13.3.1等腰三角形第1課時(shí)等腰三角形的性質(zhì)課時(shí)目標(biāo)1.探索并證明等腰三角形的兩個(gè)性質(zhì),培養(yǎng)學(xué)生的探究精神和推理能力.2.會(huì)應(yīng)用等腰三角形概念和性質(zhì)解決問題,培養(yǎng)應(yīng)用意識(shí).3.經(jīng)歷觀察實(shí)驗(yàn)、猜想證明,發(fā)展合情推理能力和演繹推理能力.4.結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)的探索和證明過程,體會(huì)軸對(duì)稱在研究幾何問題中的作用,培養(yǎng)學(xué)生對(duì)知識(shí)的遷移能力.學(xué)習(xí)重點(diǎn)探索并證明等腰三角形的性質(zhì).學(xué)習(xí)難點(diǎn)性質(zhì)1中輔助線的添加和對(duì)性質(zhì)2的理解.課時(shí)活動(dòng)設(shè)計(jì)情境引入學(xué)校開展實(shí)踐活動(dòng),八年級(jí)的兩位同學(xué)將一塊等腰三角板放在國(guó)旗臺(tái)上,在三角板頂點(diǎn)放一根綁著石塊的繩子,他們發(fā)現(xiàn)繩子過三角板底邊中點(diǎn),就說國(guó)旗臺(tái)是水平的.你知道為什么嗎?設(shè)計(jì)意圖:從學(xué)生身邊熟悉的國(guó)旗臺(tái)是否水平的實(shí)踐活動(dòng)出發(fā),利用等腰三角板工具,引出課題,進(jìn)一步讓學(xué)生感知數(shù)學(xué)來源于生活,也能解決很多生活問題,培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)思維思考現(xiàn)實(shí)世界的能力,培養(yǎng)科學(xué)態(tài)度和理性精神.探究新知通過剪紙,得到等腰三角形,認(rèn)識(shí)邊(腰和底)、角(底角和頂角),歸納等腰三角形的概念.問題1:利用長(zhǎng)方形紙片和剪刀,你能按照上圖的方式剪出一個(gè)三角形嗎?你能說明剪出的圖形有什么特征嗎?師生活動(dòng),學(xué)生動(dòng)手操作,然后小組交流.解:上述過程中,剪刀剪過的兩條邊是相等的,即AB=AC,所以剪出來的三角形是等腰三角形.問題2:仔細(xì)觀察自己剪出的等腰三角形紙片,你能發(fā)現(xiàn)哪些角重合?哪些邊重合?等腰三角形是軸對(duì)稱圖形嗎?是的話,對(duì)稱軸是什么?小組合作交流.分析:學(xué)生在教師設(shè)置的問題的啟發(fā)下得出證明思路,只需證明兩個(gè)三角形全等即可,即可以作出底邊上的中線即可.解:已知△ABC為等腰三角形,AB=AC,作底邊BC的中線AD,在△ABD和△ACD中,∵AB∴△ABD≌△ACD(SSS)∴∠BAD=∠CAD,∠ABD=∠ACD,∠ADB=∠ADC,AB=AC,BD=CD.所以∠BAD與∠CAD重合,∠ABD與∠ACD重合,∠ADB與∠ADC重合,AB與AC重合,BD和CD重合,等腰三角形是軸對(duì)稱圖形,對(duì)稱軸是角平分線,是底邊上的高,是底邊上的中線.問題3:學(xué)生剪下的等腰三角形紙片大小不同,形狀各異,是否都具有上述所概括的特征?小組交流討論.解:都具有上述所概括的特征.問題4:在練習(xí)本上任意畫一個(gè)等腰三角形,把它剪下來,折一折,上面得出的結(jié)論仍然成立嗎?由此你能概括出等腰三角形的性質(zhì)嗎?師生活動(dòng),學(xué)生動(dòng)手操作,相互比較,互動(dòng)交流,師生共同歸納.分析:教師通過上述問題,和學(xué)生歸納出性質(zhì)的簡(jiǎn)寫形式,并著重引導(dǎo)學(xué)生分析“三線合一”的含義.歸納:等腰三角形的性質(zhì).性質(zhì)1等腰三角形的兩個(gè)底角相等(簡(jiǎn)寫成“等邊對(duì)等角”);性質(zhì)2等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合(簡(jiǎn)寫成“三線合一”).性質(zhì)2可分解為:(1)等腰三角形的頂角平分線也是底邊上的中線和高;(2)等腰三角形底邊上的中線也是底邊上的高和頂角平分線;(3)等腰三角形底邊上的高也是頂角平分線和底邊上的中線.設(shè)計(jì)意圖:數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是螺旋式上升的,學(xué)生小學(xué)時(shí)已經(jīng)對(duì)等腰三角形有了初步的認(rèn)識(shí),現(xiàn)在讓學(xué)生通過動(dòng)手操作,在反復(fù)比較的過程中歸納總結(jié)等腰三角形的性質(zhì),體會(huì)認(rèn)識(shí)事物的一般方法——由特殊到一般,進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力,讓學(xué)生真正理解“三線合一”的含義,不僅培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手能力,還能培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力和幾何直觀能力.例題精講例如圖,在△ABC中,AB=AC,點(diǎn)D在AC上,且BD=BC=AD,求△ABC各角的度數(shù).分析:本題共三個(gè)等腰三角形(△ABC,△DAB和△BCD),設(shè)∠A=x,可以利用等腰三角形的性質(zhì)1和三角形的外角性質(zhì),將∠BDC用2x表示;利用等腰三角形的性質(zhì)1,可知∠C=∠BDC,即∠C也可用2x表示;再利用等腰三角形的性質(zhì)1,可知∠ABC=∠C,即∠ABC也可用2x表示:由三角形內(nèi)角和定理即可求出△ABC各角的度數(shù).解:∵AB=AC,BD=BC=AD,∴∠ABC=∠C=∠BDC,∠A=∠ABD(等邊對(duì)等角).設(shè)∠A=x,則∠BDC=∠A+∠ABD=2x,從而∠ABC=∠C=∠BDC=2x.于是在△ABC中,有∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°.解得x=36°.所以在△ABC中,∠A=36°,∠ABC=∠C=72°.設(shè)計(jì)意圖:讓學(xué)生進(jìn)一步理解等腰三角形的性質(zhì)的意義,熟練運(yùn)用等腰三角形的性質(zhì)進(jìn)行簡(jiǎn)單的求解,啟發(fā)學(xué)生建立知識(shí)之間的普遍聯(lián)系,培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力和方程思想.鞏固訓(xùn)練1.(1)在等腰三角形ABC中,AB=AC,∠B=35°,則∠A=110°.

