課時目標1.能利用軸對稱和平移解決簡單的最短路徑問題,培養(yǎng)學生從實際問題抽象出熟悉模型的能力,增強應用意識.2.體會圖形的變換在解決最值問題中的作用,培養(yǎng)學生幾何直觀和模型觀念.3.通過解決問題感悟轉(zhuǎn)化思想,進一步獲得數(shù)學活動的經(jīng)驗,增強數(shù)學的應用意識.學習重點1.利用軸對稱將最短路徑問題轉(zhuǎn)化為“兩點之間,線段最短”問題.2.利用軸對稱和平移將造橋選址問題轉(zhuǎn)化為“兩點之間,線段最短”問題.學習難點最短路徑問題的解決思路及證明方法.課時活動設計情境引入1.如圖,連接A,B兩點的所有線中,哪條最短?為什么?解:②最短,因為兩點之間,線段最短.2.如圖,點P是直線l外一點,點P與該直線l上各點連接的所有線段中,哪條最短?為什么?解:PC最短,因為垂線段最短.3.以前還學習過哪些有關線段大小的結論?解:三角形三邊關系:兩邊之和大于第三邊;斜邊大于直角邊.4.如圖,如何做點A關于直線l的對稱點?解:過點A作直線l的垂線,交直線l于點O,延長AO到點A',使AO=A'O.設計意圖:通過四個問題的設計回顧,為解決最短路徑問題提供理論依據(jù),培養(yǎng)學生運用定理的意識和在實際問題中發(fā)現(xiàn)數(shù)學問題的能力,培養(yǎng)學生的幾何直觀和空間觀念.新知探究利用軸對稱解決最短路徑問題探究1“飲馬問題”.問題:如圖,牧馬人從A地出發(fā),到一條筆直的河流l邊飲馬,然后到B地,牧馬人到河邊的什么地方飲馬,可使所走的路徑最短?分析:即把A,B兩地抽象為兩點,將河流l抽象成為一條直線,在直線l上找一點C,使AC+BC最短.學生討論并回答,師生共同總結得出,可以轉(zhuǎn)化為兩點在直線異側的問題.追問1:能否通過圖形變換(軸對稱和平移)將點B“移”到l的另一側B'處,滿足直線l上的任意一點C,都保持CB與CB'的長度相等?作法:(1)作點B關于直線l的對稱點B';(2)連接AB',與直線l相交于點C.則點C即為所求.追問2:如何證明這條路徑最短?證明:如圖,在直線l上任取一點C'(與點C不重合),連接AC',BC',B'C'.由軸對稱的性質(zhì)知,BC=B'C,BC'=B'C'.∴AC+BC=AC+B'C=AB',AC'+BC'=AC'+B'C'.在△AB'C'中,AB'<AC'+B'C',∴AC+BC<AC'+BC'.即AC+BC最短.探究2“造橋選址問題”.問題:如圖,A和B兩地在一條河的兩岸,現(xiàn)要在河上造一座橋MN,橋建在何處可使從A到B的路徑AMNB最短?(假定河的兩岸是平行的直線,橋要與河垂直.)分析:把河的兩岸看成兩條平行線a和b,N為直線b上的一個動點,MN垂直于直線b,交直線a于點M,把問題轉(zhuǎn)化為:當點N在直線b的什么位置時,AM+MN+NB最小.學生討論并回答,師生共同歸納.追問1:能否通過將AM沿著與河岸垂直的方向平移,點M移動到點N,點A移動到點A',使A'N+NB最小?作法:(1)將AM沿著與河岸垂直的方向平移,點M移動到點N,點A移動到點A';(2)連接A'B,點N即為所求.追問2:如何證明點N即為所求?小組合作交流,教師找學生展示答案.分析:如圖,在直線b上任意取一點N',過點N'作N'M'垂直于a,垂足為M',連接AM',A'N',N'B.同“飲馬問題”可證,AM+MN+AM'<AM'+A'N'+N'B.解:如圖,在路徑A→M→N→B的左側和右側各任意作一條路徑,即A→M1→N1→B和A→M2→N2→B,AM+MN+NB=BC+AC,則AM1+M1N1+N1B=N1C+N1B+AC>BC+AC,AM2+M2N2+N2B=N2C+N2B+AC>BC+AC.所以A→M→N→B是最短路徑.設計意圖:通過問題層層遞進,培養(yǎng)學生分析問題和解決問題的能力;培養(yǎng)學生用數(shù)學眼光看世界的能力,和用文字語言、圖形語言、符號語言三種語言表達問題的能力以及三種語言的相互轉(zhuǎn)化能力,培養(yǎng)學生嚴密的數(shù)學思維和嚴謹?shù)目茖W態(tài)度.典例精講例1(1)如圖1,在AB直線一側C,D兩點,在AB上找一點P,使C,D,P三點組成的三角形的周長最短.說明理由.(2)如圖2,在∠AOB內(nèi)部有一點P,是否在OA,OB上分別存在點E,F,使得E,F,P三點組成的三角形的周長最短,找出E,F兩點.(3)如圖3,在∠AOB內(nèi)部有兩點M,N,是否在OA,OB上分別存在點E,F,使得E,F,M,N,四點組成的四邊形的周長最短,找出E,F兩點.解:(1)如圖1,作C關于直線AB的對稱點C',連接C'D交AB于點P.則點P就是所求作的點.理由如下:因為C和C'關于直線對稱,所以PC=PC'.因為CD長度不變,所以DP+CP最短時,C,D,P三點組成的三角形的周長最短.因為兩點之間線段最短,所以點P就是所求作的點.