高一暑假作業(yè)1：集合與常用邏輯、不等式、復(fù)數(shù)（北師大版）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.(2024·江西省·單元測(cè)試)已知全集R，，，則圖中陰影部分表示的集合為(

)

A. B. C. D.2.(2024·湖南省邵陽(yáng)市·月考試卷)命題“，”的否定是(

)A.， B.，

C.， D.不存在，3.(2024·浙江省湖州市·單元測(cè)試)設(shè)“，”，“”，則p是q成立的(

)A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充要條件 D.既不充分也不必要條件4.(2024·江蘇省·聯(lián)考題)已知，，且，則的最大值為(

)A. B. C. D.5.(2023·湖南省長(zhǎng)沙市·期末考試)已知不等式解集為，下列結(jié)論正確的是(

)A. B. C. D.6.(2023·湖北省咸寧市·期末考試)歐拉公式把自然對(duì)數(shù)的底數(shù)e、虛數(shù)單位i和三角函數(shù)聯(lián)系在一起，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的和諧美，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)中的天橋”.若復(fù)數(shù)，則(

)A. B. C. D.17.(2023·江蘇省蘇州市·期末考試)已知的定義域?yàn)锳，集合，若，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(

)A. B.

C. D.8.(2023·湖南省岳陽(yáng)市·期末考試)已知且恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為(

)A. B.

C. D.二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.(2024·寧夏回族自治區(qū)銀川市·月考試卷)對(duì)實(shí)數(shù)a，b，c，d，下列命題中正確的是(

)A.若，則

B.若，，則

C.若，，則

D.是的充要條件10.(2024·廣東省·月考試卷)已知，則下列說(shuō)法正確的有(

)A.若為實(shí)數(shù)，則

B.的共軛復(fù)數(shù)是

C.的最小值是4

D.滿足的復(fù)數(shù)z在復(fù)平面上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)Z的集合是以為圓心，以1為半徑的圓．11.(2024·全國(guó)·同步練習(xí))已知關(guān)于x的一元二次不等式的解集中有且僅有2個(gè)整數(shù)，則實(shí)數(shù)m的值可以是A.3 B.4 C.5 D.6三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.(2023·陜西省渭南市·期末考試)若“”是“”的必要不充分條件，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是__________.13.(2023·湖北省武漢市·期末考試)若復(fù)數(shù)z滿足，其中i是虛數(shù)單位，則z的共軛復(fù)數(shù)__________.14.(2024·浙江省·單元測(cè)試)已知是關(guān)于x的二次方程的兩根，則的大小關(guān)系是__________.四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。15.本小題13分

在①，②，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下列橫線中，求解下列問(wèn)題.

設(shè)集合___，集合

若集合B的子集有2個(gè)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

若，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.16.(2023·江西省上饒市·期末考試)本小題15分已知復(fù)數(shù)，其中i為虛數(shù)單位．若z是純虛數(shù)，求實(shí)數(shù)m的值；若，z是關(guān)于x的實(shí)系數(shù)方程的一個(gè)復(fù)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的值．17.(2024·江蘇省揚(yáng)州市·單元測(cè)試)本小題15分已知“，使等式成立”是真命題．求實(shí)數(shù)m的取值集合M；設(shè)不等式的解集為N，若是的必要條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．18.(2024·河北省保定市·模擬題)本小題17分為宣傳2023年杭州亞運(yùn)會(huì)，某公益廣告公司擬在一張矩形海報(bào)紙記為矩形ABCD，如圖上設(shè)計(jì)四個(gè)等高的宣傳欄欄面分別為兩個(gè)等腰三角形和兩個(gè)全等的直角三角形且，宣傳欄圖中陰影部分的面積之和為為了美觀，要求海報(bào)上所有水平方向和豎直方向的留空寬度均為10cm，設(shè)當(dāng)時(shí)，求海報(bào)紙的面積；為節(jié)約成本，應(yīng)如何選擇海報(bào)紙的尺寸，可使用紙量最少即矩形ABCD的面積最??？19.(2024·湖北省黃岡市·月考試卷)本小題17分設(shè)若不等式對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；在的條件下，求的最小值；解關(guān)于x的不等式

1.【答案】A

【解析】【分析】本題考查Venn圖，屬于基礎(chǔ)題．

圖中陰影部分區(qū)域可表示為，計(jì)算可得集合A與，對(duì)其求交集可得答案．【解答】

解：根據(jù)題意，圖中陰影部分區(qū)域表示為，

因?yàn)椋?，則或，

則，

故選2.【答案】A

【解析】【分析】本題主要考查存在量詞命題的否定，屬于基礎(chǔ)題型.

