第一章數(shù)學(xué)

大一輪復(fù)習(xí)202X/01/01§1.2常用邏輯用語(yǔ)署名1.理解充分條件、必要條件、充要條件的意義；理解判定定理與充分條件、性質(zhì)定理與必要條件、數(shù)學(xué)定義與充要條件的關(guān)系.2.理解全稱量詞和存在量詞的意義，能正確對(duì)兩種命題進(jìn)行否定.課標(biāo)要求第一部分落實(shí)主干知識(shí)第二部分探究核心題型01內(nèi)容索引02課時(shí)精練目錄落實(shí)主干知識(shí)01單擊此處添加章節(jié)副標(biāo)題若p?q，則p是q的

條件，q是p的

條件p是q的充分不必要條件___________p是q的必要不充分條件p?q且q?pp是q的

條件p?qp是q的既不充分也不必要條件p?q且q?p充分必要p?q且q?p充要1.充分條件、必要條件與充要條件的概念2.全稱量詞與存在量詞(1)全稱量詞：短語(yǔ)“所有的”“任意一個(gè)”在邏輯中通常叫做全稱量詞，并用符號(hào)“

”表示.(2)存在量詞：短語(yǔ)“存在一個(gè)”“至少有一個(gè)”在邏輯中通常叫做存在量詞，并用符號(hào)“

”表示.??名稱全稱量詞命題存在量詞命題結(jié)構(gòu)對(duì)M中任意一個(gè)x，p(x)成立存在M中的元素x，p(x)成立簡(jiǎn)記?x∈M，p(x)?x∈M，p(x)否定______________________________________?x∈M，綈p(x)?x∈M，綈p(x)3.全稱量詞命題和存在量詞命題

×√√√2.命題“?x∈R，x2－x＋2≥0”的否定為A.?x∈R，x2－x＋2<0B.?x∈R，x2－x＋2≤0C.?x∈R，x2－x＋2≤0D.?x∈R，x2－x＋2<0√命題“?x∈R，x2－x＋2≥0”的否定為命題“?x∈R，x2－x＋2<0”.3.設(shè)x>0，y>0，則“x2>y2”是“x>y”的A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件√4.已知“p：2≤x<3”是“q：x>m”的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為

.

(－∞，2)由題意可知，{x|2≤x<3}是{x|x>m}的真子集，可得m<2，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為(－∞，2).1.謹(jǐn)記兩個(gè)常用結(jié)論(1)p是q的充分不必要條件，等價(jià)于綈q是綈p的充分不必要條件.(2)命題p和綈p的真假性相反，若判斷一個(gè)命題的真假有困難時(shí)，可先判斷此命題的否定的真假.2.理清一個(gè)關(guān)系“A的充分不必要條件是B”是指B能推出A，且A不能推出B；而“A是B的充分不必要條件”則是指A能推出B，而B(niǎo)不能推出A，要注意區(qū)別上述兩種說(shuō)法的不同.返回微點(diǎn)提醒探究核心題型02單擊此處添加章節(jié)副標(biāo)題例1

(1)(2024·連云港模擬)“λ＝－1”是“直線l1：x＋λy＋9＝0與l2：(λ－2)x＋3y＋3λ＝0平行”的A.充要條件B.充分不必要條件C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件√題型一充分、必要條件的判定當(dāng)λ＝－1時(shí)，直線l2：－3x＋3y－3＝0，即x－y＋1＝0，與直線l1：x－y＋9＝0平行，充分性成立；直線l1：x＋λy＋9＝0與l2：(λ－2)x＋3y＋3λ＝0平行，有λ(λ－2)＝3，解得λ＝－1或λ＝3，其中當(dāng)λ＝3時(shí)，兩直線重合，舍去，故λ＝－1，必要性成立.故“λ＝－1”是“直線l1：x＋λy＋9＝0與l2：(λ－2)x＋3y＋3λ＝0平行”的充要條件.(2)祖暅原理是一個(gè)涉及幾何求積的著名命題.內(nèi)容為：“冪勢(shì)既同，則積不容異”.“冪”是截面積，“勢(shì)”是幾何體的高.意思是兩個(gè)等高的幾何體，如在等高處的截面積相等，則體積相等.設(shè)A，B為兩個(gè)等高的幾何體，p：A，B的體積相等，q：A，B在同一高處的截面積相等.根據(jù)祖暅原理可知，p是q的A.充要條件B.充分不必要條件C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件√已知A，B為兩個(gè)等高的幾何體，由祖暅原理知q?p，而p不能推出q，可舉反例，兩個(gè)相同的圓錐，一個(gè)正置，一個(gè)倒置，此時(shí)兩個(gè)幾何體等高且體積相等，但在同一高處的截面積不一定相等，則p是q的必要不充分條件.充分、必要條件的三種判定方法(1)定義法：根據(jù)p?q，q?p是否成立進(jìn)行判斷.(2)集合法：根據(jù)p，q成立對(duì)應(yīng)的集合之間的包含關(guān)系進(jìn)行判斷.(3)等價(jià)轉(zhuǎn)化法：對(duì)所給題目的條件進(jìn)行一系列的等價(jià)轉(zhuǎn)化，直到轉(zhuǎn)化成容易判斷充分、必要條件是否成立為止.思維升華跟蹤訓(xùn)練1

