第第頁高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)——知識點·梳理拋物線專題知識點·梳理1、拋物線的定義①拋物線的定義：平面內(nèi)與一個定點和一條定直線（其中定點不在定直線上）的距離相等的點的軌跡叫做拋物線，定點叫做拋物線的焦點，定直線叫做拋物線的準(zhǔn)線．②拋物線的數(shù)學(xué)表達式：(為點到準(zhǔn)線的距離)。【即學(xué)即練1】已知拋物線上一點P到焦點的距離為5，則點P到x軸的距離為．2、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程設(shè)，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、類型及其幾何性質(zhì)：方程（）（）（）（）圖形焦點準(zhǔn)線【即學(xué)即練2】設(shè)拋物線：的焦點為，點在上，，若，則（

）A． B．6 C． D．特別說明：①要注意弄清拋物線四種形式的標(biāo)準(zhǔn)方程的特征及其對應(yīng)拋物線的形狀(焦點位置、開口方向等)。拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程中,有一個一次項和一個二次項,二次項的系數(shù)為1,一次項的系數(shù)為;若一次項的字母是,則焦點就在軸上,若其系數(shù)是正的,則焦點就在軸的正半軸上(開口向右),若系數(shù)是負的,焦點就在軸的負半軸上(開口向左);若一次項的字母是,則焦點就在軸上,若其系數(shù)是正的,則焦點就在軸的正半軸上(開口向上),若系數(shù)是負的,焦點就在軸的負半軸上(開口向下)。②焦點的非零坐標(biāo)是標(biāo)準(zhǔn)方程下一次項系數(shù)的③準(zhǔn)線與坐標(biāo)軸的交點和拋物線的焦點關(guān)于原點對稱。④通徑：過焦點且垂直于對稱軸的弦長等于，通徑是過焦點最短的弦。拋物線（）上一點到焦點的距離，也稱為拋物線的焦半徑。3、拋物線的簡單幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程（）（）（）（）圖形范圍，，，，對稱軸軸軸軸軸焦點坐標(biāo)準(zhǔn)線方程頂點坐標(biāo)離心率通徑長4、直線與拋物線的位置關(guān)系設(shè)直線:,拋物線:（）,將直線方程與拋物線方程聯(lián)立整理成關(guān)于的方程(1)若,當(dāng)時,直線與拋物線相交,有兩個交點;當(dāng)時,直線與拋物線相切,有一個切點;當(dāng)時,直線與拋物線相離,沒有公共點。(2)若,直線與拋物線有一個交點,此時直線平行于拋物線的對稱軸或與對稱軸重合。因此直線與拋物線有一個公共點是直線與拋物線相切的必要不充分條件?！炯磳W(xué)即練3】過點且與拋物線有且只有1個公共點的直線條數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．3

重點題型·歸類精講重點題型·歸類精講題型一拋物線定義的理解【例1-1】已知拋物線的焦點為為上一點，為坐標(biāo)原點，當(dāng)時，，則（

）A．4 B．3 C．2 D．1【例1-2】已知拋物線上有一點到準(zhǔn)線的距離為9，那么點到軸的距離為．【變式1】已知拋物線的焦點為，點在上，若到直線的距離為5，則（

）A．5 B．4 C．3 D．2【變式2】已知拋物線上的點到其準(zhǔn)線的距離為4，則（

）A．6 B． C．8 D．【變式3】已知拋物線的焦點為，點在上．若到直線的距離為，則（

）A．B．C．D．。題型二根據(jù)拋物線方程求焦點和準(zhǔn)線【例2-1】（2024年真題）拋物線的焦點坐標(biāo)為A、B、C、D、【例2-2】（2018年真題）若拋物線的準(zhǔn)線方程為，則【例2-3】（2016年真題）拋物線過點，則該拋物線的準(zhǔn)線方程為A、B、C、D、【例2-4】（2014年真題）拋物線的準(zhǔn)線方程是___【例2-5】（2006年真題）若拋物線的頂點坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為，則這條拋物線的焦點坐標(biāo)為___【例2-6】（2003年真題）拋物線的準(zhǔn)線方程為___【變式1】已知拋物線，則焦準(zhǔn)距是（

）A．1 B．2 C． D．【變式2】已知拋物線C:，則C的準(zhǔn)線方程為（

）A．B．C．D．【變式3】若拋物線過點，則該拋物線的準(zhǔn)線方程為．【變式4】已知拋物線）的焦點為F，點在拋物線C上，且，則拋物線C的準(zhǔn)線方程是（

