中小學(xué)數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練專項設(shè)計引言《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》明確將“數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)”作為課程目標(biāo)的核心，強(qiáng)調(diào)“通過數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，學(xué)生應(yīng)逐步形成會用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界、會用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界、會用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界”。其中，“數(shù)學(xué)思維”是連接“眼光”與“語言”的橋梁，是學(xué)生從“知識習(xí)得”向“能力遷移”跨越的關(guān)鍵。然而，當(dāng)前中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中仍存在“重知識灌輸、輕思維培養(yǎng)”“重機(jī)械訓(xùn)練、輕邏輯建構(gòu)”的問題，導(dǎo)致學(xué)生“會做題但不會思考”“能計算但不會建?！?。為此，構(gòu)建階梯式、專項化的數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練體系，成為落實(shí)核心素養(yǎng)的重要路徑。本文結(jié)合中小學(xué)學(xué)生認(rèn)知發(fā)展規(guī)律，從目標(biāo)定位、設(shè)計原則、案例開發(fā)、實(shí)施策略四個維度，系統(tǒng)闡述數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練專項的設(shè)計邏輯與實(shí)踐方案。一、中小學(xué)數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練的核心目標(biāo)定位數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練的目標(biāo)需緊扣核心素養(yǎng)，兼顧“基礎(chǔ)思維”與“高階思維”的分層培養(yǎng)，形成“從直觀到抽象、從推理到創(chuàng)新”的能力進(jìn)階。（一）基礎(chǔ)思維層：抽象與表征能力目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生將現(xiàn)實(shí)情境轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)符號、將具體對象抽象為數(shù)學(xué)概念的能力，對應(yīng)核心素養(yǎng)中的“數(shù)感”“符號意識”“空間觀念”。小學(xué)低年級（1-2年級）：側(cè)重“直觀感知→符號對應(yīng)”，如用“△”表示“3個蘋果”，用“+”表示“合并”；小學(xué)中高年級（3-6年級）：側(cè)重“具體抽象→概念建構(gòu)”，如從“分蛋糕”抽象出“分?jǐn)?shù)”，用“a+b=b+a”表示加法交換律；初中階段（7-9年級）：側(cè)重“形式抽象→體系關(guān)聯(lián)”，如用“y=kx+b”表示一次函數(shù)，將“方程”“不等式”“函數(shù)”關(guān)聯(lián)為“數(shù)量關(guān)系的不同表達(dá)形式”。