第一章時間離散信號與系統(tǒng)1.1引言

1.2時間離散信號——序列

1.3線性移不變系統(tǒng)

1.4系統(tǒng)的穩(wěn)定性與因果性

1.5線性常系數(shù)差分方程

1.6離散時間系統(tǒng)與信號的頻域表示

1.7傅里葉變換的一些對稱性質(zhì)

1.8時間連續(xù)信號的采樣

1.1引

言

信號是信息的載體，它承載和傳遞著存在于自然界的各種紛繁復雜的信息。根據(jù)信號本身的特點，它?？梢杂梢粋€或多個獨立變量來描述，在數(shù)學上則可以表示成這些變量的不同函數(shù)。例如，語音信號在數(shù)學上可表示成時間的函數(shù)，而圖像信號又可以表示成一個二元或多元空間變量的亮度函數(shù)。不過，人們經(jīng)常將此類數(shù)學表示式中的獨立變量看作時間。我們也遵循這個傳統(tǒng)，

盡管實際上有時它并不代表時間。

以時間變量表示的信號常被分成時間（或時域）連續(xù)信號和時間（或時域）離散信號。時間連續(xù)信號的幅度一般不再量化。時間和幅度都連續(xù)的信號就是我們十分熟悉的模擬信號。離散時間信號的幅度通常也有連續(xù)和離散之分。時間為離散變量而幅度仍是連續(xù)變化的信號常叫作序列，而時間與幅度均已離散的信號則為數(shù)字信號。數(shù)字信號處理，實際上就是對幅度和時間都離散的信號的變換或濾波。似乎可以這么說，在幾乎所有科學和技術(shù)領域，為了實現(xiàn)信息的提取，都得對有關(guān)信號進行必要的處理。信號處理技術(shù)與相應系統(tǒng)的發(fā)展，對科學本身的進步，一直起著十分重要的作用。

需要說明的是，為了不影響主要理論的論述，本書只研討時間離散的信號與系統(tǒng)，而不專門討論幅度量化問題。或者說，我們實際討論的將是一種幅度連續(xù)而時間離散的信號，而不直接討論數(shù)字信號本身。這在原理上并無什么問題，因為隨著電子技術(shù)的飛速發(fā)展，幅度量化的精確實現(xiàn)已越來越方便，讀者如確因需要而必須探討幅度量化方面的內(nèi)容時，

可以參閱有關(guān)文獻。

通常，時間離散信號可以通過對時間連續(xù)信號的采樣獲取，也可以由某些時間離散處理方法直接產(chǎn)生。無論時間離散信號的來源如何，數(shù)字信號處理系統(tǒng)都具有一系列令人向往的特點。它們能用數(shù)字計算機十分靈便地運作，也可用數(shù)字專用設備實現(xiàn)。它不僅可以模仿模擬系統(tǒng)，更可以用來實現(xiàn)模擬器件無法實現(xiàn)的諸多十分重要的信號變換。因此，在作復雜的信號處理時，

常要用到信號的數(shù)字化表示。

1.2時間離散信號——序列

時間離散信號只在離散時間點上標有數(shù)值，離散時間的時間間隔T通常是均勻的，可用x(nT)表示其在nT處的信號值，并以x(n)表示第n個離散時間點的序列值。事實上，在具體論述中，我們又常以x(n)直接代表序列{x(n)}。時間離散信號（序列）也常用圖1.1那樣的圖形表示。盡管橫坐標是一條連續(xù)的直線，但是需要特別說明，這里的x(n)僅對n為整數(shù)時才有定義,對于非整數(shù)的n，x(n)沒有意義，把它理解為零也不正確。圖1.1時間離散信號

1.2.1常用序列舉例

1.單位采樣序列

(1-1)單位采樣序列如圖1.2所示。它在時間離散信號與系統(tǒng)中所起的作用與模擬信號與系統(tǒng)中的單位沖激函數(shù)δ(t)相仿，但在數(shù)學上沒有沖激函數(shù)δ(t)那么復雜，其定義如式（1－1）所示，十分明確和簡單。圖1.2單位采樣序列