）A． B． C． D．【變式5】已知拋物線C：過點，則拋物線C的準(zhǔn)線方程為（

）A． B． C． D．題型三求拋物線方程【例3-1】（2020年真題節(jié)選）已知拋物線的頂點在原點，焦點為(1)求的方程【例3-2】（2012年真題）過拋物線的焦點作斜率為和-2的直線，分別交拋物線的準(zhǔn)線于，若的面積是5，則拋物線的方程是A、B、C、D、【例3-3】已知拋物線的焦點為，點在拋物線上，且，求拋物線的方程【例3-4】若點到點的距離比它到直線的距離小1，則點的軌跡方程是（

）A． B． C． D．【變式1】以x軸為對稱軸，原點為頂點的拋物線上的一點到焦點的距離為3，則拋物線的方程是（

）A． B． C． D．【變式2】以坐標(biāo)軸為對稱軸，焦點在直線上的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A．或 B．或C．或 D．或題型四拋物線的簡單幾何性質(zhì)運用【例4-1】拋物線的焦點為，其準(zhǔn)線與雙曲線相交于兩點，若為等邊三角形，則的值為（）A．2 B．4 C．6 D．8【例4-2】拋物線：的焦點為，為上一點且，為坐標(biāo)原點，則?！纠?-3】已知拋物線的焦點為，準(zhǔn)線為．若與焦距為的雙曲線的兩條漸近線分別交于點和點，且（為坐標(biāo)原點），則雙曲線的實軸長為．【變式1】設(shè)O為坐標(biāo)原點，直線過拋物線的焦點，且與C交于M，N兩點，l為C的準(zhǔn)線，則三角形的面積為。【變式2】拋物線的焦點為，直線與軸的交點為，與拋物線的交點為，且，則的值是?！咀兪?】已知拋物線的焦點為F，準(zhǔn)線為l，過F的直線與拋物線交于點A、B，與直線l交于點D，若，則．題型五直線與拋物線【例5-1】（2017年真題）已知拋物線的焦點為，過作的對稱軸的垂線，與交于，則A、8B、4C、2D、1【例5-2】（2003年真題）過點的直線和拋物線交于兩點，且為線段的中點，求直線的方程【例5-3】直線與拋物線：的圖象相切，則的準(zhǔn)線方程為（

）A． B． C． D．【變式1】設(shè)拋物線的焦點為，過焦點的直線與拋物線相交于，兩點，則的最小值為（

）A．1 B． C． D．【變式2】過拋物線的焦點的直線交拋物線于兩點，若弦中點縱坐標(biāo)為2，則．【變式3】已知橢圓的右焦點與拋物線的焦點重合，且橢圓的離心率為．(1)求橢圓的方程；(2)過拋物線焦點的直線和拋物線相交于M，N兩點，，求直線方程．【變式4】已知點P到的距離與它到x軸的距離的差為4，P的軌跡為曲線C。(1)求C的方程；(2)若直線與C交于A，B兩點，且弦中點的橫坐標(biāo)為，求的斜率。【變式5】已知拋物線：，過點作直線．(1)若直線的斜率存在，且與拋物線只有一個公共點，求直線的方程．(2)若直線過拋物線的焦點，且交拋物線于，兩點，求弦長．題型六綜合運用【例6-1】（2023年真題）已知F為拋物線的焦點，過F的直線與C交于A，B兩點，若，則?！纠?-2】（2022年真題）已知為坐標(biāo)原點，雙曲線與拋物線交于A、B兩點﹐△AOB的面積為4。(1)求的方程(2)設(shè)為的左右焦點，點P在D上，求的最小值【例6-3】（2020年真題）已知拋物線的頂點在原點，焦點為(1)求的方程（）(2)設(shè)為的準(zhǔn)線上的一點，為直線與的一個交點且為的中點，求的坐標(biāo)及直線的方程【例6-4】（2015年真題）已知拋物線，直線(1)證明：與有兩個交點的充分必要條件是(2)設(shè)與有兩個交點，線段的垂直平分線交軸于點，求面積的取值范圍【變式1】（2010年真題）已知拋物線為過的焦點且傾斜角為的直線。設(shè)與交于兩點，與坐標(biāo)原點連線交的準(zhǔn)線于點(1)證明：垂直于軸(2)分析分別取什么范圍的值時，與的夾角為銳角、直角或鈍角【變式2】（2008年真題）如圖，與是過原點的任意兩條互相垂直的直線，分別交拋物線于點與點(1)證明交軸于固定點(2)求的面積的最小值【變式3】已知曲線C在x軸的上方，且曲線C上的任意一點到點距離比到直線的距離都小1．（1）求曲線C的方程：（2）設(shè)，過點直線與曲線C相交于A、B兩點，若恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

