六校高考數(shù)學試卷一、選擇題（每題1分，共10分）

1.已知集合A={x|1<x<3}，B={x|x^2-4x+3<0}，則集合A∩B等于（）

A.{x|1<x<2}

B.{x|2<x<3}

C.{x|1<x<3}

D.{x|2<x<4}

2.函數(shù)f(x)=log_a(x+1)在區(qū)間(-1,+∞)上單調(diào)遞增，則實數(shù)a的取值范圍是（）

A.(0,1)

B.(1,+∞)

C.(0,1)∪(1,+∞)

D.[1,+∞)

3.若復(fù)數(shù)z滿足|z|=1，且z^2+z+1=0，則z等于（）

A.1

B.-1

C.i

D.-i

4.已知等差數(shù)列{a_n}的首項為1，公差為2，則其前n項和S_n等于（）

A.n(n+1)

B.n^2

C.n(n+3)

D.n^2+3n

5.已知函數(shù)f(x)=sin(x+π/4)的圖像關(guān)于直線x=π/4對稱，則f(π/4)的值等于（）

A.0

B.1

C.√2/2

D.-√2/2

6.已知三角形ABC中，角A=60°，角B=45°，則角C等于（）

A.75°

B.105°

C.75°或105°

D.45°

7.已知直線l的方程為y=kx+1，且直線l與圓(x-1)^2+(y-2)^2=1相切，則實數(shù)k的值等于（）

A.1

B.-1

C.√3

D.-√3

8.已知函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+2，則f(x)在區(qū)間[0,3]上的最大值等于（）

A.2

B.3

C.4

D.5

9.已知雙曲線x^2/a^2-y^2/b^2=1的離心率為√2，則a與b的關(guān)系為（）

A.a=b

B.a=2b

C.a=b/2

D.a=√2b

10.已知函數(shù)f(x)=e^x-ax在x=1處取得極值，則實數(shù)a的值等于（）

A.1

B.2

C.e

D.e^2

二、多項選擇題（每題4分，共20分）

1.已知函數(shù)f(x)=x^2-2x+3，則下列說法正確的有（）

A.f(x)在x=1處取得最小值

B.f(x)的圖像開口向上

C.f(x)在區(qū)間(-∞,1)上單調(diào)遞減

D.f(x)在區(qū)間(1,+∞)上單調(diào)遞增

2.已知集合A={x|1<x<3}，B={x|x^2-4x+3<0}，則下列關(guān)系正確的有（）

A.A∪B={x|1<x<3}

B.A∩B={x|2<x<3}

C.A-B={x|1<x<2}

D.B-A={x|3<x<4}

3.已知等比數(shù)列{a_n}的首項為2，公比為-1，則下列說法正確的有（）

A.a_4=1

B.a_5=-2

C.S_4=0

D.S_6=0

4.已知函數(shù)f(x)=sin(x+π/6)的圖像向右平移π/3后得到函數(shù)g(x)，則下列說法正確的有（）

A.g(x)=sin(x-π/6)

B.g(x)的周期為2π

C.g(x)在區(qū)間(π/2,2π/3)上單調(diào)遞減

D.g(x)的圖像關(guān)于直線x=π/2對稱

5.已知直線l1的方程為y=2x+1，直線l2的方程為y=-1/2x+3，則下列說法正確的有（）

A.l1與l2相交

B.l1與l2的夾角為90°

C.l1與l2的交點坐標為(1,3)

D.l1與l2的斜率之積為-1

三、填空題（每題4分，共20分）

1.已知函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+2，則f(x)的極大值等于________。

2.已知等差數(shù)列{a_n}的首項為1，公差為3，則其前n項和S_n的表達式為________。

3.已知圓C的方程為(x-1)^2+(y-2)^2=4，則圓C的圓心坐標為________，半徑r等于________。

4.已知函數(shù)f(x)=log_2(x+1)在區(qū)間(-1,+∞)上單調(diào)遞增，則底數(shù)a的取值范圍是________。

5.已知三角形ABC中，角A=60°，角B=45°，則角C的正弦值sin(C)等于________。

四、計算題（每題10分，共50分）

1.已知函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+2，求f(x)在區(qū)間[-1,3]上的最大值和最小值。

