北師大版（2019）數(shù)學(xué)必修第二冊：4.2.3《三角函數(shù)的疊加及其應(yīng)用》聽評課記錄x一.基本信息

聽課日期：2023年10月26日

聽課時(shí)間：上午第二節(jié)課（45分鐘）

授課教師姓名：李明

學(xué)科/課程名稱：數(shù)學(xué)

班級/年級：高一（3）班

教學(xué)主題或章節(jié)：北師大版（2019）數(shù)學(xué)必修第二冊：4.2.3《三角函數(shù)的疊加及其應(yīng)用》

聽課人姓名：王華

聽課人職務(wù)：高中數(shù)學(xué)教研組長

聽課目的：教學(xué)研究、教師培訓(xùn)

二.課堂觀察記錄

1.教學(xué)準(zhǔn)備

教師的教學(xué)計(jì)劃清晰，圍繞三角函數(shù)疊加公式（和差化積、積化和差）的推導(dǎo)和應(yīng)用展開，重點(diǎn)突出公式的幾何意義和實(shí)際應(yīng)用場景。教學(xué)資源準(zhǔn)備充分，包括教材、多媒體課件（PPT）、幾何畫板軟件等。教材內(nèi)容與課時(shí)主題緊密相關(guān)，PPT中包含了公式推導(dǎo)的動(dòng)態(tài)演示和典型例題的解析步驟，幾何畫板用于可視化展示三角函數(shù)圖像的疊加效果，資源使用合理，符合教學(xué)目標(biāo)。

2.教學(xué)過程

開始階段（導(dǎo)入新課的方式及效果）：教師通過復(fù)習(xí)已學(xué)的三角函數(shù)圖像和性質(zhì)，提出“如何將兩個(gè)三角函數(shù)圖像合并為一個(gè)”的問題，引發(fā)學(xué)生思考。通過展示正弦波疊加的動(dòng)態(tài)圖，直觀引入和差化積公式，效果較好，學(xué)生能迅速聯(lián)系舊知，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣。

展開階段（教學(xué)方法的選擇與應(yīng)用）：教師采用講授與討論結(jié)合的方式展開教學(xué)。首先，用幾何畫板演示兩個(gè)相同頻率正弦函數(shù)疊加的過程，學(xué)生觀察圖像變化并總結(jié)規(guī)律。接著，教師引導(dǎo)學(xué)生推導(dǎo)和差化積公式，通過小組討論完成積化和差公式的推導(dǎo)，教師適時(shí)補(bǔ)充易錯(cuò)點(diǎn)。例題解析環(huán)節(jié)，教師選取了與周期函數(shù)相關(guān)的實(shí)際應(yīng)用題，引導(dǎo)學(xué)生將公式應(yīng)用于解題，并鼓勵(lì)學(xué)生互評答案，課堂互動(dòng)性強(qiáng)。

結(jié)束階段（總結(jié)歸納、布置作業(yè)）：教師帶領(lǐng)學(xué)生回顧公式推導(dǎo)過程和關(guān)鍵應(yīng)用場景，強(qiáng)調(diào)記憶公式的幾何意義有助于理解。布置作業(yè)包括基礎(chǔ)公式填空、典型例題計(jì)算以及拓展題（如三角恒等變形綜合應(yīng)用），分層設(shè)計(jì)合理。

3.師生互動(dòng)

師生交流頻率高，教師通過提問和追問引導(dǎo)學(xué)生思考，如“為什么疊加后周期不變”“如何選擇公式簡化計(jì)算”等。學(xué)生參與度良好，小組討論時(shí)能積極表達(dá)觀點(diǎn)，部分學(xué)生提出改進(jìn)推導(dǎo)方法的建議，教師及時(shí)給予肯定。課堂反應(yīng)活躍，有學(xué)生主動(dòng)展示解題思路，教師通過多媒體展示并點(diǎn)評，增強(qiáng)學(xué)生自信心。

4.學(xué)生學(xué)習(xí)狀態(tài)

學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性高，對動(dòng)態(tài)演示和實(shí)際應(yīng)用題表現(xiàn)出濃厚興趣。專注度整體較好，但部分學(xué)生在復(fù)雜公式推導(dǎo)時(shí)出現(xiàn)走神，教師通過重復(fù)關(guān)鍵步驟和個(gè)別提醒幫助其跟上進(jìn)度。合作學(xué)習(xí)情況良好，小組討論時(shí)能分工合作，共同完成公式推導(dǎo)任務(wù)，有學(xué)生用彩色筆標(biāo)注推導(dǎo)要點(diǎn)，促進(jìn)同伴學(xué)習(xí)。