（二）邏輯思維層：推理與論證能力目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生從已知條件推導(dǎo)結(jié)論、用嚴(yán)謹(jǐn)邏輯表達(dá)過程的能力，對應(yīng)核心素養(yǎng)中的“推理能力”“幾何直觀”。小學(xué)階段：側(cè)重“歸納推理”，如通過“擺火柴棒”發(fā)現(xiàn)“三角形個數(shù)與火柴棒數(shù)量的關(guān)系”（1個三角形3根，2個三角形5根，…，n個三角形2n+1根）；初中階段：側(cè)重“演繹推理”，如用“平行線性質(zhì)”證明“三角形內(nèi)角和為180°”，用“全等三角形判定定理”證明“線段相等”。（三）高階思維層：批判與創(chuàng)新能力目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生質(zhì)疑常規(guī)、優(yōu)化方法、生成新問題的能力，對應(yīng)核心素養(yǎng)中的“創(chuàng)新意識”“應(yīng)用意識”。小學(xué)階段：側(cè)重“問題改編”，如將“小明有5個蘋果，吃了2個，還剩多少個？”改編為“小明有5個蘋果，給了小紅2個，又買了3個，現(xiàn)在有多少個？”；初中階段：側(cè)重“一題多解與評價”，如用“代數(shù)法”“幾何法”“函數(shù)法”解決“求矩形面積最大值”問題，并比較每種方法的優(yōu)劣。二、數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練專項設(shè)計的基本原則專項設(shè)計需遵循“素養(yǎng)導(dǎo)向、情境聯(lián)結(jié)、階梯遞進(jìn)、評價嵌入”的原則，避免“為訓(xùn)練而訓(xùn)練”的功利化傾向。（一）素養(yǎng)導(dǎo)向，目標(biāo)分層每個專項需明確對應(yīng)的核心素養(yǎng)目標(biāo)，避免“泛思維訓(xùn)練”。例如：“數(shù)感專項”對應(yīng)“數(shù)感”“符號意識”；“幾何推理專項”對應(yīng)“推理能力”“幾何直觀”；“建模專項”對應(yīng)“模型思想”“應(yīng)用意識”。同時，根據(jù)學(xué)生年齡特點(diǎn)設(shè)定分層目標(biāo)：如“符號意識”專項，小學(xué)低年級目標(biāo)為“用符號表示具體數(shù)量”，小學(xué)高年級目標(biāo)為“用符號表示數(shù)量關(guān)系”，初中目標(biāo)為“用符號表示一般規(guī)律”。（二）情境聯(lián)結(jié)，問題驅(qū)動思維訓(xùn)練需以“真實(shí)情境”為載體，用“問題串”引導(dǎo)學(xué)生主動思考。例如：小學(xué)“圖形拼組專項”：以“用七巧板拼出正方形”為情境，設(shè)計問題串：“你用了哪些板塊？”→“拼出的正方形邊長與板塊邊長有什么關(guān)系？”→“有沒有其他拼法？”；初中“函數(shù)建模專項”：以“手機(jī)話費(fèi)套餐選擇”為情境，設(shè)計問題串：“套餐A的費(fèi)用怎么計算？”→“套餐B的費(fèi)用怎么表示？”→“當(dāng)通話時間為多少時，兩種套餐費(fèi)用相同？”。（三）階梯遞進(jìn)，螺旋上升專項設(shè)計需符合“認(rèn)知發(fā)展規(guī)律”，從“低階到高階”“具體到抽象”逐步推進(jìn)。例如：“邏輯推理專項”：小學(xué)階段從“找規(guī)律填數(shù)”（如1,3,5,7,___）開始，到“簡單應(yīng)用題的因果分析”（如“因?yàn)樾∶鞅刃〖t多2個蘋果，所以小紅的蘋果數(shù)=小明的蘋果數(shù)-2”）；初中階段從“幾何命題的條件與結(jié)論分析”（如“如果兩直線平行，那么同位角相等”），到“完整的演繹推理過程”（如證明“等腰三角形兩底角相等”）。（四）評價嵌入，反饋優(yōu)化專項訓(xùn)練需融入過程性評價，及時反饋學(xué)生思維的“漏洞”與“亮點(diǎn)”。