九年級(jí)數(shù)學(xué)相似三角形復(fù)習(xí)提綱一、基本概念（一）相似多邊形定義：對(duì)應(yīng)角相等、對(duì)應(yīng)邊成比例的多邊形叫做相似多邊形。注：相似多邊形的對(duì)應(yīng)邊的比叫做相似比（或相似系數(shù)），相似比用字母\(k\)表示（\(k>0\)）。（二）相似三角形定義：對(duì)應(yīng)角相等、對(duì)應(yīng)邊成比例的三角形叫做相似三角形。表示方法：用“∽”表示，如△ABC∽△DEF，讀作“△ABC相似于△DEF”。注意：1.相似三角形的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)要寫在對(duì)應(yīng)位置上（如△ABC∽△DEF，則∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F；AB/DE=BC/EF=AC/DF=k）；2.相似比的順序性：△ABC與△DEF的相似比\(k_1=AB/DE\)，△DEF與△ABC的相似比\(k_2=DE/AB=1/k_1\)，只有當(dāng)\(k_1=k_2=1\)時(shí)，兩三角形全等（全等是相似的特殊情況）。二、相似三角形的判定定理（一）核心判定定理1.平行線判定法（預(yù)備定理）平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線），所得的對(duì)應(yīng)線段成比例；且截得的三角形與原三角形相似。例：若DE∥BC，則△ADE∽△ABC（“A字型”相似）；若DE∥BC，且D、E在邊的延長(zhǎng)線上，則△ADE∽△ABC（“反A字型”相似）。2.三邊對(duì)應(yīng)成比例判定法若兩個(gè)三角形的三組對(duì)應(yīng)邊的比相等，則這兩個(gè)三角形相似。符號(hào)語言：若\(AB/DE=BC/EF=AC/DF\)，則△ABC∽△DEF。3.兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等判定法若兩個(gè)三角形的兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等，且夾角相等，則這兩個(gè)三角形相似。符號(hào)語言：若\(AB/DE=AC/DF\)，且∠A=∠D，則△ABC∽△DEF。注：“夾角”必須是對(duì)應(yīng)邊的夾角，否則無法判定（如兩邊對(duì)應(yīng)成比例但夾角不相等，三角形不一定相似）。4.兩角對(duì)應(yīng)相等判定法若兩個(gè)三角形的兩組對(duì)應(yīng)角相等，則這兩個(gè)三角形相似。符號(hào)語言：若∠A=∠D，∠B=∠E，則△ABC∽△DEF。（二）特殊三角形的相似判定1.直角三角形相似的判定（1）一組銳角對(duì)應(yīng)相等（由兩角對(duì)應(yīng)相等判定）；（2）斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例（類比HL全等，由兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等判定）。2.等腰三角形相似的判定（1）頂角相等（由兩角對(duì)應(yīng)相等判定）；（2）底角相等（由兩角對(duì)應(yīng)相等判定）；（3）腰與底邊的比對(duì)應(yīng)相等（由三邊對(duì)應(yīng)成比例判定）。三、相似三角形的性質(zhì)定理（一）對(duì)應(yīng)元素的性質(zhì)1.對(duì)應(yīng)角相等：若△ABC∽△DEF，則∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F。2.對(duì)應(yīng)邊成比例：若△ABC∽△DEF，相似比為\(k\)，則\(AB/DE=BC/EF=AC/DF=k\)。（二）對(duì)應(yīng)線段的性質(zhì)相似三角形的對(duì)應(yīng)高、對(duì)應(yīng)中線、對(duì)應(yīng)角平分線、對(duì)應(yīng)周長(zhǎng)的比都等于相似比\(k\)。例：若△ABC∽△DEF，AD、DG分別為兩三角形的高，則\(AD/DG=k\)；周長(zhǎng)比\(C_{△ABC}/C_{△DEF}=k\)。