偏導(dǎo)數(shù)題庫及答案

一、單項選擇題（每題2分，共10題）1.函數(shù)$z=x^2+3xy+y^2$關(guān)于$x$的偏導(dǎo)數(shù)$\frac{\partialz}{\partialx}$在點$(1,2)$的值為（）A.7B.8C.9D.102.設(shè)$z=\ln(x+y)$，則$\frac{\partialz}{\partialy}$等于（）A.$\frac{1}{x+y}$B.$\frac{-1}{x+y}$C.$\frac{1}{x}$D.$\frac{1}{y}$3.函數(shù)$z=e^{xy}$，$\frac{\partialz}{\partialx}$是（）A.$e^{xy}$B.$ye^{xy}$C.$xe^{xy}$D.$xye^{xy}$4.若$z=x^y$，則$\frac{\partialz}{\partialy}$為（）A.$x^y\lnx$B.$yx^{y-1}$C.$x^y$D.$y\lnx$5.函數(shù)$z=\sin(xy)$關(guān)于$x$的偏導(dǎo)數(shù)是（）A.$y\cos(xy)$B.$x\cos(xy)$C.$\cos(xy)$D.$-\sin(xy)$6.設(shè)$z=\frac{x}{y}$，則$\frac{\partialz}{\partialx}$在$(2,1)$處的值是（）A.1B.2C.$\frac{1}{2}$D.07.函數(shù)$z=x^3+2y^2$，$\frac{\partialz}{\partialy}$在點$(1,1)$的值為（）A.2B.4C.6D.88.若$z=\ln(x^2+y^2)$，則$\frac{\partialz}{\partialx}$為（）A.$\frac{2x}{x^2+y^2}$B.$\frac{2y}{x^2+y^2}$C.$\frac{x}{x^2+y^2}$D.$\frac{y}{x^2+y^2}$9.函數(shù)$z=x\siny$，$\frac{\partialz}{\partialy}$是（）A.$x\cosy$B.$\siny$C.$x\siny$D.$-\cosy$10.設(shè)$z=e^{x+2y}$，則$\frac{\partialz}{\partialy}$等于（）A.$e^{x+2y}$B.$2e^{x+2y}$C.$e^{x}$D.$2e^{2y}$二、多項選擇題（每題2分，共10題）1.以下求偏導(dǎo)數(shù)正確的是（）A.若$z=x^2y$，則$\frac{\partialz}{\partialx}=2xy$，$\frac{\partialz}{\partialy}=x^2$B.若$z=\sin(x+y)$，則$\frac{\partialz}{\partialx}=\cos(x+y)$，$\frac{\partialz}{\partialy}=\cos(x+y)$C.若$z=\frac{1}{x+y}$，則$\frac{\partialz}{\partialx}=-\frac{1}{(x+y)^2}$，$\frac{\partialz}{\partialy}=-\frac{1}{(x+y)^2}$D.若$z=e^{x^2y}$，則$\frac{\partialz}{\partialx}=2xye^{x^2y}$，$\frac{\partialz}{\partialy}=x^2e^{x^2y}$2.對于函數(shù)$z=x^3-3x^2y+y^3$，下列說法正確的是（）A.$\frac{\partialz}{\partialx}=3x^2-6xy$B.$\frac{\partialz}{\partialy}=-3x^2+3y^2$C.在點$(1,1)$處，$\frac{\partialz}{\partialx}=-3$D.在點$(1,1)$處，$\frac{\partialz}{\partialy}=0$3.下列函數(shù)中，偏導(dǎo)數(shù)存在的有（）A.$z=x^2+y^2$B.$z=\sqrt{x^2+y^2}$C.$z=\frac{1}{x-y}$D.$z=\ln(1+x^2+y^2)$4.已知函數(shù)$z=f(x,y)$，以下能表示偏導(dǎo)數(shù)的符號有（）A.$\frac{\partialz}{\partialx}$B.$z_x$C.$\frac{\partialf}{\partialx}$D.$f_x$5.對于函數(shù)$z=\cos(xy)$，下列偏導(dǎo)數(shù)計算正確的是（）A.