圖1.3單位階躍序列

2.單位階躍序列

(1-2)單位階躍序列如圖1.3所示,它與單位采樣序列的關(guān)系為

（1-3）

類似地，

單位采樣序列與單位階躍序列的關(guān)系為

（1-4）

3．

矩形序列

（1-5）

圖1.4所畫的是樣本點為N的矩形序列。它與u(n)及δ(n)的關(guān)系分別為

RN(n)=u(n)-u(n-N)及

(1-6)(1-7)圖1.4矩形序列

圖1.5實指數(shù)序列

4.實指數(shù)序列

x(n)=an

(1-8)

實指數(shù)序列是一個其值為an的任意序列,當這里的a為實數(shù),且a值小于1時,實指數(shù)序列如圖1.5所示。5.正弦序列

正弦序列如圖1.6所示,其表達式為

(1-9)式中的ω代表正弦序列的數(shù)字角頻率，A是幅度，則為起始相位。

設正弦序列是模擬信號采樣所得,而模擬信號的表達式為

則

(1-10)圖1.6正弦序列

式中的Ω為模擬角頻率，T為采樣周期。對比式(1-10)與式(1-9),可見序列的值與采樣值相等,

也就意味著

ω=ΩT(1-11)

式(1-11)表明了采樣所得的正弦序列的數(shù)字角頻率與原先的正弦信號的模擬角頻率間的對應關(guān)系。模擬角頻率的單位為弧度/秒,而數(shù)字角頻率的單位為弧度,它代表采樣序列相鄰樣本間的轉(zhuǎn)角。

6.復指數(shù)序列

(1-12)當σ=0時,x(n)=ejωn

(1-13)1.2.2序列的周期性如果對所有的n，具有一個最小的正整數(shù)N，使x(n)=x(n+N),則x(n)為周期序列，而周期就是N。我們以正弦序列為例，討論序列的周期性。此時(1-14)(1-15)比較式（1-14）與式（1-15），只要N=2πk/ω（N，k為整數(shù)），則該序列就是周期序列。這里有必要討論下面所列的幾種情況：

(1)當 為整數(shù)時，只需取k=1， 即為其周期。

(2)當雖非整數(shù)，但它是個有理數(shù)時，即可表示成一種分數(shù)： ，N與k為互素的整數(shù)，則最小的整數(shù)就是它的周期，也就是此時的周期將是的k倍。

(3)當不是有理數(shù)時（例如等于8π），則任何整數(shù)k都無法使N成為整數(shù)，因而該正弦序列將不具備周期性。

于是我們不難知道，盡管正弦模擬信號始終是一種周期信號，但是正弦序列，即使它是由相應的模擬信號采樣所得，也不一定總是周期性信號,這是因為時間離散時，n又要以整數(shù)定義帶來的結(jié)果,討論時應該注意。1.2.3序列的能量有時候，引用序列的能量會帶來某些方便。序列x(n)的能量E通常定義為該序列所有序列值的平方和，即

（1-16）

1.2.4任意序列的δ(n)表示我們知道，將單位采樣序列δ(n)作k步位移的表達式為δ(n-k),其中k>0時為延遲，k<0時為導前。于是，任何序列都可以表示成各延遲單位采樣序列的幅度加權(quán)和。例如圖1.7所示的序列x(n)可表示成x(n)=x(-3)δ(n+3)+x(0)δ(n)+x(2)δ(n-2)更一般地，

對于任意序列可以表示成

（1-17）

即任意序列x(n)均可表示成δ(n)的移位加權(quán)和。

圖1.7可表示成各延遲的單位采樣的序列幅度加權(quán)和1.3線性移不變系統(tǒng)

一個離散時間系統(tǒng)如圖1.8所示，它被定義為將輸入序列x(n)轉(zhuǎn)換成輸出序列y(n)的一種運算或變換，即y(n)=T［x(n)］

變換T［·］的不同特性，反映了系統(tǒng)的不同性質(zhì)。由于線性移不變系統(tǒng)在數(shù)學上易于表征，尤其是它們可以比較方便地用來實現(xiàn)各種信號處理功能，因此本書將重點討論這種系統(tǒng)。

圖1.8將x(n)轉(zhuǎn)換成y(n)的變換表示

我們先考慮線性系統(tǒng)。所謂線性系統(tǒng)，實際上就是我們熟知的滿足線性疊加原理的系統(tǒng)，此時，如果系統(tǒng)對輸入序列x1(n)及x2(n)的輸出分別為y1(n)與y2(n)，即y1(n)=T［x1(n)］

