第頁(yè)廣東對(duì)外貿(mào)易大學(xué)附中2026屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)單元能力提升訓(xùn)練：數(shù)列本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分．滿分150分．考試時(shí)間120分鐘．第Ⅰ卷(選擇題共60分)一、選擇題(本大題共12個(gè)小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1．項(xiàng)數(shù)大于3的等差數(shù)列中，各項(xiàng)均不為零，公差為1，且則其通項(xiàng)公式為()A．n-3 B．n C．n+1 D．2n-3【答案】B2．遞減等差數(shù)列的前n項(xiàng)和滿足：，則欲使最大，則n=()A．10 B．7 C．9 D．7，8【答案】D3．在正項(xiàng)等比數(shù)列{an}中，若S2=7,S6=91,則S4的值為()A．32B,28 C．25 D．24【答案】B4．首項(xiàng)為b，公比為a的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，對(duì)任意的n∈N*，點(diǎn)(Sn，Sn＋1)在()A．直線y＝ax＋b上 B．直線y＝bx＋a上C．直線y＝bx－a上 D．直線y＝ax－b上【答案】A5．若數(shù)列{an}前8項(xiàng)的值各異，且an+8=an對(duì)任意n∈N*都成立，則下列數(shù)列中可取遍{an}前8項(xiàng)值的數(shù)列為()A．{a2k+1} B．{a3k+1} C．{a4k+1} D．{a6k+1}【答案】B6．一個(gè)各項(xiàng)均正的等比數(shù)列，其每一項(xiàng)都等于它后面的相鄰兩項(xiàng)之和，則公比q=()A． B． C． D．【答案】C7．在數(shù)列{an}中，a1=3，an+1=，那么數(shù)列{an}中值不同的項(xiàng)最多為()A．4項(xiàng) B．6項(xiàng) C．8項(xiàng) D．無(wú)法確定【答案】A8．在等比數(shù)列{an}中，，則首項(xiàng)a1=()A． B． C． D．【答案】D9．已知數(shù)列：eq\f(1,1)，eq\f(2,1)，eq\f(1,2)，eq\f(3,1)，eq\f(2,2)，eq\f(1,3)，eq\f(4,1)，eq\f(3,2)，eq\f(2,3)，eq\f(1,4)，…，依它的前10項(xiàng)的規(guī)律，這個(gè)數(shù)列的第2025項(xiàng)a2025滿足()A．0<a2025<eq\f(1,10)B．eq\f(1,10)≤a2025<1C．1≤a2025≤10 D．a(chǎn)2025>10【答案】A10．若數(shù)列的通項(xiàng)公式的最大項(xiàng)為第項(xiàng),最小項(xiàng)為第項(xiàng),則等于()A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A11．已知等比數(shù)列的公比，其前4項(xiàng)和，則等于()A．8 B．6 C．—8 D．—6【答案】A12．等差數(shù)列的公差，且，，則此數(shù)列的通項(xiàng)公式是()A．（） B．（）C．（） D．（）【答案】D第Ⅱ卷(非選擇題共90分)二、填空題(本大題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分，把正確答案填在題中橫線上)13．已知等比數(shù)列的首項(xiàng)為公比為則點(diǎn)所在的定直線方程為_(kāi)___________【答案】14．設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和滿足：，，則通項(xiàng)為_(kāi)___________【答案】15．已知數(shù)列滿足：為正整數(shù)），，若，則所有可能的取值為?！敬鸢浮?．5，3216．已知數(shù)列滿足：則____________；=____________.【答案】1，0三、解答題(本大題共6個(gè)小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟)17．設(shè)是公差不為零的等差數(shù)列，為其前項(xiàng)和，滿足。學(xué)(1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和；(2）試求所有的正整數(shù)，使得為數(shù)列中的項(xiàng)?！敬鸢浮?1）設(shè)公差為，則，由性質(zhì)得，因?yàn)?，所以，即，又由得，解得?(2)(方法一）=,設(shè)，則=,所以為8的約數(shù)(方法二）因?yàn)闉閿?shù)列中的項(xiàng)，故為整數(shù)，又由（1）知：為奇數(shù)，所以經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意的正整數(shù)只有。18．已知數(shù)列的前項(xiàng)和滿足：（為常數(shù)，(1）求的通項(xiàng)公式；(2）設(shè)，若數(shù)列為等比數(shù)列，求的值。【答案】（Ⅰ）∴當(dāng)時(shí)，兩式相減得：，(a≠0，n≥2)即是等比數(shù)列(Ⅱ）由a≠1得，若為等比數(shù)列，則有而，，故，解得，再將代入得成立，所以．19．已知數(shù)列是等差數(shù)列，；數(shù)列的前n項(xiàng)和是，且．(Ⅰ)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

