19.2.3一次函數(shù)與方程、不等式第1課時(shí)一次函數(shù)與一元一次方程、不等式教學(xué)設(shè)計(jì)課題一次函數(shù)與一元一次方程、不等式授課人素養(yǎng)目標(biāo)1.使學(xué)生理解并掌握一次函數(shù)與一元一次方程、一元一次不等式的轉(zhuǎn)化關(guān)系及其本質(zhì)聯(lián)系2．使學(xué)生能初步運(yùn)用函數(shù)的圖象解釋一元一次方程的解、一元一次不等式的解集，并能通過函數(shù)圖象求一元一次方程的解、一元一次不等式的解集．3．掌握用圖象求解方程、不等式的方法，進(jìn)一步體會數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.教學(xué)重點(diǎn)用函數(shù)觀點(diǎn)解決一元一次方程和一元一次不等式的問題．教學(xué)難點(diǎn)三個(gè)“一次”關(guān)系的理解及相互轉(zhuǎn)化.教學(xué)活動教學(xué)步驟師生活動活動一：設(shè)置疑問，導(dǎo)入新課設(shè)計(jì)意圖提出問題，引發(fā)學(xué)生對函數(shù)與方程、不等式之間聯(lián)系的思考.【置疑導(dǎo)入】(1)觀察下面的一元一次方程與一元一次不等式，它們有什么共同之處2x－2＞0，2x－2＝0，2x－2＜0.(2)上面的一元一次方程的解與一元一次不等式的解集，和一次函數(shù)y＝2x－2的圖象有關(guān)系嗎？上述方程或不等式左邊的式子與一次函數(shù)右邊的式子相同，很明顯，一元一次方程、不等式與一次函數(shù)之間存在著某種聯(lián)系，但這種聯(lián)系還需要我們進(jìn)一步去探尋．今天，我們將以函數(shù)的角度來觀察和解讀解一元一次方程及不等式.【教學(xué)建議】讓學(xué)生自由發(fā)言即可，教師適時(shí)引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注式子結(jié)構(gòu)方面的共同點(diǎn)，為導(dǎo)入新課做準(zhǔn)備..活動二：問題引入，自主探究設(shè)計(jì)意圖用數(shù)形結(jié)合的方法，建立一次函數(shù)與一元一次方程的聯(lián)系.探究點(diǎn)1一次函數(shù)與一元一次方程閱讀教材P96上方的思考，將下面的表格補(bǔ)充完整．1．從“數(shù)”的角度看：2.從“形”的角度看：【教學(xué)建議】讓學(xué)生結(jié)合函數(shù)圖象分組討論，從函數(shù)的角度解釋給出的三個(gè)方程，再由教師引導(dǎo)學(xué)生得出一般性結(jié)論．教學(xué)中注意引導(dǎo)學(xué)生對方程進(jìn)行變形，總結(jié)出函數(shù)觀點(diǎn)下解一元一次方程ax＋b＝0的意義．教學(xué)步驟師生活動設(shè)計(jì)意圖比照研究一次函數(shù)和一元一次方程的聯(lián)系的方法，建立一次函數(shù)與一元一次不等式的聯(lián)系.在直線y＝2x＋1上取縱坐標(biāo)分別為3，0，－1的點(diǎn)，它們的橫坐標(biāo)分別為1，－0.5，－1.歸納總結(jié)：解一元一次方程ax＋b＝c(a≠0)相當(dāng)于在一次函數(shù)y＝ax＋b的函數(shù)值為c時(shí)，求自變量x的值.問題：將上面的方程變形為ax＋b＝0(a≠0)的形式，在函數(shù)觀點(diǎn)下，應(yīng)如何看待解方程ax＋b＝0？答：解一元一次方程ax＋b＝0(a≠0)，相當(dāng)于在一次函數(shù)y＝ax＋b的函數(shù)值為0時(shí)，求自變量x的值.歸納總結(jié)：【對應(yīng)訓(xùn)練】已知一次函數(shù)y＝－2x＋2的圖象如圖所示．根據(jù)圖象回答：求方程－2x＋2＝0的解；求方程－2x＋2＝2的解.解：(1)一次函數(shù)y＝－2x＋2的圖象與x軸的交點(diǎn)為(1，0)，所以方程－2x＋2＝0的解為x＝1.(2)一次函數(shù)y＝－2x＋2的圖象過點(diǎn)(0，2)，所以方程－2x＋2＝2的解為x＝0.探究點(diǎn)2一次函數(shù)與一元一次不等式閱讀教材P96下方的思考，將下面的表格補(bǔ)充完整.從“數(shù)”的角度看：2.