第第頁(yè)高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)——等比數(shù)列及其前N項(xiàng)和專題知識(shí)點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)·梳理①等比數(shù)列的有關(guān)概念1）等比數(shù)列的定義：一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)開始，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比值都等于同一個(gè)常數(shù)的數(shù)列，其中這個(gè)常數(shù)稱為公比.2）等比數(shù)列定義式：.3）等比中項(xiàng)：若成等比數(shù)列，則.4）等比數(shù)列的通項(xiàng)公式：或.5）等比數(shù)列的前n項(xiàng)和：（當(dāng)時(shí)），（當(dāng)時(shí)）.②等比數(shù)列的單調(diào)性單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，③等比數(shù)列的性質(zhì)已知數(shù)列是等比數(shù)列，是數(shù)列的前項(xiàng)和.1）若,則有;2）若數(shù)列是等比數(shù)列，公比為，則是等比數(shù)列;3）數(shù)列成等比數(shù)列;4）相鄰奇數(shù)項(xiàng)或者偶數(shù)項(xiàng)的符號(hào)保持一致.

重點(diǎn)題型·歸類精講重點(diǎn)題型·歸類精講題型一等比數(shù)列基本量的計(jì)算【例1-1】（2024年真題）等比數(shù)列中，A、2B、4C、9D、252【例1-2】（2021年真題）若是公比為3的等比數(shù)列，且，則．【例1-3】（2020年真題）等比數(shù)列中，若，則___【例1-4】（2012年真題）已知是等比數(shù)列，，則___【例1-5】（2011年真題）已知是等比數(shù)列，，則【例1-6】（2010年真題）是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，已知，則___【例1-7】（2008年真題）是等比數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，公比，則A.2B.3C.5D.8【例1-8】（2006年真題）設(shè)等比數(shù)列的第3項(xiàng)，第8項(xiàng)，則第5項(xiàng)___(用數(shù)字作答)【例1-9】（2004年真題）已知等比數(shù)列的公比是2，且前4項(xiàng)的和為1，那么前8項(xiàng)之和為___【變式1】在等比數(shù)列中，(1)已知，，求；(2)已知，，，求；(3)已知，，求．(4)，，求；(5)，，求；題型二等比中項(xiàng)【例2-1】已知數(shù)列為等比數(shù)列，，則（

）A．2 B．4 C．8 D．16【例2-2】已知等比數(shù)列中，，，則（

）A．4或 B． C．4 D．8【例2-3】等比數(shù)列中，，，則與的等比中項(xiàng)為（

）A．12 B． C． D．30【例2-4】已知，，若a，b，c三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，則（

）A．5 B．1 C． D．或1【變式1】已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，，，則（

）A．7 B．8 C．9 D．10【變式2】等比數(shù)列中，，則與的等比中項(xiàng)為（

）A．24 B． C． D．【變式3】已知數(shù)列為等比數(shù)列，是它的前項(xiàng)和，若，且與的等差中項(xiàng)為，則（

）A．35 B．33 C．31 D．30題型三等比數(shù)列的性質(zhì)【例3-1】（2024年真題）等比數(shù)列中，A、2B、4C、9D、252【例3-2】（2013年真題）若等比數(shù)列前項(xiàng)和為，則A、-5B、0C、1D、-1【例3-3】等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（

）A．2 B．-2 C．1 D．-1【例3-4】設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和是.已知，則（

）A．13 B．12 C．6 D．3【變式1】已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則等于（

）A． B． C． D．【變式2】等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則（）A． B． C． D．【變式3】已知數(shù)列是等比數(shù)列，為其前項(xiàng)和，若，，則（

）A．27 B．39 C．81 D．120題型四等差數(shù)列與等比數(shù)列綜合【例4-1】（2019年真題）已知是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，且成等差數(shù)列，則的公比為___【例4-2】（2018年真題）已知是公差不為零的等差數(shù)列，，且成等比數(shù)列(1)求的通項(xiàng)公式(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和【例4-3】（2016年真題）已知是等比數(shù)列，，數(shù)列滿足(1)證明數(shù)列是等差數(shù)列(2)求的前項(xiàng)和的最大值【例4-4】（2009年真題）是等比數(shù)列，是公差不為零的等差數(shù)列，已知(1)求和的通項(xiàng)公式(2)設(shè)的前項(xiàng)和為，是否存在正整數(shù)，使?若存在，求出，若不存在，說明理由?！纠?-5】（2003年真題）已知等差數(shù)列中，，且又成等比數(shù)列，，求公差及項(xiàng)數(shù)課后模擬課后模擬·鞏固練習(xí)1．正項(xiàng)等比數(shù)列中，，，則（