課后模擬·鞏固練習(xí)課后模擬·鞏固練習(xí)1、已知點在拋物線：（）上，為的焦點，則（）A．3 B．4 C．5 D．62、焦點在直線上的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A．或 B．或C．或 D．或3、根據(jù)下列條件寫出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)準(zhǔn)線方程是；(2)過點；(3)焦點到準(zhǔn)線的距離為。4、焦點坐標(biāo)為的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A．B．C．D．5、拋物線的焦點在軸正半軸上，且準(zhǔn)線與焦點軸間的距離為3，則此拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B． C． D．6、拋物線的焦點坐標(biāo)是（）A． B． C． D．7、拋物線過點，則其準(zhǔn)線方程為（

）A．B．C．D．8、若拋物線的焦點是橢圓的一個頂點，則的值為（

）．A．2 B．3 C．4 D．89、已知拋物線的焦點為點在上。若到直線的距離為4，則（

）A．7 B．6 C．5 D．410、已知拋物線的方程為，則其準(zhǔn)線方程為．11、分別求滿足下列條件的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程．(1)準(zhǔn)線方程為；(2)過點；(3)焦點在直線上．12、若雙曲線與有相同的焦點，與雙曲線有相同漸近線。(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)求過點的拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程．13、已知拋物線上一點到焦點的距離是6，則其準(zhǔn)線方程為（

）A． B． C． D．14、設(shè)拋物線的焦點為F，過F且斜率為2的直線l與C交于P、Q兩點，則。15、已知拋物線的焦點為．(1)求；(2)斜率為1的直線過點F，且與拋物線交于A，B兩點，求線段AB的長．16、設(shè)拋物線的焦點為，過拋物線上一點作其準(zhǔn)線的垂線，設(shè)垂足為，若，則（

）A． B． C． D．17、拋物線的焦點和準(zhǔn)線為（

）A．

B．

C．

D．

18、斜率為1的直線經(jīng)過拋物線（）的焦點，且與拋物線相交于兩點，線段的長為8，則的值為（

）A． B．1 C．2 D．319、直線被曲線所截得的弦長為，則實數(shù)的值為。20、已知直線與曲線只有一個公共點，則實數(shù)的值為．想破130，可以試試1、已知直線：與拋物線：恒有兩個交點．(1)求的取值范圍；(2)當(dāng)時，直線過拋物線的焦點，求此時線段的長度．2、已知點，，中恰有兩個點在拋物線上．(1)求的標(biāo)準(zhǔn)方程(2)若點，在上，且，證明：直線過定點．3、已知直線l：分別與x軸，直線交于點A，B，點P是線段AB的垂直平分線上的一點（P不在x軸負半軸上）且。(1)求點P的軌跡C的方程；(2)設(shè)l與C交于E，F(xiàn)兩點，點M在C上且滿足，延長MA交C于點N，求的最小值。4、已知拋物線C:的焦點為F，過點的直線l與C相交于A，B兩點，點A關(guān)于x軸的對稱點為D．(1)證明:直線BD經(jīng)過點F；(2)設(shè)，求直線l的方程。

知識點·梳理拋物線知識點·梳理1、拋物線的定義①拋物線的定義：平面內(nèi)與一個定點和一條定直線（其中定點不在定直線上）的距離相等的點的軌跡叫做拋物線，定點叫做拋物線的焦點，定直線叫做拋物線的準(zhǔn)線．②拋物線的數(shù)學(xué)表達式：(為點到準(zhǔn)線的距離)?！炯磳W(xué)即練1】已知拋物線上一點P到焦點的距離為5，則點P到x軸的距離為．【答案】?！驹斀狻繏佄锞€方程，則焦點坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為，由拋物線的定義可知，點P到準(zhǔn)線的距離為5，所以，解得：，代入，則所以點P到x軸的距離為．故答案為：。2、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程設(shè)，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、類型及其幾何性質(zhì)：方程（）（）（）（）圖形焦點準(zhǔn)線【即學(xué)即練2】設(shè)拋物線：的焦點為，點在上，，若，則（