從“形”的角度看：【教學(xué)建議】學(xué)生類比探究點(diǎn)1的探究過程，從函數(shù)的角度對一元一次不等式進(jìn)行探究．教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生從“數(shù)”與“形”兩個(gè)方面進(jìn)行分析，增強(qiáng)學(xué)生的直觀感受度．應(yīng)提醒學(xué)生，在平面直角坐標(biāo)系中，自變量由小到大對應(yīng)橫軸從左到右，函數(shù)值由小到大對應(yīng)縱軸從下到上．教學(xué)步驟師生活動在直線y＝3x＋2上取縱坐標(biāo)分別滿足大于2、小于0、小于－1的點(diǎn)，它們的橫坐標(biāo)分別滿足大于0、小于－eq\f(2,3)、小于－1.歸納總結(jié)：解一元一次不等式ax＋b＞c或ax＋b＜c(a≠0)，相當(dāng)于在一次函數(shù)y＝ax＋b的函數(shù)值大于c或小于c時(shí)，求自變量x的取值范圍.問題：將上面的不等式變形為ax＋b＞0或ax＋b＜0(a≠0)的形式，在函數(shù)觀點(diǎn)下，應(yīng)如何看待解不等式ax＋b＞0或ax＋b＜0？答：解一元一次不等式ax＋b＞0或ax＋b＜0(a≠0)相當(dāng)于在一次函數(shù)y＝ax＋b的函數(shù)值大于0或小于0時(shí)，求自變量x的取值范圍.歸納總結(jié)：補(bǔ)充說明：探究點(diǎn)2中的3個(gè)不等式也可理解為求直線y＝3x＋2分別在直線y＝2上方、直線y＝0(即x軸)下方、直線y＝－1下方的部分所對應(yīng)的自變量x的取值范圍．(該方法可推廣至結(jié)合圖象比較兩個(gè)函數(shù)之間的大小關(guān)系)【對應(yīng)訓(xùn)練】如圖，若一次函數(shù)y＝kx＋b的圖象與x軸交于點(diǎn)(－1，0)，與y軸交于點(diǎn)(0，－3)，則不等式kx＋b＜0的解集是x＞－1.活動三：重點(diǎn)突破，提升探究設(shè)計(jì)意圖讓學(xué)生進(jìn)一步體會用函數(shù)圖象可以直觀地求方程、不等式(組)的解或解集.例函數(shù)y＝2x＋6的圖象如圖，利用圖象：(1)求方程2x＋6＝0的解；(2)求不等式2x＋6>0的解集；(3)求不等式組－1≤2x＋6≤3的解集.解：(1)因?yàn)閳D象過點(diǎn)(－3，0)，所以方程2x＋6＝0的解為x＝－3.(2)因?yàn)楫?dāng)函數(shù)y＝2x＋6的圖象在x軸上方時(shí)，x>－3，所以不等式2x＋6>0的解集為x>－3.(3)因?yàn)楹瘮?shù)圖象過F(－1.5，3)，G(－3.5，－1)兩點(diǎn)，當(dāng)函數(shù)y＝2x＋6的函數(shù)值滿足－1≤y≤3時(shí)，－3.5≤x≤－1.5，所以不等式組的解集是－3.5≤x≤－1.5.【對應(yīng)訓(xùn)練】已知一次函數(shù)y＝kx＋b的圖象如圖所示，直線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是(－0.5，0)，利用函數(shù)圖象回答：(1)當(dāng)x取何值時(shí)，kx＋b＝0？(2)當(dāng)x取何值時(shí)，kx＋b＞1.5？(3)當(dāng)x取何值時(shí)，0.5＜kx＋b＜2.5？【教學(xué)建議】讓學(xué)生獨(dú)立思考完成．解決此類問題，通常是找出直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)或者根據(jù)題目給出的函數(shù)值求得對應(yīng)自變量的值，然后結(jié)合圖象的增減性來判斷對應(yīng)的自變量的取值范圍.教學(xué)步驟師生活動解：(1)因?yàn)橐淮魏瘮?shù)y＝kx＋b的圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是(－0.5，0)，所以當(dāng)x＝－0.5時(shí)，kx＋b＝0.(2)當(dāng)x＞1時(shí)，kx＋b＞1.5.(3)因?yàn)?.5＜kx＋b＜2.5，所以0.5＜y＜2.5，所以由函數(shù)圖象可得：當(dāng)0＜x＜2時(shí)，0.5＜所以由函數(shù)圖象可得：當(dāng)0＜x＜2時(shí)，0.5＜kx＋b＜2.5.活動四：隨堂訓(xùn)練，課堂總結(jié)【隨堂訓(xùn)練】見《》“隨堂小練”冊子相應(yīng)課時(shí)訓(xùn)練．