第第頁知識(shí)點(diǎn)·梳理高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)——立體幾何中平行、垂直的證明專題知識(shí)點(diǎn)·梳理1、點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系①四個(gè)公理（1）公理一：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線就在此平面內(nèi)。（2）公理二：過不在一條直線上的三點(diǎn)有且只有一個(gè)平面。（3）公理三：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線。（4）公理四：平行于同一條直線的兩條直線平行。②用集合語言描述點(diǎn)、線、面間的關(guān)系（1）點(diǎn)與平面的位置關(guān)系：點(diǎn)在平面內(nèi)記作，點(diǎn)A不在平面α內(nèi)記作．（2）點(diǎn)與線的位置關(guān)系：點(diǎn)在直線上記作，點(diǎn)A不在直線l上，記作．（3）線面的位置關(guān)系：直線在平面內(nèi)記作，直線l不在平面α內(nèi)記作．（4）平面與平面相交于直線，記作．（5）直線與平面相交于點(diǎn)，記作．（6）直線與直線相交于點(diǎn)，記作．③空間直線與直線的位置關(guān)系（1）位置關(guān)系的分類：共面直線（平行、相交）、異面直線（不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線）；（2）異面直線所成的角：設(shè)是兩條異面直線，經(jīng)過空間中任一點(diǎn)O作直線，，把與所成的角叫做異面直線a，b所成的角(或夾角)；異面直線所成角的取值范圍：2、直線與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理文字語言圖形語言符號(hào)語言判定定理平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行(線線平行?線面平行)∵l∥a，a?α，l?α，∴l(xiāng)∥α性質(zhì)定理一條直線與一個(gè)平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行(簡記為“線面平行?線線平行”)∵l∥α，l?β，α∩β＝b，∴l(xiāng)∥b3、平面與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理文字語言圖形語言符號(hào)語言判定定理一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行(簡記為“線面平行?面面平行”)∵a∥β，b∥β，a∩b＝P，a?α，b?α，∴α∥β性質(zhì)定理如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行∵α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，∴a∥b如果兩個(gè)平面互相平行，其中一個(gè)平面內(nèi)的一直線平行與另外平面4、線線平行證明的常見思路①相似比（常用三角形的中位線）②構(gòu)造平行四邊形（證明一組對(duì)邊平行且相等）③平行的傳遞性④線面垂直的性質(zhì)：垂直同一個(gè)平面的兩條直線平行⑤線面平行的性質(zhì)⑥面面平行的性質(zhì)5、直線與平面垂直①直線和平面垂直的定義：直線l與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，就說直線l與平面α互相垂直②直線與平面垂直的判定定理及性質(zhì)定理：文字語言圖形語言符號(hào)語言判定定理一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直?l⊥α性質(zhì)定理垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行?a∥b6、平面與平面垂直的判定定理與性質(zhì)定理文字語言圖形語言符號(hào)語言判定定理一個(gè)平面過另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)平面垂直?α⊥β性質(zhì)定理兩個(gè)平面垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個(gè)平面垂直?l⊥α7、證明線線垂直的思路①正方形、矩形產(chǎn)生垂直②菱形對(duì)角線互相垂直③等腰三角形和等邊三角形取中點(diǎn)產(chǎn)生垂直④通過算變成結(jié)合勾股定理得到垂直

重點(diǎn)題型·歸類精講重點(diǎn)題型·歸類精講題型一立體幾何中點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系【例1-1】（2022年真題）設(shè)是三個(gè)平面，有下列四個(gè)命題，其中所有真命題的序號(hào)是．【例1-2】（2021年真題）已知為兩條直線，為兩個(gè)平面，下述四個(gè)結(jié)論正確的是（

