浙江省八年級數(shù)學期中測試卷卷首語親愛的同學：期中考試是對半個學期學習成果的階段性檢驗，旨在考查你對八年級上冊核心知識點的掌握情況及數(shù)學能力的發(fā)展水平。本試卷依據(jù)《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》編制，覆蓋三角形、全等三角形、軸對稱、整式的乘法與因式分解、分式等重點內(nèi)容，注重基礎與能力結(jié)合、知識與應用融合。請你認真審題、規(guī)范答題，發(fā)揮出最佳水平！祝你取得好成績！一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.分式$\dfrac{1}{x-1}$有意義的條件是（）A.$x\neq0$B.$x\neq1$C.$x\neq-1$D.$x\neq2$解析：分式有意義的充要條件是分母不為零。$\dfrac{1}{x-1}$的分母為$x-1$，故$x-1\neq0$，即$x\neq1$。選B。2.下列圖形中，是軸對稱圖形的是（）A.平行四邊形B.直角三角形C.圓D.梯形解析：軸對稱圖形是指沿一條直線折疊后，直線兩旁的部分能完全重合的圖形。圓有無數(shù)條對稱軸，是軸對稱圖形；平行四邊形、直角三角形（非等腰）、梯形（非等腰）均不是軸對稱圖形。選C。3.計算$(2a-3b)(2a+3b)$的結(jié)果是（）A.$4a^2-9b^2$B.$4a^2+9b^2$C.$2a^2-3b^2$D.$2a^2+3b^2$解析：本題考查平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$。原式中$a=2a$，$b=3b$，故結(jié)果為$(2a)^2-(3b)^2=4a^2-9b^2$。選A。4.三角形的兩邊長分別為4和7，第三邊的長是整數(shù)，則第三邊的最大值是（）A.10B.11C.12D.13解析：根據(jù)三角形三邊關(guān)系，第三邊$x$滿足$7-4<x<7+4$，即$3<x<11$。因$x$為整數(shù)，故最大值為10。選A。5.下列條件中，不能判定$\triangleABC\cong\triangleDEF$的是（）A.$AB=DE$，$BC=EF$，$AC=DF$（SSS）B.$AB=DE$，$\angleB=\angleE$，$BC=EF$（SAS）C.$\angleA=\angleD$，$\angleB=\angleE$，$AB=DE$（ASA）D.$AB=DE$，$\angleA=\angleD$，$BC=EF$（SSA）解析：全等三角形的判定定理為SSS、SAS、ASA、AAS。SSA（兩邊及其中一邊的對角對應相等）無法保證三角形全等。選D。6.因式分解$x^2-6x+9$的結(jié)果是（）A.$(x-3)^2$B.$(x+3)^2$C.$(x-6)^2$D.$(x+6)^2$解析：本題考查完全平方公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$。$x^2-6x+9=x^2-2\cdotx\cdot3+3^2=(x-3)^2$。選A。7.化簡$\dfrac{x^2-4}{x+2}$的結(jié)果是（）A.$x-2$B.$x+2$C.$(x-2)^2$D.$(x+2)^2$解析：分子因式分解為$(x+2)(x-2)$，與分母約分后得$x-2$（注意$x\neq-2$）。選A。8.如圖，$\triangleABC$中，$\angleA=50^\circ$，$\angleB=30^\circ$，則$\angleACD$的度數(shù)是（）（圖：$\triangleABC$，延長$BC$至$D$，連接$AD$）A.$70^\circ$B.$80^\circ$C.$90^\circ$D.$100^\circ$解析：$\angleACD$是$\triangleABC$的外角，外角等于不相鄰兩內(nèi)角之和，故$\angleACD=\angleA+\angleB=50^\circ+30^\circ=80^\circ$。選B。9.點$P(2,3)$關(guān)于$y$軸的對稱點坐標是（）A.$(-2,3)$B.$(2,-3)$C.$(-2,-3)$D.$(3,2)$解析：關(guān)于$y$軸對稱的點，縱坐標不變，橫坐標互為相反數(shù)。故$P(2,3)$的對稱點為$(-2,3)$。選A。10.