七八年全國高考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每題1分，共10分）

1.函數(shù)f(x)=log?(x2-2x+3)的定義域是（）

A.(-∞,1)∪(1,+∞)

B.[1,3]

C.R

D.(-1,3)

2.若集合A={x|x2-x-2>0},B={x|ax+1>0},且A∩B=(1,+∞),則實(shí)數(shù)a的值為（）

A.-1

B.0

C.1

D.2

3.函數(shù)f(x)=sin(2x+π/3)的最小正周期是（）

A.π

B.2π

C.3π/2

D.4π/3

4.已知等差數(shù)列{a?}的前n項(xiàng)和為S?,若a?=5,S?=30,則公差d為（）

A.1

B.2

C.3

D.4

5.不等式|3x-2|<5的解集是（）

A.(-1,3)

B.(-3,1)

C.(-1/3,7/3)

D.(-7/3,1/3)

6.若直線l:y=kx+b與圓C:x2+y2-2x+4y-3=0相切,則k的取值范圍是（）

A.[-1,1]

B.(-∞,-1]∪[1,+∞)

C.[-2,2]

D.(-∞,-2]∪[2,+∞)

7.已知cos(α+β)=1/2,cos(α-β)=1/2,則cosα·cosβ的值為（）

A.1/4

B.1/2

C.3/4

D.1

8.拋擲兩個(gè)均勻的骰子,則兩個(gè)骰子點(diǎn)數(shù)之和為5的概率是（）

A.1/6

B.1/12

C.5/36

D.1/18

9.已知函數(shù)f(x)=x3-ax+1在x=1處取得極值,則a的值為（）

A.3

B.-3

C.2

D.-2

10.在△ABC中,若角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c,且a2=b2+c2-bc,則角A的大小為（）

A.30°

B.45°

C.60°

D.90°

二、多項(xiàng)選擇題（每題4分，共20分）

1.下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)是奇函數(shù)的是（）

A.f(x)=x3

B.f(x)=x?1

C.f(x)=sin(x)

D.f(x)=e?

2.已知函數(shù)f(x)=ax2+bx+c,且f(1)=2,f(-1)=-2,f(0)=1,則有（）

A.a+b+c=2

B.a-b+c=-2

C.a+b=1

D.b2-4ac=8

3.在等比數(shù)列{a?}中,若a?=6,a?=162,則下列說法正確的有（）

A.公比q=3

B.首項(xiàng)a?=2

C.前n項(xiàng)和S?=2(3?-1)

D.a?=486

4.已知圓C?:x2+y2=1和圓C?:(x-1)2+(y-1)2=r2,則下列說法正確的有（）

A.當(dāng)r=1時(shí),C?和C?外離

B.當(dāng)r=√2時(shí),C?和C?外切

C.當(dāng)r=2時(shí),C?和C?內(nèi)切

D.當(dāng)r>√2時(shí),C?和C?相交

5.對(duì)于命題p:"存在x?∈R,使得x?2+x?+1<0",則下列說法正確的有（）

A.命題p的否定是:"任意x∈R,都有x2+x+1≥0"

B.命題p的否定是:"存在x?∈R,使得x?2+x?+1≥0"

C.命題p是假命題

D.命題p的否定是:"任意x∈R,都有x2+x+1<0"

三、填空題（每題4分，共20分）

1.已知函數(shù)f(x)=2^x-1,則其反函數(shù)f?1(3)的值為_______.

2.不等式3x-5>0的解集用區(qū)間表示為_______.

3.在等差數(shù)列{a?}中,若a?=10,a??=19,則該數(shù)列的通項(xiàng)公式a?=_______.

4.拋擲一個(gè)均勻的硬幣兩次,則恰好出現(xiàn)一次正面的概率為_______.

5.已知向量α=(1,k),β=(3,-2),且α⊥β,則實(shí)數(shù)k的值為_______.

四、計(jì)算題（每題10分，共50分）

1.計(jì)算：lim(x→2)[(x2-4)/(x-2)]

2.解方程：log?(x+2)+log?(x-1)=2

3.在△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，已知a=3，b=4，c=5，求角B的正弦值sinB。

4.求函數(shù)f(x)=x3-3x2+2在區(qū)間[-1,3]上的最大值和最小值。

5.已知直線l?:y=2x+1和直線l?:ax+3y-5=0，求當(dāng)直線l?與l?平行時(shí)，實(shí)數(shù)a的值。

本專業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷答案及知識(shí)點(diǎn)總結(jié)如下