）A．①②B．②④C．①④D．③④【例1-3】（2020年真題）若平面滿足，有下列四個(gè)判斷:(1)(2)當(dāng)時(shí)，(3)(4)當(dāng)時(shí)，其中，正確的是(填寫所有正確判斷的序號(hào))【例1-4】（2015年真題）設(shè)直線，平面，有4個(gè)命題：①若，則②若，則③若，則④若，則其中真命題是A、①③ B、 C、①④ D、【變式1】（2012年真題）下面是關(guān)于三個(gè)不同平面的四個(gè)命題：若：若：若：若其中真命題是A、 B、 C、 D、【變式2】（2010年真題）下面是關(guān)于兩條直線和兩個(gè)平面的四個(gè)命題：其中的假命題是A、 B、 C、 D、【變式3】（2009年真題）關(guān)于空間中的平面和直線，有下列四個(gè)命題：與相交其中真命題為A、 B、 C、 D、【變式4】設(shè)是兩個(gè)平面，是兩條直線，則下列命題為真命題的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【變式5】已知是兩個(gè)不同的平面，是兩條不同的直線，下列命題不正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則。題型二立體幾何中平行問題的證明【例2-1】（2024年真題節(jié)選）在四面體中，點(diǎn)分別為的中點(diǎn)。證明:平面【例2-2】（2021年真題節(jié)選）如圖，正方形中，分別是AB，AD的中點(diǎn)。證明：直線；【例2-3】（2019年真題節(jié)選）如圖，四棱雉的底面是邊長為2的正方形，側(cè)面底面，且，分別為的中點(diǎn)，證明:平面【例2-4】（2018年真題節(jié)選）如圖，是棱長為1的正方體，是的中點(diǎn)證明：平面【例2-5】（2016年真題節(jié)選）如圖，正三棱柱中，是的中點(diǎn)，證明平面【例2-6】（2015年真題節(jié)選）如圖，四棱錐中，底面為梯形，，且平面是的中點(diǎn)，證明平面【變式1】（2009年真題節(jié)選）正三棱柱，已知為的中點(diǎn)，證明平面【變式2】（2007年真題節(jié)選）已知為正三棱柱，是中點(diǎn)，證明平面【變式3】如圖，在直三棱柱中，，，，，D，E分別是，的中點(diǎn)。證明：平面平面；【變式4】如圖，在四棱錐中，，，平面，底面為正方形，，分別為，的中點(diǎn)。求證：平面；【變式5】如圖，在四棱錐中，平面，底面為平行四邊形，分別為的中點(diǎn)。證明：平面；。題型三立體幾何中垂直問題的證明【例3-1】（2020年真題改編）如圖，正三棱柱中，為中點(diǎn)，證明:平面平面【例3-2】（2018年真題節(jié)選）如圖，是棱長為1的正方體，是的中點(diǎn)。證明：平面【例3-3】（2017年真題節(jié)選）如圖，四面體中，在棱上，證明：平面【例3-4】（2014年真題節(jié)選）如圖，長方體中分別是的中點(diǎn)【例3-5】（2012年真題節(jié)選）如圖，已知正方體的棱長為是中點(diǎn)證明：【變式1】（2010年真題改編）長方體中，為的中點(diǎn)，已知，，證明：平面【變式2】（2004年真題節(jié)選）已知是等腰直角三角形，，且，又為等邊三角形，平面平面，求證平面平面【變式3】（2003年真題）如圖在正四棱柱中，為底面的對(duì)角線，為的中點(diǎn)，求證：【變式4】如圖，在四棱錐中，平面，，，且．求證：平面；【變式5】如圖、四棱錐的底面ABCD是菱形，，。求證：平面平面ABCD；課后模擬·鞏固練習(xí)課后模擬·鞏固練習(xí)1．已知是兩條不同的直線，是兩個(gè)不同的平面，則下列命題正確的是（

）A．若，且，則B．若，且，則C．若，且，則D．若，且，則2．已知，是兩條不同的直線，，是兩個(gè)不同的平面，下列命題正確的是（

）A．若，，，則 B．若，，，則C．若，，，則 D．若，，，則3．設(shè)是空間中的一個(gè)平面，，，是三條不同的直線，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．若，，，，則B．若，，，則C．若，，，則D．若，，，則4．已知m，n是兩條不同直線，，，是三個(gè)不同平面，下列命題中正確的是（

