第4課時(shí)一次函數(shù)的應(yīng)用課時(shí)目標(biāo)(一)教學(xué)知識點(diǎn)利用一次函數(shù)知識解決相關(guān)實(shí)際問題.(二)能力訓(xùn)練目標(biāo)體會解決問題方法的多樣性,發(fā)展創(chuàng)新實(shí)踐能力,培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).學(xué)習(xí)重點(diǎn)靈活運(yùn)用知識解決相關(guān)問題.學(xué)習(xí)難點(diǎn)靈活運(yùn)用知識解決相關(guān)問題.課時(shí)活動設(shè)計(jì)回顧復(fù)習(xí)1.在一次函數(shù)y=kx+b中,b>0,且y隨x的增大而減小,則它的圖象大致為(D)2.由一次函數(shù)圖象可獲得哪些信息?解:(1)由一次函數(shù)的圖象可確定k和b的符號;(2)由一次函數(shù)的圖象可估計(jì)函數(shù)的變化趨勢;(3)可直接觀察出x與y的對應(yīng)值;(4)由一次函數(shù)的圖象與y軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)可確定b值,再根據(jù)與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)可由待定系數(shù)法確定一次函數(shù)的解析式.設(shè)計(jì)意圖:復(fù)習(xí)舊知識,為新課學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ).1.提出問題,創(chuàng)設(shè)情境我們前面學(xué)習(xí)了有關(guān)一次函數(shù)的一些知識及如何確定函數(shù)解析式,那么如何利用一次函數(shù)知識解決相關(guān)實(shí)際問題呢?這將是我們這節(jié)課要解決的主要問題.2.導(dǎo)入新課下面我們來學(xué)習(xí)一次函數(shù)的應(yīng)用.例1小芳以200米/分的速度起跑后,先勻加速跑5分鐘,每分鐘提高速度20米/分,再勻速跑10分鐘.試寫出這段時(shí)間里她跑步速度y(米/分)隨跑步時(shí)間x(分)變化的函數(shù)關(guān)系式,并畫出圖象.解:y=20圖象如圖所示.我們把這種函數(shù)叫做分段函數(shù).在解決分析函數(shù)問題時(shí),要特別注意自變量取值范圍的劃分,既要科學(xué)合理,又要符合實(shí)際.設(shè)計(jì)意圖:通過熟悉的生活情境體會一次函數(shù)中分段函數(shù)存在的客觀性和學(xué)習(xí)分段函數(shù)的必要性,先從實(shí)際數(shù)量關(guān)系上列出解析式,再根據(jù)解析式畫出其圖象,加深學(xué)生對函數(shù)“數(shù)”和“形”的完善結(jié)合的理解,讓學(xué)生真正感受到數(shù)學(xué)與生活的密切關(guān)系,從而嘗試“用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界”,達(dá)到學(xué)數(shù)學(xué)用數(shù)學(xué)的境界.例2A城有肥料200t,B城有肥料300t.現(xiàn)要把這些肥料全部運(yùn)往C,D兩鄉(xiāng).從A城往C,D兩鄉(xiāng)運(yùn)肥料的費(fèi)用分別為20元/t和25元/t;從B城往C,D兩鄉(xiāng)運(yùn)肥料的費(fèi)用分別為15元/t和24元/t.現(xiàn)C鄉(xiāng)需要肥料240t,D鄉(xiāng)需要肥料260t,怎樣調(diào)運(yùn)可使總運(yùn)費(fèi)最少?教師活動:引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行討論、分析和思考.從影響總運(yùn)費(fèi)的變量有哪些入手,進(jìn)而尋找變量個(gè)數(shù)及變量間的關(guān)系,探究出總運(yùn)費(fèi)與變量間的函數(shù)關(guān)系,從而利用函數(shù)知識解決問題.學(xué)生活動:在教師指導(dǎo)下,經(jīng)歷思考、討論、分析,找出影響總運(yùn)費(fèi)的變量,并認(rèn)清它們之間的關(guān)系,確定函數(shù)關(guān)系,最終解決實(shí)際問題.活動過程及結(jié)論:通過分析思考,可以發(fā)現(xiàn):A—C,A—D,B—C,B—D運(yùn)肥料共涉及4個(gè)變量,它們都是影響總運(yùn)費(fèi)的變量,然而它們之間又有一定的必然聯(lián)系,只要確定其中一個(gè)量,其余三個(gè)量也就隨之確定.