5.課堂管理

課堂紀(jì)律良好，學(xué)生能遵守課堂規(guī)則，教師通過眼神和手勢調(diào)控課堂秩序。時(shí)間分配合理，導(dǎo)入、展開、總結(jié)環(huán)節(jié)時(shí)間占比均衡，例題解析和討論環(huán)節(jié)預(yù)留充足時(shí)間，確保教學(xué)任務(wù)完成。課堂節(jié)奏控制得當(dāng)，從基礎(chǔ)公式到應(yīng)用題逐步推進(jìn)，過渡自然，無拖沓或倉促現(xiàn)象。

6.教學(xué)技術(shù)使用

現(xiàn)代教育技術(shù)使用有效，PPT動(dòng)態(tài)演示和幾何畫板可視化展示增強(qiáng)了公式的直觀性，技術(shù)手段與教學(xué)內(nèi)容高度契合。技術(shù)對教學(xué)效果的支持作用明顯，如動(dòng)態(tài)圖幫助學(xué)生理解疊加原理，多媒體展示簡化了復(fù)雜公式的推導(dǎo)過程，技術(shù)輔助提升了課堂效率和學(xué)生的理解深度。

三.教學(xué)效果評價(jià)

1.目標(biāo)達(dá)成

本課時(shí)教學(xué)目標(biāo)明確且適切，圍繞“理解三角函數(shù)疊加公式（和差化積、積化和差）的幾何意義，掌握公式推導(dǎo)過程，并能應(yīng)用于簡單實(shí)際問題”展開。通過課堂觀察和隨堂練習(xí)，學(xué)生基本達(dá)成預(yù)期目標(biāo)。目標(biāo)設(shè)定符合高一學(xué)生的認(rèn)知水平，由淺入深，既有對公式的記憶要求，也強(qiáng)調(diào)理解和應(yīng)用能力，整體達(dá)成度較高。

在公式理解層面，約85%的學(xué)生能通過教師演示和小組討論，說出和差化積公式的幾何推導(dǎo)思路（如單位圓中旋轉(zhuǎn)角疊加對應(yīng)正弦/余弦的線性組合）；在公式應(yīng)用層面，約70%的學(xué)生能獨(dú)立完成基礎(chǔ)例題的公式選擇和計(jì)算，部分學(xué)生能嘗試解決稍復(fù)雜的周期函數(shù)問題。目標(biāo)達(dá)成存在個(gè)體差異，約15%的學(xué)生對公式的符號記憶和變形應(yīng)用仍需鞏固，這與其前置知識（如三角恒等變形）掌握程度相關(guān)。

目標(biāo)的適切性體現(xiàn)在與教材內(nèi)容的銜接上，教師將公式推導(dǎo)與幾何畫板結(jié)合，符合教材“直觀感知—抽象概括—實(shí)際應(yīng)用”的編寫思路，也回應(yīng)了新課程對技術(shù)融合的要求。但目標(biāo)的深度可進(jìn)一步拓展，如增加對疊加后圖像對稱性的討論，以提升學(xué)生對函數(shù)性質(zhì)的探究意識。

2.知識掌握

學(xué)生對知識點(diǎn)的理解和記憶情況良好，主要體現(xiàn)在以下方面：

（1）公式推導(dǎo)的理解：教師通過動(dòng)態(tài)演示和幾何畫板，將抽象公式與單位圓、旋轉(zhuǎn)角等可視化模型關(guān)聯(lián)，學(xué)生能較好地理解“sin(A±B)的圖像是兩個(gè)sin函數(shù)圖像的疊加”這一核心思想。課堂提問顯示，90%以上的學(xué)生能復(fù)述和差化積公式的幾何意義（如兩個(gè)旋轉(zhuǎn)矢量夾角的正弦等于它們垂直分量的疊加），這一成果得益于教師反復(fù)強(qiáng)調(diào)公式的“來源”而非單純記憶。積化和差公式的推導(dǎo)則更多依賴代數(shù)變形，部分學(xué)生因三角恒等變形熟練度不足，在討論環(huán)節(jié)提出“如何消去分母”等疑問，反映出技能掌握存在差異。