（三）面積的性質(zhì)相似三角形的面積比等于相似比的平方（\(k^2\)）。例：若△ABC∽△DEF，相似比\(k=2\)，則面積比\(S_{△ABC}/S_{△DEF}=4\)。四、常見相似模型及應(yīng)用（一）A字型（含反A字型）結(jié)構(gòu)：有一個(gè)公共頂點(diǎn)，兩邊被一條平行線所截（或延長(zhǎng)線被平行線所截）。結(jié)論：△ADE∽△ABC（DE∥BC）。應(yīng)用：求線段比例、證明平行關(guān)系。（二）8字型（含反8字型）結(jié)構(gòu)：兩直線相交，形成對(duì)頂角，且兩邊分別平行。結(jié)論：△AOB∽△DOC（AB∥CD）。應(yīng)用：求交點(diǎn)分線段的比例、證明線段平行。（三）母子型（直角三角形斜高模型）結(jié)構(gòu)：直角三角形斜邊上的高將原三角形分成兩個(gè)小直角三角形。結(jié)論：△ABC∽△ACD∽△BCD（∠ACB=90°，CD⊥AB）。應(yīng)用：求直角三角形中的線段長(zhǎng)度（如CD=AD·BD，AC2=AD·AB，BC2=BD·AB）。（四）一線三等角（K型）結(jié)構(gòu)：一條直線上有三個(gè)相等的角（如∠ABD=∠BCE=∠DEF=90°）。結(jié)論：△ABD∽△BCE。應(yīng)用：證明相似、求線段長(zhǎng)度（常用于平面直角坐標(biāo)系或幾何綜合題）。（五）手拉手相似模型結(jié)構(gòu)：兩個(gè)有公共頂點(diǎn)的相似三角形，繞公共頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定角度。結(jié)論：△ABC∽△ADE，則△ABD∽△ACE（∠BAC=∠DAE）。應(yīng)用：證明線段比例、角相等（如BD/CE=AB/AC）。五、相似三角形的應(yīng)用（一）幾何應(yīng)用1.求線段長(zhǎng)度：通過相似比建立方程（如DE∥BC，AD/DB=AE/EC）。2.求面積：利用面積比等于相似比的平方（如△ABC∽△DEF，求S_{△DEF}）。3.證明比例式/等積式：通過相似三角形轉(zhuǎn)化比例（如證明AB·CD=EF·GH，可證△ABC∽△EFG）。（二）實(shí)際應(yīng)用1.測(cè)量高度：用標(biāo)桿法或平行投影法（如測(cè)量旗桿高度，通過人與標(biāo)桿、旗桿的相似三角形計(jì)算）。2.測(cè)量距離：用相似三角形求不可直接測(cè)量的距離（如河寬，通過兩岸點(diǎn)構(gòu)成的相似三角形計(jì)算）。3.縮放問題：地圖比例尺、圖形放大/縮?。ㄈ绫壤?:1000，表示圖上1cm對(duì)應(yīng)實(shí)際10m）。六、易錯(cuò)點(diǎn)總結(jié)1.相似比順序錯(cuò)誤：△ABC∽△DEF的相似比是\(AB/DE\)，而非\(DE/AB\)，需注意對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)順序。2.對(duì)應(yīng)邊找錯(cuò)：應(yīng)通過對(duì)應(yīng)角確定對(duì)應(yīng)邊（如∠A=∠D，則BC對(duì)應(yīng)EF，而非DF）。3.判定定理誤用：兩邊對(duì)應(yīng)成比例但夾角不相等時(shí)，不能判定相似（如AB/DE=AC/DF，但∠B≠∠E，無法判定）。4.面積比與相似比混淆：面積比是相似比的平方，而非相似比（如相似比2，面積比4）。5.復(fù)雜圖形中找不到相似三角形：需標(biāo)記已知角、平行線，優(yōu)先考慮常見模型（如A字型、8字型）。七、復(fù)習(xí)建議1.夯實(shí)基礎(chǔ)：熟練掌握相似三角形的判定（尤其是“兩角對(duì)應(yīng)相等”“兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等”）和性質(zhì)（對(duì)應(yīng)線段比、面積比）。2.模型識(shí)別：牢記常見相似模型（A字型、8字型、母子型、一線三等角），學(xué)會(huì)在復(fù)雜圖形中提取模型。3.錯(cuò)題整理：針對(duì)易錯(cuò)點(diǎn)（如相似比順序、對(duì)應(yīng)邊找錯(cuò)）整理錯(cuò)題