）A．若，，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，則5．設(shè)m、n是兩條不同的直線，α、β是兩個(gè)不同的平面，則下列命題正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則6．若為兩條不同的直線，為一個(gè)平面，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．若，，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，則與相交7．已知直線m，n，l，平面，下列正確的是（

）A．若，則與異面 B．若，則C．若，則 D．若，則8．已知是兩個(gè)平面，是兩條不同的直線，則下列說法正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則9．下列命題中不正確的是（

）A．如果平面平面，且直線平面，則直線平面B．如果平面平面，那么平面內(nèi)一定存在直線平行于平面C．如果平面不垂直于平面，那么平面內(nèi)一定不存在直線垂直于平面D．如果平面平面，平面平面，，那么10．空間中有兩個(gè)不同的平面、和兩條不同的直線m、n，則下列說法中正確的是（

）A．若，，，則B．若，，，則C．若，，，則D．若，，，則11．如圖平面．若平面，證明：；12．如圖，在四棱錐中，底面是正方形，面為棱上的動(dòng)點(diǎn)．若為棱中點(diǎn)，證明：面；13．如圖，在棱長為的正方體中，為的中點(diǎn)．求證：平面；14．在四棱錐中，已知平面，，，，是線段上的點(diǎn)，。證明：平面；15．如圖，在直三棱柱中，，側(cè)面為正方形，，，分別為，的中點(diǎn)．求證：平面；16．四棱錐中，，側(cè)面底面，且是棱上一動(dòng)點(diǎn)。當(dāng)平面時(shí)，求的值；17．在直四棱柱中，底面為等腰梯形，，，，，是棱的中點(diǎn)．平面平面．18．如圖，已知在四棱柱中，底面為梯形，，底面，，其中，，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)。求證：平面；19．三棱柱中，底面，且各棱長均相等，為的中點(diǎn)．F為AB的中點(diǎn)。(1)證明：平面平面；(2)證明：平面平面．20．如圖，在三棱錐中，為正三角形，E是的中點(diǎn)，。求證：；21．如圖在三棱柱中，側(cè)面，均為正方形，，，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)．求證：平面；22．如圖，在正三棱柱中，是棱的中點(diǎn)．(1)證明：；(2)證明：平面；23．如圖，在四面體中，，是的中點(diǎn)。求證：平面；24．已知直三棱柱中，，且，點(diǎn)分別為線段和的中點(diǎn)。證明：平面；25．如圖，在四棱錐中，底面是正方形，側(cè)面是正三角形，側(cè)面底面，M是的中點(diǎn)．(1)證明：平面；(2)證明：平面平面；26．如圖，在底面是矩形的四棱錐中，底面，、分別是、的中點(diǎn)。(1)求證：平面；(2)求證：平面。