（2）公式記憶與應(yīng)用：基礎(chǔ)記憶層面，通過教師快速提問（如“sin(A+B)如何表示”），85%的學(xué)生能準(zhǔn)確寫出公式；但在變形應(yīng)用環(huán)節(jié)，約30%的學(xué)生出現(xiàn)符號錯(cuò)誤（如sinAsinB→-cos(A-B)），這與公式間的負(fù)號關(guān)系混淆有關(guān)。技能掌握程度方面，例題解析時(shí)，約60%的學(xué)生能獨(dú)立完成“求f(x)=sinx+cosx的最小正周期”這類基礎(chǔ)題，但涉及參數(shù)范圍的題目（如“若sinx+cosx=√2，求x”）錯(cuò)誤率較高，暴露出公式的靈活應(yīng)用能力不足。

改進(jìn)建議：可增加“公式對比記憶表”或“錯(cuò)誤案例集錦”作為輔助資源，幫助學(xué)生區(qū)分易混淆項(xiàng)；在技能訓(xùn)練中設(shè)置梯度，從“直接代入公式”到“變形后選擇公式”，逐步提升。

3.情感態(tài)度價(jià)值觀

課堂活動(dòng)促進(jìn)了學(xué)生的全面發(fā)展，具體表現(xiàn)如下：

（1）興趣與探究意識：通過動(dòng)態(tài)演示和實(shí)際應(yīng)用題，約80%的學(xué)生表現(xiàn)出對三角函數(shù)疊加現(xiàn)象的好奇心，部分學(xué)生在討論環(huán)節(jié)提出“若疊加兩個(gè)不同頻率的正弦函數(shù)會(huì)怎樣”的延伸問題，教師雖未展開，但肯定了其思考價(jià)值。這種探究氛圍有助于培養(yǎng)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的內(nèi)在動(dòng)機(jī)。

（2）合作與表達(dá)：小組討論環(huán)節(jié)，學(xué)生能分工合作完成推導(dǎo)任務(wù)，如一人負(fù)責(zé)幾何畫板操作，另一人記錄公式變形，體現(xiàn)了團(tuán)隊(duì)協(xié)作精神。展示環(huán)節(jié)中，敢于發(fā)言的學(xué)生能清晰闡述解題思路，教師通過“你的推導(dǎo)思路很有創(chuàng)意”等評價(jià)語言，增強(qiáng)了學(xué)生的表達(dá)自信。但課堂觀察發(fā)現(xiàn)，約20%的沉默學(xué)生參與度較低，可能因基礎(chǔ)薄弱或性格內(nèi)向，需后續(xù)關(guān)注。

（3）應(yīng)用意識與科學(xué)態(tài)度：實(shí)際應(yīng)用題（如“聲波疊加的振幅計(jì)算”）將數(shù)學(xué)與物理情境結(jié)合，約65%的學(xué)生能意識到三角函數(shù)在生活中的應(yīng)用價(jià)值，提升了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的實(shí)用觀。教師對計(jì)算錯(cuò)誤學(xué)生的耐心糾正，以及鼓勵(lì)“嘗試多種解法”的態(tài)度，潛移默化地培養(yǎng)了嚴(yán)謹(jǐn)、求實(shí)的科學(xué)精神。

不足與建議：可增加更多跨學(xué)科案例（如電路振蕩、光學(xué)干涉），強(qiáng)化應(yīng)用意識；針對內(nèi)向?qū)W生，設(shè)計(jì)“匿名提問箱”或“同伴互評”機(jī)制，促進(jìn)全員參與。

總體評價(jià)：本課時(shí)教學(xué)設(shè)計(jì)合理，目標(biāo)達(dá)成度較高，但在技能分層和個(gè)體差異關(guān)注上仍有提升空間。教師通過技術(shù)融合和活動(dòng)設(shè)計(jì)，有效調(diào)動(dòng)了學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，體現(xiàn)了新課程改革下“以生為本”的教學(xué)理念。

四、總結(jié)與建議

1.總體評價(jià)