與

Y2(n)=T［x2(n)］

則當輸入為ax1(n)+bx2(n)時，線性系統(tǒng)的輸出一定為ay1(n)+by2(n),這里的a、b為任意常數(shù),即此時的(1-18)

移不變系統(tǒng)的主要特征是：如果y(n)是系統(tǒng)對x(n)的響應，那么y(n-k)將是系統(tǒng)對x(n-k)的響應?；蛘哒f輸入作多大移位，輸出也將作同樣的移位，而k則是可正可負的整數(shù)。如果n描述的是時間，則移不變系統(tǒng)也就是我們熟悉的時不變系統(tǒng)。對于同時兼有線性與移不變特性的線性移不變系統(tǒng)，它對輸入是 的響應將是 。為此，我們引入一個新的變量h(n)，稱作單位采樣響應，即（1-19）

它是系統(tǒng)對單位采樣序列的響應。

對于線性移不變系統(tǒng)，其輸入x(n)依式（1-17）可表示成于是，系統(tǒng)的輸出

（1-20）

這就是卷積和表示式，而且經(jīng)常表示成式（1-21）所示的形式：

（1-21）

線性移不變系統(tǒng)輸入輸出的卷積和關(guān)系如圖1.9所示。

圖1.9線性移不變系統(tǒng)的輸入輸出的卷積和表示

上述討論表明，對一個線性移不變系統(tǒng)，如果把加于它的輸入序列寫成由式（1-17）所示的移位的單位采樣序列的加權(quán)和的話，系統(tǒng)所得的輸出則可用式（1-20）所示那樣由其對應的單位采樣響應作同樣的加權(quán)和獲取。如果對式（1-20）作變量替換，則可得另一種卷積表達式，

即

（1-22）

這表明卷積結(jié)果與進行卷積的兩個序列的書寫次序無關(guān)，也即輸入為x(n),單位采樣響應為h(n)的線性移不變系統(tǒng)與輸入為h(n)，單位采樣響應為x(n)的線性移不變系統(tǒng)具有同樣的輸出。卷積和是一種十分重要的表達式,它不僅與模擬系統(tǒng)中的卷積積分具有完全相當?shù)睦碚撘饬x，尤其是其只需求和而無需積分運算，這在工程上更有重要價值。實現(xiàn)卷積和計算的軟硬件方法也已十分成熟。

例如果一個系統(tǒng)的單位采樣響應h(n)及其輸入x(n)如圖1.10所示，試求系統(tǒng)對該輸入的響應。圖1.10系統(tǒng)的輸入及單位采樣響應舉例

從式（1-20）可以看到，為了得到y(tǒng)(n)的第n個序列值，我們需要計算x(n)與h(n-k)的乘積,并作相應的累加。為此我們先將x(n)與h(n)改為以k表示的形式，并將h(k)卷折至零點的左邊，成為h(-k),h(-k)也可寫作h(0-k)。不同的n，則有不同的h(n-k)。于是如圖1.11所示,我們不難求得最終的y(n)輸出。圖1.11線性卷積和求解舉例圖1.11線性卷積和求解舉例此外，兩個線性移不變系統(tǒng)的級聯(lián)，依舊是一個線性移不變系統(tǒng)；其單位采樣響應將是原先的兩個單位采樣響應的卷積；而且，由于兩個序列的卷積與序列的次序無關(guān)，因此這個新線性移不變系統(tǒng)的單位采樣響應與它們級聯(lián)的次序沒有關(guān)系。圖1.12概括了這種特性，三個系統(tǒng)將有相同的單位采樣響應及相同的輸出。從式（1-20）或式（1-22）還可以看出，兩個并聯(lián)的線性移不變系統(tǒng)也可以等效成一個系統(tǒng)，其單位采樣響應將等于原來兩個系統(tǒng)的單位采樣響應之和，如圖1.13所示。

圖1.12具有相同單位采樣響應的三個線性移不變系統(tǒng)

圖1.13線性移不變系統(tǒng)的并聯(lián)組合及其等效系統(tǒng)