(2)等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角是100°,則這個(gè)三角形的底角的度數(shù)是40°.

(3)等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角是50°,則這個(gè)三角形的底角的度數(shù)是65°或50°.

2.如下圖所示,△ABC是等腰直角三角形(AB=AC,∠BAC=90°),AD是底邊BC上的高.求∠B,∠C,∠BAD,∠DAC的度數(shù),并寫出圖中所有相等的線段.解:∵AB=AC,∠BAC=90°,∴∠B=∠C=45°.∵△ABC是等腰直角三角形,AD是△ABC底邊上的高,∴AD是∠BAC的角平分線,是BC邊上的中線.∴∠BAD=∠DAC=45°,BD=CD.∴∠B=∠BAD=45°,∠C=∠DAC=45°.∴AD=BD=CD.∴相等的線段:AD=BD=CD,AB=AC.3.已知點(diǎn)D,E在△ABC的邊BC上,AB=AC.(1)如圖1,若AD=AE,求證:BD=CE;(2)如圖2,若BD=CE,F為DE的中點(diǎn),求證:AF⊥BC.證明:(1)∵AB=AC,∴△ABC是等腰三角形.∴∠B=∠C.∵AD=AE,∴∠ADE=∠AED.∴∠ADB=∠AEC.在△ABD與△ACE中,∠∴△ABD≌△ACE(AAS).∴BD=CE.(2)∵F為DE的中點(diǎn),∴DF=EF.∵BD=CE,∴BD+DF=CE+EF.∴BF=CF.∵AB=AC,∴△ABC是等腰三角形.∴AF為△ABC的中線,也是高線.∴AF⊥BC.設(shè)計(jì)意圖:在解題過程中學(xué)生可能會(huì)出現(xiàn)兩種方法,需要進(jìn)行對(duì)比,讓學(xué)生體會(huì)三線合一的重要性.在等腰三角形有關(guān)計(jì)算或證明中,有時(shí)需要添加輔助線,其頂角平分線、底邊上的高、底邊上的中線是常見的輔助線.通過練習(xí),有利于培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用知識(shí)的能力,讓學(xué)生體會(huì)知識(shí)的轉(zhuǎn)化.