）A． B．3 C．6 D．92．在等比數(shù)列中，若，則（

）A．6 B．9 C． D．3．已知等比數(shù)列滿足，，則（

）A．26 B．78 C．104 D．1304．在等比數(shù)列中，若，則的公比（

）A． B． C． D．45．在等比數(shù)列中，成等差數(shù)列，則（

）A．3 B． C．9 D．6．已知正項(xiàng)等比數(shù)列的前三項(xiàng)和為28且，則（

）A． B． C． D．7．已知，等比數(shù)列，，，…，的第4項(xiàng)為（

）A．12 B． C．9 D．8．已知是單調(diào)遞增的等比數(shù)列，，則公比的值是（

）A．2 B．-2 C．3 D．-39．已知等差數(shù)列的公差為2，若成等比數(shù)列，則（

）A． B． C．4 D．二、填空題10．和的等比中項(xiàng)是．11．2和4的等差中項(xiàng)為，等比中項(xiàng)為．12．首項(xiàng)為1的等比數(shù)列中，，，成等差數(shù)列，則公比.13．設(shè)為公比的等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，且成等差數(shù)列，則．14．已知數(shù)列是首項(xiàng)的等比數(shù)列，且，，成等差數(shù)列，則其公比q等于．三、解答題15．等比數(shù)列中，，．(1)求的通項(xiàng)公式：(2)記為的前n項(xiàng)和，若，求m．16．已知等差數(shù)列滿足，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)等比數(shù)列各項(xiàng)均為正數(shù)，其前項(xiàng)和，若，，求.17．已知數(shù)列是公差不為零的等差數(shù)列，，且、、成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求.

知識(shí)點(diǎn)·梳理等比數(shù)列及其前項(xiàng)和知識(shí)點(diǎn)·梳理①等比數(shù)列的有關(guān)概念1）等比數(shù)列的定義：一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)開始，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比值都等于同一個(gè)常數(shù)的數(shù)列，其中這個(gè)常數(shù)稱為公比.2）等比數(shù)列定義式：.3）等比中項(xiàng)：若成等比數(shù)列，則.4）等比數(shù)列的通項(xiàng)公式：或.5）等比數(shù)列的前n項(xiàng)和：（當(dāng)時(shí)），（當(dāng)時(shí)）.②等比數(shù)列的單調(diào)性單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，③等比數(shù)列的性質(zhì)已知數(shù)列是等比數(shù)列，是數(shù)列的前項(xiàng)和.1）若,則有;2）若數(shù)列是等比數(shù)列，公比為，則是等比數(shù)列;3）數(shù)列成等比數(shù)列;4）相鄰奇數(shù)項(xiàng)或者偶數(shù)項(xiàng)的符號(hào)保持一致.