一、選擇題答案及解析

1.C

解析：函數(shù)f(x)=log?(x2-2x+3)的定義域?yàn)閤2-2x+3>0，解得x∈R。

2.C

解析：集合A=(-∞,-1)∪(2,+∞)，由A∩B=(1,+∞)可知B必須包含(1,+∞)，且在(-∞,-1)上無解，故a=1。

3.A

解析：函數(shù)f(x)=sin(2x+π/3)的周期T=2π/|ω|=2π/2=π。

4.B

解析：由a?=a?+2d=5，S?=6a?+15d=30，聯(lián)立解得d=2。

5.C

解析：解不等式|3x-2|<5得-5<3x-2<5，解得-1/3<x<7/3。

6.A

解析：圓心(1,-2)，半徑√(12+(-2)2)=√5。直線l到圓心的距離d=|k*1+b*(-2)|/√(k2+1)=√5，化簡得k2-4kb+(b2-5)=0，判別式Δ=16b2-4(b2-5)=12b2+20≥0，且k2=1-(b2-5)/(k2+1)≤1，解得-√1.5≤b≤√1.5，結(jié)合k2=1-(b2-5)/(k2+1)≤1，得-1≤k≤1。

7.C

解析：cos(α+β)+cos(α-β)=2cosα·cosβ=1，故cosα·cosβ=1/2。

8.A

解析：基本事件總數(shù)為6×6=36，事件“點(diǎn)數(shù)之和為5”包含(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)共4種情況，概率為4/36=1/9。(注：此題按標(biāo)準(zhǔn)骰子6面計(jì)算，若為1-6點(diǎn)數(shù)，則概率為1/6)

9.D

解析：f'(x)=3x2-a。由題意f'(1)=0，得3-a=0，即a=3。

10.C

解析：由a2=b2+c2-bc，變形為a2+(bc/2)2=(b2+c2/2)2，即cos(2A)=(b2+c2-a2)/(2bc)=(2bc-bc)/(2bc)=1/2，故A=60°。

二、多項(xiàng)選擇題答案及解析

1.ABC

解析：f(x)=x3是奇函數(shù)；f(x)=x?1=1/x是奇函數(shù)；f(x)=sin(x)是奇函數(shù)；f(x)=e?是指數(shù)函數(shù)，非奇非偶函數(shù)。

2.ABC

解析：f(1)=a+b+c=2；f(-1)=a-b+c=-2；f(0)=c=1。由前三式可得a=1,b=0,c=1。代入第四式，b2-4ac=02-4*1*1=-4≠8。故只有前三式正確。

3.ABCD

解析：a?=a?·q3=6q3=162，解得q=3。a?=a?/q=6/3=2。S?=a?(1-q?)/(1-q)=2(1-3?)/(1-3)=2(3?-1)。a?=a?·q?=2·3?=2·2187=4374。所有選項(xiàng)均正確。

4.BCD

解析：圓C?半徑r?=1，圓心(0,0)。圓C?半徑r?=r，圓心(1,1)。兩圓圓心距d=√[(1-0)2+(1-0)2]=√2。當(dāng)r=1時(shí)，d=√2=r?+r，外切。當(dāng)r=√2時(shí)，d=√2=r?-r?，內(nèi)切。當(dāng)r>√2時(shí)，d=√2<r+r?=1+r，相交。故BCD正確。A錯(cuò)誤。

5.AC

解析：命題p的否定是：任意x∈R,使得x2+x+1≥0。因?yàn)閤2+x+1=(x+1/2)2+3/4>0對(duì)所有實(shí)數(shù)x恒成立，所以p是假命題。若否定是“存在x?∈R,使得x?2+x?+1≥0”，則該否定為真命題，但不是p的標(biāo)準(zhǔn)否定形式。若否定是“任意x∈R,都有x2+x+1<0”，則該否定為假命題。故A、C正確。

三、填空題答案及解析

1.2

解析：反函數(shù)f?1(x)滿足f(f?1(x))=x。令f?1(x)=y，則f(y)=x。即2^y-1=x，解得y=log?(x+1)。故f?1(x)=log?(x+1)。所以f?1(3)=log?(3+1)=log?(4)=2。

2.(5/3,+∞)

解析：解不等式3x-5>0得x>5/3。

3.a?=3n-2

解析：由a?=10=a?+4d，a??=19=a?+9d，聯(lián)立解得a?=2,d=2。通項(xiàng)公式a?=a?+(n-1)d=2+(n-1)×2=2n-2=3n-2。

4.1/2

解析：基本事件總數(shù)為6×6=36。事件“恰好出現(xiàn)一次正面”包含(正,反),(反,正)共2種情況，概率為2/36=1/18。(注：此題按標(biāo)準(zhǔn)硬幣計(jì)算，若理解為至少一次正面，則概率為1-P(全反面)=1-1/36=35/36。若理解為正好一次正面，則概率為1/18。根據(jù)選擇題選項(xiàng)設(shè)置，通常指后者。)

5.-6

解析：向量α⊥β意味著α·β=0。即(1,k)·(3,-2)=1×3+k×(-2)=3-2k=0，解得k=3/2。但需要檢查選項(xiàng)是否有3/2。若選項(xiàng)中沒有3/2，則題目可能存在印刷錯(cuò)誤或考察其他情況。假設(shè)題目意圖是求垂直時(shí)的k值，標(biāo)準(zhǔn)答案應(yīng)為k=3/2。若必須從給定選項(xiàng)中選擇，則此題無法作答或有誤。按標(biāo)準(zhǔn)答案，k=3/2。如果必須選擇一個(gè)整數(shù)，則題目可能有誤。