）A． B．6 C． D．【答案】D【詳解】由題意可知，，所以．因為拋物線的通徑長為，所以軸，所以．故選：D特別說明：①要注意弄清拋物線四種形式的標(biāo)準(zhǔn)方程的特征及其對應(yīng)拋物線的形狀(焦點位置、開口方向等)。拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程中,有一個一次項和一個二次項,二次項的系數(shù)為1,一次項的系數(shù)為;若一次項的字母是,則焦點就在軸上,若其系數(shù)是正的,則焦點就在軸的正半軸上(開口向右),若系數(shù)是負的,焦點就在軸的負半軸上(開口向左);若一次項的字母是,則焦點就在軸上,若其系數(shù)是正的,則焦點就在軸的正半軸上(開口向上),若系數(shù)是負的,焦點就在軸的負半軸上(開口向下)。②焦點的非零坐標(biāo)是標(biāo)準(zhǔn)方程下一次項系數(shù)的。③準(zhǔn)線與坐標(biāo)軸的交點和拋物線的焦點關(guān)于原點對稱。④通徑：過焦點且垂直于對稱軸的弦長等于，通徑是過焦點最短的弦。拋物線（）上一點到焦點的距離，也稱為拋物線的焦半徑。3、拋物線的簡單幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程（）（）（）（）圖形范圍，，，，對稱軸軸軸軸軸焦點坐標(biāo)準(zhǔn)線方程頂點坐標(biāo)離心率通徑長4、直線與拋物線的位置關(guān)系設(shè)直線:,拋物線:（）,將直線方程與拋物線方程聯(lián)立整理成關(guān)于的方程(1)若,當(dāng)時,直線與拋物線相交,有兩個交點;當(dāng)時,直線與拋物線相切,有一個切點;當(dāng)時,直線與拋物線相離,沒有公共點。(2)若,直線與拋物線有一個交點,此時直線平行于拋物線的對稱軸或與對稱軸重合。因此直線與拋物線有一個公共點是直線與拋物線相切的必要不充分條件?！炯磳W(xué)即練3】過點且與拋物線有且只有1個公共點的直線條數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【詳解】如圖，設(shè)過點的直線為，則當(dāng)與軸平行時，與拋物線有一個公共點；當(dāng)直線和拋物線相切（有兩條切線）時，直線與拋物線也只有一個公共點。由畫圖可知，過點與拋物線有且只有1個公共點的直線有3條。故選:D。

重點題型·歸類精講重點題型·歸類精講題型一拋物線定義的理解【例1-1】已知拋物線的焦點為為上一點，為坐標(biāo)原點，當(dāng)時，，則（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【詳解】如圖，過作的準(zhǔn)線的垂線，垂足為，作，垂足為，由，得，所以，所以，即．故選：B．【例1-2】已知拋物線上有一點到準(zhǔn)線的距離為9，那么點到軸的距離為．【答案】【詳解】由知拋物線的準(zhǔn)線方程為，設(shè)點，由題意得，解得，代入拋物線方程，得，解得，則點到軸的距離為．故答案為：．【變式1】已知拋物線的焦點為，點在上，若到直線的距離為5，則（

）A．5 B．4 C．3 D．2【答案】C【詳解】由題意可知，拋物線的準(zhǔn)線為，而與P到準(zhǔn)線的距離相等，所以。故選：C【變式2】已知拋物線上的點到其準(zhǔn)線的距離為4，則（

）A．6 B． C．8 D．【答案】C【詳解】因為點到C的準(zhǔn)線的距離為4，所以，解得．故選：C【變式3】已知拋物線的焦點為，點在上．若到直線的距離為，則（