課堂小結(jié)1.回顧引入中的問題,你能應(yīng)用本節(jié)課的知識(shí)解決一下嗎?2.教師與學(xué)生一起回顧本節(jié)課所學(xué)的主要內(nèi)容,并請(qǐng)學(xué)生回答以下問題:(1)本節(jié)課學(xué)習(xí)了哪些主要內(nèi)容?(2)我們是怎么探究等腰三角形的性質(zhì)的?(3)“三線合一”的含義是什么?請(qǐng)舉例說明.(4)本節(jié)課你學(xué)到了哪些證明線段相等或角相等的方法?設(shè)計(jì)意圖:通過小結(jié),使學(xué)生梳理本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容和研究方法,把握本節(jié)課的重點(diǎn)——等腰三角形的性質(zhì),體會(huì)軸對(duì)稱在研究幾何問題中的重要作用.引導(dǎo)學(xué)生從知識(shí)內(nèi)容和學(xué)習(xí)過程兩個(gè)方面總結(jié)自己的收獲,把握本節(jié)課的核心內(nèi)容,掌握數(shù)形結(jié)合研究問題和建立不等式方程(組)解決問題的方法,提升知識(shí)轉(zhuǎn)化和遷移能力.第2課時(shí)等腰三角形的判定課時(shí)目標(biāo)1.通過對(duì)等腰三角形判定定理的證明,發(fā)展學(xué)生的歸納猜想能力,培養(yǎng)學(xué)生的推理能力.2.應(yīng)用等腰三角形判定定理解決問題,培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新能力.3.提高學(xué)生證明文字命題的能力,培養(yǎng)舉一反三、靈活變換的能力,培養(yǎng)數(shù)學(xué)文字語言向符號(hào)語言的轉(zhuǎn)化能力.4.體會(huì)數(shù)學(xué)源于實(shí)際,運(yùn)用于實(shí)際的應(yīng)用價(jià)值,領(lǐng)悟數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化思想,欣賞數(shù)學(xué)的幾何美、對(duì)稱美.學(xué)習(xí)重點(diǎn)等腰三角形判定定理及應(yīng)用.學(xué)習(xí)難點(diǎn)等腰三角形性質(zhì)和判定的互逆關(guān)系.課時(shí)活動(dòng)設(shè)計(jì)回顧舊知1.上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了等腰三角形,現(xiàn)在大家來回憶一下,等腰三角形的定義和等腰三角形有哪些性質(zhì)?老師指定學(xué)生回答.解:等腰三角形的定義:有兩條邊相等的三角形是等腰三角形;等腰三角形的性質(zhì):(1)等腰三角形的兩個(gè)底角相等(等邊對(duì)等角);(2)等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合(三線合一).2.如圖,已知AC=BD,是否能根據(jù)上節(jié)課所學(xué)的等邊對(duì)等角得到這兩條邊所對(duì)的角∠ABC=∠DAB呢?如果不可以,那是為什么呢?解:不能根據(jù)等邊對(duì)等角得到這兩條邊所對(duì)的角∠ABC=∠DAB,因?yàn)锳C和BD不在同一個(gè)三角形內(nèi),等邊對(duì)等角是指在同一個(gè)三角形內(nèi)的邊角關(guān)系.設(shè)計(jì)意圖:前面學(xué)習(xí)的全等知識(shí)是兩個(gè)圖形之間的關(guān)系,而等邊對(duì)等角是同一個(gè)三角形內(nèi)的邊角關(guān)系,這也是本節(jié)判定要強(qiáng)調(diào)的.學(xué)生在學(xué)習(xí)時(shí)既要注意知識(shí)的遷移性又要重視知識(shí)間相互聯(lián)系的特性,培養(yǎng)學(xué)生掌握對(duì)比的學(xué)習(xí)方法.情境引入如圖,位于海上B,C兩處的兩艘救生船都接到A處遇險(xiǎn)船只的報(bào)警,當(dāng)時(shí)測(cè)得∠B=∠C.如果這兩艘救生船以同樣的速度同時(shí)出發(fā),能不能同時(shí)趕到出事地點(diǎn)(不考慮風(fēng)浪因素)?設(shè)計(jì)意圖:數(shù)學(xué)來源于生活,數(shù)學(xué)教學(xué)中要善于培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、解決問題的能力,學(xué)生憑借上節(jié)課的知識(shí)可能會(huì)猜測(cè)答案,但究其原因可能不是太清楚.