2.已知等比數(shù)列{a_n}的首項為2，公比為-1，求其前6項的和S_6。

3.已知圓C的方程為(x-1)^2+(y-2)^2=4，求圓C的圓心到直線l:3x+4y-1=0的距離。

4.已知函數(shù)f(x)=sin(x+π/6)的圖像向右平移π/3后得到函數(shù)g(x)，求g(x)在區(qū)間[0,π]上的單調(diào)遞減區(qū)間。

5.已知三角形ABC中，角A=60°，角B=45°，邊a=√2，求邊b和邊c的長度。

本專業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷答案及知識點總結(jié)如下

一、選擇題（每題1分，共10分）

1.B

2.B

3.D

4.C

5.C

6.C

7.A

8.C

9.A

10.A

解題過程：

1.集合A={x|1<x<3}，B={x|x^2-4x+3<0}={x|1<x<3}，則A∩B={x|1<x<3}。故選C。

2.函數(shù)f(x)=log_a(x+1)在區(qū)間(-1,+∞)上單調(diào)遞增，則底數(shù)a>1。故選B。

3.由|z|=1，設(shè)z=a+bi(a,b∈R)，則z^2=a^2-b^2+2abi=1。又z^2+z+1=0，即(a^2-b^2+a+1)+(2ab)i=0。得a^2-b^2+a+1=0且2ab=0。由|z|=1得a^2+b^2=1。聯(lián)立方程組a^2-b^2+a+1=0和a^2+b^2=1，解得a=1/2，b=√3/2或a=-1/2，b=-√3/2。代入z=a+bi得z=1/2+√3/2i或z=-1/2-√3/2i。其中z=-1/2-√3/2i=-ω，ω為1的單位根。ω^2=1，ω^3=1。ω^2+ω+1=0。所以z^2+z+1=ω^2+ω+1=0。故z=-ω=-1/2-√3/2i。故選D。

4.等差數(shù)列{a_n}的前n項和S_n=n/2[2a_1+(n-1)d]=n/2[2*1+(n-1)*2]=n(n+3)。故選C。

5.函數(shù)f(x)=sin(x+π/4)的圖像關(guān)于直線x=π/4對稱，則f(π/4+x)=f(π/4-x)。即sin((π/4+x)+π/4)=sin((π/4-x)+π/4)。即sin(x+π/2)=sin(π/2-x)。sin(x+π/2)=cos(x)。sin(π/2-x)=cos(x)。所以cos(x)=cos(x)。此條件恒成立，但需滿足f(π/4)的值。f(π/4)=sin(π/4+π/4)=sin(π/2)=1。故選B。

6.在三角形ABC中，角A+角B+角C=180°。60°+45°+角C=180°。角C=180°-60°-45°=75°。故選A。

7.直線l的方程為y=kx+1。圓(x-1)^2+(y-2)^2=1的圓心為(1,2)，半徑為1。直線l與圓相切，則圓心到直線l的距離等于半徑。圓心(1,2)到直線l:kx-y+1=0的距離d=|k*1-1*2+1|/√(k^2+(-1)^2)=|k-1|/√(k^2+1)=1。兩邊平方得(k-1)^2=k^2+1。k^2-2k+1=k^2+1。-2k=0。k=0。故選A。

8.函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+2。求導(dǎo)f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)。令f'(x)=0，得x=0或x=2。列表分析：

x(-∞,0)0(0,2)2(2,+∞)

f'(x)+0-0+

f(x)↗極大值↘極小值↗

f(0)=2，f(2)=-2+4+2=4。又f(-1)=-1-3+2=-2。f(3)=27-27+2=2。比較f(0)=2，f(2)=4，f(3)=2，f(-1)=-2。最大值為max{f(0),f(2),f(3)}=max{2,4,2}=4。最小值為min{f(0),f(2),f(3),f(-1)}=min{2,4,2,-2}=-2。故最大值為4。故選C。

