四種未定式題目及答案一、選擇題（共40分）1.（5分）下列哪個選項是未定式？A.\(\frac{0}{0}\)B.\(\frac{1}{1}\)C.\(\frac{2}{3}\)D.\(\frac{5}{0}\)答案：A2.（5分）對于極限\(\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}\)，下列哪個選項是正確的？A.極限不存在B.極限為0C.極限為1D.極限為無窮大答案：C3.（5分）對于極限\(\lim_{x\to\infty}\frac{x^2+1}{x^2-1}\)，下列哪個選項是正確的？A.極限不存在B.極限為0C.極限為1D.極限為無窮大答案：C4.（5分）對于極限\(\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}\)，下列哪個選項是正確的？A.極限不存在B.極限為0C.極限為1D.極限為無窮大答案：C5.（5分）對于極限\(\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+x)}{x}\)，下列哪個選項是正確的？A.極限不存在B.極限為0C.極限為1D.極限為無窮大答案：C6.（5分）對于極限\(\lim_{x\to0}\frac{1-\cosx}{x^2}\)，下列哪個選項是正確的？A.極限不存在B.極限為0C.極限為1D.極限為無窮大答案：C7.（5分）對于極限\(\lim_{x\to0}\frac{\tanx}{x}\)，下列哪個選項是正確的？A.極限不存在B.極限為0C.極限為1D.極限為無窮大答案：C8.（5分）對于極限\(\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{\tanx}\)，下列哪個選項是正確的？A.極限不存在B.極限為0C.極限為1D.極限為無窮大答案：C二、填空題（共30分）1.（5分）對于極限\(\lim_{x\to0}\frac{1-\cosx}{x^2}\)，其值為\(\boxed{\frac{1}{2}}\)。2.（5分）對于極限\(\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}\)，其值為\(\boxed{1}\)。3.（5分）對于極限\(\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}\)，其值為\(\boxed{1}\)。4.（5分）對于極限\(\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+x)}{x}\)，其值為\(\boxed{1}\)。5.（5分）對于極限\(\lim_{x\to\infty}\frac{x^2+1}{x^2-1}\)，其值為\(\boxed{1}\)。6.（5分）對于極限\(\lim_{x\to0}\frac{\tanx}{x}\)，其值為\(\boxed{1}\)。7.（5分）對于極限\(\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{\tanx}\)，其值為\(\boxed{1}\)。三、計算題（共20分）1.（10分）計算極限\(\lim_{x\to0}\frac{1-\cosx}{x^2}\)。解：利用洛必達(dá)法則，我們有\(zhòng)[\lim_{x\to0}\frac{1-\cosx}{x^2}=\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{2x}=\lim_{x\to0}\frac{\cosx}{2}=\frac{1}{2}\]答案：\(\boxed{\frac{1}{2}}\)2.（10分）計算極限\(\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+x)}{x}\)。解：利用洛必達(dá)法則，我們有\(zhòng)[\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+x)}{x}=\lim_{x\to0}\frac{\frac{1}{1+x}}{1}=1\]答案：\(\boxed{1}\)四、證明題（共10分）證明：對于極限\(\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=1\)。證明：我們可以使用夾逼定理來證明這個極限。對于任意\(x\neq0\)，我們有\(zhòng)[\cosx<\frac{\sinx}{x}<1\]當(dāng)\(