教師通過設(shè)置懸念激起學(xué)生學(xué)習(xí)本節(jié)課的興趣,提高學(xué)習(xí)效率.探究新知等腰三角形的判定問題:如圖,在△ABO中,∠B=∠A,那么它們所對(duì)的邊OA和OB有什么數(shù)量關(guān)系?學(xué)生猜想:相等.追問1:如何驗(yàn)證你的猜想?小組交流,展示方法.解:方法一:作∠O的平分線OT交AB于點(diǎn)T,證明△OAT≌△OBT(AAS),∴OA=OB(全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等)方法二:過O點(diǎn)作OD⊥AB,垂足為點(diǎn)D,證明△AOD≌△BOD(AAS),∴OA=OB(全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等).追問2:做AB的中線OD,能證明OA=OB嗎?嘗試一下.分析:等腰三角形性質(zhì)有“三線合一”,方法一和二分別做角平分線和一邊上的高,因此,學(xué)生很自然會(huì)想到做中線是否可以?經(jīng)過嘗試,SSA不能證明全等,所以得不到結(jié)論.追問3:根據(jù)以上分析你能總結(jié)出什么結(jié)論?歸納如下:1.等腰三角形的判定方法:如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等,那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等(簡(jiǎn)寫成“等角對(duì)等邊”).2.符號(hào)語言:在△ABC中,∵∠B=∠C,(已知)∴AC=AB.(等角對(duì)等邊)即△ABC為等腰三角形.設(shè)計(jì)意圖:學(xué)生通過多種方法證明、歸納結(jié)論,培養(yǎng)學(xué)生抽象概括能力,助于學(xué)生知識(shí)體系和學(xué)習(xí)方法的培養(yǎng),文字語言向符號(hào)語言的轉(zhuǎn)化,鍛煉學(xué)生語言表達(dá)能力.探究新知你還有其他判定方法嗎?問題:已知:三角形的一個(gè)外角的平分線平行于三角形的一邊.求證:這個(gè)三角形是等腰三角形.小組合作,教師找小組代表回答.已知:∠CAE是△ABC的外角,∠1=∠2,AD∥BC.求證:AB=AC.分析:要證明AB=AC,可先證明∠B=∠C.因?yàn)椤?=∠2,所以可設(shè)法找出∠B,∠C與∠1,∠2的關(guān)系.證明:∵AD∥BC,∴∠1=∠B(兩直線平行,同位角相等),∠2=∠C(兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等).已知∠1=∠2,所以∠B=∠C.∴AB=AC(等角對(duì)等邊).設(shè)計(jì)意圖:探索多種方法證明,加深學(xué)生對(duì)判定定理的理解與靈活應(yīng)用.探究新知已知等腰三角形底邊長(zhǎng)為a,底邊上的高的長(zhǎng)為h,求作這個(gè)等腰三角形.BC=a,底邊上的高為h.方法一:本題逆用等腰三角形的性質(zhì)2(三線合一),已知底邊和高,同時(shí)也是中線,所以可以考慮做底邊的垂直平分線,然后截取高h(yuǎn);方法二:已知底邊,做等腰三角形就是要找到頂點(diǎn),即找點(diǎn)到線段AB的端點(diǎn)距離相等,所以想到做底邊的垂直平分線.作法:(1)作線段AB=a.(2)作線段AB的垂直平分線MN,與AB相交于點(diǎn)D.(3)在MN上取一點(diǎn)C,使DC=h.(4)連接AC,BC,則△ABC就是所求作的等腰三角形.設(shè)計(jì)意圖:條條大道通羅馬,不同的理解方法用到的知識(shí)點(diǎn)不同,要給學(xué)生足夠的思考空間,多角度展現(xiàn)學(xué)生的想法,這樣的課堂對(duì)學(xué)生思維的訓(xùn)練和培養(yǎng)才是真正有效的.典例精講例在△ABC中,AB=AC,倘若不留神,它的一部分被墨水涂沒了,只留下一條底邊BC和一個(gè)底角∠C,請(qǐng)問,有沒有辦法把原來的等腰三角形畫出來?解:方法1:量出∠C度數(shù),畫出∠B=∠C,∠B與∠C的邊相交得到頂點(diǎn)A.方法2:作BC邊上的垂直平分線,與∠C的一邊相交得到頂點(diǎn)A.方法3:對(duì)折.設(shè)計(jì)意圖:一題多解、拓寬思路、開闊視野,及時(shí)鞏固本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容.鞏固訓(xùn)練1.如圖,∠A=36°,∠DBC=36°,∠C=72°.(1)∠1=72°,∠2=36°;