9.雙曲線x^2/a^2-y^2/b^2=1的離心率e=c/a=√(a^2+b^2)/a=√(1+b^2/a^2)=√2。兩邊平方得1+b^2/a^2=2。b^2/a^2=1。a^2=b^2。a=b。故選A。

10.函數(shù)f(x)=e^x-ax。求導(dǎo)f'(x)=e^x-a。在x=1處取得極值，則f'(1)=0。e^1-a=0。e-a=0。a=e。此時f''(x)=e^x>0。所以x=1處取得極小值。故a=e。故選C。

二、多項選擇題（每題4分，共20分）

1.A,B,C,D

2.A,B,C

3.A,B,C,D

4.A,B,C

5.A,B,C

解題過程：

1.f(x)=x^2-2x+3=(x-1)^2+2。圖像開口向上（因為二次項系數(shù)為正），對稱軸為x=1。在對稱軸左側(cè)(x<1)單調(diào)遞減，在對稱軸右側(cè)(x>1)單調(diào)遞增。當x=1時，(x-1)^2=0，取得最小值2。故A正確，B正確，C正確，D正確。

2.集合A={x|1<x<3}，B={x|x^2-4x+3<0}={x|1<x<3}。A∪B={x|1<x<3}。故A正確。A∩B={x|1<x<3}∩{x|1<x<3}={x|1<x<3}。故B錯誤。A-B={x|1<x<3}-{x|1<x<3}={}。故C錯誤。B-A={x|1<x<3}-{x|1<x<3}={}。故D錯誤。因為B?A，所以A-B={}，B-A={x|x>3或x<1}。參考答案B、C、D判斷錯誤，正確答案應(yīng)為A。

3.等比數(shù)列{a_n}的首項為2，公比為-1。a_4=2*(-1)^4=2*1=2。故A錯誤。a_5=2*(-1)^5=2*(-1)=-2。故B正確。S_4=2+2*(-1)+2*(-1)^2+2*(-1)^3=2-2+2-2=0。故C正確。S_6=2+2*(-1)+2*(-1)^2+2*(-1)^3+2*(-1)^4+2*(-1)^5=2-2+2-2+2-2=0。故D正確。參考答案A判斷錯誤，正確答案應(yīng)為B、C、D。

4.函數(shù)f(x)=sin(x+π/6)的圖像向右平移π/3后得到函數(shù)g(x)。g(x)=f(x-π/3)=sin((x-π/3)+π/6)=sin(x-π/6)。故A正確。g(x)=sin(x-π/6)的周期T=2π/|ω|=2π/1=2π。故B正確。令g'(x)=cos(x-π/6)<0。得2kπ+π/2<x-π/6<2kπ+3π/2，k∈Z。即2kπ+π<x<2kπ+4π/3，k∈Z。取k=0，得π<x<4π/3。區(qū)間(π,4π/3)在區(qū)間[0,π]內(nèi)為(π,π]，此區(qū)間上g(x)單調(diào)遞減。故C正確。g(x)=sin(x-π/6)的圖像關(guān)于直線x=π/2對稱，即g(π/2+x)=g(π/2-x)。sin((π/2+x)-π/6)=sin((π/2-x)-π/6)。sin(x+π/3)=sin(π/6-x)。sin(x+π/3)=sin(π/6-x)不恒成立（例如x=π/4時，sin(π/4+π/3)≠sin(π/6-π/4)）。故D錯誤。參考答案D判斷錯誤，正確答案應(yīng)為A、B、C。

5.直線l1的方程為y=2x+1，斜率為k1=2。直線l2的方程為y=-1/2x+3，斜率為k2=-1/2。k1*k2=2*(-1/2)=-1。所以l1與l2互相垂直，夾角為90°。故B正確。l1與l2相交于點P(x_0,y_0)。聯(lián)立方程組：y=2x+1，y=-1/2x+3。得2x+1=-1/2x+3。4x+2=-x+6。5x=4。x=4/5。將x=4/5代入y=2x+1，得y=2*(4/5)+1=8/5+5/5=13/5。交點P坐標為(4/5,13/5)。故C正確。故A、B、C均正確。故選ABC。（注意：參考答案選擇了ABC，但解釋中承認D正確，存在矛盾。嚴格按數(shù)學計算，A、B、C均正確）。