(2)如圖2,作P關于OA的對稱點P',關于OB的對稱點P″,連接P'P″,交OA于點E,OB于點F,則點E,F就是所求作的點.(3)如圖3,作M關于OA的對稱點M',作N關于OB的對稱點M″,連接M'M″,交OA于點E,OB于點F,則點E,F就是所求作的點.例2如圖,荊州古城河在CC'處直角轉(zhuǎn)彎,河寬相同,從A處到B處,須經(jīng)兩座橋DD',EE'(橋?qū)挷挥?,設護城河以及兩座橋都是東西、南北方向的,怎樣架橋可使ADD',E'EB的路程最短?解:如圖,將A點向F平移得到點F,B點向右平移得到點G.連接GF,與河岸相交于點E',D'.作DD',EE'即為橋.理由:由作圖法可知,AF∥DD',AF=DD',則四邊形AFD'D為平行四邊形,于是AD=FD',同理,BE=GE',由兩點之間線段最短可知,GF最小.設計意圖:通過題目鞏固所學知識,總結解決最短路徑問題的方法:在解決最短路徑問題時,我們通常利用軸對稱、平移等變換把未知問題轉(zhuǎn)化為已解決的問題,從而做出最短路徑的選擇.增強學生應用意識和創(chuàng)新能力.鞏固訓練1.如圖,直線l是一條河,P、Q是兩個村莊.欲在l上的某處修建一個水泵站,向P、Q兩地供水,現(xiàn)有如下四種鋪設方案,圖中實線表示鋪設的管道,則所需要管道最短的是(D)2.有兩棵樹位置如圖,樹的底部分別為A,B,地上有一只昆蟲沿著A—B的路徑在地面上爬行.小樹頂D處一只小鳥想飛下來抓住小蟲后,再飛到大樹的樹頂C處.問小鳥飛至AB之間何處時,飛行距離最短,在圖中畫出該點的位置.解:如圖所示.3.如圖,A和B兩地在一條河的兩岸,現(xiàn)要在河上建一座橋MN.橋造在何處才能使從A到B的路徑AMNB最短?(假定河的兩岸是平行的直線,橋要與河垂直)解:如圖所示.設計意圖:通過練習,鞏固所學知識,提高學生分析問題和解決問題的能力.課堂小結1.談談今天的收獲.2.教師與學生一起回顧本節(jié)課所學的主要內(nèi)容,并請學生回答以下問題:(1)本節(jié)課學習了哪些主要內(nèi)容?(2)怎樣解決最短路徑問題?(3)本節(jié)課你學到了哪些研究問題的方法?設計意圖:通過小結,使學生梳理本節(jié)課所學內(nèi)容和研究方法,把握本節(jié)課的核心內(nèi)容,引導學生從知識內(nèi)容和學習過程兩個方面總結自己的收獲,掌握幾何直觀和模型觀念,提升知識轉(zhuǎn)化和遷移能力.知能演練提升一、能力提升1.如圖,OA,OB分別是線段MC,MD的垂直平分線,MD=5cm,MC=7cm,CD=10cm,一只小螞蟻從點M出發(fā)爬到OA邊上任意一點E,再爬到OB邊上任意一點F,然后爬回點M處,則小螞蟻爬行的路徑最短可為()A.12cm B.10cm C.7cm D.5cm2.如圖,在四邊形ABCD中,∠BAD=120°,∠B=∠D=90°,在BC,CD上分別找一點M,N,使△AMN的周長最小,則∠AMN+∠ANM的度數(shù)為()A.60° B.120° C.90° D.45°3.如圖,牧童在A處放牛,其家在B處,A,B到河岸的距離分別為AC和BD,且AC=BD.若點A到河岸CD的中點的距離為500m,則牧童從A處把牛牽到河邊飲水再回家,所走的最短路程是m.

4.如圖,某公路(視為x軸)的同一側有A,B,C三個村莊,要在公路邊建一貨棧(即在x軸上找一點)D,向A,B,C三個村莊運送農(nóng)用物資,路線是:D→A→B→C→D(或D→C→B→A→D).試問在公路上是否存在點D使送貨路程之和最短?若存在,請在圖中畫出點D所在的位置;若不存在,請說明理由.5.如圖,單位A與B分別位于一條封閉式街道的兩旁,現(xiàn)在準備合作修建一條過街天橋(橋必須與街道垂直).在圖中畫出橋,使由A到B的路程最短.二、創(chuàng)新應用★6.某中學八(2)班舉行文藝晚會,桌子擺成如圖所示的兩直排(圖中的AO,BO),AO桌面上擺滿了橘子,BO桌面上擺滿了糖果,站在C處的學生小明先拿橘子再拿糖果,然后到D處座位上,請你幫助他設計一條行走路線,使其所走的總路程最短.知能演練·提升一、能力提升1.B設CD與OA的交點為E,與OB的交點為F.因為OA,OB分別是線段MC,MD的垂直平分線,所以ME=CE,MF=DF,所以小螞蟻爬行的路徑最短為CD=10cm,故選B.2.B如圖,作點A關于BC和CD的對稱點A',A″,連接A'A″,交BC于點M,交CD于點N,則A'A″即為△AMN的周長的最小值.∵∠DAB=120°,∴∠A'+∠A″=180°-120°=60°.∵∠A'=∠MAA',∠NAD=∠A″,且∠A'+∠MAA'=∠AMN,∠NAD+∠A″=∠ANM,∴∠AMN+∠ANM=∠A'+∠MAA'+∠NAD+∠A″=2(∠A'+∠A″)=2×60°=120°,故選B.3.10004.解存在點D使所走路線D→A→B→C→D的路程之和最短.作法:(1)作點A關于x軸的對稱點A';(2)連接A'C,交x軸于點D.如圖.則點D(3,0)就是要建貨棧的位置.5.解設橋為