北師大版高中數(shù)學(xué)（選修2-2）聽評課記錄：第1章聚焦反證法一.基本信息

聽課日期：2023年10月26日

聽課時間：上午第二節(jié)課（45分鐘）

授課教師姓名：張華

學(xué)科/課程名稱：高中數(shù)學(xué)（選修2-2）

班級/年級：高二（7）班

教學(xué)主題或章節(jié)：第1章聚焦反證法

聽課人姓名：李明

聽課人職務(wù)：數(shù)學(xué)教研組長

聽課目的：教學(xué)研究、反證法教學(xué)策略探討

本節(jié)課圍繞反證法的概念、應(yīng)用及其邏輯思維展開教學(xué)。反證法作為一種重要的數(shù)學(xué)證明方法，在高階數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中占據(jù)關(guān)鍵地位。張華老師通過典型例題剖析，引導(dǎo)學(xué)生理解反證法的本質(zhì)——假設(shè)結(jié)論不成立，推導(dǎo)出矛盾，從而證明原命題成立。課堂設(shè)計(jì)注重邏輯推理能力的培養(yǎng)，結(jié)合高中生的認(rèn)知特點(diǎn)，通過啟發(fā)式提問、小組討論等方式，幫助學(xué)生突破思維障礙。教材內(nèi)容選取了反證法的典型應(yīng)用場景，如幾何證明、不等式證明等，與高二學(xué)生的數(shù)學(xué)知識體系相契合。教具準(zhǔn)備包括黑板、粉筆、多媒體課件，多媒體資源展示了反證法的步驟圖示和動畫演示，有效輔助了抽象概念的理解。本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)明確，即讓學(xué)生掌握反證法的證明流程，并能應(yīng)用于實(shí)際問題的解決，符合選修2-2課程對學(xué)生邏輯思維能力的培養(yǎng)要求。

二.課堂觀察記錄

1.教學(xué)準(zhǔn)備

教師的教學(xué)計(jì)劃清晰，圍繞反證法的定義、步驟和典型應(yīng)用展開。教學(xué)目標(biāo)明確分為三個層次：理解反證法的邏輯基礎(chǔ)、掌握基本證明步驟、能獨(dú)立完成簡單反證法證明題。教學(xué)資源準(zhǔn)備充分，教材中反證法的章節(jié)內(nèi)容被重點(diǎn)標(biāo)注，多媒體課件包含反證法步驟的動態(tài)演示和錯題解析。教具方面，黑板用于板書關(guān)鍵例題，粉筆便于突出邏輯推理的細(xì)節(jié)，多媒體設(shè)備播放了反證法歷史應(yīng)用的微課視頻，增強(qiáng)了學(xué)生的興趣。教學(xué)設(shè)計(jì)體現(xiàn)了從理論到實(shí)踐的過渡，例題選擇由淺入深，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律。

2.教學(xué)過程

開始階段：張華老師通過一個幾何命題的錯題引入，提出“如何證明一個命題不成立”的問題，引發(fā)學(xué)生思考。他展示了一個反例，讓學(xué)生直觀感受反證法的必要性，通過提問“如果命題不成立會怎樣”開啟新課。導(dǎo)入環(huán)節(jié)用時5分鐘，通過生活化情境（如“天氣預(yù)報(bào)的否定預(yù)測”）類比反證法，效果良好，約80%的學(xué)生能快速進(jìn)入主題。