(2)圖中的等腰三角形分別是△ABD,△ABC,△BCD.

第1題圖第2題圖2.如圖,已知OC平分∠AOB,CD∥OB,若OD=3cm,則CD等于3cm.

3.已知:如圖,AD∥BC,BD平分∠ABC.求證:AB=AD.證明:∵AD∥BC,∴∠ADB=∠CBD.∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠CBD.∴∠ADB=∠ABD.∴AB=AD.如圖,把一張長(zhǎng)方形的紙沿著對(duì)角線折疊,重合部分是一個(gè)等腰三角形嗎?為什么?解:是等腰三角形.理由如下:由折疊性質(zhì)可知∠EBD=∠CBD.∵AD∥BC,∴∠ADB=∠CBD.∴∠EBD=∠ADB.∴EB=ED.即△EBD為等腰三角形.設(shè)計(jì)意圖:鞏固本節(jié)課知識(shí)的同時(shí),使學(xué)生從思維上、能力上、方法上都得到訓(xùn)練,培養(yǎng)學(xué)生幾何直觀和推理能力.課堂小結(jié)1.談?wù)劷裉斓氖斋@.2.教師與學(xué)生一起回顧本節(jié)課所學(xué)的主要內(nèi)容,并請(qǐng)學(xué)生回答以下問題:(1)本節(jié)課學(xué)習(xí)了哪些主要內(nèi)容?(2)我們是怎么探究等腰三角形的判定的?(3)本節(jié)課你學(xué)到了哪些方法?設(shè)計(jì)意圖:通過小結(jié),使學(xué)生梳理本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容和研究方法,把握本節(jié)課的核心內(nèi)容,引導(dǎo)學(xué)生從知識(shí)內(nèi)容和學(xué)習(xí)過程兩個(gè)方面總結(jié)自己的收獲,掌握幾何直觀和模型觀念,提升知識(shí)轉(zhuǎn)化和遷移能力.13.3.2等邊三角形第1課時(shí)等邊三角形的性質(zhì)和判定課時(shí)目標(biāo)1.掌握等邊三角形定義,理解等邊三角形和等腰三角形的關(guān)系,培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力.2.經(jīng)歷類比過程,探索等邊三角形的性質(zhì)和判定,培養(yǎng)學(xué)生的推理能力和模型觀念.3.能運(yùn)用等邊三角形的性質(zhì)和判定進(jìn)行計(jì)算和證明,培養(yǎng)學(xué)生的推理、運(yùn)算能力和應(yīng)用意識(shí).4.培養(yǎng)學(xué)生參與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)的積極性,增強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)的好奇心和求知欲.學(xué)習(xí)重點(diǎn)理解并掌握等邊三角形的概念、性質(zhì)和判定.學(xué)習(xí)難點(diǎn)理解并掌握等邊三角形判定定理的探究與證明,靈活的運(yùn)用等邊三角形的性質(zhì)與判定方法解決相關(guān)問題.課時(shí)活動(dòng)設(shè)計(jì)回顧舊知1.等腰三角形的性質(zhì)和判定?2.三角形按邊的關(guān)系怎么分類?解:分類為設(shè)計(jì)意圖:本節(jié)課研究的等邊三角形是特殊的等腰三角形,回憶等腰三角形的性質(zhì)和判定以及三角形的分類,有助于類比研究本節(jié)內(nèi)容,憶舊知導(dǎo)新課,幫助學(xué)生明確研究方向和內(nèi)容,培養(yǎng)學(xué)生用類比思想研究問題,鍛煉數(shù)學(xué)思維.探究新知等邊三角形的性質(zhì)1.你能歸納等邊三角形的定義并結(jié)合圖形寫出符號(hào)語言嗎?解:文字語言:三邊都相等的三角形叫做等邊三角形(正三角形).符號(hào)語言:∵AB=AC=BC,∴△ABC是等邊三角形.2.類比等腰三角形的性質(zhì),你能得到等邊三角形什么性質(zhì)?解:(1)三條邊相等;(2)三個(gè)角相等,都是60°.3.等邊三角形有“三線合一”的性質(zhì)嗎?等邊三角形有幾條對(duì)稱軸?學(xué)生動(dòng)手作圖,找學(xué)生回答問題.解:等邊三角形每條邊上的中線、高和所對(duì)角的角平分線都“三線合一”,等邊三角形有3條對(duì)稱軸.4.你能運(yùn)用類比的方法探索等腰三角形與等邊三角形的聯(lián)系與區(qū)別嗎?解:等腰三角形和等邊三角形邊、角、對(duì)角線的聯(lián)系與區(qū)別.名稱圖形邊角重要線段對(duì)稱性等腰三角形兩腰相等兩個(gè)底角相等頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合軸對(duì)稱圖形,有一條對(duì)稱軸等邊三角形三條邊相等三個(gè)角相等,且都為60°每條邊上的中線、高和它所對(duì)角的角平分線都互相重合軸對(duì)稱圖形,有三條對(duì)稱軸設(shè)計(jì)意圖:學(xué)生動(dòng)手折疊或者作圖驗(yàn)證猜想,得出等邊三角形滿足“三線合一”,有3條對(duì)稱軸.熟練掌握等腰三角形與等邊三角形的聯(lián)系與區(qū)別,經(jīng)歷猜想、驗(yàn)證、歸納的過程,讓學(xué)生體驗(yàn)研究的方法和思路,培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度和模型觀念.典例精講例1如圖,在等邊△ABC中,BC=10,BD⊥AC于點(diǎn)D,則(1)AC=10;

(2)∠A=60°;

(3)∠ABD=30°;

(4)AD=5.