重點(diǎn)題型·歸類精講重點(diǎn)題型·歸類精講題型一等比數(shù)列基本量的計(jì)算【例1-1】（2024年真題）等比數(shù)列中，A、2B、4C、9D、252【答案】B【解析】快速求解，數(shù)列為等比數(shù)列，也為等比數(shù)列【例1-2】（2021年真題）若是公比為3的等比數(shù)列，且，則．【答案】【解析】數(shù)列是公比為3的等比數(shù)列，也就是說有一列數(shù)，后面一個(gè)數(shù)是前面一個(gè)數(shù)的3倍，那么第3個(gè)數(shù)就是第1個(gè)數(shù)的9倍，，即，后一項(xiàng)是前一項(xiàng)的3倍，那么這列數(shù)依次是【例1-3】（2020年真題）等比數(shù)列中，若，則___【答案】2【解析】本題可以通過先算出公比、首項(xiàng)或者直接估值求解。 首項(xiàng)即第1個(gè)數(shù)是，公比是2、即后一個(gè)數(shù)是前一個(gè)數(shù)的2倍，所以第2個(gè)數(shù)，第3個(gè)數(shù)【例1-4】（2012年真題）已知是等比數(shù)列，，則___【答案】73【解析】【例1-5】（2011年真題）已知是等比數(shù)列，，則【答案】3【解析】【例1-6】（2010年真題）是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，已知，則___【答案】21【解析】(舍去)，公比;或【例1-7】（2008年真題）是等比數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，公比，則A.2B.3C.5D.8【答案】A【解析】公比為1，則數(shù)列各項(xiàng)相等，，故 【例1-8】（2006年真題）設(shè)等比數(shù)列的第3項(xiàng)，第8項(xiàng)，則第5項(xiàng)___(用數(shù)字作答)【答案】48【解析】【例1-9】（2004年真題）已知等比數(shù)列的公比是2，且前4項(xiàng)的和為1，那么前8項(xiàng)之和為___【答案】17【解析】前8項(xiàng)的和 【變式1】在等比數(shù)列中，(1)已知，，求；【答案】【解析】等比數(shù)列中，，，則.(2)已知，，，求；【答案】【解析】等比數(shù)列中，，，，由，可得.(3)已知，，求．【答案】【解析】等比數(shù)列中，，，由，可得.(4)，，求；【答案】【解析】，又，故，故(5)，，求；【答案】或【解析】由，可得，即，解得或題型二等比中項(xiàng)【例2-1】已知數(shù)列為等比數(shù)列，，則（

）A．2 B．4 C．8 D．16【答案】B【解析】由題設(shè)，則，所以.故選：B【例2-2】已知等比數(shù)列中，，，則（

）A．4或 B． C．4 D．8【答案】C【解析】設(shè)公比為，則，因?yàn)?，，所以，所?故選：C.【例2-3】等比數(shù)列中，，，則與的等比中項(xiàng)為（

）A．12 B． C． D．30【答案】C【分析】根據(jù)等比中項(xiàng)定義直接求解即可.【詳解】記與的等比中項(xiàng)為G，則，所以.故選：C【例2-4】已知，，若a，b，c三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，則（

）A．5 B．1 C． D．或1【答案】D【分析】根據(jù)三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，列式計(jì)算，即可得答案.【詳解】由題意知，，a，b，c三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，則，故，故選：D【變式1】已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，，，則（

）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】C【解析】由等比數(shù)列，，，有，又因?yàn)楦黜?xiàng)均為正數(shù)，所以.故選：C．【變式2】等比數(shù)列中，，則與的等比中項(xiàng)為（

）A．24 B． C． D．【答案】C【詳解】與的等比中項(xiàng)為，，則．故選：C．【變式3】已知數(shù)列為等比數(shù)列，是它的前項(xiàng)和，若，且與的等差中項(xiàng)為，則（

）A．35 B．33 C．31 D．30【答案】D【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，，，，，與的等差中項(xiàng)為，，即，解得，，由，可得，.故選：D.題型三等比數(shù)列的性質(zhì)【例3-1】（2024年真題）等比數(shù)列中，A、2B、4C、9D、252【答案】B【解析】快速求解，數(shù)列為等比數(shù)列，也為等比數(shù)列【例3-2】（2013年真題）若等比數(shù)列前項(xiàng)和為，則A、-5B、0C、1D、-1【答案】D【解析】【例3-3】等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（

）A．2 B．-2 C．1 D．-1【答案】A【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為q，當(dāng)時(shí)，，不合題意；當(dāng)時(shí)，等比數(shù)列前項(xiàng)和公式，依題意.故選：A【例3-4】設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和是.已知，則（

）A．13 B．12 C．6 D．3【答案】A【解析】方法一因?yàn)椋?，，所以，所?又，得，所以.故選：A.方法二因?yàn)?，，所以，所以，所?故選：A.【變式1】已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則等于（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】依題意，所以等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，所以，解得.故選：D.【變式2】等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由等比數(shù)列性質(zhì)可知，成等比數(shù)列，因?yàn)椋?，所以成等比?shù)列，所以，所以，所以.故選：C.【變式3】已知數(shù)列是等比數(shù)列，為其前項(xiàng)和，若，，則（