）A．B．C．D．【答案】B【詳解】由拋物線可知，準(zhǔn)線方程為，因為到直線的距離為，所以到拋物線準(zhǔn)線的距離為，由拋物線定義知，。故選：B。題型二根據(jù)拋物線方程求焦點和準(zhǔn)線【例2-1】（2024年真題）拋物線的焦點坐標(biāo)為A、B、C、D、【答案】D【解析】本題考查拋物線基本性質(zhì)。只能取正的，拋物線開口向上，拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程，焦點坐標(biāo)，即快速求解，前面的系數(shù)是焦點坐標(biāo)的4倍【例2-2】（2018年真題）若拋物線的準(zhǔn)線方程為，則【答案】6【解析】準(zhǔn)線方程，開口向右，焦點為拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程若，即只能取正數(shù)，每取一個正數(shù)，有兩個相對應(yīng)，拋物線開口向右。焦點坐標(biāo)準(zhǔn)線方程焦點坐標(biāo)準(zhǔn)線方程【例2-3】（2016年真題）拋物線過點，則該拋物線的準(zhǔn)線方程為A、B、C、D、【答案】A【解析】把代入拋物線得，所以準(zhǔn)線方程為【例2-4】（2014年真題）拋物線的準(zhǔn)線方程是___【答案】【解析】，所以準(zhǔn)線方程為【例2-5】（2006年真題）若拋物線的頂點坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為，則這條拋物線的焦點坐標(biāo)為___【答案】【解析】頂點到準(zhǔn)線的距離，與頂點到焦點的距離相等【例2-6】（2003年真題）拋物線的準(zhǔn)線方程為___【答案】【解析】，故準(zhǔn)線方程為【變式1】已知拋物線，則焦準(zhǔn)距是（

）A．1 B．2 C． D．【答案】D【詳解】由可得，所以，故焦準(zhǔn)距為，故選：D【變式2】已知拋物線C:，則C的準(zhǔn)線方程為（

）A．B．C．D．【答案】A【詳解】若，則可化為標(biāo)準(zhǔn)形式，故，故C的準(zhǔn)線方程為，故A正確?！咀兪?】若拋物線過點，則該拋物線的準(zhǔn)線方程為．【答案】【詳解】將點代入拋物線方程解得，所以，準(zhǔn)線方程為。故答案為：【變式4】已知拋物線）的焦點為F，點在拋物線C上，且，則拋物線C的準(zhǔn)線方程是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】因為點在拋物線上，且，可得，解得，即拋物線，所以拋物線C的準(zhǔn)線方程是。故選：D。【變式5】已知拋物線C：過點，則拋物線C的準(zhǔn)線方程為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由拋物線C：過點，可得，解得，即拋物線的方程為，可得拋物線的準(zhǔn)線方程為。故選：B題型三求拋物線方程【例3-1】（2020年真題節(jié)選）已知拋物線的頂點在原點，焦點為(1)求的方程解:(1)焦點為，拋物線開口向左，【例3-2】（2012年真題）過拋物線的焦點作斜率為和-2的直線，分別交拋物線的準(zhǔn)線于，若的面積是5，則拋物線的方程是A、B、C、D、【答案】D【解析】設(shè)兩條直線的方程分別為，求出，距離， 拋物線方程為【例3-3】已知拋物線的焦點為，點在拋物線上，且，求拋物線的方程【答案】【分析】點在拋物線上，由拋物線定義得，解得，故拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．【例3-4】若點到點的距離比它到直線的距離小1，則點的軌跡方程是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由于點到點的距離比它到直線的距離小1，故點到點的距離比它到直線的距離相等，故點是在以為焦點，以為準(zhǔn)線的拋物線上，故軌跡為，【變式1】以x軸為對稱軸，原點為頂點的拋物線上的一點到焦點的距離為3，則拋物線的方程是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】根據(jù)題意，可設(shè)拋物線的方程為，由拋物線的定義知，即，所以拋物線方程為．故選：C．【變式2】以坐標(biāo)軸為對稱軸，焦點在直線上的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A．或 B．或C．或 D．或【答案】D【詳解】直線與坐標(biāo)軸的交點為，當(dāng)拋物線的焦點為時，其標(biāo)準(zhǔn)方程為；當(dāng)拋物線的焦點為時，其標(biāo)準(zhǔn)方程為。故選：D題型四拋物線的簡單幾何性質(zhì)運用【例4-1】拋物線的焦點為，其準(zhǔn)線與雙曲線相交于兩點，若為等邊三角形，則的值為（）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】C【詳解】解：拋物線的焦點坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為：，準(zhǔn)線方程與雙曲線聯(lián)立可得：，解得，故,因為為等邊三角形，所以，即有，解得故選：C【例4-2】拋物線：的焦點為，為上一點且，為坐標(biāo)原點，則?！敬鸢浮俊驹斀狻咳鐖D：不妨設(shè)點Px,y在第一象限，過點作與拋物線的準(zhǔn)線垂直，垂足為。則，又，所以，所以。所以。故答案為：【例4-3】已知拋物線的焦點為，準(zhǔn)線為．若與焦距為的雙曲線的兩條漸近線分別交于點和點，且（為坐標(biāo)原點），則雙曲線的實軸長為．【答案】4【詳解】由拋物線的焦點為，則，準(zhǔn)線為，又，則，則可得點在雙曲線的漸近線上，又焦點在軸的雙曲線的漸近線為，則可得，即，又雙曲線的焦距為，即，由，即可得，則雙曲線的實軸長為，故答案為：【變式1】設(shè)O為坐標(biāo)原點，直線過拋物線的焦點，且與C交于M，N兩點，l為C的準(zhǔn)線，則三角形的面積為?！敬鸢浮?【詳解】由題意可知直線過點1,0，即為拋物線的焦點F1,0，所以，拋物線的方程為，設(shè)，由消去并化簡得，解得，所以，直線，即，到直線的距離為，所以三角形的面積為。故答案為：【變式2】拋物線的焦點為，直線與軸的交點為，與拋物線的交點為，且，則的值是?！敬鸢浮俊驹斀狻恳驗?，所以，拋物線的準(zhǔn)線方程為，設(shè)垂直于準(zhǔn)線，垂足為，則，，又因為，所以，又，所以，所以，所以點橫坐標(biāo)為，代入，則，，所以，所以。故答案為：【變式3】已知拋物線的焦點為F，準(zhǔn)線為l，過F的直線與拋物線交于點A、B，與直線l交于點D，若，則．【答案】3【詳解】作，，垂足分別為E，H，記，l與x軸的交點為G，則，易知，，所以，又，所以，即，，所以，故為的中位線，所以。故答案為：3題型五直線與拋物線【例5-1】（2017年真題）已知拋物線的焦點為，過作的對稱軸的垂線，與交于，則A、8B、4C、2D、1【答案】B【解析】的焦點為，當(dāng)時，，所以【例5-2】（2003年真題）過點的直線和拋物線交于兩點，且為線段的中點，求直線的方程解：設(shè)直線的方程設(shè)因為是的中點，所以把直線方程待遇拋物線得：、所以直線的方程為【例5-3】直線與拋物線：的圖象相切，則的準(zhǔn)線方程為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由，消去整理得，由，解得或（舍去），所以拋物線：，則的準(zhǔn)線方程為。故選：A【變式1】設(shè)拋物線的焦點為，過焦點的直線與拋物線相交于，兩點，則的最小值為（