展開階段：教學(xué)方法以講授為主，穿插小組討論。教師首先系統(tǒng)講解反證法的三個步驟：假設(shè)結(jié)論不成立、邏輯推導(dǎo)矛盾、得出原命題成立。配合多媒體動態(tài)演示，學(xué)生能清晰把握關(guān)鍵環(huán)節(jié)。隨后展示例題“證明無理數(shù)√2不可表示為有理數(shù)”，通過分步講解，教師引導(dǎo)學(xué)生逐步推導(dǎo)出矛盾。在“推導(dǎo)矛盾”環(huán)節(jié)，教師采用“慢放”技術(shù)，逐步展示推導(dǎo)過程，確保學(xué)生理解每一步的邏輯關(guān)系。小組討論環(huán)節(jié)，4人一組分析“三角形內(nèi)角和定理的反證法證明”，教師提供討論提綱，包括“假設(shè)什么”“推導(dǎo)什么”“矛盾點(diǎn)在哪”。討論后各組匯報(bào)，教師點(diǎn)評時強(qiáng)調(diào)“矛盾必須與假設(shè)或已知事實(shí)沖突”，糾正個別小組的無效討論。例題講解后，安排變式練習(xí)，讓學(xué)生獨(dú)立證明“對任意正整數(shù)n，n^2+1不是偶數(shù)”，教師巡視指導(dǎo)，對共性問題進(jìn)行全班講解。

結(jié)束階段：總結(jié)環(huán)節(jié)采用師生共議形式，教師提問“反證法的核心是什么”，學(xué)生回答后，教師補(bǔ)充“反證法本質(zhì)是邏輯的逆向思維”。作業(yè)布置分為基礎(chǔ)題（教材P15練習(xí)1-3）和拓展題（證明勾股定理的反證法），分層設(shè)計(jì)兼顧不同學(xué)生需求。課堂最后3分鐘，教師展示反證法在數(shù)列證明中的應(yīng)用案例，激發(fā)后續(xù)學(xué)習(xí)興趣。

3.師生互動

師生交流頻率高，教師每3分鐘就會提問一次，涵蓋概念理解、步驟掌握等維度?；淤|(zhì)量上，教師善于用追問深化思考，如“為什么矛盾必須是絕對的？”“如果推導(dǎo)不出矛盾怎么辦？”促使學(xué)生反思。學(xué)生回答率約65%，其中30%為主動回答，35%在提示下回答。討論環(huán)節(jié)中，教師采用“先獨(dú)立思考-再小組交流-最后匯報(bào)”的模式，確保每個學(xué)生參與。對回答錯誤的學(xué)生，教師不直接否定，而是通過反問引導(dǎo)：“你的推導(dǎo)過程哪里可能出錯？”保護(hù)學(xué)生自尊心。典型互動案例：在分析“√2無理數(shù)證明”時，有學(xué)生提出“矛盾可以是假設(shè)與假設(shè)沖突”，教師肯定其創(chuàng)新思維，并補(bǔ)充“矛盾可以是結(jié)論與已知定理沖突”，拓展了學(xué)生的認(rèn)知。

4.學(xué)生學(xué)習(xí)狀態(tài)

學(xué)習(xí)積極性方面，因反證法具有挑戰(zhàn)性，約70%的學(xué)生表現(xiàn)出濃厚興趣，課堂提問次數(shù)較平時增加。專注度上，前25分鐘學(xué)生整體專注，后15分鐘因練習(xí)難度提升，部分學(xué)生出現(xiàn)分心，教師通過調(diào)整語速、增加肢體語言等方式重新吸引注意力。合作學(xué)習(xí)效果顯著，小組討論時學(xué)生分工明確，如記錄員、發(fā)言人等，完成度達(dá)90%。在變式練習(xí)環(huán)節(jié)，兩名后進(jìn)生因討論受阻，教師安排“幫扶小組”，通過同伴講解突破難點(diǎn)，作業(yè)完成率提升至100%。個別學(xué)生展示出創(chuàng)造性思維，如用反證法證明“質(zhì)數(shù)無限”命題，教師給予公開表揚(yáng)，樹立榜樣作用。

