第頁北京航空航天大學(xué)附中2025高三數(shù)學(xué)一輪高考單元輔導(dǎo)與訓(xùn)練單元檢測：推理與證明本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分．滿分150分．考試時間120分鐘．第Ⅰ卷(選擇題共60分)一、選擇題(本大題共12個小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1．用反證法證明命題：“,,,且,則中至少有一個負(fù)數(shù)”時的假設(shè)為()A．中至少有一個正數(shù) B．全為正數(shù)C．中至多有一個負(fù)數(shù) D．全都大于等于0【答案】D2．在等差數(shù)列中，若，公差，則有，類比上述性質(zhì)，在等比數(shù)列中，若，公比，則，，，的一個不等關(guān)系是()A． B．C． D．【答案】A3．觀察下列各式：則，…，則的末兩位數(shù)字為()A．01 B．43 C．07 D．49【答案】B4．給出下列三個類比結(jié)論其中正確的個數(shù)是()A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B5．用反證法證明命題：“若整數(shù)系數(shù)一元二次方程有有理根，那么中至少有一個是偶數(shù)”時，應(yīng)假設(shè)()A．中至多一個是偶數(shù) B．中至少一個是奇數(shù)C．中全是奇數(shù) D．中恰有一個偶數(shù)【答案】C6．觀察下列各式，…則的末兩位數(shù)字為()A．01 B．43 C．07 D．49【答案】B7．正方形的邊長為，點在邊上，點在邊上，。動點從出發(fā)沿直線向運動，每當(dāng)碰到正方形的邊時反彈，反彈時反射角等于入射角，當(dāng)點第一次碰到時，與正方形的邊碰撞的次數(shù)為()A． B． C． D．【答案】B8．任取，且，若恒成立，則稱為上的凸函數(shù)。下列函數(shù)中①，②，③，④在其定義域上為凸函數(shù)是()A．①② B．②③ C．②③④ D．②④【答案】D9．用反證法證明某命題時,對某結(jié)論:“自然數(shù)中恰有一個偶數(shù)”,正確的假設(shè)為()A．都是奇數(shù)B．都是偶數(shù)C．中至少有兩個偶數(shù)D．中至少有兩個偶數(shù)或都是奇數(shù)【答案】D10．給出下面類比推理命題： ①“若a·3=b·3，則a=b”類推出“若a·0=b·0，則a=b”； ②“若（a+b）c=ac+bc”類推出“”； ③“”類推出“”； ④“”類推出“”， 其中類比結(jié)論正確的個數(shù)為()A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A11．每設(shè)則()A．都不大于 B．都不小于C．至少有一個不大于 D．至少有一個不小于【答案】C12．若，，則P、Q的大小關(guān)系是()A．P＞Q B．P＝QC．P＜Q D．由a的取值確定【答案】C第Ⅱ卷(非選擇題共90分)二、填空題(本大題共4個小題，每小題5分，共20分，把正確答案填在題中橫線上)13．已知：f（x）＝，設(shè)f1（x）＝f（x），fn（x）＝fn－1[fn－1（x）]（n>1，n∈Ｎ*）則f3（x）的表達(dá)式為____________，猜想fn（x）（n∈N*）的表達(dá)式為?！敬鸢浮?4．若實數(shù)滿足，則稱是函數(shù)的一個次不動點．記函數(shù)與函數(shù)（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）的所有的次不動點之和為，則．【答案】015．觀察下列等式：12＝112－22＝－312－22＋32＝612－22＋32－42＝－10由以上等式推測到一個一般的結(jié)論，對于n∈N*,12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝【答案】(－1)n＋1eq\f(n2＋n,2)16．設(shè)函數(shù),觀察:根據(jù)以上事實，由歸納推理可得：當(dāng)且時，.【答案】三、解答題(本大題共6個小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)17．設(shè)函數(shù)中，均為整數(shù)，且均為奇數(shù)．求證：無整數(shù)根．【答案】假設(shè)有整數(shù)根，則；因為均為奇數(shù)，所以為奇數(shù)，為偶數(shù)，即同時為奇數(shù)或為偶數(shù)為奇數(shù)，(1）當(dāng)為奇數(shù)時，為偶數(shù)；(2）當(dāng)為偶數(shù)時，也為偶數(shù)，即為奇數(shù)與矛盾.所以假設(shè)不成立。無整數(shù)根.18．求證：質(zhì)數(shù)序列……是無限的【答案】假設(shè)質(zhì)數(shù)序列是有限的，序列的最后一個也就是最大質(zhì)數(shù)為，全部序列為再構(gòu)造一個整數(shù)，顯然不能被整除，不能被整除，……不能被整除，即不能被中的任何一個整除，所以是個質(zhì)數(shù)，而且是個大于的質(zhì)數(shù)，與最大質(zhì)數(shù)為矛盾，即質(zhì)數(shù)序列……是無限的19．已知實數(shù)滿足，，求證中至少有一個是負(fù)數(shù)．【答案】假設(shè)都是非負(fù)實數(shù)，因為，所以，所以，，所以，這與已知相矛盾，所以原假設(shè)不成立，即證得中至少有一個是負(fù)數(shù)．20．求證：16<eq\o(\s\up12(4),\s\do5(Σ),\s\do12(i=1))eq\f(1,\r(k))<17．【答案】eq\f(1,\r(k))=eq\f(2,\r(k)+\r(k))<eq\f(2,\r(k－1)+\r(k))=2(eq\r(k)－eq\r(k－1))，同時eq\f(1,\r(k))>eq\f(2,\r(k+1)+\r(k))=2(eq\r(k+1)－eq\r(k))．于是得2eq\o(\s\up12(80),\s\do5(Σ),\s\do12(k=1))(eq\r(k+1)－eq\r(k))<eq\o(\s\up12(80),\s\do5(Σ),\s\do12(k=1))eq\f(1,\r(k))<1+2eq\o(\s\up12(80),\s\do5(Σ),\s\do12(k=1))(eq\r(k)－eq\r(k－1))即16<eq\o(\s\up12(80),\s\do5(Σ),\s\do12(k=1))eq\f(1,\r(k))<1+2(eq\r(80)－1)<1+2(9－1)=17．21．是否存在a、b、c使得等式1·22+2·32+…+n（n+1）2=（an2+bn+c）。【答案】假設(shè)存在a、b、c使題設(shè)的等式成立，這時令n=1,2,3,有于是，對n=1,2,3下面等式成立1·22+2·32+…+n（n+1）2=記Sn=1·22+2·32+…+n（n+1）2設(shè)n=k時上式成立，即Sk=(3k2+11k+10）那么Sk+1=Sk+（k+1）（k+2）2=（k+2）（3k+5）+（k+1）（k+2）2=(3k2+5k+12k+24）=［3（k+1）2+11（k+1）+10］也就是說，等式對n=k+1也成立。綜上所述，當(dāng)a=3,b=11,c=10時，題設(shè)對一切自然數(shù)n均成立22．我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過如下知識：平面內(nèi)到兩個定點的距離和等于常數(shù)的點的軌跡叫做橢圓；平面內(nèi)到兩個定點的距離之差的絕對值等于常數(shù)的點的軌跡叫做雙曲線．(1）試求平面內(nèi)到兩個定點的距離之商為定值的點的軌跡；提示：取線段所在直線為軸，線段的垂直平分線為軸，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)的坐標(biāo)分別為其中(2）若中，滿足，求三角形的面積的最大值.【答案】（1）取線段所在直線為軸，