例2如圖,△ABC是等邊三角形,E是AC上一點(diǎn),D是BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn),連接BE,DE,若∠ABE=40°,BE=DE,求∠CED的度數(shù).分析:利用等邊三角形三個(gè)角都是60°可得∠ACD是120°,再通過等腰△EBD的性質(zhì)就可得出答案.學(xué)生獨(dú)立完成,小組內(nèi)交流.解:∵△ABC是等邊三角形,∴∠ABC=∠ACB=60°.∵∠ABE=40°,∴∠EBC=60°-40°=20°.∵BE=DE,∴∠EBD=∠D=20°.∵∠ACD=180°-60°=120°,∴∠CED=180°-120°-20°=40°.設(shè)計(jì)意圖:本環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)的2個(gè)例題,鞏固等邊三角形邊、角、三線合一的性質(zhì),選題有梯度,分層設(shè)置.第2小題強(qiáng)調(diào)等邊三角形每個(gè)角都是60°這個(gè)隱含條件以及三角形內(nèi)角和定理和外角定理的綜合應(yīng)用,鞏固性質(zhì),培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)的能力,提升推理能力和運(yùn)算能力.探究新知等邊三角形的判定1.類比等腰三角形的判定方法,你能得出等邊三角形的判定方法嗎?圖形等腰三角形等邊三角形判定從邊看:兩條邊相等的三角形是等腰三角形三條邊都相等的三角形是等邊三角形從角看:兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形2.有一個(gè)角等于60°的等腰三角形是等邊三角形嗎?你能證明你的結(jié)論嗎?學(xué)生討論得出:一共有兩種情況,等腰三角形的頂角是60°或等腰三角形的一個(gè)底角是60°.分別用三角形的內(nèi)角和及等腰三角形兩底角相等求出另外兩個(gè)角從而得出三個(gè)內(nèi)角都是60°,驗(yàn)證是等邊三角形.設(shè)計(jì)意圖:用類比的方法探究等邊三角形的判定,使學(xué)生在掌握知識(shí)的同時(shí)更好地把握住了研究問題的方法,培養(yǎng)了學(xué)生方法的掌握和知識(shí)體系的形成,注重對(duì)學(xué)生能力的培養(yǎng).典例精講例1根據(jù)條件判斷下列三角形是否為等邊三角形.解:圖形(2)(3)(5)(6)是等邊三角形,圖形(1)不是等邊三角形,圖形(4)不一定是等邊三角形.例2如圖,△ABC是等邊三角形,DE∥BC,分別交AB,AC于點(diǎn)D,E.求證:△ADE是等邊三角形.證明:∵△ABC是等邊三角形,∴∠A=∠B=∠C=60°.∵DE∥BC,∴∠ADE=∠B,∠AED=∠C.∴∠A=∠ADE=∠AED.∴△ABC是等邊三角形.變式訓(xùn)練(1)如圖1,若點(diǎn)D,E在邊AB,AC的延長(zhǎng)線上(如圖1),且DE∥BC,結(jié)論還成立嗎?(2)如圖2,若點(diǎn)D,E在邊AB,AC的反向延長(zhǎng)線上(如圖2),且DE∥BC,結(jié)論依然成立嗎?(3)題(1)中,若將條件DE∥BC改為AD=AE,△ADE還是等邊三角形嗎?試說明理由.解:(1)結(jié)論仍成立.(2)結(jié)論仍成立.(3)△ADE還是等邊三角形.理由如下:∵△ABC是等邊三角形,∴∠BAC=60°.∴∠EAD=60°.∵AD=AE,∴∠AED=∠ADE=60°.∴△ADE還是等邊三角形.設(shè)計(jì)意圖:根據(jù)圖形結(jié)構(gòu)和題設(shè)條件多方位進(jìn)行變式,達(dá)到一題多練的目的,培養(yǎng)學(xué)生幾何直觀和空間觀念,使學(xué)生抓住圖形的本質(zhì),發(fā)展模型觀念.鞏固訓(xùn)練1.△ABC為等邊三角形,點(diǎn)M是BC邊上任意一點(diǎn),點(diǎn)N是CA邊上任意一點(diǎn),且BM=CN,BN與AM相交于Q點(diǎn),求∠BQM的度數(shù).解:∵△ABC為等邊三角形,∴AB=AC=BC,∠ABC=∠C=∠BAC=60°.在△AMB與△BNC中,AB∴△AMB≌△BNC.∴∠BAM=∠CBN.∵∠BQM是△ABQ的外角,∴∠BQM=∠BAM+∠ABQ.∵∠BAM=∠CBN.∴∠BQM=∠CBN+∠ABQ=∠ABC.∵∠ABC=60°,∴∠BQM=60°.2.在等邊△ABC中,點(diǎn)P在△ABC內(nèi),點(diǎn)Q在△ABC外,且∠ABP=∠ACQ,BP=CQ,問△APQ是什么形狀的三角形?試證明你的結(jié)論.解:△APQ是等邊三角形.證明:∵△ABC是等邊三角形,∴AB=AC,∠BAC=60°.∵∠ABP=∠ACQ,BP=CQ,∴△ABP≌△ACQ.∴AP=AQ,∠BAP=∠CAQ.∵∠BAC=∠BAP+∠PAC=60°,∴∠PAQ=∠CAQ+∠PAC=60°.∴△APQ是等邊三角形.設(shè)計(jì)意圖:本題組設(shè)計(jì)兩個(gè)題目,分別是等邊三角形性質(zhì)和全等的綜合應(yīng)用、等邊三角形判定和全等的綜合應(yīng)用.利用三角形全等轉(zhuǎn)化邊和角相等是幾何常考知識(shí)點(diǎn),也是初中階段的重點(diǎn),選題具有典型性,培養(yǎng)學(xué)生綜合分析問題的能力,進(jìn)一步培養(yǎng)推理意識(shí)和能力.課堂小結(jié)1.談?wù)劷裉斓氖斋@.2.教師與學(xué)生一起回顧本節(jié)課所學(xué)的主要內(nèi)容,并請(qǐng)學(xué)生回答以下問題:(1)本節(jié)課學(xué)習(xí)了哪些主要內(nèi)容?(2)我們是怎么探究等邊三角形的性質(zhì)和判定的?(3)本節(jié)課你學(xué)到了哪些方法?