5.課堂管理

課堂紀(jì)律良好，學(xué)生能遵守發(fā)言規(guī)則，舉手發(fā)言率100%。時間分配上，導(dǎo)入5分鐘、理論講解8分鐘、討論練習(xí)15分鐘、總結(jié)作業(yè)7分鐘，基本符合教學(xué)計(jì)劃，但討論環(huán)節(jié)超時3分鐘，教師通過壓縮總結(jié)時間彌補(bǔ)。課堂節(jié)奏控制上，教師善于用“暫?！焙汀斑^渡語”調(diào)節(jié)，如“我們先來看這個例題的關(guān)鍵點(diǎn)”“接下來我們小組討論”等，確保思維連貫。對突發(fā)情況（如投影儀短暫黑屏），教師迅速切換到板書，體現(xiàn)應(yīng)變能力。

6.教學(xué)技術(shù)使用

現(xiàn)代教育技術(shù)使用高效，多媒體課件動態(tài)展示了反證法的邏輯鏈條，如用箭頭標(biāo)注假設(shè)-推導(dǎo)-矛盾的關(guān)系，比傳統(tǒng)板書更直觀。動畫演示了“假設(shè)√2有理數(shù)”的推導(dǎo)過程，關(guān)鍵步驟閃爍高亮，增強(qiáng)視覺沖擊力。微課視頻播放時，教師暫停提問“這段視頻體現(xiàn)了反證法的什么特點(diǎn)？”，技術(shù)支持了深度理解。但存在技術(shù)依賴問題，部分學(xué)生過度依賴課件，自主筆記減少，教師應(yīng)增加板書環(huán)節(jié)以平衡。技術(shù)對教學(xué)效果的支持作用明顯，尤其在抽象概念可視化方面優(yōu)勢突出，但需注意技術(shù)與教學(xué)的平衡。

三.教學(xué)效果評價

1.目標(biāo)達(dá)成

教學(xué)目標(biāo)的設(shè)定清晰且適切，符合高二學(xué)生的認(rèn)知水平和選修2-2課程的要求。目標(biāo)分為認(rèn)知、技能和情感三個維度：認(rèn)知目標(biāo)要求學(xué)生理解反證法的定義、步驟和邏輯原理；技能目標(biāo)要求學(xué)生能運(yùn)用反證法解決簡單的證明問題；情感目標(biāo)則旨在培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維習(xí)慣和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)態(tài)度。在課堂實(shí)施中，目標(biāo)的達(dá)成度較高。認(rèn)知層面，通過教師系統(tǒng)講解和多媒體動態(tài)演示，約85%的學(xué)生能準(zhǔn)確復(fù)述反證法的三個步驟，并能用語言解釋其核心思想。技能層面，基礎(chǔ)練習(xí)的正確率超過75%，其中“證明n^2+1不是偶數(shù)”題目的獨(dú)立完成率達(dá)80%，說明大部分學(xué)生掌握了基本應(yīng)用方法。情感層面，課堂觀察顯示，學(xué)生在推導(dǎo)矛盾過程中表現(xiàn)出探究欲，討論環(huán)節(jié)積極參與，部分學(xué)生提出反證法在其他學(xué)科的應(yīng)用，體現(xiàn)出思維遷移意識。目標(biāo)達(dá)成存在個別差異，約10%的學(xué)生對反證法的邏輯跳躍仍感困難，需后續(xù)輔導(dǎo)。總體而言，教學(xué)目標(biāo)與實(shí)際學(xué)習(xí)效果基本匹配，但需關(guān)注差異化教學(xué)策略的落實(shí)。