知識(shí)點(diǎn)·梳理立體幾何中平行、垂直的證明知識(shí)點(diǎn)·梳理1、點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系①四個(gè)公理（1）公理一：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線就在此平面內(nèi)。（2）公理二：過不在一條直線上的三點(diǎn)有且只有一個(gè)平面。（3）公理三：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線。（4）公理四：平行于同一條直線的兩條直線平行。②用集合語言描述點(diǎn)、線、面間的關(guān)系（1）點(diǎn)與平面的位置關(guān)系：點(diǎn)在平面內(nèi)記作，點(diǎn)A不在平面α內(nèi)記作．（2）點(diǎn)與線的位置關(guān)系：點(diǎn)在直線上記作，點(diǎn)A不在直線l上，記作．（3）線面的位置關(guān)系：直線在平面內(nèi)記作，直線l不在平面α內(nèi)記作．（4）平面與平面相交于直線，記作．（5）直線與平面相交于點(diǎn)，記作．（6）直線與直線相交于點(diǎn)，記作．③空間直線與直線的位置關(guān)系（1）位置關(guān)系的分類：共面直線（平行、相交）、異面直線（不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線）；（2）異面直線所成的角：設(shè)是兩條異面直線，經(jīng)過空間中任一點(diǎn)O作直線，，把與所成的角叫做異面直線a，b所成的角(或夾角)；異面直線所成角的取值范圍：2、直線與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理文字語言圖形語言符號(hào)語言判定定理平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行(線線平行?線面平行)∵l∥a，a?α，l?α，∴l(xiāng)∥α性質(zhì)定理一條直線與一個(gè)平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行(簡記為“線面平行?線線平行”)∵l∥α，l?β，α∩β＝b，∴l(xiāng)∥b3、平面與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理文字語言圖形語言符號(hào)語言判定定理一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行(簡記為“線面平行?面面平行”)∵a∥β，b∥β，a∩b＝P，a?α，b?α，∴α∥β性質(zhì)定理如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行∵α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，∴a∥b如果兩個(gè)平面互相平行，其中一個(gè)平面內(nèi)的一直線平行與另外平面4、線線平行證明的常見思路①相似比（常用三角形的中位線）②構(gòu)造平行四邊形（證明一組對(duì)邊平行且相等）③平行的傳遞性④線面垂直的性質(zhì)：垂直同一個(gè)平面的兩條直線平行⑤線面平行的性質(zhì)⑥面面平行的性質(zhì)5、直線與平面垂直①直線和平面垂直的定義：直線l與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，就說直線l與平面α互相垂直②直線與平面垂直的判定定理及性質(zhì)定理：文字語言圖形語言符號(hào)語言判定定理一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直?l⊥α性質(zhì)定理垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行?a∥b6、平面與平面垂直的判定定理與性質(zhì)定理文字語言圖形語言符號(hào)語言判定定理一個(gè)平面過另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)平面垂直?α⊥β性質(zhì)定理兩個(gè)平面垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個(gè)平面垂直?l⊥α7、證明線線垂直的思路①正方形、矩形產(chǎn)生垂直②菱形對(duì)角線互相垂直③等腰三角形和等邊三角形取中點(diǎn)產(chǎn)生垂直④通過算變成結(jié)合勾股定理得到垂直

重點(diǎn)題型·歸類精講重點(diǎn)題型·歸類精講題型一立體幾何中點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系【例1-1】（2022年真題）設(shè)是三個(gè)平面，有下列四個(gè)命題，其中所有真命題的序號(hào)是．【答案】(2)(3)【解析】(1)平面均與平面垂直,在保證與平面垂直的前提下轉(zhuǎn)動(dòng)平面,可知與平面的位置關(guān)系不確定;(2)正確;(3)正確:(4)正確結(jié)論應(yīng)該是。【例1-2】（2021年真題）已知為兩條直線，為兩個(gè)平面，下述四個(gè)結(jié)論正確的是（