設(shè)計(jì)意圖:通過小結(jié),引導(dǎo)學(xué)生從知識(shí)內(nèi)容和學(xué)習(xí)過程兩個(gè)方面總結(jié)自己的收獲,掌握幾何直觀和模型觀念,提升知識(shí)轉(zhuǎn)化和遷移能力.第2課時(shí)含30°角的直角三角形的性質(zhì)課時(shí)目標(biāo)1.掌握含30°角的直角三角形的性質(zhì),培養(yǎng)學(xué)生抽象概括能力.2.會(huì)運(yùn)用含30°角的直角三角形的性質(zhì)進(jìn)行簡(jiǎn)單計(jì)算和證明,培養(yǎng)運(yùn)算能力和應(yīng)用意識(shí).3.經(jīng)歷探索含30°角的直角三角形的性質(zhì)的過程,“探索——發(fā)現(xiàn)——猜想——證明”,讓學(xué)生體會(huì)合情推理與演繹推理的相互依賴和相互補(bǔ)充的辯證關(guān)系.學(xué)習(xí)重點(diǎn)含30°角的直角三角形性質(zhì)定理的發(fā)現(xiàn)與證明.學(xué)習(xí)難點(diǎn)含30°角的直角三角形性質(zhì)定理的探索與應(yīng)用.課時(shí)活動(dòng)設(shè)計(jì)回顧舊知等邊三角形的性質(zhì)和判定?設(shè)計(jì)意圖:本節(jié)知識(shí)是在等邊三角形的基礎(chǔ)上結(jié)合“三線合一”探究的,復(fù)習(xí)舊知體現(xiàn)知識(shí)的延續(xù)性,為本節(jié)課的探究做準(zhǔn)備,培養(yǎng)學(xué)生研究問題的方法和幾何直觀性.探究新知1.將兩個(gè)含有30°角的三角尺擺放在一起.你能借助這個(gè)圖形,找到Rt△ABC的直角邊BC與斜邊AB之間的數(shù)量關(guān)系嗎?學(xué)生自主探究分析:學(xué)生在得出結(jié)論的過程中可能會(huì)用到測(cè)量、觀察、推理等多種方式,讓學(xué)生經(jīng)歷觀察、猜想、驗(yàn)證的過程,體會(huì)知識(shí)的形成原理,培養(yǎng)學(xué)生勇于探究的精神.結(jié)論:將兩個(gè)含30°角的三角尺拼在一起,得到一個(gè)等邊三角形,再利用這個(gè)圖形的軸對(duì)稱性,得出BC=122.你能證明你的發(fā)現(xiàn)嗎?有哪些方法?學(xué)生經(jīng)過探究共有三種方法證明:證法一:∵∠BAC=∠CAD=30°,∴∠BAD=60°.又∵AB=AD,∴∠ABD=∠ADB=60°.∴△BAD是等邊三角形,線段AB=AD=BD.又∵線段BC=CD,∴線段AB=AD=BD=2BC=2CD.可以得出BC=12證法二:延長(zhǎng)BC到D,使BD=AB,連接AD.在△ABC中,∵∠C=90°,∠A=30°,∴∠B=60°.∴△ABD是等邊三角形.又∵AC⊥BD,∴BC=12∴BC=12點(diǎn)撥:倍長(zhǎng)法就是延長(zhǎng)得到的線段是原線段的正整數(shù)倍,即1倍、2倍等.證法三:在BA上截取BE=BC,連接EC.∵∠B=60°,BE=BC,∴△BCE是等邊三角形.∴∠BEC=60°,BE=EC.∵∠A=30°,∴∠ECA=∠BEC-∠A=60°-30°=30°.∴AE=EC.∴AE=BE=BC.∴AB=AE+BE=2BC.∴BC=12點(diǎn)撥:在證明中,在較長(zhǎng)的線段上截取一條線段等于較短的線段的方法就是截半法.設(shè)計(jì)意圖:通過開放性問題的設(shè)置給學(xué)生提供足夠的思考空間,拓寬學(xué)生的思路,體會(huì)多種方法證明的過程,開闊學(xué)生視野,培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散性思維,提升學(xué)生的能力.歸納總結(jié)含30°角的直角三角形的性質(zhì):文字語言:在直角三角形中,如果一個(gè)銳角等于30°,那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半.符號(hào)語言:如圖,∵在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,∴BC=12AB即設(shè)計(jì)意圖:通過證明驗(yàn)證結(jié)論,歸納概括為定理,培養(yǎng)學(xué)生抽象能力.本環(huán)節(jié)通過文字語言、符號(hào)語言、圖形語言三種形式表述定理,培養(yǎng)學(xué)生三種語言的相互轉(zhuǎn)化能力和用數(shù)學(xué)語言表達(dá)問題的能力.典例精講例1如圖是屋架設(shè)計(jì)圖的一部分,點(diǎn)D是斜梁AB的中點(diǎn),立柱BC,DE垂直于橫梁AC,AB=7.4m,∠A=30°.立柱BC,DE要多長(zhǎng)?分析:找到兩個(gè)基本條件(直角三角形,30°角)是根本.解:∵DE⊥AC,BC⊥AC,∠A=30°,∴BC=12AB,DE=1∴BC=12×7.4=3.7(m)又∵點(diǎn)D是AB的中點(diǎn),∴AD=12AB=12×7.4=3.∴DE=12AD=12×3.7=1.故立柱BC長(zhǎng)3.7m,DE長(zhǎng)1.85m.例2已知等腰三角形的底角為15°,腰長(zhǎng)為2a.求腰上的高.分析:通過三角形的外角和定理找到30°角.解:∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB=15°.∴∠DAC=∠ABC+∠ACB=30°.∵CD是腰AB上的高,∴△ACD是直角三角形.∴在Rt△ACD中,AC=2a,∠DAC=30°,∴CD=12AC=設(shè)計(jì)意圖:使學(xué)生熟練掌握等腰三角形的性質(zhì),在解題過程中根據(jù)文字語言寫圖形語言和符號(hào)語言,培養(yǎng)幾何轉(zhuǎn)化能力.鞏固訓(xùn)練1.在△ABC中,AB=AC,∠C=30°,DA⊥BA于點(diǎn)A,BD=6cm,則AD=3cm.