1.4系統(tǒng)的穩(wěn)定性與因果性

1.4.1穩(wěn)定系統(tǒng)對于每個有界輸入都產(chǎn)生有界輸出的系統(tǒng)被定義為穩(wěn)定系統(tǒng)。線性移不變系統(tǒng)穩(wěn)定的充分和必要條件為該系統(tǒng)的單位采樣響應絕對可和，

即

(1-23)下面我們對此作簡要的證明：(1)充分性：只要

則當x(n)有界，即

也定有界。

(2)必要性：

假設

我們考慮一有界輸入

那么只要觀察n=0的一個輸出樣本y(0),即可證明

應該是系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件,因為這時的

即當系統(tǒng)的單位采樣響應不是絕對可和時其輸出序列將是無界的。

1.4.2因果系統(tǒng)因果系統(tǒng)是指其輸出變化不會發(fā)生在輸入變化之前的系統(tǒng),也就是某一時刻n0的輸出y(n0)只取決于n≤n0時的輸入x(n)的系統(tǒng)。如果系統(tǒng)當前的輸出還有賴于未來的輸入，那就是非因果系統(tǒng)，按傳統(tǒng)的說法也就是所謂不可實現(xiàn)系統(tǒng)。線性移不變系統(tǒng)是因果系統(tǒng)的充分與必要條件為h(n)=0n<0(1-24)

證

(1)充分性：設n＜0時，h(n)=0，則必有k>n0時，h(n0－k)=0。我們不妨觀察n0時刻的輸出這表示y(n0)只與k≤n0時的x(k)有關(guān)，而與k>n0時的x(k)無關(guān)，因而證明了n＜0時,h(n)=0是因果系統(tǒng)的充分條件。(2)必要性：如果n＜0時，h(n)≠0，則在n0時刻的輸出

即此時的y(n0)不僅與k<n0時的x(k)有關(guān)，而且與k>n0時的x(k)有關(guān)，從而表明它與未來的輸入也有關(guān)系，這顯然與因果性條件相矛盾。因而n＜0時,h(n)=0也是其必要條件。按照習慣，我們也將n＜0,h(n)=0的序列稱作因果序列。此外，因頻率特性是理想矩形的低通濾波器及理想微分器等都是非因果的不可實現(xiàn)系統(tǒng),人們也將非因果系統(tǒng)稱作不可實現(xiàn)系統(tǒng)。事實上，只要可以存儲，這種稱謂就不甚確切。例如我們把一個人的講話用磁帶記錄下來，然后將它倒過來播放，這時雖然我們已經(jīng)聽不出講話的內(nèi)容，作為一個系統(tǒng)，它也已成了非因果系統(tǒng)，但是它畢竟是一個具體實現(xiàn)了的系統(tǒng)，而且我們不難構(gòu)思出把這種輸出轉(zhuǎn)換成能夠重現(xiàn)原先講話內(nèi)容的具體途徑。更有價值的是只要不十分強調(diào)實時處理要求，或者雖有此要求但仍允許一定的時間延遲，我們總可以把“將來”的輸入值存儲起來備用，然后用具有足夠延時的因果系統(tǒng)去逼近非因果系統(tǒng)，這是數(shù)字系統(tǒng)遠較模擬設備優(yōu)越的重要因素之一。1.5線性常系數(shù)差分方程

與用集中參數(shù)構(gòu)成的線性時不變系統(tǒng)可用常系數(shù)微分方程描述一樣，以延遲元件、加法器及作常系數(shù)加權(quán)的乘法器等構(gòu)成的線性移不變系統(tǒng)，其輸入輸出關(guān)系則可用一N階的常系數(shù)差分方程表示，

即

（1-25）

（1-26）

式中,ak、br為常系數(shù)。

如將式（1-25）寫成

且進而設a0=1,則式（1-26）可以表示成輸入與輸出之間的顯式關(guān)系，

即

（1-27）

當然，不設a0=1也行，因為只需將式（1-26）中的每一項除以a0，并將各系數(shù)重新標注即可得到式（1-27）的表示式。

式（1-27）所示的N階差分方程表明，系統(tǒng)輸出的第n個樣本可以從此前N個輸出的過去值（N階）、當前的輸入值以及過去的M個輸入值計算得到。與卷積和相仿，差分方程不僅可以從理論上表征系統(tǒng)，