根據(jù)存在量詞命題的否定為全稱量詞命題，直接得出結(jié)果.【解答】解：根據(jù)存在量詞命題的否定為全稱量詞命題可知：

命題“，”的否定是“，”.故選3.【答案】A

【解析】【分析】本題考查必要條件、充分條件與充要條件的判斷、全稱命題真假的判定、不等式恒成立問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題.

求出命題p為真命題時(shí)m的取值范圍，再根據(jù)充分、必要條件的判斷求出結(jié)果.【解答】

解：命題p：，是真命題時(shí)，滿足，

解得，

因?yàn)椋?/p>

所以p是q成立的充分不必要條件.

故選4.【答案】D

【解析】【分析】本題考查基本不等式求最值，屬于中檔題.

由，從而，由此利用基本不等式能求出的最大值．【解答】

解：，，，

所以當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號(hào)，

的最大值為

故答案選：5.【答案】C

【解析】【分析】本題考查二次不等式的解法，考查推理能力和計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

利用二次函數(shù)的性質(zhì)和一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系逐個(gè)判斷即可.【解答】

解：因?yàn)椴坏仁降慕饧癁?，故相?yīng)的二次函數(shù)的圖象開(kāi)口向下，

所以，故A錯(cuò)誤；易知2和是方程的兩個(gè)根，

則有，，

又，故，故B、D錯(cuò)誤；結(jié)合相應(yīng)的二次函數(shù)知識(shí)可得：當(dāng)時(shí)，，故C正確.

故選6.【答案】B

【解析】【分析】本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算，復(fù)數(shù)的三角表示，復(fù)數(shù)的模，屬于基礎(chǔ)題.

根據(jù)歐拉公式化簡(jiǎn)化簡(jiǎn)z，再求模即可.【解答】

解：由，得，，

，所以7.【答案】B

【解析】【分析】本題考查集合關(guān)系中參數(shù)的取值范圍，考查子集概念，函數(shù)的定義域，屬于一般題.

依題意，求得A，討論、、三種情況時(shí)的集合B，根據(jù)，可得關(guān)于a的不等式，即可求得結(jié)果.【解答】

解：令，解得或，

故或，

又集合，

當(dāng)時(shí)，，滿足；

當(dāng)時(shí)，，

若，則，解得，

又，則；

當(dāng)時(shí)，，

若，則，解得，

又，則，

綜上：實(shí)數(shù)a的取值范圍是

故選8.【答案】C

【解析】【分析】本題主要考查了不等式的恒成立問(wèn)題及基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題.

利用對(duì)數(shù)運(yùn)算可得出且a、b均為正數(shù)，利用基本不等式求出的最小值，可得出關(guān)于實(shí)數(shù)m的不等式，解之即可.【解答】解：因?yàn)?，則且a、b均為正數(shù)，由基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，因?yàn)楹愠闪?，所以?/p>

所以，即，解得故選：9.【答案】BC

【解析】解：對(duì)于A，若，則，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B，，由不等式的同向可加性可得，故B正確；

對(duì)于C，，由不等式的同向可加性可得，故C正確；

對(duì)于D，若，明顯，不能得出，充分性不成立，故D錯(cuò)誤．

故選：

利用不等式的性質(zhì)一一判定即可．

本題主要考查了不等式性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．10.【答案】AC

【解析】【分析】本題考查復(fù)數(shù)的概念，考查共軛復(fù)數(shù)及復(fù)數(shù)模的概念，考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，復(fù)數(shù)的幾何意義等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題.

根據(jù)復(fù)數(shù)的相關(guān)性質(zhì)，逐一分析各選項(xiàng)即可.【解答】

解：對(duì)于A選項(xiàng)，令，得，

則有，解得，故A正確；

對(duì)于B選項(xiàng)，，

其共軛復(fù)數(shù)是，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C選項(xiàng)，，

當(dāng)時(shí)，上式不等式成立，即的最小值為4，故C正確；

對(duì)于D選項(xiàng)，令，由，

得，

即，

故滿足的復(fù)數(shù)z在復(fù)平面上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)Z的集合是以為圓心，以1為半徑的圓，故D錯(cuò)誤；

故答案選：11.【答案】BC

【解析】【分析】本題考查一元二次不等式的解，以及二次函數(shù)的性質(zhì)，屬中檔題.