$\frac{\partialz}{\partialx}=-y\sin(xy)$B.$\frac{\partialz}{\partialy}=-x\sin(xy)$C.當(dāng)$x=0$，$y=1$時，$\frac{\partialz}{\partialx}=0$D.當(dāng)$x=1$，$y=0$時，$\frac{\partialz}{\partialy}=0$6.設(shè)$z=\frac{x^2}{y}$，則（）A.$\frac{\partialz}{\partialx}=\frac{2x}{y}$B.$\frac{\partialz}{\partialy}=-\frac{x^2}{y^2}$C.在點$(2,2)$處，$\frac{\partialz}{\partialx}=2$D.在點$(2,2)$處，$\frac{\partialz}{\partialy}=-1$7.函數(shù)$z=x^2y+\ln(x+y)$，則（）A.$\frac{\partialz}{\partialx}=2xy+\frac{1}{x+y}$B.$\frac{\partialz}{\partialy}=x^2+\frac{1}{x+y}$C.在點$(1,1)$處，$\frac{\partialz}{\partialx}=2+\frac{1}{2}$D.在點$(1,1)$處，$\frac{\partialz}{\partialy}=1+\frac{1}{2}$8.下列關(guān)于偏導(dǎo)數(shù)與連續(xù)關(guān)系說法正確的是（）A.函數(shù)在某點偏導(dǎo)數(shù)存在，不一定在該點連續(xù)B.函數(shù)在某點連續(xù)，則偏導(dǎo)數(shù)一定存在C.函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，則函數(shù)一定連續(xù)D.函數(shù)在某點偏導(dǎo)數(shù)不存在，則函數(shù)在該點一定不連續(xù)9.若函數(shù)$z=f(x,y)$在點$(x_0,y_0)$處可微，則（）A.函數(shù)在該點偏導(dǎo)數(shù)存在B.函數(shù)在該點連續(xù)C.函數(shù)在該點偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)D.函數(shù)在該點全增量$\Deltaz=A\Deltax+B\Deltay+o(\rho)$（其中$\rho=\sqrt{(\Deltax)^2+(\Deltay)^2}$）10.對于函數(shù)$z=\tan(x+y)$，（）A.$\frac{\partialz}{\partialx}=\sec^2(x+y)$B.$\frac{\partialz}{\partialy}=\sec^2(x+y)$C.其偏導(dǎo)數(shù)在定義域內(nèi)處處連續(xù)D.在點$(0,0)$處，$\frac{\partialz}{\partialx}=1$三、判斷題（每題2分，共10題）1.函數(shù)$z=x^2+y$，$\frac{\partialz}{\partialx}=2x$，$\frac{\partialz}{\partialy}=1$。（）2.若$z=\ln(xy)$，則$\frac{\partialz}{\partialx}=\frac{1}{x}$，$\frac{\partialz}{\partialy}=\frac{1}{y}$。（）3.函數(shù)$z=x^y$（$x>0$），關(guān)于$y$的偏導(dǎo)數(shù)是$x^y\lnx$。（）4.偏導(dǎo)數(shù)$\frac{\partialz}{\partialx}$表示函數(shù)$z=f(x,y)$沿$x$軸方向的變化率。（）5.函數(shù)$z=f(x,y)$在點$(x_0,y_0)$處偏導(dǎo)數(shù)存在，則函數(shù)在該點一定連續(xù)。（）6.若$z=\sin(x^2+y^2)$，則$\frac{\partialz}{\partialx}=2x\cos(x^2+y^2)$。（）7.函數(shù)$z=\frac{x}{x+y}$，$\frac{\partialz}{\partialx}=\frac{y}{(x+y)^2}$。（）8.對于函數(shù)$z=e^{x+y}$，$\frac{\partialz}{\partialx}=\frac{\partialz}{\partialy}=e^{x+y}$。