而且也能方便地完成系統(tǒng)的具體實現(xiàn)。

下面先看N=0的情況，

此時式（1-27）可表示成

如果設

（1-29）

（1-28）

這時不難理解，式（1-28）實際上就是系統(tǒng)的卷積表示式。而且可以進一步看到，該系統(tǒng)的輸出只與輸入有關(guān)，而與輸出本身無關(guān)，因而從結(jié)構(gòu)考慮的話，又常將它稱作非遞歸型系統(tǒng)。不過，如從系統(tǒng)單位采樣響應的長度考慮，因其h(n)為有限長序列，所以又常被稱作有限沖激響應（FIR）系統(tǒng)。

例設M=1，b0=1，b1=0.5，此時的y(n)=x(n)+0.5x(n-1),其輸入輸出關(guān)系如圖1.14所示。圖1.14簡單FIR系統(tǒng)框圖

如果再設n＜0時，y(n)=0，即滿足初始靜止條件,則當x(n)=δ(n)時，y(n)=h(n),而且n＜0時,h(n)=0,于是有h(n)=δ(n)+0.5δ(n-1)而且其

h(0)=δ(0)+0.5δ(-1)=1h(1)=δ(1)+0.5δ(0)=0.5h(2)=δ(2)+0.5δ(1)=0即此例是一個因果的有限沖激響應系統(tǒng)。

如果N≠0，我們將式（1-27）重列于下：

這時從結(jié)構(gòu)考慮的話，輸出不僅與輸入有關(guān)，而且還與過去的輸出有關(guān)；或者說，此時存在著輸出的某種反饋，因而常被稱作遞歸系統(tǒng)。從單位采樣響應的長度考慮，此類系統(tǒng)的h(n)的長度往往是無限長的，

故又常稱為無限沖激響應（IIR）系統(tǒng)。

例設N=1，a1=-a,M=0,b0=1,此時的一階差分方程為y(n)=x(n)+ay(n-1),相應的關(guān)系如圖1.15所示。同樣設系統(tǒng)滿足初始靜止條件，即時n<0時，y(n)=0,于是當x(n)=δ(n)時,有h(n)=δ(n)+ah(n-1)以及n<0時的h(n)=0。

具體地，

將有

h(0)=δ(0)+ah(-1)=1h(1)=δ(1)+ah(0)=a

h(2)=δ(2)+ah(1)=a2

h(3)=δ(3)+ah(2)=a3

h(n)=anu(n)…圖1.15簡單IIR系統(tǒng)框圖

通常，F(xiàn)IR系統(tǒng)常以非遞歸的結(jié)構(gòu)來實現(xiàn)，而具有IIR特性的系統(tǒng)則用遞歸結(jié)構(gòu)比較方便，因而經(jīng)常將非遞歸系統(tǒng)等同為FIR系統(tǒng)，而將遞歸系統(tǒng)視作IIR系統(tǒng)。其實這是兩種分類概念，一種是以結(jié)構(gòu)來區(qū)分，而另一種則是以單位采樣響應的長度來衡量的。事實上，無論是FIR系統(tǒng)還是IIR系統(tǒng)都是有可能用非遞歸的結(jié)構(gòu)或用遞歸的結(jié)構(gòu)具體實現(xiàn)或逼近的。

1.6離散時間系統(tǒng)與信號的頻域表示

線性移不變系統(tǒng)具有這樣的基本特性：當輸入正弦或復指數(shù)序列時，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應是與輸入為相同頻率的正弦或復指數(shù)序列，只是此時的幅度與相位取決于系統(tǒng)的特性。為了進一步理解時間離散系統(tǒng)的這一特性，我們假設輸入一角頻率為ω的復指數(shù)序列：

x(n)=ejωn-∞<n<∞這時可得系統(tǒng)的輸出

我們定義

(1-30)于是有

(1-31)

從式（1-31）不難看出，H(ejω)表明了系統(tǒng)輸出的幅度和相位發(fā)生變化的依據(jù)。H(ejω)通常是復數(shù)，可用其實部和虛部表示為

也可用幅度與相位表示為

有時候用群延遲 更加方便，它是相位對ω的負導數(shù)。

討論到此，有必要特別強調(diào)兩點:首先，系統(tǒng)的頻率響應H(ejω)是角頻率ω的連續(xù)函數(shù);其次，H(ejω)還是ω的以2π為周期的周期函數(shù)。這可以從式（1-30）直接看出，因為ej(ω+2π)k=ejωk。