本節(jié)課整體印象良好，是一節(jié)符合新課程理念的高效數(shù)學(xué)課。最突出的優(yōu)點(diǎn)在于教學(xué)設(shè)計(jì)的系統(tǒng)性和直觀性，教師能夠圍繞“三角函數(shù)疊加及其應(yīng)用”這一核心主題，將抽象的公式推導(dǎo)與幾何直觀、動(dòng)態(tài)演示緊密結(jié)合，有效降低了學(xué)生的學(xué)習(xí)難度，提升了課堂的參與度和理解深度。具體表現(xiàn)在以下方面：

首先，教學(xué)流程清晰，環(huán)節(jié)過渡自然。從復(fù)習(xí)舊知到導(dǎo)入新課，再到公式推導(dǎo)、例題解析、總結(jié)作業(yè)，每個(gè)環(huán)節(jié)目標(biāo)明確，時(shí)間分配合理。導(dǎo)入環(huán)節(jié)通過動(dòng)態(tài)圖像展示疊加現(xiàn)象，激發(fā)學(xué)生興趣；展開階段采用“教師引導(dǎo)—學(xué)生探究—小組合作”的模式，逐步深入；結(jié)束階段通過知識梳理和分層作業(yè)，鞏固學(xué)習(xí)成果。這種結(jié)構(gòu)化的教學(xué)設(shè)計(jì)使得課堂節(jié)奏張弛有度，學(xué)生能夠跟隨教師的思路逐步掌握知識。

其次，技術(shù)運(yùn)用恰當(dāng)，有效輔助了教學(xué)目標(biāo)的達(dá)成。教師熟練運(yùn)用PPT和幾何畫板軟件，將和差化積、積化和差公式的幾何意義可視化，如通過單位圓中旋轉(zhuǎn)矢量的疊加演示正弦疊加的原理，通過動(dòng)態(tài)波形圖展示疊加后周期不變的特點(diǎn)。這種技術(shù)手段不僅增強(qiáng)了公式的直觀性，也符合高一學(xué)生形象思維占優(yōu)的認(rèn)知特點(diǎn)。此外，多媒體展示的例題解析步驟清晰，幫助學(xué)生建立了“公式—模型—應(yīng)用”的聯(lián)系，提升了知識的遷移能力。

再次，注重學(xué)生的主體地位，課堂互動(dòng)氛圍活躍。教師通過提問、追問、討論、展示等多種方式引導(dǎo)學(xué)生參與學(xué)習(xí)過程。例如，在公式推導(dǎo)環(huán)節(jié)，教師鼓勵(lì)學(xué)生觀察幾何畫板演示并嘗試總結(jié)規(guī)律；在例題解析環(huán)節(jié)，教師將復(fù)雜問題分解為小步驟，并邀請學(xué)生上臺板演，及時(shí)糾正錯(cuò)誤。這種以學(xué)生為中心的教學(xué)方式，不僅鍛煉了學(xué)生的思維能力，也增強(qiáng)了他們的自信心。課堂觀察顯示，大部分學(xué)生能夠積極回應(yīng)教師提問，參與小組討論，展現(xiàn)出良好的學(xué)習(xí)狀態(tài)。

當(dāng)然，本節(jié)課也存在一些可改進(jìn)之處，但總體而言，是一節(jié)值得肯定的課例，體現(xiàn)了授課教師較強(qiáng)的專業(yè)素養(yǎng)和教學(xué)設(shè)計(jì)能力。

2.改進(jìn)建議

針對存在的問題，提出以下具體改進(jìn)措施，以進(jìn)一步提升教學(xué)質(zhì)量：

（1）強(qiáng)化技能訓(xùn)練的層次性和針對性。本節(jié)課在技能掌握層面存在個(gè)體差異，部分學(xué)生在公式變形和應(yīng)用題求解上表現(xiàn)薄弱。建議在后續(xù)教學(xué)中，增加分層練習(xí)的設(shè)計(jì)。例如，在基礎(chǔ)練習(xí)中，側(cè)重公式的直接應(yīng)用（如化簡、求值）；在提高練習(xí)中，增加參數(shù)范圍討論、條件求值等綜合性題目；在拓展練習(xí)中，引入與三角函數(shù)疊加相關(guān)的實(shí)際應(yīng)用題（如物理振動(dòng)、信號處理），并鼓勵(lì)學(xué)生自主搜索相關(guān)案例。此外，可設(shè)計(jì)“公式變形錯(cuò)題集”，幫助學(xué)生集中糾正常見錯(cuò)誤，如符號混淆、變形路徑不清等。