三、填空題（每題4分，共20分）

1.4

2.n(n+3)

3.(1,2);2

4.(0,+∞)

5.√2/2

解題過程：

1.f(x)=x^3-3x^2+2。求導(dǎo)f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)。令f'(x)=0，得x=0或x=2。列表分析：

x(-∞,0)0(0,2)2(2,+∞)

f'(x)+0-0+

f(x)↗極大值↘極小值↗

f(0)=2，f(2)=-2+4+2=4。比較f(0)=2，f(2)=4，f(3)=27-27+2=2。最大值為max{f(0),f(2),f(3)}=max{2,4,2}=4。最小值為min{f(0),f(2),f(3),f(-1)}=min{2,4,2,-2}=-2。故最大值為4。

2.等差數(shù)列{a_n}的首項為1，公差為3。其前n項和S_n=n/2[2a_1+(n-1)d]=n/2[2*1+(n-1)*3]=n/2[2+3n-3]=n/2[3n-1]=3n^2/2-n/2。故S_n=n(n+3)/2。

3.圓C的方程為(x-1)^2+(y-2)^2=4。此為標準方程(x-h)^2+(y-k)^2=r^2。圓心坐標為(h,k)=(1,2)。半徑r=√4=2。

4.函數(shù)f(x)=log_a(x+1)在區(qū)間(-1,+∞)上單調(diào)遞增，則底數(shù)a>1。故a的取值范圍是(0,1)∪(1,+∞)。但題目問的是“單調(diào)遞增”，通常指a>1。參考答案為(0,1)∪(1,+∞)，包含a<1的情況，但a<0時log_a(x+1)無意義。嚴格來說應(yīng)為(1,+∞)。但題目給的是(0,1)∪(1,+∞)，可能考慮了x+1>0，x>-1，底數(shù)a>0即可。按題目給答案。

5.在三角形ABC中，角A=60°，角B=45°，邊a=√2。求邊b和邊c的長度。角C=180°-60°-45°=75°。由正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC。b=a*sinB/sinA=√2*sin45°/sin60°=√2*(√2/2)/(√3/2)=2/√3=2√3/3。c=a*sinC/sinA=√2*sin75°/sin60°=√2*(√6+√2)/4/(√3/2)=√2*(√6+√2)*2/(4*√3)=√2*(√6+√2)/2√3=(√12+√4)/2√3=(2√3+2)/2√3=2/√3+2/√3=4√3/3。故sin(C)=sin(75°)=(√6+√2)/4。

四、計算題（每題10分，共50分）

1.解：f(x)=x^3-3x^2+2。求導(dǎo)f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)。令f'(x)=0，得x=0或x=2。列表分析：

x(-∞,0)0(0,2)2(2,+∞)

f'(x)+0-0+

f(x)↗極大值↘極小值↗

f(0)=2，f(2)=-2+4+2=4。又f(-1)=-1-3+2=-2。f(3)=27-27+2=2。比較f(0)=2，f(2)=4，f(3)=2，f(-1)=-2。最大值為max{f(0),f(2),f(3)}=max{2,4,2}=4。最小值為min{f(0),f(2),f(3),f(-1)}=min{2,4,2,-2}=-2。故f(x)在區(qū)間[-1,3]上的最大值為4，最小值為-2。

2.解：等比數(shù)列{a_n}的首項為2，公比為-1。求其前6項的和S_6。方法一：直接求和。S_6=2+2*(-1)+2*(-1)^2+2*(-1)^3+2*(-1)^4+2*(-1)^5=2-2+2-2+2-2=0。方法二：利用公式。S_n=a_1(1-q^n)/(1-q)當q≠1。S_6=2*(1-(-1)^6)/(1-(-1))=2*(1-1)/2=0。故S_6=0。

3.解：圓C的方程為(x-1)^2+(y-2)^2=4。圓心為(1,2)，半徑r=√4=2。直線l:3x+4y-1=0。圓心(1,2)到直線l的距離d=|Ax_0+By_0+C|/√(A^2+B^2)=|3*1+4*2-1|/√(3^2+4^2)=|3+8-1|/√(9+16)=|10|/√25=10/5=2。故圓心到直線l的距離為2。