(1)設(shè)x∈R，則“cosx＝1”是“sinx＝0”的A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件√當(dāng)cosx＝1時(shí)，x＝2kπ(k∈Z)，此時(shí)sinx＝0；當(dāng)sinx＝0時(shí)，x＝kπ(k∈Z)，此時(shí)cosx＝1或cosx＝－1，所以“cosx＝1”是“sinx＝0”的充分不必要條件.(2)(2025·北京房山區(qū)模擬)已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(－x)－f(x)＝0，且在[0，＋∞)上單調(diào)遞減，對(duì)于實(shí)數(shù)a，b，則“a2<b2”是“f(a)>f(b)”的A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件√由定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(－x)－f(x)＝0，得函數(shù)f(x)是R上的偶函數(shù)，而f(x)在[0，＋∞)上單調(diào)遞減，因此f(a)>f(b)?f(|a|)>f(|b|)?|a|<|b|?a2<b2，所以“a2<b2”是“f(a)>f(b)”的充要條件.例2

(1)已知p：x≤1，q：x≤a，若p是q的必要不充分條件，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

；若p是q的必要條件，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

.

題型二(－∞，1)(－∞，1]充分、必要條件的應(yīng)用因?yàn)閜：x≤1，q：x≤a，若p是q的必要不充分條件，則(－∞，a](－∞，1]，因此a<1，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是(－∞，1).若p是q的必要條件，則(－∞，a]?(－∞，1]，因此a≤1，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是(－∞，1].(2)已知p：x>1或x<－3，q：x>a(a為實(shí)數(shù)).若綈q的一個(gè)充分不必要條件是綈p，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

.

[1，＋∞)由已知得綈p：－3≤x≤1，綈q：x≤a.設(shè)A＝{x|－3≤x≤1}，B＝{x|x≤a}，若綈p是綈q的充分不必要條件，則綈p?綈q，綈q?綈p，所以集合A＝{x|－3≤x≤1}是集合B＝{x|x≤a}的真子集.所以a≥1.求參數(shù)問(wèn)題的解題策略(1)把充分條件、必要條件或充要條件轉(zhuǎn)化為集合之間的關(guān)系，然后根據(jù)集合之間的關(guān)系列出關(guān)于參數(shù)的不等式(或不等式組)求解.(2)要注意區(qū)間端點(diǎn)值的檢驗(yàn).思維升華

√

(2)已知α：－1<x<0，β：m－1<x<－3m.若α是β的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是

.

(－∞，0)例3

(多選)下列說(shuō)法正確的是A.“菱形是正方形”是全稱量詞命題B.“?x，y∈R，x2＋y2≥0”的否定是“?x，y∈R，x2＋y2<0”C.命題“有一個(gè)奇數(shù)不能被3整除”的否定是“有一個(gè)奇數(shù)能被3整除”D.“A＝B”是“sinA＝sinB”的必要不充分條件√命題點(diǎn)1含量詞的命題的否定題型三√全稱量詞與存在量詞

√√命題點(diǎn)2含量詞的命題的真假判斷

√

(2)已知命題“?x∈R，ax2－ax＋1≤0”為假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

.

[0，4)含量詞命題的解題策略(1)判定全稱量詞命題是真命題，需證明都成立；要判定存在量詞命題是真命題，只要找到一個(gè)成立即可.當(dāng)一個(gè)命題的真假不易判定時(shí)，可以先判斷其否定的真假.(2)由命題真假求參數(shù)的范圍，一是直接由命題的真假求參數(shù)的范圍；二是可利用等價(jià)命題求參數(shù)的范圍.思維升華跟蹤訓(xùn)練3

(1)(2024·新課標(biāo)全國(guó)Ⅱ)已知命題p：?x∈R，|x＋1|>1；命題q：?x>0，x3＝x，則A.p和q都是真命題B.綈p和q都是真命題C.p和綈q都是真命題D.綈p和綈q都是真命題√對(duì)于命題p，取x＝－1，則有|x＋1|＝0<1，故p是假命題，綈p是真命題，對(duì)于命題q，取x＝1，則有x3＝13＝1＝x，故q是真命題，綈q是假命題，綜上，綈p和q都是真命題.