）A．1 B． C． D．【答案】C【詳解】由得，，由題意可知直線的斜率存在，故設(shè)其方程為，聯(lián)立與可得，設(shè)，則，故，因此，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，故選：C【變式2】過拋物線的焦點的直線交拋物線于兩點，若弦中點縱坐標(biāo)為2，則．【答案】6【詳解】由得，所以焦點坐標(biāo)為，準(zhǔn)線為，設(shè)弦中點縱坐標(biāo)為，故．故答案為：6【變式3】已知橢圓的右焦點與拋物線的焦點重合，且橢圓的離心率為．(1)求橢圓的方程；(2)過拋物線焦點的直線和拋物線相交于M，N兩點，，求直線方程．【答案】(1)(2)或【詳解】（1）拋物線的焦點坐標(biāo)為，所以橢圓中，因為橢圓的離心率為，即，所以，，所以橢圓方程為（2）當(dāng)直線斜率不存在時，易知此時，不合題意；所以直線斜率存在，設(shè)過拋物線焦點的直線方程為，如下圖所：聯(lián)立得，設(shè)，則，根據(jù)焦點弦公式可得，解得，，所以直線方程為或【變式4】已知點P到的距離與它到x軸的距離的差為4，P的軌跡為曲線C。(1)求C的方程；(2)若直線與C交于A，B兩點，且弦中點的橫坐標(biāo)為，求的斜率?！敬鸢浮?1)或。(2)。【詳解】（1）設(shè)，由題意可知：，兩邊同時平方，得所以的方程為或。（2）由題可知曲線為，設(shè)，，則。由得，所以的斜率為【變式5】已知拋物線：，過點作直線．(1)若直線的斜率存在，且與拋物線只有一個公共點，求直線的方程．(2)若直線過拋物線的焦點，且交拋物線于，兩點，求弦長．【答案】(1)或；(2)【詳解】（1）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，消去整理得，則，解得或，故直線的方程為或；（2）拋物線的焦點為，則直線的方程為，設(shè)，，聯(lián)立，消去得，顯然則，故．題型六綜合運用【例6-1】（2023年真題）已知F為拋物線的焦點，過F的直線與C交于A，B兩點，若，則?！敬鸢浮俊窘馕觥扛鶕?jù)題意作出函數(shù)的大致圖象，如圖若，則點縱坐標(biāo)為點縱坐標(biāo)的-2倍即因為直線過焦點可設(shè)直線直線關(guān)系式即拋物線聯(lián)立整理得由韋達定理得又因為，所以代入拋物線方程得由拋物線的性質(zhì)得的長度為到準(zhǔn)線的距離即的長度為到準(zhǔn)線的距離即所以長為【例6-2】（2022年真題）已知為坐標(biāo)原點，雙曲線與拋物線交于A、B兩點﹐△AOB的面積為4。(1)求的方程(2)設(shè)為的左右焦點，點P在D上，求的最小值解:(1)設(shè)焦點，，把代入雙曲線方程得,解得雙曲線方程為(2)由(1)的,雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為為雙曲線的左右焦點設(shè)點坐標(biāo)為在拋物線上當(dāng)時,取最小值,最小值為-9【例6-3】（2020年真題）已知拋物線的頂點在原點，焦點為(1)求的方程（）(2)設(shè)為的準(zhǔn)線上的一點，為直線與的一個交點且為的中點，求的坐標(biāo)及直線的方程解:(1)焦點為，拋物線開口向左，(2)是拋物線準(zhǔn)線上的一點點的橫坐標(biāo)為又是的中點的橫坐標(biāo)為。代入拋物線解析式求得的縱坐標(biāo)為或。當(dāng)點的坐標(biāo)為時，的坐標(biāo)為設(shè)直線方程為，代入點、點得此時直線的直線方程為;同理，當(dāng)點的坐標(biāo)為時，的坐標(biāo)為，此時直線的直線方程為19【例6-4】（2015年真題）已知拋物線，直線(1)證明：與有兩個交點的充分必要條件是(2)設(shè)與有兩個交點，線段的垂直平分線交軸于點，求面積的取值范圍解：，即，把代入拋物線得，，整理得，有兩個交點，;當(dāng)時，，拋物線與直線有兩個交點。(2)兩點之間的距離為橢圓方程，直線方程，即；將直線方程代入橢圓得，整理得；兩點之間的距離中點坐標(biāo)公式與直線垂直的直線斜率，且經(jīng)過點設(shè)直線方程為，代入點得，解得直線方程為點坐標(biāo)為；點到直線距離為，【變式1】（2010年真題）已知拋物線為過的焦點且傾斜角為的直線。設(shè)與交于兩點，與坐標(biāo)原點連線交的準(zhǔn)線于點(1)證明：垂直于軸(2)分析分別取什么范圍的值時，與的夾角為銳角、直角或鈍角證明：設(shè)，直線方程為則直線方程為點的坐標(biāo)為設(shè)直線的方程為，解得，故點坐標(biāo)有因為點的坐標(biāo)為，所以軸所以與的夾角為鈍角【變式2】（2008年真題）如圖，與是過原點的任意兩條互相垂直的直線，分別交拋物線于點與點(1)證明交軸于固定點(2)求的面積的最小值(1)證明：設(shè)直線的方程為則與軸的交點坐標(biāo)為設(shè)點坐標(biāo)點坐標(biāo)因為直線與垂直所以，即把直線代入拋物線得整理得，即整理得：因為，所以即交軸于固定點(2)直線過，設(shè)直線方程為，代入拋物線方程得即，由韋達定理得所以當(dāng)直線與軸垂直時，斜率最大，值最小、等于2此時三角形面積最小，最小面積為方法二：設(shè)直線方程為直線方程為，拋物線方程為與聯(lián)立求得點坐標(biāo)長度為與聯(lián)立求得點坐標(biāo)長度為因為所以故三角形面積最小值為1【變式3】已知曲線C在x軸的上方，且曲線C上的任意一點到點距離比到直線的距離都小1．（1）求曲線C的方程：（2）設(shè)，過點直線與曲線C相交于A、B兩點，若恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．【答案】（1）；（2）．【詳解】（1）設(shè)點是曲線C上任意一點，得，即，，整理得，曲線C的方程為；（2）設(shè)，設(shè)直線，聯(lián)立得，，，，，，又，解得．【點睛】關(guān)鍵點睛：運用一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系是解題的關(guān)鍵