例如：在“數(shù)感專項”中，評價學(xué)生“用符號表示數(shù)量”的多樣性（如“5”可以表示為“★★★★★”“5個圓圈”“3+2”）；在“推理專項”中，評價學(xué)生“論證過程”的嚴(yán)謹(jǐn)性（如是否遺漏“已知條件”“定理應(yīng)用是否正確”）；在“創(chuàng)新專項”中，評價學(xué)生“問題改編”的合理性（如是否改變了問題的核心數(shù)量關(guān)系）。三、分階段思維訓(xùn)練專項案例設(shè)計以下結(jié)合中小學(xué)不同階段的特點(diǎn)，提供4個典型專項設(shè)計案例，涵蓋“基礎(chǔ)思維”“邏輯思維”“高階思維”三個層次。（一）小學(xué)低年級（1-2年級）：“數(shù)感與符號表征”專項訓(xùn)練目標(biāo)：1.能通過實(shí)物、圖形、數(shù)字三種方式表示同一數(shù)量；2.理解“+”“-”符號的實(shí)際意義，能用符號表示簡單的數(shù)量關(guān)系。設(shè)計思路：采用“生活情境→操作感知→符號抽象”的路徑，讓學(xué)生在“做中學(xué)”，將“具體事物”與“數(shù)學(xué)符號”建立聯(lián)結(jié)。具體任務(wù)：1.任務(wù)1：“表示數(shù)字5”材料：5個蘋果、5塊積木、畫紙、蠟筆；步驟：（1）讓學(xué)生數(shù)出5個蘋果，用積木擺出“5”的形狀；（2）讓學(xué)生在畫紙上用圓圈畫出“5個蘋果”，并在旁邊寫上數(shù)字“5”；（3）引導(dǎo)學(xué)生說出“5個蘋果”的不同表示方式（實(shí)物、圖形、數(shù)字）。2.任務(wù)2：“編一個‘+’的故事”材料：玩具汽車、玩具飛機(jī)；步驟：（1）老師示范：“小明有2輛玩具汽車，媽媽又買了3輛，現(xiàn)在有5輛，用‘2+3=5’表示”；（2）讓學(xué)生用自己的玩具編一個“用‘+’表示的故事”，并寫出算式；（3）展示學(xué)生的故事，引導(dǎo)其他學(xué)生點(diǎn)評“故事是否符合‘+’的意義”。實(shí)施建議：用學(xué)生熟悉的生活物品（如玩具、水果、文具）作為教具，降低抽象難度；鼓勵學(xué)生“多元表示”，如用“△△△△△”“5”“3+2”都可以表示“5”，避免“唯一答案”的限制；及時肯定學(xué)生的“創(chuàng)意表達(dá)”，如“你用積木擺的‘5’很有創(chuàng)意！”“你的故事講得很清楚！”。（二）小學(xué)中高年級（3-6年級）：“圖形直觀與空間想象”專項訓(xùn)練目標(biāo)：1.能通過圖形拼組理解圖形的特征（如“正方形可以分成兩個相等的三角形”）；2.能根據(jù)“三視圖”想象立體圖形的形狀（如從“正面看是長方形，側(cè)面看是正方形”想象出“長方體”）。設(shè)計思路：采用“操作探究→特征總結(jié)→想象拓展”的路徑，讓學(xué)生在“拼、折、畫”中培養(yǎng)空間觀念。具體任務(wù)：1.任務(wù)1：“用長方形紙折正方形”材料：長方形紙、剪刀；步驟：（1）讓學(xué)生嘗試用長方形紙折出一個正方形；（2）引導(dǎo)學(xué)生觀察“折出的正方形”與“原長方形”的關(guān)系（如“正方形的邊長等于長方形的寬”）；（3）總結(jié)：“正方形是特殊的長方形，因?yàn)樗拈L和寬相等”。2.任務(wù)2：“根據(jù)三視圖搭立體圖形”材料：正方體積木、記錄紙；步驟：（1）老師展示“正面視圖”（3個正方形排成一行）、“側(cè)面視圖”（2個正方形排成一列）、“上面視圖”（3個正方形排成一行，中間一個正方形下方有一個正方形）；（2）讓學(xué)生用積木搭出符合這三個視圖的立體圖形；（3）展示學(xué)生的作品，引導(dǎo)學(xué)生說出“搭的時候需要注意什么”（如“正面看有3個，所以第一層有3個；側(cè)面看有2個，所以有兩層；上面看中間有一個下方有一個，所以第二層在中間那個的位置”）。