專(zhuān)題12分離法考向考向一解決不等式恒成立或有解問(wèn)題【方法儲(chǔ)備】1.利用分離參數(shù)法來(lái)確定不等式fx,a≥0，x∈D恒成立或有解問(wèn)題中參數(shù)第一步：參數(shù)與變量分離，化為f1a≥第二步：求f2xmax或f第三步：解f1a≥f2x2.分離參數(shù)法可以避免對(duì)參數(shù)范圍的討論，簡(jiǎn)化解題過(guò)程，但需注意兩點(diǎn)：①函數(shù)是否可以分離參數(shù)，②如果變性后得到的函數(shù)形式太復(fù)雜，則不宜采用參變分離法。3.常見(jiàn)單變量不等式問(wèn)題的最值轉(zhuǎn)化：

（1）?x∈D,則fx>a恒成立（2）?x∈D,則fx>a恒成立（3）?x∈D,則fx<a恒成立?fxmax<a;

（4）?x∈D,則fx<a恒成立?fxmin<a;

（5）特別說(shuō)明:?x∈D，fx>gx理由:fx和gx自變量都是x,自變量一樣是一個(gè)函數(shù)的問(wèn)題,不能分為兩個(gè)函數(shù)理解.

4.常見(jiàn)雙變量不等式問(wèn)題的最值轉(zhuǎn)化：

（1）?x1∈（2）?x1∈D1（3）?x1、（4）?x1、（5）?x1∈D1,?（6）?x1∈D1,?x2∈【典例精講】例1.(2023·江西省·月考試卷)已知對(duì)一切x∈[2,3]，y∈[3,6]，不等式mx2?xy+y2≥0恒成立，則實(shí)數(shù)A.m≤6 B.?6≤m≤0 C.m≥0 D.0≤m≤6解：∵x∈[2,3]，y∈[3,6]，則1x∴y又∵mx2?xy+可得m≥y令t=yx∈1,3，則原題意等價(jià)于對(duì)一切∵y=t?t2的開(kāi)口向下，對(duì)稱(chēng)軸則當(dāng)t=1時(shí)，y=t?t2取到最大值故實(shí)數(shù)m的取值范圍是m≥0．故選：C．【拓展提升】練11(2023·福建省·單元測(cè)試)設(shè)實(shí)數(shù)m>0，若對(duì)任意的正實(shí)數(shù)x，不等式emx?ln?xm恒成立，則mA.1e B.12e C.2e D.e3

解：因?yàn)閷?shí)數(shù)m>0，

當(dāng)0<x?1時(shí)，不等式emx?ln?xm恒成立；

當(dāng)x>1時(shí)，不等式emx?ln?xm，

即memx≥lnx，mxemx?xln?x=elnx·lnx;

設(shè)g(x)=xex(x>0)，則g′(x)=ex(x+1)；

當(dāng)x>0時(shí)，g′(x)>0，g(x)單調(diào)遞增，

故不等式mxemx?elnx·lnx等價(jià)于g(mx)?g(lnx)，

即練12(2022·江蘇省模擬)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且an>0，2Sn=an解：因?yàn)?Sn=an2+an，故2Sn+1=an+12+an+1，

兩式相減得：2an+1=an+12?an+an+1?an，

即an+1+anan+1?an?1=0，又因?yàn)閍n>0，所以an+1?an=1，又a1=1，

故數(shù)列{an}是1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，所以an=n;

由不等式考向二考向二解決函數(shù)零點(diǎn)、方程根的問(wèn)題【方法儲(chǔ)備】利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點(diǎn)、方程根的問(wèn)題的方法：（1）直接法：先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的方法求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值，根據(jù)函數(shù)的基本性質(zhì)做出圖像，然后將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖像與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)問(wèn)題，（2）構(gòu)造新函數(shù)法：將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為研究?jī)珊瘮?shù)圖像的交點(diǎn)問(wèn)題（3）分離參數(shù)法：由f(x)=0分離變量得出a=g(x)，將問(wèn)題等價(jià)轉(zhuǎn)化為直線y=a與函數(shù)y=g(x)【典例精講】例2.(2022·河北省模擬)已知函數(shù)f(x)=3+2axlnx(a∈R)圖象上存在點(diǎn)M，函數(shù)g(x)=2?4aeln(2?x)(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))圖象上存在點(diǎn)N，且M，N關(guān)于點(diǎn)(1,1)對(duì)稱(chēng)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(

)A.(0,32e] B.[32e,+∞)解：因?yàn)楹瘮?shù)g(x)=2?4aeln(2?x)與函數(shù)y=4aelnx的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,1)對(duì)稱(chēng)，

由題意可知：方程3+2axlnx=4aelnx有解，顯然a≠0，所以問(wèn)題轉(zhuǎn)化為(x?2e)lnx=?32a有解，

設(shè)?(x)=(x?2e)lnx，則?'(x)=lnx+1?2ex為增函數(shù)且?'(e)=0，

所以?(x)在(0,e)上單調(diào)遞減，在(e,+∞)上單調(diào)遞增，且所以?32a≥?(e)=?e，

所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是(?∞,0)∪[32e，+∞)【拓展提升】練21(2023·江蘇省·模擬題)若函數(shù)f(x)=m?x2+2ln?x在[1e2A.(1,e2?2] B.[4+1e4,e2?2] C.(1,4+1e4] D.1,+∞

解：函數(shù)f(x)定義域?yàn)?,+∞，

令f(x)=0可得m=x2?2lnx，

令g(x)=x2?2lnx，x∈[1e2,e]，

則g′(x)=2x?2x=2x2?2x，

∴當(dāng)1e2≤x≤1時(shí)，g′(x)≤0，當(dāng)1<x≤e時(shí)，g′(x)>0，練22(2022·廣東省月考)已知f(x)=(1)討論f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)g(x)=2x2，若曲線y=f(x)和y=g(x)在1解：(1)函數(shù)f(x)=lnx+xf'(x)=1x+2x+a=2x2①當(dāng)?22≤a≤22此時(shí)f'(x)≥0恒成立，則函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增；②當(dāng)a<?22時(shí)，即2x2+ax+1=0的兩個(gè)根為當(dāng)x∈(0,?a?a2?84當(dāng)x∈(?a?a2?84當(dāng)x∈(?a+a2?84③當(dāng)a>22時(shí)，即2x2+ax+1=0的兩個(gè)根為此時(shí)f'(x)>0恒成立，則函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增；綜上：當(dāng)a<?22時(shí)，f(x)的增區(qū)間為(0,?a?a2?8當(dāng)a≥?22時(shí)，f(x)的增區(qū)間為(0,+∞)由題可知f(x)=g(x