這樣我們就可以設(shè)其中一個(gè)變量為x,把其他變量用含x的代數(shù)式表示出來:設(shè)從A城運(yùn)往C鄉(xiāng)xt肥料,則所需運(yùn)輸費(fèi)用為20x元.因?yàn)锳城有肥料200t,所以從A城運(yùn)往D鄉(xiāng)(200-x)t肥料,則所需運(yùn)輸費(fèi)用為25(200-x)元.因?yàn)镃鄉(xiāng)需要肥料240t,所以從B城運(yùn)往C鄉(xiāng)(240-x)t肥料,則所需運(yùn)輸費(fèi)用為15(240-x)元.因?yàn)镈鄉(xiāng)需要肥料260t,所以從B城運(yùn)往D鄉(xiāng)(260-200+x)t肥料,則所需運(yùn)輸費(fèi)用為24(60+x)元.設(shè)總運(yùn)費(fèi)為y元,則y=20x+25(200-x)+15(240-x)+24(60+x)=4x+10040(0≤x≤200).函數(shù)圖象如圖所示.由解析式或圖象都可看出,當(dāng)x=0時(shí),y值最小,為10040.因此,從A城運(yùn)往C鄉(xiāng)0t肥料,運(yùn)往D鄉(xiāng)200t肥料;從B城運(yùn)往C鄉(xiāng)240t肥料,運(yùn)往D鄉(xiāng)60t肥料,此時(shí)總運(yùn)費(fèi)最少,為10040元.設(shè)計(jì)意圖:通過這一活動讓學(xué)生逐步學(xué)會運(yùn)用有關(guān)知識尋求出解決實(shí)際問題的方法,提高靈活運(yùn)用能力.變式題若A城有肥料300t,B城有肥料200t,其他條件不變,又該怎樣調(diào)運(yùn)呢?解題方法與思路不變,只是過程有所不同:A→C:xt;A→D:(300-x)t;B→C:(240-x)t;B→D:(x-40)t.反映總運(yùn)費(fèi)y與x的函數(shù)關(guān)系式為y=20x+25(300-x)+15(240-x)+24(x-40)=4x+10140(40≤x≤240).由解析式可知,當(dāng)x=40時(shí),y值最小,為4×40+10140=10300(元).因此從A城運(yùn)往C鄉(xiāng)40t肥料,運(yùn)往D鄉(xiāng)260t肥料;從B城運(yùn)往C鄉(xiāng)200t肥料,運(yùn)往D鄉(xiāng)0t肥料,此時(shí)總運(yùn)費(fèi)最少,為10300元.如何確定自變量x的取值范圍是40≤x≤240的呢?因?yàn)锳城中只有300t肥料,且從B城運(yùn)往C鄉(xiāng)的肥料為(240-x)t,運(yùn)往D鄉(xiāng)的肥料為(x-40)t,而x-40≥0,所以40≤x≤240.設(shè)計(jì)意圖:對所學(xué)知識和題型進(jìn)一步強(qiáng)化練習(xí)和鞏固.課堂小結(jié)解決含有多個(gè)變量的問題時(shí),可以分析這些變量間的關(guān)系,選取其中某個(gè)變量作為自變量,然后根據(jù)問題條件尋求可以反映實(shí)際問題的函數(shù).這樣就可以利用函數(shù)知識來解決了.在解決實(shí)際問題的過程中,要注意根據(jù)實(shí)際情況確定自變量的取值范圍.就像教學(xué)活動4中的變式題一樣,如果自變量的取值范圍弄錯(cuò)了,很容易出現(xiàn)失誤,得到錯(cuò)誤的結(jié)論.設(shè)計(jì)意圖:課堂小結(jié)是課堂的精華,也是學(xué)生對本節(jié)知識的總結(jié),更是提升.培養(yǎng)學(xué)生的總結(jié)能力,以便更好地指導(dǎo)知識應(yīng)用的提升.知能演練提升能力提升1.一個(gè)容器有進(jìn)水管和出水管,每分鐘的進(jìn)水量和出水量是兩個(gè)常數(shù).從某時(shí)刻開始4min內(nèi)只進(jìn)水不出水,從第4min到第24min內(nèi)既進(jìn)水又出水,從第24min開始只出水不進(jìn)水,容器內(nèi)水量y(單位:L)與時(shí)間x(單位:min)之間的關(guān)系如圖所示,則圖中a的值是()A.32 B.34 C.36 D.382.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)A(0,4),B(3,0),連接AB,將△AOB沿過點(diǎn)B的直線折疊,使點(diǎn)A落在x軸上的點(diǎn)A'處,折痕所在的直線交y軸正半軸于點(diǎn)C,則直線BC對應(yīng)的解析式為.