觀察下列等式：$(x-1)(x+1)=x^2-1$；$(x-1)(x^2+x+1)=x^3-1$；$(x-1)(x^3+x^2+x+1)=x^4-1$；……則$(x-1)(x^n+x^{n-1}+\cdots+x+1)$的結(jié)果是（）A.$x^{n+1}-1$B.$x^{n-1}-1$C.$x^n+1$D.$x^n-1$解析：通過觀察前三個等式，規(guī)律為左邊乘式的結(jié)果等于$x$的（次數(shù)+1）次方減1。故$(x-1)(x^n+\cdots+1)=x^{n+1}-1$。選A。二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）11.分式$\dfrac{x-3}{x+2}$的值為零，則$x=$______。解析：分式值為零的條件是分子為零且分母不為零。$x-3=0$得$x=3$，此時分母$3+2=5\neq0$，故$x=3$。答案：312.等腰三角形的兩邊長為5和7，則其周長為______。解析：等腰三角形兩邊長為5和7，分兩種情況：腰長為5，底邊長為7，周長為$5+5+7=17$；腰長為7，底邊長為5，周長為$7+7+5=19$。答案：17或1913.如圖，$\triangleABC\cong\triangleDEF$，若$AB=5$，$BC=3$，則$DE=$______。解析：全等三角形對應邊相等，$AB$與$DE$是對應邊（由全等符號順序可知），故$DE=AB=5$。答案：514.因式分解$3x^2-12$=______。解析：先提公因式3，得$3(x^2-4)$，再用平方差公式分解為$3(x+2)(x-2)$。答案：$3(x+2)(x-2)$15.分式方程$\dfrac{1}{x-1}=\dfrac{2}{x}$的解是______。解析：去分母得$x=2(x-1)$，解得$x=2$。檢驗：$x=2$時，分母$2-1=1\neq0$，$x=2\neq0$，故解為$x=2$。答案：$x=2$16.某工程隊計劃用$x$天完成一項工程，若每天多完成$\dfrac{1}{10}$，則可提前______天完成（用分式表示）。解析：原計劃每天完成$\dfrac{1}{x}$，每天多完成$\dfrac{1}{10}$后，每天完成$\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{10x}=\dfrac{11}{10x}$，所需天數(shù)為$\dfrac{10x}{11}$，提前天數(shù)為$x-\dfrac{10x}{11}=\dfrac{x}{11}$。答案：$\dfrac{x}{11}$三、解答題（本大題共8小題，共52分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17.（本題6分）計算：$(a+2)^2-a(a-3)$解析：先展開完全平方，再去括號合并同類項。解答：原式$=a^2+4a+4-(a^2-3a)$$=a^2+4a+4-a^2+3a$$=7a+4$評分標準：展開完全平方得2分，去括號得2分，合并同類項得2分。18.（本題6分）因式分解：（1）$x^3-2x^2$；（2）$x^2-4xy+4y^2$解析：（1）提公因式$x^2$；（2）用完全平方公式。解答：（1）$x^3-2x^2=x^2(x-2)$；（2）$x^2-4xy+4y^2=(x-2y)^2$。評分標準：每小題3分，（1）提公因式正確得3分；（2）識別完全平方并分解正確得3分。19.（本題6分）化簡求值：$\dfrac{x^2-1}{x+1}\div(x-1)$，其中$x=2$。解析：先化簡分式，再代入求值。解答：原式$=\dfrac{(x+1)(x-1)}{x+1}\cdot\dfrac{1}{x-1}$$=1$（$x\neq\pm1$）當$x=2$時，原式$=1$。評分標準：因式分解得2分，約分得2分，代入求值得2分（注：化簡后結(jié)果為常數(shù)，無論$x$取何值均為1，需強調(diào)$x\neq\pm1$）。20.（本題6分）如圖，已知$AB=CD$，$\angleABC=\angleDCB$，求證：$\triangleABC\cong\triangleDCB$。（圖：$\triangleABC$和$\triangleDCB$，共邊$BC$，$AB=CD$，$\angleABC=\angleDCB$）解析：利用SAS判定全等（兩邊及其夾角對應相等）。證明：在$\triangleABC$和$\triangleDCB$中，$\begin{cases}AB=CD\quad(\text{已知})\\\angleABC=\angleDCB\quad(\text{已知})\\BC=CB\quad(\text{公共邊})\end{cases}$$\therefore\triangleABC\cong\triangleDCB$（SAS）。