四、計(jì)算題答案及解析

1.4

解析：lim(x→2)[(x2-4)/(x-2)]=lim(x→2)[(x-2)(x+2)/(x-2)]=lim(x→2)(x+2)=2+2=4。

2.x=3

解析：原方程等價(jià)于log?[(x+2)(x-1)]=2=log?(9)。所以(x+2)(x-1)=9。解得x2+x-11=0。因式分解得(x-3)(x+4)=0。解得x=3或x=-4。檢驗(yàn)：當(dāng)x=-4時(shí)，log?(-4+2)=log?(-2)無意義。故唯一解為x=3。

3.sinB=4/5

解析：由余弦定理a2=b2+c2-2bc·cosA得32=42+52-2×4×5·cosA，即9=16+25-40cosA，解得cosA=32/40=4/5。因?yàn)閍<c，所以A為銳角，cosA=4/5>0。sinA=√(1-cos2A)=√(1-(4/5)2)=√(1-16/25)=√(9/25)=3/5。由正弦定理a/sinA=b/sinB得3/(3/5)=4/sinB，即5=4/sinB，解得sinB=4/5。

4.最大值f(1)=0,最小值f(-1)=-4

解析：f'(x)=3x2-6x=3x(x-2)。令f'(x)=0得x=0或x=2。計(jì)算端點(diǎn)和駐點(diǎn)處的函數(shù)值：f(-1)=(-1)3-3(-1)2+2=-1-3+2=-4。f(0)=03-3(0)2+2=2。f(2)=23-3(2)2+2=8-12+2=-2。比較可得，最大值為2，最小值為-4。

5.a=-6

解析：直線l?:y=2x+1的斜率k?=2。直線l?:ax+3y-5=0即y=(-a/3)x+5/3，其斜率k?=-a/3。l?與l?平行意味著k?=k?，即2=-a/3，解得a=-6。同時(shí)需滿足兩直線不重合，即截距5/3≠1，這顯然成立。故a=-6。

知識(shí)點(diǎn)分類和總結(jié)

本試卷主要涵蓋了中國高考數(shù)學(xué)（通常指理科）的基礎(chǔ)理論知識(shí)，主要包括以下幾大模塊：

1.**集合與常用邏輯用語**：

*集合的概念、表示法、運(yùn)算（并、交、補(bǔ)）。

*命題及其關(guān)系（否命題、逆命題、逆否命題）、真假判斷、充分條件與必要條件。

2.**函數(shù)**：

*函數(shù)的概念、定義域、值域、基本性質(zhì)（奇偶性、單調(diào)性、周期性）。

*基本初等函數(shù)（指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、三角函數(shù)）的圖像與性質(zhì)。

*反函數(shù)的概念與求法。

*函數(shù)與方程、不等式的聯(lián)系（利用函數(shù)性質(zhì)解方程、不等式）。

3.**數(shù)列**：

*等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式。

*數(shù)列的性質(zhì)與綜合應(yīng)用。

4.**三角函數(shù)**：

*三角函數(shù)的定義、圖像與性質(zhì)（定義域、值域、周期性、奇偶性、單調(diào)性）。

*三角恒等變換（和差角公式、倍角公式、半角公式）。

*解三角形（正弦定理、余弦定理）。

5.**解析幾何**：

*直線方程的幾種形式、直線間的位置關(guān)系（平行、垂直、相交）。

*圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程、點(diǎn)與圓、直線與圓的位置關(guān)系。

*向量的概念、線性運(yùn)算、數(shù)量積及其應(yīng)用。

6.**不等式**：

*常見不等式的解法（一元一次、一元二次不等式，含絕對(duì)值不等式）。

*不等式的性質(zhì)。

7.**極限**（初步）：

*函數(shù)極限的概念（特別是分式極限）。

8.**導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用**（初步）：

*導(dǎo)數(shù)的概念（幾何意義：切線斜率）。

*導(dǎo)數(shù)的計(jì)算（基本初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)，導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則）。

*利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、求函數(shù)的極值與最值。

各題型所考察學(xué)生的知識(shí)點(diǎn)詳解及示例

1.**選擇題**：

*考察范圍廣，知識(shí)點(diǎn)覆蓋全面，注重基礎(chǔ)概念的理解和基本運(yùn)算能力。

*例如：第1題考察函數(shù)定義域的求解；第2題考察集合運(yùn)算與包含關(guān)系；第3題考察三角函數(shù)周期性；第4題考察等差數(shù)列基本量計(jì)算；第5題考察絕對(duì)值不等式求解；第6題考察直線與圓的位置關(guān)系（相切）；第7題考察和差角公式；第8題考察古典概型概