（2）優(yōu)化小組討論的指導(dǎo)策略。雖然本節(jié)課的小組討論氛圍良好，但仍有部分學(xué)生參與度較低。建議教師在分組時(shí)考慮學(xué)生基礎(chǔ)差異，采用“基礎(chǔ)+優(yōu)秀”搭配的模式，促進(jìn)互助學(xué)習(xí)。在討論前，教師應(yīng)給出明確的任務(wù)和評價(jià)標(biāo)準(zhǔn)（如“請小組討論并展示至少兩種推導(dǎo)方法”“誰負(fù)責(zé)記錄公式推導(dǎo)的關(guān)鍵步驟”），避免討論流于形式。討論后，教師應(yīng)隨機(jī)抽取小組進(jìn)行成果展示，并針對典型問題進(jìn)行全班點(diǎn)評，確保所有學(xué)生都能受益。

（3）深化公式的幾何意義理解。雖然教師通過幾何畫板展示了部分疊加現(xiàn)象，但學(xué)生對公式的深層幾何理解仍可進(jìn)一步挖掘。建議在教學(xué)中增加“公式與圖像對稱性”的探究環(huán)節(jié)。例如，引導(dǎo)學(xué)生觀察sin(A+B)和sin(A-B)圖像關(guān)于y軸的對稱關(guān)系，推導(dǎo)出cos(A±B)公式的幾何解釋；或探究疊加后圖像相位移動(dòng)與原函數(shù)關(guān)系的幾何意義。這種探究有助于學(xué)生從更高維度理解三角函數(shù)的性質(zhì)，也為后續(xù)學(xué)習(xí)傅里葉變換等高級內(nèi)容奠定基礎(chǔ)。

（4）加強(qiáng)技術(shù)使用的深度和廣度。目前技術(shù)主要用于公式的動(dòng)態(tài)演示，可進(jìn)一步拓展其應(yīng)用范圍。例如，利用幾何畫板或Desmos平臺，讓學(xué)生自主探究不同參數(shù)（如頻率、相位差）對疊加圖像的影響，生成個(gè)性化探究報(bào)告；或結(jié)合Python編程，實(shí)現(xiàn)三角函數(shù)疊加的數(shù)值模擬和圖像繪制，培養(yǎng)學(xué)生的計(jì)算思維和編程能力。此外，教師可開發(fā)“互動(dòng)式公式手冊”，將公式推導(dǎo)過程、典型錯(cuò)誤、應(yīng)用場景等整合為可拖拽、可編輯的數(shù)字資源，方便學(xué)生隨時(shí)查閱和復(fù)習(xí)。

3.后續(xù)跟蹤

建議進(jìn)行后續(xù)聽課跟進(jìn)，以評估改進(jìn)措施的實(shí)施效果。計(jì)劃采取以下支持措施幫助教師成長：

（1）安排二次聽課，重點(diǎn)關(guān)注技能訓(xùn)練和小組討論環(huán)節(jié)的改進(jìn)情況。在二次聽課前，與授課教師共同制定改進(jìn)計(jì)劃，明確觀察重點(diǎn)（如分層練習(xí)的設(shè)計(jì)、小組討論的指導(dǎo)語等）；聽課后，進(jìn)行深度評課，對比兩次課的變化，并提供具體反饋。若教師仍存在困難，可邀請教研組其他教師進(jìn)行同課異構(gòu)，提供更多教學(xué)思路參考。

（2）提供專業(yè)發(fā)展資源支持。推薦相關(guān)文獻(xiàn)或在線課程，如《數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)》中關(guān)于“公式教學(xué)”的研究論文，或Coursera上的“幾何直觀與數(shù)學(xué)建?！闭n程，幫助教師深化對數(shù)學(xué)教學(xué)理論的理解。同時(shí)，組織教研組內(nèi)的“技術(shù)教學(xué)工作坊”，由擅長信息技術(shù)的教師分享幾何畫板、Desmos等工具的高級應(yīng)用技巧，提升教師的技術(shù)整合能力。

（3）建立“師徒結(jié)對”幫扶機(jī)制。若授課教師為新教師或處于職業(yè)發(fā)展瓶頸期，可安排經(jīng)驗(yàn)豐富的特級教師進(jìn)行定期指導(dǎo)，通過教案研磨、課堂診斷、教學(xué)反思等方式，系