）A．①②B．②④C．①④D．③④【答案】D【解析】思路，本題考查空間想象能力，考試時(shí)遇到這種問題，可以把考場的天花板、地面、黑板當(dāng)成平面，把中性筆、涂卡筆當(dāng)成兩條直線，比劃比劃得出正確的選項(xiàng)。(1)，找兩個(gè)平行的平面，如天花板和地面，一條直線(筆)與其中一個(gè)平面平行，另一條直線(筆)與另一個(gè)平面平行，在保持平行的同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)其中一條直線，可以發(fā)現(xiàn)直線與不一定平行。(2)，找兩個(gè)垂直的平面，如黑板和地面，一條直線(筆)與其中一個(gè)平面平行，另一條直線(筆)與另一個(gè)平面平行，在保持平行的同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)其中一條直線，可以發(fā)現(xiàn)直線與不一定平行。【例1-3】（2020年真題）若平面滿足，有下列四個(gè)判斷:(1)(2)當(dāng)時(shí)，(3)(4)當(dāng)時(shí)，其中，正確的是(填寫所有正確判斷的序號(hào))【答案】(2)(4)【解析】本題考查空間想象能力，可把房間、教室、考場的墻壁當(dāng)作平面，取幾個(gè)筆當(dāng)作直線，比劃計(jì)劃求解。，可想象成天花板與黑板垂直，并且相交與直線，可想象成取一張紙垂直于黑板，并且與黑板交于直線在與垂直的前提下，順時(shí)針或逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)紙張，可知與可能平行、垂直，或者既不平行，也不垂直，排除(1)(3);當(dāng)紙張與天花板平行時(shí)，它們與黑板的交線也平行，當(dāng)紙張與天花板交于直線(紙張作為平面可以無限延伸)，直線也與黑板垂直?！纠?-4】（2015年真題）設(shè)直線，平面，有4個(gè)命題：①若，則②若，則③若，則④若，則其中真命題是A、①③ B、 C、①④ D、【答案】A【解析】②若，則，或相交、或異面;④若，則，或相交【變式1】（2012年真題）下面是關(guān)于三個(gè)不同平面的四個(gè)命題：若：若：若：若其中真命題是A、 B、 C、 D、【答案】D【解析】：若或相交;;若或相交【變式2】（2010年真題）下面是關(guān)于兩條直線和兩個(gè)平面的四個(gè)命題：其中的假命題是A、 B、 C、 D、【答案】A【解析】平行于同一平面的兩個(gè)直線，位置關(guān)系無法確定，假如兩個(gè)筆同時(shí)平行于桌面，在保證平行的前提下轉(zhuǎn)動(dòng)筆，故兩直線位置關(guān)系無法確定，故為假;兩個(gè)平面平行，如天花板、地面平行，一條直線與天花板平行，另一條直線與地面平行，在保證平行的情況下轉(zhuǎn)動(dòng)直線，故兩直線位置關(guān)系無法確定。【變式3】（2009年真題）關(guān)于空間中的平面和直線，有下列四個(gè)命題：與相交其中真命題為A、 B、 C、 D、【答案】C【解析】平面內(nèi)垂直與同一直線的兩直線平行，空間內(nèi)不一定，可以在保證垂直的前提下，轉(zhuǎn)動(dòng)，故位置關(guān)系不確定，為假命題;在保證與平面平行的前提下，轉(zhuǎn)動(dòng)，故位置關(guān)系不確定，假命題;與平行時(shí)，，故假命題【變式4】設(shè)是兩個(gè)平面，是兩條直線，則下列命題為真命題的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】C【詳解】A選項(xiàng)：如圖：在正方體中，，此時(shí)與夾角為，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；B選項(xiàng)：如圖：在正方體中，，此時(shí)，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；D選項(xiàng)：如圖：在正方體中：，此時(shí)，D選項(xiàng)錯(cuò)誤；C選項(xiàng)：如圖：過作平面，使得，，∵，∴，則，又∵，∴，∴，C選項(xiàng)正確。故選：C?！咀兪?】已知是兩個(gè)不同的平面，是兩條不同的直線，下列命題不正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】D【詳解】若，則,故A選項(xiàng)正確；由，，可以推出，故B選項(xiàng)正確；由平面與平面垂直的判定定理可知，若，則，故C選項(xiàng)正確；，，則或異面，故D不正確。故選：D。。題型二立體幾何中平行問題的證明【例2-1】（2024年真題節(jié)選）在四面體中，點(diǎn)分別為的中點(diǎn)。