第一章1.2第1課時A級基礎鞏固一、選擇題1．已知A、B兩地的距離為10km，B、C兩地的距離為20km，現(xiàn)測得∠ABC＝120°，則A、C兩地的距離為eq\x(導學號)(DA．10km B．eq\r(3)kmC．10eq\r(5)km D．10eq\r(7)km[解析]在△ABC中，AB＝10，BC＝20，∠ABC＝120°，則由余弦定理，得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos∠ABC＝100＋400－2×10×20cos120°＝100＋400－2×10×20×(－eq\f(1,2))＝700，∴AC＝10eq\r(7)，即A、C兩地的距離為10eq\r(7)2．如圖，在河岸AC測量河的寬度BC，測量下列四組數(shù)據(jù)，較適宜的是eq\x(導學號)(D)A．γ，c，α B．b，c，αC．c，α，β D．b，α，γ[解析]本題中a、c、β這三個量不易直接測量，故選D．3．一船向正北航行，看見正西方向有相距10nmlie的兩個燈塔恰好與它在一條直線上，繼續(xù)航行半小時后，看見一燈塔在船的南偏西60°方向上，另一燈塔在船的南偏西75°方向上，則這艘船的速度是每小時eq\x(導學號)(C)A．5nmlie B．5eq\r(3)nmlieC．10nmlie D．10eq\r(3)nmlie[解析]如圖，依題意有∠BAC＝60°，∠BAD＝75°，∴∠CAD＝∠CDA＝15°，從而CD＝CA＝10，在Rt△ABC中，求得AB＝5，∴這艘船的速度是eq\f(5,0.5)＝10(nmlie/h)．4．某觀察站C與兩燈塔A、B的距離分別為300m和500m，測得燈塔A在觀察站C北偏東30°，燈塔B在觀察站C正西方向，則兩燈塔A、B間的距離為eq\x(導學號)(CA．500mC．700m[解析]根據(jù)題意畫出圖形如圖．在△ABC中，BC＝500，AC＝300，∠ACB＝120°，由余弦定理得，AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC＝3002＋5002－2×300×500×(－eq\f(1,2))＝，∴AB＝700(m)．5．要直接測量河岸之間的距離(河的兩岸可視為平行)，由于受地理條件和測量工具的限制，可采用如下辦法：如圖所示，在河的一岸邊選取A、B兩點，觀察對岸的點C，測得∠CAB＝45°，∠CBA＝75°，且AB＝120m由此可得河寬為(精確到1m)eq\x(導學號)(C)A．170mC．95m[解析]在△ABC中，AB＝120，∠CAB＝45°，∠CBA＝75°，則∠ACB＝60°，由正弦定理，得BC＝eq\f(120sin45°,sin60°)＝40eq\r(6)．設△ABC中，AB邊上的高為h，則h即為河寬，∴h＝BC·sin∠CBA＝40eq\r(6)×sin75°≈95(m)．6．甲船在湖中B島的正南A處，AB＝3km，甲船以8km/h的速度向正北方向航行，同時乙船從B島出發(fā)，以12km/h的速度向北偏東60°方向駛?cè)ィ瑒t行駛15min時，兩船的距離是eq\x(導學號)A．eq\r(7)km B．eq\r(13)kmC．eq\r(19)km D．eq\r(10－3\r(3))km[解析]由題意知AM＝8×eq\f(15,60)＝2，BN＝12×eq\f(15,60)＝3，MB＝AB－AM＝3－2＝1，所以由余弦定理，得MN2＝MB2＋BN2－2MB·BNcos120°＝1＋9－2×1×3×(－eq\f(1,2))＝13，所以MN＝eq\r(13)km．二、填空題7．兩船同時從A港出發(fā)，甲船以每小時20nmile的速度向北偏東80°的方向航行，乙船以每小時12nmile的速度向北偏西40°方向航行，一小時后，兩船相距__28__nmile．eq\x(導學號)[解析]如圖，△ABC中，AB＝20，AC＝12，∠CAB＝40°＋80°＝120°，由余弦定理，得BC2＝202＋122－2×20×12×cos120°＝784．∴BC＝28nmile．8．