設(shè)，其圖象是開(kāi)口向上對(duì)稱軸為的拋物線，由題意利用數(shù)形結(jié)合的方法可得關(guān)于m的不等式組，求解即可.

【解答】

解：設(shè)，其圖象開(kāi)口向上，對(duì)稱軸是直線，如圖所示.

若關(guān)于x的一元二次不等式的解集中有且僅有2個(gè)整數(shù)，

則，可得，

解得，

所以實(shí)數(shù)m的值可以是4，

故選12.【答案】

【解析】【分析】本題考查了充分不必要條件的應(yīng)用，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．

由是“”的必要不充分條件，得即可．【解答】

解：由“”是“”的必要不充分條件，

，

，即k的取值范圍為

故答案為：13.【答案】

【解析】【分析】本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算、共軛復(fù)數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.【解答】

解：由，得，

解得，

14.【答案】

【解析】【分析】

本題考查一元二次函數(shù)的圖象、方程的根，屬基礎(chǔ)題.

結(jié)合一元二次函數(shù)的圖象即可解答.

【解答】

解：，為的兩根，

，為與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).

，b為的根，

，b為與交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，

15.【答案】解：因?yàn)榧螧的子集有2個(gè)，

所以集合B的元素個(gè)數(shù)為1，

所以，

解得；

選①，

集合，

集合，

因?yàn)?，所以?/p>

顯然，

要滿足條件，必有：，

解得

【解析】本題考查了并集及其運(yùn)算，子集與真子集，考查了集合關(guān)系中的參數(shù)取值問(wèn)題，屬于中檔題.

由題意可得集合B的元素個(gè)數(shù)為1，再根據(jù)就可求出a的值；

選①；求出集合A、B，根據(jù)題意可得且即可求出a的取值范圍.16.【答案】解：因?yàn)閺?fù)數(shù)是純虛數(shù)，

所以，解得：

當(dāng)時(shí)，

因?yàn)閦是關(guān)于x的實(shí)系數(shù)方程的一個(gè)復(fù)數(shù)根，

所以z的共軛復(fù)數(shù)也是實(shí)系數(shù)方程的根，

所以，，解得：，，

故

【解析】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，考查復(fù)數(shù)相等的求法，屬于中檔題．

直接由實(shí)部為0且虛部不為0列式求解．

根據(jù)是方程的另一根，利用根與系數(shù)的關(guān)系可求出答案17.【答案】解：由題意知，由，得故由是的必要條件，知，①當(dāng)，即時(shí)，，則解得，②當(dāng)，即時(shí)，，則解得，③當(dāng)，即時(shí)，，不滿足，綜上可得，實(shí)數(shù)a的取值范圍為

【解析】本題考查了必要條件，不等式的解法、存在量詞命題，屬于中檔題．

命題：“，不等式成立”可得即可求解；

由是的必要條件，可得，討論、以及，即可得出結(jié)果．18.【答案】解：宣傳欄圖中陰影部分的面積之和為，，

則直角三角形的高為120cm，

又海報(bào)上所有水平方向和豎直方向的留空寬度均為10cm，

，

，

故海報(bào)面積為

，宣傳欄圖中陰影部分的面積之和為，

直角三角形的高為，

海報(bào)上所有水平方向和豎直方向的留空寬度均為10cm，

海報(bào)寬，海報(bào)長(zhǎng)，

故

，

當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，

故當(dāng)海報(bào)紙寬為140cm，長(zhǎng)為350cm，可使用紙量最少.

【解析】本題考查基本不等式的實(shí)際應(yīng)用，考查函數(shù)模型應(yīng)用，屬于中檔題.求出AD、AB的長(zhǎng)，即可求得海報(bào)面積；由條件可得，利用基本不等式即可求得結(jié)果.19.【答案】解：

故，

時(shí)，，不滿足題意；

時(shí)，則，

綜上所述，

由可知，

，

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成