2.知識掌握

知識點(diǎn)的理解和記憶方面，反證法的定義和步驟記憶效果較好，但部分學(xué)生對“矛盾”的本質(zhì)理解存在偏差。例如，在變式練習(xí)中，有學(xué)生將“假設(shè)與假設(shè)矛盾”誤認(rèn)為有效矛盾，反映出對“矛盾必須與已知或假設(shè)沖突”的內(nèi)涵把握不足。教師通過舉例“假設(shè)三角形內(nèi)角和為360°”的無效反證，強(qiáng)化了矛盾的性質(zhì)要求，后續(xù)練習(xí)中此類錯誤顯著減少。技能掌握上，基礎(chǔ)題正確率較高，但綜合性題目（如反證法與不等式結(jié)合）的錯誤率上升，說明學(xué)生尚未完全熟練。典型錯誤包括“假設(shè)不成立時推導(dǎo)不出矛盾”“忽略反證法僅適用于否定性命題”等。教師針對錯誤進(jìn)行分類講解，如“矛盾推導(dǎo)類”和“假設(shè)錯誤類”，幫助學(xué)生建立錯誤模型。知識記憶方面，通過板書關(guān)鍵詞和課后小結(jié)，學(xué)生能復(fù)述核心概念，但長期記憶效果待觀察。建議增加“反證法應(yīng)用卡片”等記憶工具，鞏固知識。

3.情感態(tài)度價值觀

課堂充分促進(jìn)了學(xué)生的全面發(fā)展，情感態(tài)度價值觀層面表現(xiàn)突出。首先，通過反證法的歷史故事（如古希臘“無理數(shù)發(fā)現(xiàn)”），激發(fā)了學(xué)生的數(shù)學(xué)文化興趣，部分學(xué)生課后主動查閱相關(guān)資料，體現(xiàn)了求知欲的提升。討論環(huán)節(jié)中，教師鼓勵批判性思維，如“如果結(jié)論成立會怎樣？”，學(xué)生從多角度分析問題，培養(yǎng)了嚴(yán)謹(jǐn)態(tài)度。技能挑戰(zhàn)后進(jìn)生獲得幫扶，增強(qiáng)了自信心，小組合作中形成互助氛圍，體現(xiàn)了集體價值觀。課堂中，教師通過“反證法是逆向思維魔法”等激勵語言，正面引導(dǎo)，學(xué)生展現(xiàn)出積極的學(xué)習(xí)心態(tài)。但部分學(xué)生在面對復(fù)雜矛盾推導(dǎo)時出現(xiàn)焦慮情緒，反映出對挫折的承受力差異。教師通過“先慢后快”的漸進(jìn)式教學(xué)，有效緩解了心理壓力。價值觀層面，通過“反證法在科學(xué)發(fā)現(xiàn)中的作用”拓展，學(xué)生認(rèn)識到數(shù)學(xué)邏輯對科學(xué)進(jìn)步的推動作用，提升了學(xué)科認(rèn)同感。建議后續(xù)結(jié)合哲學(xué)思辨（如“證明與證偽”），深化對科學(xué)精神的理解?？傮w而言，課堂在激發(fā)興趣、培養(yǎng)態(tài)度、塑造價值觀方面成效顯著，但需關(guān)注個體差異的動態(tài)調(diào)整。

四、總結(jié)與建議

1.總體評價

本節(jié)課整體印象優(yōu)秀，教學(xué)設(shè)計(jì)科學(xué)合理，課堂互動活躍，教學(xué)目標(biāo)達(dá)成度高，尤其在反證法這一抽象概念的突破上表現(xiàn)突出。最突出的優(yōu)點(diǎn)是教師對教學(xué)環(huán)節(jié)的把控精準(zhǔn)，能夠根據(jù)學(xué)生反饋動態(tài)調(diào)整教學(xué)節(jié)奏。導(dǎo)入環(huán)節(jié)通過錯題辨析激發(fā)思考，既貼近高考，又自然引出反證法；展開階段理論講解與技能訓(xùn)練結(jié)合緊密，多媒體輔助手段有效降低了理解難度；師生互動頻繁且富有啟發(fā)性，討論環(huán)節(jié)的小組合作模式提升了參與度。教師的專業(yè)素養(yǎng)值得肯定，語言表達(dá)清晰，邏輯推理嚴(yán)謹(jǐn)，對學(xué)生的錯誤能精準(zhǔn)定位并給出針對性指導(dǎo)。課堂氛圍積極向上，學(xué)生在挑戰(zhàn)中體驗(yàn)到數(shù)學(xué)思維的樂趣，符合新課程改革的理念。此外，教學(xué)資源的整合能力強(qiáng)，既利用了教材例題，又補(bǔ)充了微課視頻和變式練習(xí)，體現(xiàn)了備課的深度和廣度?？傮w而言，本節(jié)課為反證法教學(xué)提供了高質(zhì)量的示范，值得推廣學(xué)習(xí)。