一只蜘蛛沿東北方向爬行xcm捕捉到一只小蟲，然后向右轉(zhuǎn)105°，爬行10cm捕捉到另一只小蟲，這時它向右轉(zhuǎn)135°爬行回它的出發(fā)點，則x＝__eq\f(10\r(6),3)__cm．eq\x(導學號)[解析]如圖，由題意知，∠BAC＝75°，∠ACB＝45°．∠B＝60°，由正弦定理，得eq\f(x,sin∠ACB)＝eq\f(10,sinB)，∴x＝eq\f(10sin∠ACB,sinB)＝eq\f(10×sin45°,sin60°)＝eq\f(10\r(6),3)．三、解答題9．如圖，我炮兵陣地位于地面A處，兩觀察所分別位于地面點C和D處，已知CD＝6000m．∠ACD＝45°，∠ADC＝75°，目標出現(xiàn)于地面B處時測得∠BCD＝30°，∠BDC＝15°．求炮兵陣地到目標的距離．(結(jié)果保留根號)eq\x(導學號)[解析]在△ACD中，∠CAD＝60°，AD＝eq\f(CD·sin45°,sin60°)＝eq\f(\r(6),3)CD．在△BCD中，∠CBD＝135°，BD＝eq\f(CD·sin30°,sin135°)＝eq\f(\r(2),2)CD，∠ADB＝90°．在Rt△ABD中，AB＝eq\r(AD2＋BD2)＝eq\f(\r(42),6)CD＝1000eq\r(42)(m)．10．一艘船以32.2nmile/h的速度向正北航行．在A處看燈塔S在船的北偏東20°的方向，30min后航行到B處，在B處看燈塔在船的北偏東65°的方向，已知距離此燈塔6.5nmile以外的海區(qū)為航行安全區(qū)域，這艘船可以繼續(xù)沿正北方向航行嗎？eq\x(導學號)[解析]在△ASB中，∠SBA＝115°，∠S＝45°．由正弦定理，得SB＝eq\f(ABsin20°,sin45°)＝eq\f(16.1sin20°,sin45°)≈7．787(nmile)．設點S到直線AB的距離為h，則h＝SBsin65°≈7．06(nmile)．∵h>6．5nmile，∴此船可以繼續(xù)沿正北方向航行．B級素養(yǎng)提升一、選擇題1．已知船A在燈塔C北偏東85°且到C的距離為2km，船B在燈塔C西偏北25°且到C的距離為eq\r(3)km，則A、B兩船的距離為eq\x(導學號)(D)A．2eq\r(3)km B．3eq\r(2)kmC．eq\r(15)km D．eq\r(13)km[解析]如圖可知∠ACB＝85°＋(90°－25°)＝150°，AC＝2，BC＝eq\r(3)，∴AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC∴AB＝eq\r(13)．2．一船自西向東勻速航行，上午10時到達一座燈塔P的南偏西75°距塔68nmile的M處，下午2時到達這座燈塔的東南方向的N處，則這只船的航行速度為eq\x(導學號)(A)A．eq\f(17\r(6),2)nmile/h B．34eq\r(6)nmile/hC．eq\f(17\r(2),2)nmile/h D．34eq\r(2)nmile/h[解析]如圖所示，在△PMN中，eq\f(PM,sin45°)＝eq\f(MN,sin120°)，∴MN＝eq\f(68×\f(\r(3),2),\f(\r(2),2))＝34eq\r(6)，∴v＝eq\f(MN,4)＝eq\f(17\r(6),2)(nmile/h)．3．如圖，貨輪在海上以40km/h的速度沿著方位角(從指北方向順時針轉(zhuǎn)到目標方向線的水平角)為140°的方向航行．為了確定船的位置，船在B點觀測燈塔A的方位角為110°，航行eq\f(1,2)h到達C點，觀測燈塔A的方位角是65°，則貨輪到達C點時，與燈塔A的距離是eq\x(導學號)(B)A．10km B．10eq\r(2)C．15km D．15eq\r(2)[解析]在△ABC中，BC＝40×eq\f(1,2)＝20(km)，∠ABC＝140°－110°＝30°，∠ACB＝(180°－140°)＋65°＝105°，則A＝180°－(30°＋105°)＝45°．由正弦定理，得AC＝eq\f(BC·sin∠ABC,sinA)＝eq\f(20·sin30°,sin45°)＝10eq\r(2)(km)．二、填空題4．海上一觀測站測得方位角240°的方向上有一艘停止航行待修的商船，在商船的正東方有一艘海盜船正向它靠近，速度為每小時90nmile．