(Ⅱ)求證：數(shù)列是等比數(shù)列；(Ⅲ)記，求的前n項(xiàng)和．【答案】(Ⅰ)設(shè)的公差為，則：，，(Ⅱ）當(dāng)時(shí)，，由，得．當(dāng)時(shí)，，，∴，即．∴是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列．(Ⅲ）由（2）可知：．20．已知等比數(shù)列的首項(xiàng)，公比，數(shù)列前n項(xiàng)和記為，前n項(xiàng)積記為.(Ⅰ）求數(shù)列的最大項(xiàng)和最小項(xiàng)；(Ⅱ）判斷與的大小，并求為何值時(shí)，取得最大值；(Ⅲ）證明中的任意相鄰三項(xiàng)按從小到大排列，總可以使其成等差數(shù)列，如果所有這些等差數(shù)列的公差按從小到大的順序依次設(shè)為，證明:數(shù)列為等比數(shù)列。（參考數(shù)據(jù)）【答案】(Ⅰ）① 當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，,單調(diào)遞減，,② 當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，,單調(diào)遞增，；綜上，當(dāng)n=1時(shí)，;當(dāng)n=2時(shí)，.則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，又，的最大值是中的較大者.因此當(dāng)n=12時(shí)，最大.(Ⅲ）隨n增大而減小，數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)均正數(shù)且遞減，偶數(shù)項(xiàng)均負(fù)數(shù)且遞增.①當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，調(diào)整為.則，，成等差數(shù)列；②當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，調(diào)整為；則，，成等差數(shù)列；綜上可知，數(shù)列中的任意相鄰三項(xiàng)按從小到大排列，總可以使其成等差數(shù)列.①n是奇數(shù)時(shí)，公差；②n是偶數(shù)時(shí)，公差.無(wú)論n是奇數(shù)還是偶數(shù)，都有，則，因此，數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列.21．設(shè)數(shù)列{an}是一個(gè)公差不為零的等差數(shù)列，且a5＝6．(1）當(dāng)a3＝3時(shí)，請(qǐng)?jiān)跀?shù)列{an}中找一項(xiàng)am(m＞5)，使a3，a5，am成等比數(shù)列；(2）當(dāng)a3＞1時(shí)，如果存在自然數(shù)m1，m2，…，mt，…，滿足5＜m1＜m2＜…＜mt＜…，且a3，a5，ameq\o(,\d\fo()\s\down4(1))，ameq\o(,\d\fo()\s\down4(2))，…，ameq\o(,\d\fo()\s\down4(t))，…構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列，求a3的一切可能值；(3）在（2）中的a3取最小正整數(shù)值時(shí)，求證：eq\i\su(t=1,n,)eq\f(3t+1,mtmt＋1)＜eq\f(1,22)．【答案】（1）因?yàn)閍52＝a3am，所以am＝eq\f(a52,a3)＝12．設(shè)數(shù)列{an}的公差為d．則am＝a3＋(m－3)d＝3＋(m－3)×eq\f(3,2)＝12，所以m＝9．(2）因?yàn)閿?shù)列{an}是一個(gè)公差不為零的等差數(shù)列，且a5＝6，所以ameq\o(,\d\fo()\s\down4(t))＝a3＋(mt－3)×eq\f(6－a3,2)(mt＞5，mt?N*)又ameq\o(,\d\fo()\s\down4(t))＝a3(eq\f(6,a3))t＋1，故a3(eq\f(6,a3))t＋1＝a3＋(mt－3)×eq\f(6－a3,2)，即eq\f(6t＋1－a3t＋1,a3t)＝(mt－3)×eq\f(6－a3,2)，故eq\f((6－a3)(6t＋6t－1a3＋…＋6a3t－1＋a3t),a3t)＝(mt－3)×eq\f(6－a3,2)．由a3≠a5，所以a3≠6．mt＝5＋2[(eq\f(6,a3))t＋(eq\f(6,a3))t－1＋…＋(eq\f(6,a3))]，t?N*．當(dāng)t＝1時(shí)，m1＝5＋2×eq\f(6,a3)＝5＋eq\f(12,a3)．由m1?N*，且a3＞1，則eq\f(12,a3)＝1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11．當(dāng)t＝2時(shí)，m2＝5＋2×[(eq\f(6,a3))2＋eq\f(6,a3)]，所以eq\f(12,a3)為奇數(shù)時(shí)，m2不為整數(shù)，不符合．所以，eq\f(12,a3)＝2，4，6，8，10．從而a3＝6，3，2，eq\f(3,2)，eq\f(6,5)，又因?yàn)閿?shù)列{an}是一個(gè)公差不為零的等差數(shù)列，且a3≠6．所以a3＝3，2，eq\f(3,2)，eq\f(6,5)．經(jīng)檢驗(yàn)均滿足題意．(3）由（2）以及a3取最小整數(shù)，可得a3＝2，mt＝5＋2(3t＋3t－1＋…＋3)＝5＋2×eq\f((3t＋1－3),2)＝3t＋1＋2．＝eq\f(3t＋1,(3t＋1＋2)(3t＋2＋2))＝eq\f(1,2)(eq\f(1,3t＋1＋2)－eq\f(1,3t＋2＋2))，＝eq\i\su(t=1,n,)eq\f(1,2)(eq\f(1,3t＋1＋2)－eq\f(1,3t＋2＋2))＝eq\f(1,2)(eq\f(1,31＋1＋2)－eq\f(