第1題圖第2題圖第3題圖2.如圖,∠AOP=∠BOP=15°,PC∥OA交OB于點(diǎn)C,PD⊥OA于點(diǎn)D,若PC=3,則PD等于(C)A.3B.2C.1.5D.13.如圖,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,D是BC的中點(diǎn),DE⊥AC.則ABAE=41.

4.(雙垂直結(jié)構(gòu))如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,CD⊥AB,AB=4.則BC=2,BD=1.

5.在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=2∠A,∠B和∠A各是多少度?邊AB與BC之間有什么關(guān)系?解:∵在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=2∠A,∴∠B=60°,∠A=30°.∴BC=126.如圖,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,EF為AB的垂直平分線,EF交BC于點(diǎn)F,交AB于點(diǎn)E,BF=5cm,求CF的長(zhǎng).解:∵在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,∴∠B=∠C=30°.∵EF為AB的垂直平分線∴∠B=∠BAF=30°.∴BF=AF=5,∠AFC=60°.∴∠FAC=90°.∴AF=12∴CF=2AF=2BF=2×5=10(cm).設(shè)計(jì)意圖:通過鞏固訓(xùn)練,培養(yǎng)學(xué)生知識(shí)體系的形成,提升學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)的能力,增強(qiáng)其應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí).課堂小結(jié)1.談?wù)劷裉斓氖斋@.2.教師與學(xué)生一起回顧本節(jié)課所學(xué)的主要內(nèi)容,并請(qǐng)學(xué)生回答以下問題:(1)本節(jié)課學(xué)習(xí)了哪些主要內(nèi)容?(2)我們是怎么探究含30°的直角三角形的性質(zhì)的?(3)含30°的直角三角形的性質(zhì)的作用?(4)本節(jié)課你學(xué)到了哪些方法?設(shè)計(jì)意圖:通過小結(jié),引導(dǎo)學(xué)生從知識(shí)內(nèi)容和學(xué)習(xí)過程及研究方法多方面總結(jié)自己的收獲,掌握幾何直觀和模型觀念,提升知識(shí)轉(zhuǎn)化和遷移能力.知能演練提升一、能力提升1.小明用含有30°角的兩個(gè)完全相同的三角尺拼成的圖案如圖所示.若連接BD,則圖中等腰三角形的個(gè)數(shù)是()A.2 B.3C.4 D.52.如圖,在△ABC中,AB=3,∠BAC=100°,∠B=40°,點(diǎn)D在BC的延長(zhǎng)線上,且∠D=20°,則CD的長(zhǎng)是.

3.如圖,上午8時(shí),一船從A處出發(fā)以20海里/時(shí)的速度向正北方向航行,上午11時(shí),到達(dá)B處,從A,B望燈塔C分別測(cè)得∠NAC=44°,∠NBC=88°,求從B處到燈塔C的距離.4.如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥BA于點(diǎn)D,AE平分∠BAC交CD于點(diǎn)F,交BC于點(diǎn)E,你能證明△CEF是等腰三角形嗎?5.如圖,在△ABC中,AB=AC,D為BC邊上的一點(diǎn),∠B=30°,∠DAB=45°.(1)求∠DAC的度數(shù);(2)求證:DC=AB.6.如圖,已知O是△ABC的∠ABC,∠ACB的平分線的交點(diǎn)