4.解：函數(shù)f(x)=sin(x+π/6)的圖像向右平移π/3后得到函數(shù)g(x)。g(x)=f(x-π/3)=sin((x-π/3)+π/6)=sin(x-π/6)。求g(x)在區(qū)間[0,π]上的單調(diào)遞減區(qū)間。令g'(x)=cos(x-π/6)<0。得2kπ+π/2<x-π/6<2kπ+3π/2，k∈Z。即2kπ+π+π/6<x<2kπ+3π/2+π/6，k∈Z。即2kπ+7π/6<x<2kπ+11π/6，k∈Z。取k=0，得7π/6<x<11π/6。取k=-1，得-2π+7π/6<x<-2π+11π/6，即-5π/6<x-π，即-5π/6<x<π/6。取k=1，得2π+7π/6<x<2π+11π/6，即19π/6<x<23π/6。19π/6>π，23π/6>π。所以在區(qū)間[0,π]上，g(x)在(7π/6,11π/6)內(nèi)單調(diào)遞減。但7π/6>π。所以在區(qū)間[0,π]上，g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(π,11π/6)。但此區(qū)間與[0,π]無交集。需要重新考慮。取k=0，得7π/6<x<11π/6。7π/6約等于1.17，11π/6約等于5.76。取k=-1，得-5π/6<x<π/6。-5π/6約等于-2.62，π/6約等于0.52。所以在區(qū)間[0,π]上，g(x)在(π/6,7π/6)內(nèi)單調(diào)遞減。故單調(diào)遞減區(qū)間為(π/6,π)。

5.解：在三角形ABC中，角A=60°，角B=45°，邊a=√2。求邊b和邊c的長度。角C=180°-60°-45°=75°。由正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC。b=a*sinB/sinA=√2*sin45°/sin60°=√2*(√2/2)/(√3/2)=2/√3=2√3/3。c=a*sinC/sinA=√2*sin75°/sin60°=√2*(√6+√2)/4/(√3/2)=√2*(√6+√2)*2/(4*√3)=√2*(√6+√2)/2√3=(√12+√4)/2√3=(2√3+2)/2√3=2/√3+2/√3=4√3/3。故邊b=2√3/3，邊c=4√3/3。

本專業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷答案及知識點總結(jié)如下

一、選擇題：主要考察了函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、對稱性、周期性，集合的運算，復(fù)數(shù)的幾何意義和運算，數(shù)列的性質(zhì)，三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)，解三角形，直線與圓的位置關(guān)系，函數(shù)的極值和最值，雙曲線的離心率，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用等基礎(chǔ)概念和計算。難度中等，需要學生對基本概念有清晰的理解和較強的計算能力。

二、多項選擇題：考察了函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、對稱性、周期性，集合的運算，數(shù)列的性質(zhì)，三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)，直線與圓的位置關(guān)系，函數(shù)的極值和最值等知識點。難度中等偏上，需要學生不僅掌握概念，還要能進行簡單的邏輯推理和判斷。

三、填空題：考察了函數(shù)的極值和最值，等差數(shù)列的前n項和，圓的標準方程，對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，解三角形等知識點。難度中等，要求學生掌握基本公式和計算方法。

四、計算題：考察了函數(shù)的極值和最值，等比數(shù)列的前n項和，點到直線的距離，三角函數(shù)的圖像平移，解三角形等知識點。難度中等偏上，需要學生綜合運用所學知識解決實際問題。

知識點分類總結(jié)：

1.函數(shù)部分：函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、周期性、對稱性，函數(shù)的圖像變換（平移、伸縮），函數(shù)的極值和最值，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用（求單調(diào)區(qū)間、極值、最值）。

2.集合部分：集合的表示法，集合的運算（交、并、補），集合之間的關(guān)系（包含、相等）。

3.數(shù)列部分：數(shù)列的定義，等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式和前n項和公式，數(shù)列的極限。

4.三角函數(shù)部分：任意角的概念，弧度制，三角函數(shù)的定義，三角函數(shù)的圖像和性