證明:平面證明:(1)分別為的中點(diǎn)為中位線，即平面平面平面【例2-2】（2021年真題節(jié)選）如圖，正方形中，分別是AB，AD的中點(diǎn)。證明：直線；證明:分別為的中點(diǎn)平面平面平面【例2-3】（2019年真題節(jié)選）如圖，四棱雉的底面是邊長為2的正方形，側(cè)面底面，且，分別為的中點(diǎn)，證明:平面證明:(1)是的中點(diǎn)也是的中點(diǎn)是的中位線又平面平面平面【例2-4】（2018年真題節(jié)選）如圖，是棱長為1的正方體，是的中點(diǎn)證明：平面證明:連接交于點(diǎn)，連接為中點(diǎn)，為中點(diǎn)平面平面平面【例2-5】（2016年真題節(jié)選）如圖，正三棱柱中，是的中點(diǎn)，證明平面證明：(1)連接，交于點(diǎn)，則是的中點(diǎn)是的中點(diǎn)//平面平面平面【例2-6】（2015年真題節(jié)選）如圖，四棱錐中，底面為梯形，，且平面是的中點(diǎn)，證明平面證明：找的中點(diǎn)，連接分別為的中點(diǎn)又為平行四邊形又平面平面平面【變式1】（2009年真題節(jié)選）正三棱柱，已知為的中點(diǎn)，證明平面(1)證明：連接與交于點(diǎn)，連接是四邊形對(duì)角線的交點(diǎn)是的中點(diǎn)又是的中點(diǎn)是的中位線平面平面平面【變式2】（2007年真題節(jié)選）已知為正三棱柱，是中點(diǎn)，證明平面證明：連接，交于點(diǎn)，連接因?yàn)槭情L方形對(duì)角線的交點(diǎn)所以又因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)所以是的中位線所以因?yàn)槠矫嫫矫嫠云矫妗咀兪?】如圖，在直三棱柱中，，，，，D，E分別是，的中點(diǎn)。證明：平面平面；由直三棱柱性質(zhì)，以及D，E分別是，的中點(diǎn)，所以，即四邊形為平行四邊形，可得，又平面，平面，所以平面；又易知，即四邊形為平行四邊形,可得，又平面，平面，所以平面；顯然平面，所以平面平面；【變式4】如圖，在四棱錐中，，，平面，底面為正方形，，分別為，的中點(diǎn)。求證：平面；因?yàn)?，分別為，的中點(diǎn)，所以，又平面，平面，所以平面；【變式5】如圖，在四棱錐中，平面，底面為平行四邊形，分別為的中點(diǎn)。證明：平面；取的中點(diǎn)，連接，在中，因?yàn)榉謩e為中點(diǎn)，所以，在四邊形中，且相等，，所以，即四邊形為平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面。題型三立體幾何中垂直問題的證明【例3-1】（2020年真題改編）如圖，正三棱柱中，為中點(diǎn)，證明:平面平面(2)找的中點(diǎn)，連結(jié)為等腰直角三角形又交于點(diǎn)平面平面平面平面【例3-2】（2018年真題節(jié)選）如圖，是棱長為1的正方體，是的中點(diǎn)。證明：平面平面平面又交于點(diǎn)平面又平面連接交于點(diǎn)，平面又交于點(diǎn)平面【例3-3】（2017年真題節(jié)選）如圖，四面體中，在棱上，證明：平面連接，即又交于點(diǎn)平面【例3-4】（2014年真題節(jié)選）如圖，長方體中分別是的中點(diǎn)交于點(diǎn)平面又是的中點(diǎn)又交于點(diǎn)平面又平面平面平面【例3-5】（2012年真題節(jié)選）如圖，已知正方體的棱長為是中點(diǎn)證明：證明(1)連接，交于點(diǎn)又交于點(diǎn)平面又平面【變式1】（2010年真題改編）長方體中，為的中點(diǎn)，已知，，證明：平面平面，因?yàn)槠矫嫠赃B接，則四邊形為正方形為正方形對(duì)角線所以相交于點(diǎn)所以平面【變式2】（2004年真題節(jié)選）已知是等腰直角三角形，，且，又為等邊三角形，平面平面，求證平面平面證明：因?yàn)槠矫嫫矫鏋槠矫婧推矫娴慕痪€所以平面又因?yàn)槠矫嫠云矫嫫矫妗咀兪?】（2003年真題）如圖在正四棱柱中，為底面的對(duì)角線，為的中點(diǎn)，求證：(1)證明：因?yàn)樗倪呅螢檎叫嗡杂忠驗(yàn)槠矫嫫矫嫠砸驗(yàn)橄嘟挥邳c(diǎn)所以平面因?yàn)槠矫嫠浴咀兪?】如圖，在四棱錐中，平面，，，且．求證：平面；因?yàn)槠矫?，平面，所以，又因?yàn)?，所以，而，且平面，所以平面；【變?】如圖、四棱錐的底面ABCD是菱形，，。求證：平面平面ABCD；證明：設(shè)是AD的中點(diǎn)，連結(jié)OP，OB，，，，由勾股定理得，，，∵四邊形ABCD是菱形，∴，故為等腰直角三角形，∴，∵，，，∵平面，，平面ABCD，∵平面，平面平面ABCD；