（）9.函數(shù)$z=\sqrt{x^2+y^2}$在點$(0,0)$處偏導(dǎo)數(shù)不存在。（）10.若函數(shù)$z=f(x,y)$的偏導(dǎo)數(shù)$\frac{\partialz}{\partialx}$和$\frac{\partialz}{\partialy}$在區(qū)域$D$內(nèi)連續(xù)，則函數(shù)在$D$內(nèi)可微。（）四、簡答題（每題5分，共4題）1.求函數(shù)$z=x^2y+3xy^2$的偏導(dǎo)數(shù)$\frac{\partialz}{\partialx}$和$\frac{\partialz}{\partialy}$。答案：對$x$求偏導(dǎo)，把$y$看作常數(shù)，$\frac{\partialz}{\partialx}=2xy+3y^2$；對$y$求偏導(dǎo)，把$x$看作常數(shù)，$\frac{\partialz}{\partialy}=x^2+6xy$。2.設(shè)$z=\sin(2x+3y)$，求$\frac{\partialz}{\partialx}$和$\frac{\partialz}{\partialy}$。答案：根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，$\frac{\partialz}{\partialx}=2\cos(2x+3y)$，$\frac{\partialz}{\partialy}=3\cos(2x+3y)$。3.函數(shù)$z=\ln(x^2+y)$，求在點$(1,2)$處的偏導(dǎo)數(shù)。答案：先求$\frac{\partialz}{\partialx}=\frac{2x}{x^2+y}$，$\frac{\partialz}{\partialy}=\frac{1}{x^2+y}$。將點$(1,2)$代入，$\frac{\partialz}{\partialx}\big|_{(1,2)}=\frac{2}{3}$，$\frac{\partialz}{\partialy}\big|_{(1,2)}=\frac{1}{3}$。4.簡述偏導(dǎo)數(shù)與全導(dǎo)數(shù)的區(qū)別。答案：偏導(dǎo)數(shù)是多元函數(shù)對其中一個自變量求導(dǎo)，其他自變量視為常數(shù)；全導(dǎo)數(shù)是一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)概念的推廣，針對復(fù)合函數(shù)中自變量只有一個的情況，考慮了函數(shù)對中間變量及中間變量對自變量的導(dǎo)數(shù)關(guān)系。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論函數(shù)$z=\sqrt{x^2+y^2}$在點$(0,0)$處的偏導(dǎo)數(shù)情況，并說明其幾何意義。答案：用定義求偏導(dǎo)數(shù)，$\frac{\partialz}{\partialx}\big|_{(0,0)}=\lim\limits_{\Deltax\to0}\frac{\sqrt{(\Deltax)^2+0}-0}{\Deltax}$極限不存在，同理$\frac{\partialz}{\partialy}\big|_{(0,0)}$極限不存在。幾何意義是該函數(shù)表示的曲面在$(0,0)$處沿$x$軸和$y$軸方向切線不存在。2.舉例說明函數(shù)在某點偏導(dǎo)數(shù)存在但不連續(xù)的情況，并解釋原因。答案：如$f(x,y)=\begin{cases}\frac{xy}{x^2+y^2},&(x,y)\neq(0,0)\\0,&(x,y)=(0,0)\end{cases}$，用定義可求在$(0,0)$處偏導(dǎo)數(shù)存在。但沿$y=kx$趨近$(0,0)$時極限與$k$有關(guān)，極限不存在，所以不連續(xù)。原因是偏導(dǎo)數(shù)只考慮沿坐標(biāo)軸方向變化，不能保證函數(shù)整體連續(xù)性。3.討論多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)、可微、連續(xù)之間的關(guān)系。答案：偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)能推出可微，可微能推