【課堂總結(jié)】師生一起回顧本節(jié)課所學(xué)主要內(nèi)容，并請學(xué)生回答以下問題：如何利用函數(shù)解一元一次方程？如何利用函數(shù)解一元一次不等式？【知識結(jié)構(gòu)】【作業(yè)布置】1.教材P99習(xí)題19.2第13，15題.2．《》主體本部分相應(yīng)課時(shí)訓(xùn)練．板書設(shè)計(jì)19.2.3一次函數(shù)與方程、不等式第1課時(shí)一次函數(shù)與一元一次方程、不等式1.一次函數(shù)與一元一次方程的關(guān)系2.一次函數(shù)與一元一次不等式的關(guān)系教學(xué)反思本節(jié)課是在一次函數(shù)的基礎(chǔ)上進(jìn)行的一次綜合與擴(kuò)展教學(xué)．從簡單的一元一次方程和一次函數(shù)的函數(shù)值為0的例子入手，讓學(xué)生初步感知兩者之間的聯(lián)系，再從更多的例子中去尋找一元一次方程和一次函數(shù)的聯(lián)系，最后得出一般規(guī)律．以此作為基礎(chǔ)，繼而類比探究出一元一次不等式與一次函數(shù)的關(guān)系.解題方法：(1)由于任何一元一次方程都可以轉(zhuǎn)化為ax＋b＝0(a，b為常數(shù)，a≠0)的形式，所以解一元一次方程可以轉(zhuǎn)化為：當(dāng)某個(gè)一次函數(shù)的值為0時(shí)，求相應(yīng)的自變量的值，從圖象上看，這相當(dāng)于已知直線y＝ax＋b，確定它與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的值．可令y＝0，得到方程ax＋b＝0，解方程得x＝－eq\f(b,a)，－eq\f(b,a)就是直線y＝ax＋b與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，即直線y＝ax＋b與x軸的交點(diǎn)為(－eq\f(b,a)，0)．(2)由于任何一元一次不等式都可以轉(zhuǎn)化為ax＋b＞0或ax＋b＜0(a，b為常數(shù)，a≠0)的形式，所以解一元一次不等式可以轉(zhuǎn)化為：當(dāng)一次函數(shù)值大于或小于0時(shí)，求自變量相應(yīng)的取值范圍．(3)用圖象法解一元一次方程的步驟：①把一元一次方程變形為ax＋b＝0的形式；②畫出一次函數(shù)y＝ax＋b的圖象；③找到一次函數(shù)y＝ax＋b的圖象與x軸的交點(diǎn)，交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為所求．(4)直線y1＝k1x＋b1與直線y2＝k2x＋b2的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為方程k1x＋b1＝k2x＋b2的解；不等式k1x＋b1＞k2x＋b2(或k1x＋b1＜k2x＋b2)的解集就是直線y1＝k1x＋b1在直線y2＝k2x＋b2上(或下)方部分對應(yīng)的自變量x的取值范圍．例：如圖，直線y1＝k1x＋b1與y2＝k2x＋b2交于點(diǎn)P(a，b)，則有以下結(jié)論：①方程k1x＋b1＝k2x＋b2的解為x＝a；②不等式k1x＋b1＞k2x＋b2的解集為x＞a；③不等式k1x＋b1＜k2x＋b2的解集為x＜a.例1一次函數(shù)y＝kx＋b(k≠0)中，x與y的部分對應(yīng)值如下表，那么一元一次方程kx＋b＝0的解為x＝1.x－2－1012y9630－3例2如圖，直線l1是y＝k1x＋b1，直線l2是y＝k2x＋b2，那么不等式k1x＋b1＜k2x＋b2的解集為x＜－3.例3在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y＝kx和y＝mx＋n的圖象如圖所示，則關(guān)于x的一元一次不等式(k－m)x－n＞0的解集是x＞1.解析：由(k－m)x－n＞0，得kx＞mx＋n.由圖可知當(dāng)x＞1時(shí)，直線y＝kx在直線y＝mx＋n的上方，所以關(guān)于x的一元一次不等式kx＞mx＋n的解集是x＞1，即關(guān)于x的一元一次不等式(k－m)x－n＞0的解集是x＞1.例4如圖，根據(jù)圖中信息解答下列問題：(1)關(guān)于x的不等式ax＋b＞0的解集是x＜4；(2)關(guān)于x的不等式mx＋n＜1的解集是x＜0；(3)當(dāng)x為何值時(shí)，y1≤y2?