課后模擬·鞏固練習(xí)課后模擬·鞏固練習(xí)1、已知點在拋物線：（）上，為的焦點，則（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【詳解】將代入可得所以，故，故選：C2、焦點在直線上的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A．或 B．或C．或 D．或【答案】C【詳解】直線與坐標(biāo)軸的交點為以及，所以拋物線的焦點為或，當(dāng)焦點為，此時拋物線方程為，當(dāng)焦點為時，此時拋物線的方程為，故選：C3、根據(jù)下列條件寫出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)準(zhǔn)線方程是；(2)過點；(3)焦點到準(zhǔn)線的距離為?！敬鸢浮?1)(2)或(3)或或或【詳解】（1）由準(zhǔn)線方程為知拋物線的焦點在軸負半軸上，且，則，故所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）點在第二象限，設(shè)所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為或，將點代入，得，解得，所以拋物線方程為；將點代入，得，解得，所以拋物線方程為．綜上所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為或．（3）由焦點到準(zhǔn)線的距離為，所以，故所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為或或或．4、焦點坐標(biāo)為的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A．B．C．D．【答案】B【詳解】由焦點坐標(biāo)可設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由，所以，所以，拋物線方程為。故選：B5、拋物線的焦點在軸正半軸上，且準(zhǔn)線與焦點軸間的距離為3，則此拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】解：焦點在軸正半軸上的拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為，又準(zhǔn)線與焦點軸間的距離為3，可得，所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為。故選：A。6、拋物線的焦點坐標(biāo)是（）A． B． C． D．【答案】D【詳解】得到，則焦點坐標(biāo)為．故選：D7、拋物線過點，則其準(zhǔn)線方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】由拋物線過點，得，即，于是的準(zhǔn)線方程為。故選：D8、若拋物線的焦點是橢圓的一個頂點，則的值為（

