一、無窮級數(shù)的概念二、正項級數(shù)三、任意項級數(shù)四、冪級數(shù)五、函數(shù)展開成冪級數(shù)六、冪級數(shù)的應(yīng)用舉例第七章無窮級數(shù)二、收斂級數(shù)的基本性質(zhì)一、常數(shù)項級數(shù)的概念第7.1節(jié)、無窮級數(shù)的概念三*、級數(shù)收斂的柯西準則一、常數(shù)項級數(shù)的概念問題的提出初等數(shù)學：有限個實數(shù)相加，其結(jié)果是一個實數(shù)。高等數(shù)學：無限個實數(shù)相加？《莊子-天下篇》中寫道：

“一尺之棰,

日取其半,萬世不竭.”無限個數(shù)相加：問題：“無限個數(shù)相加”是否存在“和”？如存在,“和”是多少？2.

級數(shù)的定義:一般項部分和數(shù)列級數(shù)的部分和形如稱為(常數(shù)項)無窮級數(shù)3.級數(shù)的收斂與發(fā)散:

當無限增大時,如果級數(shù)的部分和數(shù)列有極限即,則稱無窮級數(shù)收斂,叫做級數(shù)的和.并寫成這時極限如果沒有極限,發(fā)散.則稱無窮級數(shù)當級數(shù)收斂時,稱差值為級數(shù)的余項.顯然例1

研究級數(shù)解的收斂性.于是：因此該級數(shù)收斂,且由得到級數(shù)的前項和為：例2

證明級數(shù)證是發(fā)散的.由于,

因此該級數(shù)發(fā)散.該級數(shù)的前項和為：二、級數(shù)的性質(zhì)（收斂的必要條件）證性質(zhì)1注1.如果級數(shù)的一般項不趨于零,則級數(shù)發(fā)散;

發(fā)散

發(fā)散2.必要條件不充分.反證：（數(shù)乘運算）證性質(zhì)2

結(jié)論:級數(shù)的每一項同乘一個不為零的常數(shù),斂散性不變.設(shè)級數(shù)收斂于，的部分和分別為，則有（加法運算）證性質(zhì)3

結(jié)論:收斂級數(shù)可以逐項相加與逐項相減.改變級數(shù)的任意有限項的值,不改變級數(shù)的收斂性.證性質(zhì)4

結(jié)論:在一個級數(shù)前面加上(或去掉)有限項,級數(shù)的斂散性不變.設(shè)級數(shù)與只有有限項的值不同,則可以找到一個數(shù),使得時兩級數(shù)的通項是一樣的,即,于是：記：，,這是有限項的和,是一個常數(shù).因此兩者的斂散性相同.當時有收斂級數(shù)加括號后所成的級數(shù)仍然收斂,且與原級數(shù)有相同的和.證性質(zhì)5

設(shè)級數(shù)的和為,考慮任意添加括號后的新級數(shù)：其前項部分和對應(yīng)原級數(shù)前項部分和,即顯然：于是：,得證.注意：收斂級數(shù)去括弧后所成的級數(shù)不一定收斂.

收斂

發(fā)散

推論如果加括號后所成的級數(shù)發(fā)散,則原級數(shù)也發(fā)散.解

收斂

發(fā)散例3討論等比級數(shù)（幾何級數(shù)）的收斂性發(fā)散發(fā)散

綜上所述得例如三、級數(shù)收斂的柯西準則*證定理1設(shè),則考察部分和數(shù)列,根據(jù)數(shù)列的柯西極限存在準則即得.存在,當時,對于任意,都有級數(shù)的充分必要條件為：對于任意給定的數(shù),解例4對于任意正整數(shù)利用柯西準則判定級數(shù)的收斂性.對于任意存在