一、無條件極值第8.5節(jié)、二元函數(shù)的極值二、條件極值一、無條件極值二元函數(shù)極值的定義

對(duì)于該鄰域內(nèi)異于的任何點(diǎn)都有設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)闉榈膬?nèi)點(diǎn)。的某鄰域若存在使得則稱函數(shù)在點(diǎn)有極大值稱為函數(shù)點(diǎn)的極大值點(diǎn)；極小值統(tǒng)稱為極值；使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn)。

若對(duì)于該鄰域內(nèi)異于的任何點(diǎn)都有則稱函數(shù)在點(diǎn)有極小值.稱為函數(shù)點(diǎn)的極小值點(diǎn)。極大值、例1利用極值定義，判斷點(diǎn)是否是下列二元函數(shù)的極值點(diǎn):解：(1)因,且對(duì)點(diǎn)的鄰域內(nèi)任何異于的點(diǎn)，都有故點(diǎn)是的極小值點(diǎn)，極小值(2)因,且點(diǎn)的鄰域內(nèi)（定義域內(nèi)）任何異于的點(diǎn)，都有.故點(diǎn)是的極大值點(diǎn)，極大值(3),但在點(diǎn)的任何鄰域內(nèi)(無論多小),函數(shù)在第一象限和第三象限的值大于0；在第二象限和第四象限的值小于0.故點(diǎn)不是的極值點(diǎn).很多函數(shù)直接利用定義很難判斷極值點(diǎn).下面定理給出二元函數(shù)極值的的必要條件.定理（必要條件）在點(diǎn)),(00yx處有極值，證設(shè)函數(shù)在點(diǎn)),(00yx具有偏導(dǎo)數(shù)，且則都有,故當(dāng)時(shí)，有

說明一元函數(shù)在處有極大值,必有類似地可證

推廣具有偏導(dǎo)數(shù)，有極值的必要?jiǎng)t它在條件為在點(diǎn)如果三元函數(shù)

仿照一元函數(shù)，凡能使一階偏導(dǎo)數(shù)同時(shí)為零的點(diǎn)，駐點(diǎn)極值點(diǎn)問題：如何判定一個(gè)駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn)？注意：例如,點(diǎn)是函數(shù)的駐點(diǎn)，

但不是極值點(diǎn)。均稱為函數(shù)的駐點(diǎn).又令則在處是否取得極值的條件如下：(1)時(shí)具有極值，且當(dāng)時(shí)有極大值，當(dāng)時(shí)有極小值；(2)時(shí)沒有極值；(3)時(shí)，不定。定理（充分條件）的某鄰域內(nèi)連續(xù)且有一階及二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，在點(diǎn)設(shè)函數(shù)有極值沒有極值極大值極小值例2求二元函數(shù)的極值解：先求駐點(diǎn)：由解得駐點(diǎn).

，再求出二階偏導(dǎo)數(shù)對(duì)于點(diǎn)來說，因，故點(diǎn)不是極值點(diǎn)；對(duì)于點(diǎn)來說，因，且，故點(diǎn)是極小值點(diǎn)，極小值二、條件極值條件極值：對(duì)自變量有附加條件的極值．求函數(shù)在附加約束條件下的極值，步驟如下：第一步：構(gòu)造輔助函數(shù)其中為輔助變量，稱為拉格朗日乘數(shù)，稱為拉格朗日函數(shù)；第二步：求的駐點(diǎn)，解方程組解出x,y和，則為在附加約束條件下可能的極值點(diǎn).第三步：根據(jù)實(shí)際問題的背景判斷點(diǎn)是否是極值點(diǎn).對(duì)于多元函數(shù)和多個(gè)附加約束條件的極值問題，拉格朗日乘數(shù)法的步驟類似，注意有幾個(gè)附加約束條件，拉格朗日函數(shù)里就有幾個(gè)拉格朗日乘數(shù).例3用長度為1的線段圍成一個(gè)長方形，求面積最大的長方形的面積.解：設(shè)長方形的長和寬分別是，則問題化為求函數(shù)在條件下的最大值.構(gòu)造拉格朗日函數(shù)求的駐點(diǎn)，解方程組由前兩式消去解得，代入第三式解出這是唯一可能的極