例討論系統(tǒng)的頻率響應，該系統(tǒng)的單位采樣響應如圖1.16所示，其單位采樣響應為

其他

此時的頻率響應為

圖1.17畫出了N=5的H(ejω)的幅度與相位特性。圖1.16計算機系統(tǒng)頻率響應的h(n)舉例圖1.17由圖1.16的h(n)描述的系統(tǒng)的頻率響應的幅度與相位特性

正因為H(ejω)是ω的周期函數(shù)，所以它可以用傅里葉級數(shù)表示。事實上，作為H(ejω)的定義式（1-30）本身就是典型的傅里葉級數(shù)表示式。因而，該級數(shù)的傅里葉系數(shù)就對應于系統(tǒng)的單位采樣響應h(n)。傅里葉級數(shù)的系數(shù)不難計算，它可以表示為（1-32）

式中的

（1-33）

事實上，我們還可以從另一個角度了解它們之間的關(guān)系。

如果將式（1-33）的H(ejω)替換式（1-32）中的積分式，并以k作參變量，

則有

考慮到

(1-34)因而可得積分式

也即

(1-35)

式（1-33）與式（1-32）構(gòu)成了序列h(n)的傅里葉變換對。式（1-32）把序列h(n)表示成指數(shù)信號的疊加（積分），其中各指數(shù)信號的復振幅則由式（1-33）決定。式（1-33）則稱為傅里葉反變換，它實現(xiàn)的則是綜合功能。用式（1-33）對h(n)進行變換的方法并不僅受系統(tǒng)的單位采樣響應所限，只要式（1-33）收斂，它顯然也適用于任何序列。因此對于一般序列x(n)，我們定義其傅里葉變換為（1-36）

而其傅里葉反變換則為

（1-3７）

我們知道，式（1-36）這樣的級數(shù)并不總是收斂的。單位階躍序列、對所有的n定義的實的或者復的指數(shù)序列等級數(shù)都不收斂。傅里葉級數(shù)的收斂條件有幾種定義及解釋方法，這里只介紹最常用的一種。如果x(n)絕對可和，即我們就稱式（1-36）絕對收斂，而且它一致收斂于ω的一個連續(xù)函數(shù)上。所以，一個穩(wěn)定系統(tǒng)的頻率響應總是收斂的。另外，如果一個序列絕對可和，那么它也具有有限能量，即這可以從

直接得出。

在線性移不變系統(tǒng)分析中，序列可表示為復指數(shù)的疊加是一個十分重要的特點，因為疊加原理的作用可以使這個系統(tǒng)對于復指數(shù)的響應完全由其頻率響應H(ejω)得到，即有

（1-38）

于是可得輸出信號的傅里葉變換

（1-39）

在時間連續(xù)系統(tǒng)理論中有與此相似的結(jié)論。當然，我們也可以用較為嚴格的計算卷積和的傅里葉變換得到同樣的結(jié)果。

因為此時的

其傅里葉變換

變更求和次序，則

作l=n-k的變量替換，

即可求得此時的

這也表明，兩個序列時間域內(nèi)卷積和的傅里葉變換等于它們各自傅里葉變換的乘積。而且，兩個序列時間域的乘積的傅里葉變換將是它們各自傅里葉變換的卷積（卷積積分）。即此時如果

y(n)=x(n)h(n)(1-40)則有

(1-41)我們只用簡單的反證說明這個結(jié)果。即假設上式成立，則應有

1.7傅里葉變換的一些對稱性質(zhì)

傅里葉變換具有許多十分有用的對稱性質(zhì)，為了討論方便，我們先定義兩種序列，它們是共軛對稱序列

(1-42)及共軛反對稱序列

(1-43)這里的*號表示復共軛。

事實上，任意一個序列x(n),還可以由一個與之對應的共軛對稱序列與一個共軛反對稱序列之和來表示，即(1-44)當然，此時的共軛對稱分量xe(n)與共軛反對稱分量xo(n)也可以用原序列描述，即有（1-45）