此時海盜船距觀測站10eq\r(7)nmile，20min后測得海盜船距觀測站20nmlie，再過__eq\f(40,3)__min，海盜船到達商船．eq\x(導學號)[解析]如下圖，設開始時觀測站、商船、海盜船分別位于A、B、C處，20min后，海盜船到達D處，在△ADC中，AC＝10eq\r(7)，AD＝20，CD＝30，由余弦定理，得cos∠ADC＝eq\f(AD2＋CD2－AC2,2AD·CD)＝eq\f(400＋900－700,2×20×30)＝eq\f(1,2)．∴∠ADC＝60°，在△ABD中，由已知得∠ABD＝30°，∠BAD＝60°－30°＝30°，∴BD＝AD＝20，eq\f(20,90)×60＝eq\f(40,3)(min)．5．如圖，一艘船上午8∶00在A處測得燈塔S在它的北偏東30°處，之后它繼續(xù)沿正北方向勻速航行，上午8∶30到達B處，此時又測得燈塔S在它的北偏東75°處，且與它相距4eq\r(2)nmile，則此船的航行速度是__16__nmile/h．eq\x(導學號)[解析]在△ABS中，∠A＝30°，∠ABS＝105°，∴∠ASB＝45°，∵BS＝4eq\r(2)，eq\f(BS,sinA)＝eq\f(AB,sin∠ASB)，∴AB＝eq\f(BS·sin∠ASB,sinA)＝eq\f(4\r(2)×\f(\r(2),2),\f(1,2))＝8，∵上午8∶00在A地，8∶30在B地，∴航行0．5小時的路程為8nmile，∴此船的航速為16nmile/h．三、解答題6．如圖，為了解某海域海底構造，在海平面內(nèi)一條直線上的A、B、C三點進行測量，已知AB＝50m，BC＝120m，于A處測得水深AD＝80m，于B處測得水深BE＝200m，于C處測得水深CF＝110m，求[解析]由題意可得DE2＝502＋1202＝1302，DF2＝1702＋302＝29800，EF2＝1202＋902＝1502，由余弦定理，得cos∠DEF＝eq\f(16,65)．C級能力拔高1．為了測量兩山頂M、N間的距離，飛機沿水平方向在A、B兩點進行測量，A、B、M、N在同一個鉛垂平面內(nèi)(如圖)．能夠測量的數(shù)據(jù)有俯角和A、B間的距離．請設計一個方案，包括：①指出需要測量的數(shù)據(jù)(用字母表示，并在圖中標出)；②用文字和公式寫出計算M、N間的距離的步驟．eq\x(導學號)[解析]方案一：①需要測量的數(shù)據(jù)有：點A到點M、N的俯角α1、β1；點B到點M、N的俯角α2、β2；A、B間的距離d(如圖)．②第一步：計算AM，由正弦定理，得AM＝eq\f(dsinα2,sinα1＋α2)；第二步：計算AN，由正弦定理，得AN＝eq\f(dsinβ2,sinβ2－β1)；第三步：計算MN，由余弦定理，得MN＝eq\r(AM2＋AN2－2AM·ANcosα1－β1)．方案二：①需要測量的數(shù)據(jù)有：點A到點M、N的俯角α1、β1；點B到點M、N的俯角α2、β2；A、B間的距離d(如圖)．②第一步：計算BM，由正弦定理，得BM＝eq\f(dsinα1,sinα1＋α2)；第二步：計算BN，由正弦定理，得BN＝eq\f(dsinβ1,sinβ2－β1)；第三步：計算MN，由余弦定理，得MN＝eq\r(BM2＋BN2＋2BM·BNcosβ2＋α2)．2．已知海島B在海島A的北偏東45°方向上，A、B相距10nmile，小船甲從海島B以2nmile/h的速度沿直線向海島A移動，同時小船乙從海島A出發(fā)沿北偏西15°方向也以2nmile/h的速度移動．eq\x(導學號)(1)經(jīng)過1h后，甲、乙兩小船相距多少海里？(2)在航行過程中，小船甲是否可能處于小船乙的正東方向？若可能，請求出所需時間，若不可能，請說明理由．[解析]經(jīng)過1h后，甲船到達M點，乙船到達N點，AM＝10－2＝8，AN＝2，∠MAN＝60°，所以MN2＝AM2＋AN2－2AM·ANcos60°＝64＋4－2×8×2×eq\f(1,2)＝52．所以MN＝2eq\r(13)．所以經(jīng)過1h后，甲、乙兩小船相距2eq\r(13)