2.改進(jìn)建議

針對存在的問題，提出以下改進(jìn)措施：首先，在時間分配上需進(jìn)一步優(yōu)化。討論環(huán)節(jié)因?qū)W生討論深入超時3分鐘，導(dǎo)致總結(jié)環(huán)節(jié)略顯倉促。建議后續(xù)嘗試“限時討論+補(bǔ)充討論”模式，或提前預(yù)告討論時間，提高效率。其次，針對部分學(xué)生對“矛盾”理解的偏差，可增加“矛盾識別訓(xùn)練”，如提供多個推導(dǎo)過程讓學(xué)生判斷是否為有效反證，強(qiáng)化關(guān)鍵認(rèn)知點(diǎn)。建議在變式練習(xí)中增加“一題多證”環(huán)節(jié)，對比反證法與其他證明方法的優(yōu)劣，深化理解。第三，技術(shù)使用可更加精準(zhǔn)。雖然多媒體效果顯著，但部分學(xué)生過度依賴課件導(dǎo)致筆記減少。建議采用“課件輔助板書”模式，關(guān)鍵步驟由教師手寫強(qiáng)調(diào)，并要求學(xué)生結(jié)合課件和板書構(gòu)建知識體系。第四，差異化教學(xué)需進(jìn)一步落實(shí)。對反證法邏輯跳躍困難的學(xué)生，可設(shè)計(jì)“思維腳手架”，如提供反證法證明模板，降低初始難度。建議建立“學(xué)習(xí)檔案”，記錄學(xué)生典型錯誤，定期進(jìn)行針對性輔導(dǎo)。最后，情感態(tài)度的培養(yǎng)可結(jié)合學(xué)科史，如介紹阿基米德用反證法證明“π無理數(shù)”的故事，增強(qiáng)文化認(rèn)同，建議在后續(xù)課程中增加此類素材。

如何進(jìn)一步提升教學(xué)質(zhì)量？建議教師加強(qiáng)高考真題研究，將反證法與函數(shù)、數(shù)列等知識結(jié)合設(shè)計(jì)綜合題，提升應(yīng)用能力?？蓢L試“微課+翻轉(zhuǎn)課堂”模式，讓學(xué)生課前預(yù)習(xí)反證法基本步驟，課內(nèi)聚焦難點(diǎn)突破，提高效率。此外，邀請高校數(shù)學(xué)專業(yè)教師進(jìn)行講座，分享反證法在高等數(shù)學(xué)中的延伸應(yīng)用，拓寬學(xué)生視野。鼓勵教師參加數(shù)學(xué)建模競賽培訓(xùn)，學(xué)習(xí)如何將反證法應(yīng)用于實(shí)際問題解決，提升教學(xué)的前沿性。建立“同課異構(gòu)”活動，通過多教師對比教學(xué)，交流經(jīng)驗(yàn)，共同進(jìn)步。

3.后續(xù)跟蹤

建議進(jìn)行后續(xù)聽課跟進(jìn)改進(jìn)情況。計(jì)劃在一個月后安排二次聽課，重點(diǎn)觀察以下方面：一是反證法技能訓(xùn)練的改進(jìn)效果，特別是綜合性題目錯誤率的降低情況；二是差異化教學(xué)策略的落實(shí)情況，如“思維腳手架”的使用效果；三是學(xué)生課堂筆記與知識體