（1-46）

如果x(n)是實序列，那xe(n)、xo(n)也為實序列,而且xe(n)=xe(-n)為偶序列，xo(n)=-xo(-n)為奇序列。

x(n)的傅里葉變換X(ejω)也可由其共軛對稱分量與共軛反對稱分量之和來表示，即(1-47)式中的

(1-48)(1-49)分別為X(ejω)的共軛對稱分量與共軛反對稱分量。而且也有

（1-50）

（1-51）

的相應關(guān)系。如果X(ejω)為實函數(shù)，與其對應的Xe(ejω)與Xo(ejω)也將是實函數(shù)，而且Xe(ejω)=Xe(e-jω)為偶函數(shù)，Xo(ejω)=-Xe(e-jω)為奇函數(shù)。下面我們從一般的復序列x(n)開始討論，

其傅里葉變換為

對等式兩邊都求共軛，

將有

（1-52）

若以-ω替換ω，并代入式（1-52），即有

（1-53）

式（1-53）表明，x*(n)的傅里葉變換將是X*(e-jω)。

同樣，若將式（1-52）中的n用-n替換，則有

（1-54）

這表明x*(-n)的傅里葉變換為x(n)的傅里葉變換的共軛。利用兩個序列之和的傅里葉變換等于它們各自傅里葉變換之和這種關(guān)系，不難推出x(n)的實部 的傅里葉變換為 ，即為X(ejω)的共軛對稱分量X*(ejω);而x(n)的虛部 的傅里葉變換為 ，即為X(ejω)的共軛反對稱分量。類似地，x(n)的共軛對稱分量xe(n)的傅里葉變換為X(ejω)的實部Re［X(ejω)］；而x(n)的共軛反對稱分量xo(n)

的傅里葉變換為X(ejω)的虛部Im［X(ejω)］。

如果x(n)是實序列，則這些對稱性質(zhì)將更簡明和有用，因為這時如對 兩邊求共軛，將得（1-55）

若以-ω替換ω，則式（1-55）可改寫為（1-56）

因而有

（1-57）

即實序列的傅里葉變換具有共軛對稱性質(zhì)。

考慮到

及

可得

和

即實序列x(n)的傅里葉變換的實部為偶函數(shù)，而其虛部則為奇函數(shù)。

如果將X(ejω)表示成極坐標形式，即

同樣可推得實序列x(n)的傅里葉變換的幅度|X(ejω)|是ω的偶函數(shù)，而由arg［X(ejω)］描述的相位則是ω的奇函數(shù)（可參閱圖1.17所舉之例）。此外，還可得出實序列x(n)的偶序列部分變換成Re［X(ejω)］，x(n)的奇序列部分變換成Im［X(ejω)］。表1.1傅里葉變換的一些對稱性質(zhì)

1.8時間連續(xù)信號的采樣

1.8.1采樣序列與原信號間的內(nèi)在聯(lián)系大家知道，在模擬信號研究中，經(jīng)典的傅里葉分析已被公認為一種相當完美的數(shù)學理論，而且獲得了十分廣泛的應用。傅里葉分析的基本思路在于將一般函數(shù)（如某種信號）表示成具有不同頻率的諧波函數(shù)的線性疊加，從而將原來的函數(shù)（在時域或空域）的研究轉(zhuǎn)化為對這個疊加的權(quán)系數(shù),即傅里葉變換（在頻域）的研究。式（1-58a）就是其數(shù)學表示，而式（1-58b）則是它的傅里葉反變換公式。

（1-58a）

（1-58b）

為了研究采樣序列與原信號的內(nèi)在聯(lián)系，先假設此時的x(n)的序列值如圖1.18所示那樣是由xa(t)通過周期性采樣所得的采樣值xa(nT)得到的，T為采樣周期。為了確定用x(n)代表xa(t)的含意，顯然也可用x(n)的傅里葉變換X(ejω)與xa(t)的傅里葉變換Xa(jΩ)之間的關(guān)系作為分析的依據(jù)。根據(jù)假設及式（1-58b），此時的

(1-59)圖1.18模擬信號的采樣而序列x(n)的傅里葉表示式

（1-60）

為了將式（1-59）與式（1-60）聯(lián)系在一起，我們將式（1-59）表示成無限多的積分之和，

而中間每個積分則均在長度為的區(qū)間上完成，即

用