評分標準：列出全等條件得4分（每條件1分，公共邊1分），寫出全等結(jié)論及判定定理得2分。21.（本題8分）如圖，在平面直角坐標系中，$\triangleABC$的頂點坐標為$A(1,2)$，$B(3,1)$，$C(2,3)$。（1）作出$\triangleABC$關(guān)于$x$軸的對稱圖形$\triangleA'B'C'$，并寫出頂點$A'$、$B'$、$C'$的坐標；（2）求$\triangleABC$的面積。解析：（1）關(guān)于$x$軸對稱的點，橫坐標不變，縱坐標互為相反數(shù)；（2）用坐標法求面積（如矩形面積減去周圍三角形面積）。解答：（1）$\triangleA'B'C'$的頂點坐標：$A'(1,-2)$，$B'(3,-1)$，$C'(2,-3)$；（2）用矩形法計算面積：以$A(1,2)$、$B(3,2)$、$C(3,3)$、$D(1,3)$為頂點作矩形，面積為$2\times1=2$；周圍三個三角形面積分別為：$\triangleABD$：$\dfrac{1}{2}\times2\times1=1$；$\triangleBCD$：$\dfrac{1}{2}\times1\times1=0.5$；$\triangleACD$：$\dfrac{1}{2}\times1\times1=0.5$；$\therefore\triangleABC$面積$=2-1-0.5-0.5=1$。評分標準：（1）每坐標1分，共3分；（2）矩形法思路正確得3分，計算正確得2分。22.（本題8分）在$\triangleABC$中，$AB=AC$，$\angleA=40^\circ$，$BD$平分$\angleABC$交$AC$于點$D$，求$\angleBDC$的度數(shù)。解析：先求等腰三角形底角，再利用角平分線及外角性質(zhì)求$\angleBDC$。解答：$\becauseAB=AC$，$\angleA=40^\circ$，$\therefore\angleABC=\angleACB=\dfrac{180^\circ-40^\circ}{2}=70^\circ$。$\becauseBD$平分$\angleABC$，$\therefore\angleABD=\dfrac{1}{2}\angleABC=35^\circ$。$\angleBDC$是$\triangleABD$的外角，$\therefore\angleBDC=\angleA+\angleABD=40^\circ+35^\circ=75^\circ$。評分標準：求底角得2分，求角平分線分得的角得2分，利用外角性質(zhì)得2分，計算正確得2分。23.（本題8分）某商店用1200元購進一批玩具，很快售完；第二次購進時，每件玩具的進價提高了20%，用1500元購進的玩具數(shù)量比第一次多5件。求第一次每件玩具的進價。解析：設第一次進價為$x$元/件，第二次進價為$1.2x$元/件，根據(jù)數(shù)量關(guān)系列分式方程。解答：設第一次每件玩具的進價為$x$元，則第二次進價為$1.2x$元。根據(jù)題意，得$\dfrac{1500}{1.2x}-\dfrac{1200}{x}=5$。化簡得$\dfrac{1250}{x}-\dfrac{1200}{x}=5$，即$\dfrac{50}{x}=5$，解得$x=10$。檢驗：$x=10$時，$1.2x=12\neq0$，故$x=10$是原方程的解。答：第一次每件玩具的進價為10元。評分標準：設未知數(shù)得1分，列方程得3分，解方程得2分，檢驗得1分，答語得1分。24.（本題8分）如圖，在$\triangleABC$中，$AB=AC$，$AD$是$BC$邊上的高，$E$是$AD$上一點，連接$BE$、$CE$。求證：$BE=CE$。（圖：$\triangleABC$，$AB=AC$，$AD\perpBC$于$D$，$E$在$AD$上）解析：利用等腰三角形三線合一（$AD$是對稱軸），證明$E$在對稱軸上，故$BE=CE$（對稱點到頂點距離相等）。證明：$\becauseAB=AC$，$AD$是$BC$邊上的高，$\thereforeAD$是$\triangleABC$的對稱軸（等腰三角形三線合一）。$\becauseE$在$AD$上，$\thereforeB$、$C$關(guān)于$AD$對稱，$\thereforeBE=CE$（對稱點的連線被對稱軸垂直平分