(4)當(dāng)x＜0時(shí)，比較y2與y1的大小關(guān)系．解：(3)由圖可知，兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)是(2，1.8)．當(dāng)函數(shù)y1的圖象在y2的下方時(shí)，x＜2，所以當(dāng)x≤2時(shí)，y1≤y2.(4)由圖可知，當(dāng)x＜0時(shí)，y2＞y1.例1一次函數(shù)y＝kx＋b(k，b為常數(shù)，且k≠0)中的x與y的部分對應(yīng)值如下表：x－12yn0下列結(jié)論：①方程kx＋b＝0(k≠0)的解為x＝2；②若n＞0，則kb＞0；③若關(guān)于x的一元一次不等式(k－1)x＋b＞0的解集為x＜eq\f(4,5)，則n＝2；④當(dāng)函數(shù)y＝kx＋b的圖象與函數(shù)y＝|x|的圖象只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，k的取值范圍為k＜－1或k＞1.其中一定正確的是①③(填序號)．解析：根據(jù)表格數(shù)據(jù)可知當(dāng)x＝2時(shí)，y＝0，所以方程kx＋b＝0(k≠0)的解為x＝2，故①正確；若n＞0，則y隨x的增大而減小，可知當(dāng)x＝0時(shí)，y＞0，所以k＜0，b＞0，所以kb＜0，故②錯誤；因?yàn)殛P(guān)于x的一元一次不等式(k－1)x＋b＞0的解集為x＜eq\f(4,5)，所以直線y＝kx＋b與直線y＝x的交點(diǎn)坐標(biāo)為(eq\f(4,5)，eq\f(4,5))．因?yàn)橹本€y＝kx＋b經(jīng)過點(diǎn)(2，0)，(eq\f(4,5)，eq\f(4,5))，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2k＋b＝0，,\f(4,5)k＋b＝\f(4,5)，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝－\f(2,3)，,b＝\f(4,3).))所以一次函數(shù)y＝kx＋b的解析式為y＝－eq\f(2,3)x＋eq\f(4,3).將x＝－1代入，得n＝－eq\f(2,3)×(－1)＋eq\f(4,3)＝2，故③正確；因?yàn)橹本€y＝kx＋b經(jīng)過點(diǎn)(2，0)，所以借助草圖分析兩種臨界情況(如圖)：當(dāng)直線y＝kx＋b在l1的位置時(shí)，k＝1；當(dāng)直線y＝kx＋b在l2的位置時(shí)，k＝－1.由此易得當(dāng)函數(shù)y＝kx＋b的圖象與函數(shù)y＝|x|的圖象只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，k的取值范圍為k≤－1或k＞1，故④錯誤，故答案為①③.

例2如圖，直線y＝－eq\f(1,2)x＋b與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A，B，與函數(shù)y＝kx的圖象交于點(diǎn)M(1，2)．(1)求k，b的值及關(guān)于x的不等式組0≤－eq\f(1,2)x＋b≤kx的解集；(2)在x軸上有一點(diǎn)P，過點(diǎn)P作x軸的垂線，分別交函數(shù)y＝－eq\f(1,2)x＋b和y＝kx的圖象于點(diǎn)C，D.若2CD＝OB，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．解：(1)把M(1，2)代入y＝kx，得k＝2.把M(1，2)代入y＝－eq\f(1,2)x＋b，得－eq\f(1,2)＋b＝2，解得b＝eq\f(5,2).在y＝－eq\f(1,2)x＋eq\f(5,2)中，當(dāng)y＝0時(shí)，－eq\f(1,2)x＋eq\f(5,2)＝0，解得x＝5，則A(5，0)．由圖可知，關(guān)于x的不等式組0≤－eq\f(1,2)x＋b≤kx的解集為1≤x≤5.(2)在y＝－eq\f(1,2)x＋eq\f(5,2)中，當(dāng)x＝0時(shí)，y＝eq\f(5,2)，則B(0，eq\f(5,2))，所以O(shè)B＝eq\f(5,2).設(shè)P(m，0)，則C(m，－eq\f(1,2)m＋eq\f(5,2))，D(m，2m)．所以CD＝|2m－(－e