1.4BD對一對答案123456789101112

9.答案123456789101112

9.答案123456789101112(1)應該選擇模型②.由于模型②殘差點比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中，且?guī)顓^(qū)域的寬度比模型①帶狀寬度窄，所以模型②的擬合精度更高，相應的經(jīng)驗回歸方程的預報精度就會越高，所以選模型②比較合適.10.答案123456789101112

10.答案123456789101112

10.一、單項選擇題1.下列兩個變量中，成正相關的兩個變量是A.汽車自身的重量與行駛每公里的耗油量B.正方形的面積與邊長C.花費在體育活動上的時間與期末考試數(shù)學成績D.期末考試隨機編排的準考證號與期末考試成績總分123456789101112知識過關答案√123456789101112答案一般情況下，汽車越重，則每公里耗油量越多，成正相關，故A正確；正方形的面積與邊長是函數(shù)關系，故B錯誤；一般情況下，若花費在體育活動上的時間越長，則期末考試數(shù)學成績可能會降低，故不為正相關，故C錯誤；期末考試隨機編排的準考證號與期末考試成績總分沒有相關關系，故D錯誤.123456789101112答案2.某校課外學習小組研究某作物種子的發(fā)芽率y和溫度x(單位：℃)的關系，由實驗數(shù)據(jù)得到如圖所示的散點圖.由此散點圖判斷，最適宜作為發(fā)芽率y和溫度x的回歸模型的是A.y＝a＋bx

B.y＝a＋bx2(b>0)C.y＝a＋bex

D.y＝a＋blnx√123456789101112答案由散點圖可見，數(shù)據(jù)分布成遞增趨勢，但是呈現(xiàn)上凸效果，即增長緩慢.A中，y＝a＋bx是直線型，均勻增長，不符合要求；B中，y＝a＋bx2(b>0)是二次函數(shù)型，圖象呈現(xiàn)下凸，增長也較快，不符合要求；C中，y＝a＋bex是指數(shù)型，爆炸式增長，增長快，不符合要求；D中，y＝a＋blnx是對數(shù)型，增長緩慢，符合要求.故對數(shù)型最適宜該回歸模型.123456789101112答案

若x＝e10，則y的值大約為A.4.94 B.5.74 C.6.81

D.8.04xee3e4e6e7y12345√123456789101112答案

xee3e4e6e7y12345123456789101112答案4.為了研究y關于x的線性相關關系，收集了5組樣本數(shù)據(jù)(如表所示)：

x12345y0.50.911.11.5√123456789101112答案

123456789101112答案

123456789101112答案

√√√123456789101112答案

123456789101112答案

√月份編號x12345下載量y(萬次)54.543.52.5√√123456789101112答案

三、填空題7.甲、乙、丙、丁各自研究兩個隨機變量的數(shù)據(jù)，若甲、乙、丙、丁計算得到各自研究的兩個隨機變量的樣本相關系數(shù)分別為r1＝0.66，r2＝－0.97，r3＝0.92，r4＝0.89，則這四人中，

研究的兩個隨機變量的線性相關程度最高.123456789101112答案因為|r2|＝0.97>|r3|>|r4|>|r1|，所以這四人中，乙研究的兩個隨機變量的線性相關程度最高.乙123456789101112答案8.新能源汽車的核心部件是動力電池，電池成本占了新能源整車成本的大部分，而其中的原材料碳酸鋰又是電池的主要成分.從2020年底開始，碳酸鋰的價格一路水漲船高，下表是2022年某企業(yè)的前5個月碳酸鋰的價格與月份的統(tǒng)計數(shù)據(jù)：月份代碼x12345碳酸鋰價格y(萬元/kg)0.50.61m1.5

1.4123456789101112答案

月份代碼x12345碳酸鋰價格y(萬元/kg)0.50.61m1.5123456789101112答案四、解答題9.(2024·曲靖模擬)某地區(qū)2019－2023年的充電樁數(shù)量及新能源汽車的年銷量如表所示：年份20192020202120222023充電樁數(shù)量x/萬臺13579新能源汽車的年銷量y/萬輛2537485872(1)已知可用線性回歸模型擬合y與x的關系，請用樣本相關系數(shù)加以說明(結果精確到0.001)；123456789101112答案

123456789101112答案

123456789101112答案(2)求y關于x的線性回歸方程，預測當該地區(qū)充電樁數(shù)量為24萬臺時，新能源汽車的年銷量是多少萬輛？年份20192020202120222023充電樁數(shù)量x/萬臺13579新能源汽車的年銷量y/萬輛2537485872123456789101112答案

123456789101112答案

123456789101112答案

123456789101112答案

752.2582.54.5121.428.82(1)根據(jù)殘差圖，比較模型①②的擬合效果，判斷哪個模型擬合效果更好，并說明理由；123456789101112答案應該選擇模型②.由于模型②殘差點比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中，且?guī)顓^(qū)域的寬度比模型①帶狀寬度窄，所以模型②的擬合精度更高，相應的經(jīng)驗回歸方程的預報精度就會越高，所以選模型②比較合適.123456789101112答案(2)根據(jù)(1)中所選模型，求出y關于x的經(jīng)驗回歸方程(結果保留2位小數(shù))；根據(jù)該