課后模擬·鞏固練習(xí)課后模擬·鞏固練習(xí)1．已知是兩條不同的直線，是兩個(gè)不同的平面，則下列命題正確的是（

）A．若，且，則B．若，且，則C．若，且，則D．若，且，則【答案】C【詳解】對(duì)于A，若，且，則或與相交，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，在正方體中，取為，為，平面為，平面為，符合題意，但，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)?，所以直線的方向向量是平面的法向量，直線的方向向量是平面的法向量，又，所以兩直線的方向向量垂直，即兩平面的法向量垂直，所以，故C正確；對(duì)于D，在正方體中，取為，為，平面為，平面為，此時(shí)符合題設(shè)，但與不垂直，故D錯(cuò)誤。故選：C。2．已知，是兩條不同的直線，，是兩個(gè)不同的平面，下列命題正確的是（

）A．若，，，則 B．若，，，則C．若，，，則 D．若，，，則【答案】D【詳解】作正方體，對(duì)于A，取平面為平面，平面為平面，直線為直線，直線為直線，則，但直線異面，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B，取平面為平面，平面為平面，直線為直線，直線為直線，則，但直線不垂直，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C：若，，，則，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D：若，，，則，故D選項(xiàng)正確。故選：D。3．設(shè)是空間中的一個(gè)平面，，，是三條不同的直線，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．若，，，，則B．若，，，則C．若，，，則D．若，，，則【答案】C【詳解】對(duì)于A中，由，只有當(dāng)與相交時(shí)才能得到，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B中，由，，可得，又由，所以，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C中，若，，所以，又，所以，所以C正確；對(duì)于D中，由，，則或，當(dāng)時(shí)，由，則或與異面；當(dāng)時(shí)，由，則或與相交，所以D錯(cuò)誤．故選：C4．已知m，n是兩條不同直線，，，是三個(gè)不同平面，下列命題中正確的是（

）A．若，，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，則【答案】D【詳解】選項(xiàng)A中若，，則可能異面、相交或平行，故A不正確，選項(xiàng)B中若，，則可能平行或相交，故B不正確，選項(xiàng)C中若，，則可能平行或相交，故C不正確．選項(xiàng)D，若，，則，滿足直線與平面垂直的性質(zhì)，所以D正確；5．設(shè)m、n是兩條不同的直線，α、β是兩個(gè)不同的平面，則下列命題正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】D【詳解】對(duì)于A，兩直線平行于同一平面，兩直線可能相交，平行，異面，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，此時(shí)，m有可能在平面內(nèi)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，此時(shí)，m有可能在平面內(nèi)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因，，則，故D正確。故選：D6．若為兩條不同的直線，為一個(gè)平面，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．若，，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，則與相交【答案】C【詳解】對(duì)于A，若，，則，或與相交，或與異面，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若，，則或與相交，或與異面，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若，，則，故C正確；對(duì)于D，若，，則與相交，或與異面，故D錯(cuò)誤。故選：C。7．已知直線m，n，l，平面，下列正確的是（