3.放假了,小明和小麗去蔬菜加工廠進(jìn)行社會實(shí)踐,兩人同時(shí)工作了一段時(shí)間后,休息時(shí)小明對小麗說:“我已加工了28kg,你呢?”小麗思考了一會兒說:“我來考考你.圖①②分別表示你和我的工作量與工作時(shí)間的關(guān)系,你能算出我加工了多少千克嗎?”小明思考后回答:“你難不倒我,你現(xiàn)在加工了kg.”

圖① 圖②4.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,矩形OABC中的點(diǎn)A和點(diǎn)C分別落在x軸和y軸上,AO=4,CO=2,直線y=3x+1以2個(gè)單位長度每秒的速度向下平移,經(jīng)過秒該直線可將矩形OABC的面積平分.

5.如圖,直線l1:y=kx+b的圖象與x軸交于點(diǎn)A(4,0),與y軸交于點(diǎn)E,直線l2:y=-3x+3與x軸交于點(diǎn)B,與y軸交于點(diǎn)D,且兩直線交于點(diǎn)C(2,m).(1)求直線l1的解析式;(2)求△ACD的面積.★6.“低碳生活,綠色出行”是一種環(huán)保、健康的生活方式.小麗從甲地勻速步行前往乙地,同時(shí),小明從乙地沿同一路線勻速步行前往甲地,兩人之間的距離y(單位:m)與步行時(shí)間x(單位:min)之間的函數(shù)關(guān)系如圖中折線段AB—BC—CD所示.(1)小麗與小明出發(fā)min相遇.

(2)在步行過程中,若小明先到達(dá)甲地.①求小麗和小明步行的速度各是多少?②計(jì)算出點(diǎn)C的坐標(biāo),并解釋點(diǎn)C的實(shí)際意義.創(chuàng)新應(yīng)用★7.問題情境:用同樣大小的黑色棋子按如圖所示的規(guī)律擺放,問第2018個(gè)圖共有多少枚棋子?建立模型:有些規(guī)律問題可以借助函數(shù)思想來探究,具體步驟:第一步,確定變量;第二步,在直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)圖象;第三步,根據(jù)函數(shù)圖象猜想并求出函數(shù)解析式;第四步,把另外的某些點(diǎn)的坐標(biāo)代入驗(yàn)證,若成立,則用這個(gè)解析式去求解.解決問題:根據(jù)以上步驟,請你解答“問題情境”.知能演練·提升能力提升1.C2.y=-12x+3234.3如圖,連接AC,BO,交于點(diǎn)D.當(dāng)直線y=3x+1平移后經(jīng)過點(diǎn)D時(shí),可將矩形OABC的面積平分.∵AC,BO是矩形OABC的對角線,∴OD=BD.由題意得點(diǎn)O(0,0),B(4,2),∴D(2,1).根據(jù)題意設(shè)平移后直線的解析式為y=3x+b.∵點(diǎn)D(2,1),∴1=3×2+b,解得b=-5,∴平移后的直線的解析式為y=3x-5,∴直線y=3x+1要向下平移6個(gè)單位,∴時(shí)間為6÷2=3(秒).5.解(1)把點(diǎn)C(2,m)的坐標(biāo)代入y=-3x+3,得m=-3×2+3=-3;把點(diǎn)A(4,0),C(2,-3)的坐標(biāo)分別代入y=kx+b,得4k+b=0,2k+b=-3(2)對于y=-3x+3,令y=0,則x=1,∴B(1,0);令x=0,則y=3,∴D(0,3).∴AB=4-1=3,則S△ACD=S△ABD+S△ABC=12×3×3+12×3×3=6.解(1)30由題中圖象可得小麗與小明出發(fā)30min相遇.(2)①設(shè)小麗步行的速度為v1m/min,小明步行的速度為v2m/min,且v2>v1,則30v1因此,小麗步行的速度為80m/min,小明步行的速度為100m/min.②(方法一)設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(x,y),則可得方程(100+80)(x-30)+80(67.5-x)=5400,解得x=54,y=(100+80)×(54-30)=4320.(方法二)5400÷100=54,54×80=4320.故點(diǎn)C(54,4320).點(diǎn)C表示:兩人出發(fā)54min時(shí),小明到達(dá)甲地,此時(shí)兩人相距4320m.創(chuàng)新應(yīng)用7.解以圖形的序號為橫坐標(biāo),棋子的枚數(shù)為