實(shí)施建議：給學(xué)生充足的操作時間，避免“直接講解”；引導(dǎo)學(xué)生用“語言描述”圖形的特征，如“正方形的四條邊都相等”“長方體有6個面，每個面都是長方形”；拓展任務(wù)：讓學(xué)生自己畫“三視圖”，讓其他學(xué)生搭立體圖形，培養(yǎng)“逆向思維”。（三）初中階段（7-9年級）：“邏輯推理與論證”專項訓(xùn)練目標(biāo)：1.能區(qū)分“命題的條件與結(jié)論”（如“如果兩直線平行，那么同位角相等”中，“兩直線平行”是條件，“同位角相等”是結(jié)論）；2.能運(yùn)用“演繹推理”證明簡單的幾何命題（如“等腰三角形兩底角相等”）。設(shè)計思路：采用“問題猜想→實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證→嚴(yán)謹(jǐn)證明”的路徑，讓學(xué)生經(jīng)歷“從感性到理性”的推理過程。具體任務(wù)：1.任務(wù)1：“探究三角形內(nèi)角和”材料：三角形紙片、量角器、直尺；步驟：（1）讓學(xué)生用量角器測量自己手中三角形的三個內(nèi)角，計算和為多少（大部分學(xué)生得到180°左右）；（2）讓學(xué)生將三角形的三個角剪下來，拼在一起，觀察是否能拼成一個平角（180°）；（3）引導(dǎo)學(xué)生用“平行線的性質(zhì)”證明“三角形內(nèi)角和為180°”：①過點(diǎn)A作直線DE∥BC；②因?yàn)镈E∥BC，所以∠B=∠DAB（兩直線平行，內(nèi)錯角相等），∠C=∠EAC（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）；③因?yàn)椤螪AB+∠BAC+∠EAC=180°（平角定義），所以∠B+∠BAC+∠C=180°（等量代換）。2.任務(wù)2：“證明等腰三角形兩底角相等”材料：等腰三角形紙片、直尺、圓規(guī)；步驟：（1）讓學(xué)生觀察等腰三角形紙片（AB=AC），猜想“∠B與∠C的關(guān)系”（相等）；（2）引導(dǎo)學(xué)生用“全等三角形”證明：①作底邊BC的中線AD；②因?yàn)锳B=AC（已知），BD=CD（中線定義），AD=AD（公共邊）；③所以△ABD≌△ACD（SSS）；④所以∠B=∠C（全等三角形對應(yīng)角相等）。實(shí)施建議：強(qiáng)調(diào)“推理的每一步都要有依據(jù)”，如“為什么∠B=∠DAB？因?yàn)閮芍本€平行，內(nèi)錯角相等”；讓學(xué)生用“符號語言”寫出證明過程，如“∵DE∥BC，∴∠B=∠DAB（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）”；拓展任務(wù)：讓學(xué)生證明“等腰三角形頂角平分線也是底邊的中線和高”（三線合一），培養(yǎng)“關(guān)聯(lián)推理”能力。（四）中小學(xué)通用：“批判性思維與創(chuàng)新”專項訓(xùn)練目標(biāo)：1.能識別“錯題中的邏輯漏洞”（如“1+2×3=9”的錯誤原因是“先算加法再算乘法”）；2.能對“同一問題提出多種解決方法”（如“求長方形面積”可以用“長×寬”，也可以用“分割成兩個三角形的面積之和”）；3.能“改編問題”（如將“求長方形的周長”改編為“求長方形的面積”，或改變條件“長增加2厘米”）。設(shè)計思路：采用“錯題分析→一題多解→問題改編”的路徑，讓學(xué)生在“質(zhì)疑、優(yōu)化、生成”中培養(yǎng)創(chuàng)新意識。具體任務(wù)：1.任務(wù)1：“找錯題的錯誤原因”材料：學(xué)生作業(yè)中的錯題（如“小明有10元錢，買了3支鉛筆，每支2元，還剩多少元？”