√√

返回課時(shí)精練03單擊此處添加章節(jié)副標(biāo)題對(duì)一對(duì)答案12345678910111213141516題號(hào)12345678答案AAACDADC題號(hào)910111213答案BCBCBD存在一個(gè)素?cái)?shù)不是奇數(shù)[0，2]題號(hào)1415

16答案(-∞，-4]CCD

√12345678910111213141516知識(shí)過(guò)關(guān)答案

2.命題“?x∈R，ex>lnx＋1”的否定是A.?x∈R，ex≤lnx＋1B.?x∈R，ex≤lnx＋1C.?x?R，ex>lnx＋1D.?x?R，ex>lnx＋112345678910111213141516√答案根據(jù)存在量詞命題的否定為全稱量詞命題，則命題“?x∈R，ex>lnx＋1”的否定為“?x∈R，ex≤lnx＋1”.3.(2025·常州調(diào)研)已知a，b∈R，則“b＝ea”是“a＝lnb”的A.充要條件

B.充分不必要條件C.必要不充分條件

D.既不充分也不必要條件√12345678910111213141516根據(jù)指數(shù)式和對(duì)數(shù)式的互化公式可知b＝ea?a＝lnb，所以“b＝ea”是“a＝lnb”的充要條件.答案4.(2025·朔州模擬)已知A，B為實(shí)數(shù)，則“AB<0”是“Ax2＋By2＝1為雙曲線方程”的A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件√12345678910111213141516當(dāng)Ax2＋By2＝1表示雙曲線時(shí)，AB<0，而當(dāng)AB<0時(shí)，Ax2＋By2＝1表示的是雙曲線，所以“AB<0”是“Ax2＋By2＝1為雙曲線方程”的充要條件.答案

√12345678910111213141516答案12345678910111213141516

答案6.(2024·南通模擬)若“?x∈(0，π)，sin2x－ksinx<0”為假命題，則k的取值范圍為A.(－∞，－2] B.(－∞，2]C.(－∞，－2) D.(－∞，2)√12345678910111213141516依題意知命題“?x∈(0，π)，sin2x－ksinx<0”為假命題，則“?x∈(0，π)，sin2x－ksinx≥0”為真命題，所以2sinxcosx≥ksinx，則k≤2cosx在x∈(0，π)時(shí)恒成立，解得k≤－2，所以k的取值范圍為(－∞，－2].答案

12345678910111213141516√答案

12345678910111213141516答案

√12345678910111213141516答案12345678910111213141516

答案12345678910111213141516

答案12345678910111213141516

答案12345678910111213141516

答案

12345678910111213141516√√答案12345678910111213141516答案

10.下列說(shuō)法正確的是A.命題“?x≥1，x2>1”的否定是“?x<1，x2≤1”B.“a>0且Δ＝b2－4ac≤0”是“一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0的解集為R”

的充要條件C.“a>0”是“a>1”的必要不充分條件D.已知a，b∈R，則“|a＋b|＝|a|＋|b|”的充要條件是“ab>0”12345678910111213141516√√答案12345678910111213141516

答案11.下列說(shuō)法正確的為A.異面直線所成的角的范圍是[0，π]B.已知A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|2x－a<0}，若“x∈A”是“x∈B”的充

分不必要條件，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是a>4C.若命題“?x∈R，mx2＋mx＋1<0”是假命題，則0<m<4D.已知p：0<x≤1，q：4x＋2x－m≤0，若p是q的充分條件，則實(shí)數(shù)m的取

值范圍為m≥612345678910111213141516√√答案12345678910111213141516

答案12345678910111213141516

答案三、填空題12.為了證明“所有的素?cái)?shù)都是奇數(shù)”是假命題，只要證明：_______________________.

存在一個(gè)素12345678910111213141516因?yàn)槊}“所有的素?cái)?shù)都是奇數(shù)”是假命題，則命題“存在一個(gè)素?cái)?shù)不是奇數(shù)”為真命題，所以為了證明“所有的素?cái)?shù)都是奇數(shù)”是假命題，只要證明存在一個(gè)素?cái)?shù)不是奇數(shù).答案數(shù)不是奇數(shù)13.(2025·晉城聯(lián)考)已知集合P＝{y|y＝x＋a，－1<x≤2}，Q＝{x|ln(2－x)<0}，若x∈P是x∈Q的必要不充分條件，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為

.

12345678910111213141516答案[0，2]

12345678910111213141516答案14.已知命題“?x∈[－1，2]，x