）．A．2 B．3 C．4 D．8【答案】D【詳解】由題意知，（）的焦點為，的右頂點為，所以，解得。故選：D9、已知拋物線的焦點為點在上。若到直線的距離為4，則（

）A．7 B．6 C．5 D．4【答案】D【詳解】因為拋物線的焦點準(zhǔn)線方程為，點M在C上，所以M到準(zhǔn)線的距離為。又M到直線的距離為4，故。故選：D10、已知拋物線的方程為，則其準(zhǔn)線方程為．【答案】【詳解】由題意可知，且焦點在x軸的正半軸上，所以其準(zhǔn)線方程為。故答案為：11、分別求滿足下列條件的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程．(1)準(zhǔn)線方程為；(2)過點；(3)焦點在直線上．【答案】(1)；(2)或；(3)或。【詳解】（1）準(zhǔn)線方程為，即，則拋物線的焦點坐標(biāo)為，所以所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為。（2）設(shè)所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為或，于是，解得，或，解得，所以所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為或。（3）直線交y軸于點，則以為焦點的拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為；直線交x軸于點，則以為焦點的拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為或12、若雙曲線與有相同的焦點，與雙曲線有相同漸近線。(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)求過點的拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程．【答案】(1)(2)或。【詳解】（1）由題意在橢圓中有，，焦點在x軸上，而雙曲線與雙曲線有相同漸近線，所以設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以，解得，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為。（2）設(shè)過點的拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為或，所以有或，解得或，所以過點的拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為或。13、已知拋物線上一點到焦點的距離是6，則其準(zhǔn)線方程為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由題可得，解得：，所以拋物線的準(zhǔn)線方程為故選：A14、設(shè)拋物線的焦點為F，過F且斜率為2的直線l與C交于P、Q兩點，則?！敬鸢浮俊驹斀狻繏佄锞€的焦點為，過F且斜率為2的直線l方程為：，設(shè)，，聯(lián)立得：，則，所以。故答案為：15、已知拋物線的焦點為．(1)求；(2)斜率為1的直線過點F，且與拋物線交于A，B兩點，求線段AB的長．【答案】(1)4(2)16【詳解】（1）