）A．27 B．39 C．81 D．120【答案】D【解析】由題知，，，因?yàn)閿?shù)列成等比數(shù)列，所以，所以.故選：D.題型四等差數(shù)列與等比數(shù)列綜合【例4-1】（2019年真題）已知是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，且成等差數(shù)列，則的公比為___【答案】2【解析】成等差數(shù)列;則(等比數(shù)列第3項(xiàng)第2項(xiàng)乘以1個(gè)公比)(等比數(shù)列第4項(xiàng)第2項(xiàng)乘以公比、再乘以公比，即)或者(舍去)【例4-2】（2018年真題）已知是公差不為零的等差數(shù)列，，且成等比數(shù)列(1)求的通項(xiàng)公式(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和解:(1)成等比數(shù)列，，因?yàn)?，所以?2)。等比數(shù)列，首項(xiàng)為2，尾項(xiàng)為，前項(xiàng)和【例4-3】（2016年真題）已知是等比數(shù)列，，數(shù)列滿足(1)證明數(shù)列是等差數(shù)列(2)求的前項(xiàng)和的最大值解：，數(shù)列是公差為-2的等差數(shù)列(2)，所以當(dāng)或時(shí)取最大值，【例4-4】（2009年真題）是等比數(shù)列，是公差不為零的等差數(shù)列，已知(1)求和的通項(xiàng)公式(2)設(shè)的前項(xiàng)和為，是否存在正整數(shù)，使?若存在，求出，若不存在，說明理由。(1)解：設(shè)數(shù)列公比為，數(shù)列公差為，則，即，則，即把代入得或(舍)，所以數(shù)列通項(xiàng)公式數(shù)列通項(xiàng)公式(2)解：；【例4-5】（2003年真題）已知等差數(shù)列中，，且又成等比數(shù)列，，求公差及項(xiàng)數(shù)解：成等比數(shù)列或若，則，故解得，或課后模擬課后模擬·鞏固練習(xí)1．正項(xiàng)等比數(shù)列中，，，則（

）A． B．3 C．6 D．9【答案】B【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，因?yàn)閿?shù)列為正項(xiàng)等比數(shù)列，所以，由題，則，所以，所以.故選：B2．在等比數(shù)列中，若，則（

）A．6 B．9 C． D．【答案】A【解析】因?yàn)椋裕ㄘ?fù)值舍去），所以.故選：A3．已知等比數(shù)列滿足，，則（

）A．26 B．78 C．104 D．130【答案】B【解析】設(shè)等比數(shù)列公比為，根據(jù)已知可得，，所以，，解得，所以，.故選：B.4．在等比數(shù)列中，若，則的公比（

）A． B． C． D．4【答案】B【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，因?yàn)榍?，可得，可?故選：B.5．在等比數(shù)列中，成等差數(shù)列，則（

）A．3 B． C．9 D．【答案】C【解析】設(shè)的公比為，則由題意可知或，顯然時(shí)，，無意義舍去；所以.故選：C6．已知正項(xiàng)等比數(shù)列的前三項(xiàng)和為28且，則（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由題意設(shè)公比為，則，即，解得滿足題意，所以.故選：C.7．已知，等比數(shù)列，，，…，的第4項(xiàng)為（

）A．12 B． C．9 D．【答案】B【詳解】因?yàn)榈缺葦?shù)列，，，…，則解得或，又，所以，則，所以公比，等比數(shù)列的第項(xiàng)為.故選：B8．已知是單調(diào)遞增的等比數(shù)列，，則公比的值是（

）A．2 B．-2 C．3 D．-3【答案】A【詳解】因?yàn)槭堑缺葦?shù)列，所以，則，解得或，又因?yàn)槭菃握{(diào)遞增的等比數(shù)列，所以，所以公比.故選：A.9．已知等差數(shù)列的公差為2，若成等比數(shù)列，則（

）A． B． C．4 D．【答案】C【詳解】數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列，，，成等比數(shù)列，，即，解得，故選：C.二、填空題10．和的等比中項(xiàng)是．【答案】【詳解】設(shè)和的等比中項(xiàng)為，則，解得.故答案為：11．2和4的等差中項(xiàng)為，等比中項(xiàng)為．【答案】3【詳解】2和4的等差中項(xiàng)為，2