學(xué)生答案：10-3×2=4（元）→正確；另一個學(xué)生答案：10-3+2=9（元）→錯誤）；步驟：（1）讓學(xué)生找出錯誤答案，并說出“為什么錯了”（如“第二個學(xué)生把‘買鉛筆花的錢’算成了‘3+2’，而實(shí)際上應(yīng)該是‘3×2’”）；（2）引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)“解決應(yīng)用題的步驟”（如“先理清楚數(shù)量關(guān)系，再確定運(yùn)算順序”）。2.任務(wù)2：“一題多解”題目：“求邊長為4厘米的正方形的面積”；步驟：（1）讓學(xué)生說出“常規(guī)方法”（4×4=16平方厘米）；（2）引導(dǎo)學(xué)生思考“其他方法”：①分割成兩個直角三角形，面積之和為（4×4÷2）×2=16平方厘米；②分割成四個小正方形，每個小正方形邊長為2厘米，面積之和為（2×2）×4=16平方厘米；（3）讓學(xué)生比較“不同方法的優(yōu)劣”（如“常規(guī)方法最簡單，分割法有助于理解圖形的特征”）。3.任務(wù)3：“問題改編”原題目：“小紅每分鐘走60米，從家到學(xué)校需要10分鐘，家到學(xué)校的距離是多少米？”（路程=速度×?xí)r間）；步驟：（1）讓學(xué)生改編“條件”（如“小紅每分鐘走60米，從家到學(xué)校走了600米，需要多少分鐘？”→時間=路程÷速度）；（2）讓學(xué)生改編“問題”（如“小紅從家到學(xué)校走了600米，用了10分鐘，每分鐘走多少米？”→速度=路程÷時間）；（3）展示學(xué)生的改編題目，引導(dǎo)其他學(xué)生解答，培養(yǎng)“逆向思維”。實(shí)施建議：鼓勵學(xué)生“大膽質(zhì)疑”，如“這個方法有沒有問題？”“有沒有更好的方法？”；對“創(chuàng)新方法”給予肯定，如“你的分割方法很有創(chuàng)意！”“你的改編題目很有挑戰(zhàn)性！”；將“錯題分析”納入日常教學(xué)，讓學(xué)生建立“錯題本”，記錄錯誤原因和正確解法，定期復(fù)習(xí)。四、思維訓(xùn)練專項的實(shí)施策略（一）整合課程資源，融入日常教學(xué)思維訓(xùn)練不是“額外的課”，而是融入日常教學(xué)的每一個環(huán)節(jié)。例如：在講“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識”時，加入“數(shù)感與符號表征”專項，讓學(xué)生用“圖形”（如分蛋糕）和“符號”（如1/2）表示分?jǐn)?shù)；在講“平行線的性質(zhì)”時，加入“邏輯推理與論證”專項，讓學(xué)生用“演繹推理”證明“同位角相等”；在講“一元一次方程”時，加入“數(shù)學(xué)建模與應(yīng)用”專項，讓學(xué)生用方程解決“行程問題”“工程問題”。（二）優(yōu)化教學(xué)方式，突出學(xué)生主體思維訓(xùn)練需要“學(xué)生主動思考”，而不是“老師灌輸”。因此，教學(xué)方式需從“講授式”轉(zhuǎn)向“探究式”“合作式”：采用“問題串”引導(dǎo)學(xué)生思考，如在“探究三角形內(nèi)角和”時，問“你用了什么方法測量？”→“測量的結(jié)果是多少？”→“有沒有更準(zhǔn)確的方法？”→“怎么用數(shù)學(xué)方法證明？”；組織“小組合作”，讓學(xué)生互相交流思路，如在“根據(jù)三視圖搭立體圖形”時，小組內(nèi)討論“應(yīng)該怎么搭”，然后一起動手操作；讓學(xué)生“展示思維過程”，如在“一題多解”時，讓學(xué)生上臺講解“我的方法是什么”“為什么這樣做”，其他學(xué)生提問或點(diǎn)評。（三）建立評價體系，促進(jìn)持續(xù)發(fā)展評價是思維訓(xùn)練的“指揮棒”，需建立“過程性評價+結(jié)果性評價”相結(jié)合的體系：過程性評價：記錄學(xué)生在專項訓(xùn)練中的“思維表現(xiàn)”，如“用符號表示數(shù)量的多樣性”“推理過程的嚴(yán)謹(jǐn)性”“問題改編的合