）A．若，則與異面 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】D【詳解】若，則與異面或，故A錯(cuò)誤；若，則或，故B錯(cuò)誤；若，當(dāng)時(shí)，可得，若，可能有，故C錯(cuò)誤；若，設(shè)，在內(nèi)作直線，則，又，所以，又，所以，所以，故D正確。故選：D。8．已知是兩個(gè)平面，是兩條不同的直線，則下列說法正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】C【詳解】對(duì)A：若，則或，故A錯(cuò)誤；對(duì)B：因?yàn)槠叫杏谕粋€(gè)平面的兩條直線的位置關(guān)系不能確定，故B錯(cuò)誤；對(duì)C：若，則；，則，所以，所以，所以C正確；對(duì)D：若，，則或，故D錯(cuò)誤。故選：C9．下列命題中不正確的是（

）A．如果平面平面，且直線平面，則直線平面B．如果平面平面，那么平面內(nèi)一定存在直線平行于平面C．如果平面不垂直于平面，那么平面內(nèi)一定不存在直線垂直于平面D．如果平面平面，平面平面，，那么【答案】A【詳解】對(duì)于A，由題意可作圖如下：設(shè)平面為平面，平面為平面，直線為直線，顯然平面平面，且直線平面，但此時(shí)直線平面，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，設(shè)平面平面直線，一定存在直線平面，使得直線直線，由平面平面，則直線平面，故B正確；對(duì)于C，當(dāng)平面內(nèi)存在一條直線垂直于平面，則兩個(gè)平面必定垂直，故C正確；對(duì)于D，由平面平面，平面平面，則存在，使得，存在，使得，即，因?yàn)?，，所以，因?yàn)?，，所以，則，故D正確。故選：A。10．空間中有兩個(gè)不同的平面、和兩條不同的直線m、n，則下列說法中正確的是（

）A．若，，，則B．若，，，則C．若，，，則D．若，，，則【答案】C【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：若，，，則可能異面，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：若，，則與不一定垂直，且，所以與不一定垂直，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C：若，，可知，且，所以，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：若，，，則可能有，故D錯(cuò)誤；故選：C。11．如圖平面．若平面，證明：；因?yàn)椋?，所以⊥，又平面，平面，所以，因?yàn)?，平面，所以⊥平面，因?yàn)槠矫妫浴?，因?yàn)槠矫妫矫?，平面平面，所以，因?yàn)椤?，所以?2．如圖，在四棱錐中，底面是正方形，面為棱上的動(dòng)點(diǎn)．若為棱中點(diǎn)，證明：面；連接交于，則為三角形中位線，易知，又因?yàn)樯希?，所以面?3．如圖，在棱長為的正方體中，為的中點(diǎn)．求證：平面；在正方體中，，則四邊形為平行四邊形，因此，而平面，平面，所以平面。14．在四棱錐中，已知平面，，，，是線段上的點(diǎn)，。證明：平面；連接交于點(diǎn)，連接，如下圖所示：

因?yàn)?，則，，所以，，所以，，又因?yàn)?，所以，，因?yàn)槠矫妫矫?，故平面?5．如圖，在直三棱柱中，，側(cè)面為正方形，，，分別為，的中點(diǎn)．求證：平面；連接，在中，因?yàn)?，分別為，的中點(diǎn)，所以,又平面，平面，所以平面．16．四棱錐中，，側(cè)面底面，且是棱上一動(dòng)點(diǎn)。當(dāng)平面時(shí)，求的值；連接交于點(diǎn)，連接，因?yàn)楫?dāng)平面平面，平面平面，所以，所以，在梯形中，，所以；17．在直四棱柱中，底面為等腰梯形，，，，，是棱的中點(diǎn)．平面平面．因?yàn)?，，是棱的中點(diǎn)，所以，所以為正三角形．因?yàn)闉榈妊菪?，，，?/p>