第4課時

方差的應用6.1平均數(shù)與方差1．通過更為豐富的例子，讓學生較為全面地理解方差及其在現(xiàn)實生活中的應用。2．通過實例，讓學生體會數(shù)據(jù)的離散程度在現(xiàn)實生活中廣泛存在，應視情況分析方差或離差平方和對于問題的影響。離差平方和數(shù)據(jù)的離散程度

方差標準差

試一試：如圖是某一天A、B兩地的氣溫變化圖，請回答下列問題：（1）不進行計算，說說A、B兩地這一天氣候的特點。（2）分別計算這一天A、B兩地氣溫的平均數(shù)和方差，與你剛才的

看法一致嗎？答：(1)A、B兩地平均氣溫相近，但A地日溫差較大，

B地日溫差較小．(2)A地平均氣溫20.42℃，方差7.76；

B地平均氣溫21.35℃，方差2.78．?思考

一組數(shù)據(jù)的方差越小，這組數(shù)據(jù)就越穩(wěn)定，那么，是不是方差越小就表示這組數(shù)據(jù)越好呢？議一議：某校從甲、乙兩名優(yōu)秀選手中選一名選手參加全市中學生運動會跳遠比賽，該校預先對這兩名選手測試了10次，測試成績?nèi)缦卤恚?2345678910選手甲的成績（cm）585596610598612597604600613601選手乙的成績（cm）613618580574618593585590598624（1）他們的平均成績分別是多少？（2）甲、乙這10次比賽成績的方差分別是多少？（3）這兩名運動員的運動成績各有什么特點？（1）甲601.6cm，乙599.3cm.（2）甲65.84，乙284.21.（3）甲運動員成績較穩(wěn)定，因為其方差比較小；還可以說乙較有潛質(zhì)，因為乙的最遠成績比甲的最遠成績好等.(答案不唯一，合理即可)（4）歷屆比賽表明，成績達到596cm就很可能奪冠，你認為為了奪冠應選誰參加這項比賽？如果歷屆比賽表明，成績達到610cm就能打破記錄，你認為為了打破記錄應選誰參加這項比賽？（4）在10次比賽中，甲運動員有9次超過596cm，而乙僅有5次，因此一般應選甲運動員參加這項比賽。若要打破610cm的跳遠記錄，則一般應選乙運動員。（1）在解決實際問題時，方差的作用是什么？

反映數(shù)據(jù)的波動大小。方差越大,數(shù)據(jù)的波動越大；方差越小，數(shù)據(jù)的波動越小。（2）運用方差解決實際問題的一般步驟是怎樣的？先計算樣本數(shù)據(jù)平均數(shù)，當兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)相等或相近時，再利用樣本方差來估計總體數(shù)據(jù)的波動情況。試一試：10個蘋果的直徑如圖所示。(1)若想把這10個蘋果分成兩組，使每組蘋果的“個頭”差不多，你想怎么分?說說你分組的理由。(2)一般情況下，如果想把一組數(shù)據(jù)分成若干組，使每組組內(nèi)的數(shù)據(jù)差距不大，且組與組之間的數(shù)據(jù)差別明顯，那么你認為應遵循怎樣的分組原則?與同伴進行交流。（1）可以將直徑較大的一組分為：81、80、80、78、76；直徑較小的一組分為：76、75、75、70、69。理由是使兩組數(shù)據(jù)整體水平相近。（2）分組原則是先確定最大最小值及差值，再確定合適組距，保證每組數(shù)據(jù)個數(shù)大致相等并按序分組。

在統(tǒng)計學里，分組的方法有很多，其中較常用的方法是使“組內(nèi)離差平方和達到最小”。多組數(shù)據(jù)的組內(nèi)離差平方和是指每組數(shù)據(jù)的離差平方和的和。解：將10個數(shù)據(jù)由小到大排序：65,

69,70,75,76,76,78,80,80,

81。把10個數(shù)據(jù)分成兩組，共有9種情況：第一組1個數(shù)據(jù){65}，第二組9個數(shù)據(jù){69,…,81};第一組2個數(shù)據(jù){65,69},第二組8個數(shù)據(jù){70,…,81};……;第一組9個數(shù)據(jù){65,…,80},第二組1個數(shù)據(jù){81}。例1按照“組內(nèi)離差平方和達到最小”的方法，把圖中的10個蘋果按直徑大小分成兩組。

以第2種分組情況為例，計算組內(nèi)離差平方和。其中，第一組有2個數(shù)據(jù){65，69}，這2個數(shù)據(jù)的平均數(shù)是67，故第一組數(shù)據(jù)的組內(nèi)離差平方和

S1=(65－67)2+(69－67)2=8;第二組有8個數(shù)據(jù){70，75，76，76，78，80,80，81}，這8個數(shù)據(jù)的平均數(shù)是77，故第二組數(shù)據(jù)的組內(nèi)離差平方和:

S2=(70-77)2+(75-77)2+…+(81-77)2=90。因此第2種分組情況的組內(nèi)離差平方和S=S1＋S2=8+90=98。同理計算其他8種分組情況的組內(nèi)離差平方和，結果如下：分組情況組內(nèi)離差平方和第一組1個，第二組9個146.889第一組2個，第二組8個98第一組3個，第二組7個48第一組4個，第二組6個74.25第一組5個，第二組5個98第一組6個，第二組4個107.583第一組7個，第二組3個136.095第一組8個，第二組2個182.375第一組9個，第二組1個218計算結果表明，第3種情況的組內(nèi)離差平方和最小。因此把10個蘋果按直徑大小分成的兩組是{65,69,70},{75,76,76,78,80,80,81}。1.已知一組數(shù)據(jù)的方差為4，現(xiàn)將每個數(shù)據(jù)都加上3，則新數(shù)據(jù)的方差為（

）A.1B.4C.7D.162.下列哪種情況適合使用組內(nèi)離差平方和最小的原理？（

）A.比較兩種藥物的療效B.將學生按成績分組C.分析股票價格波動

D.預測天氣變化BC3.若一組數(shù)據(jù)x1+1，x2+1，…，xn+1的方差為1，則另一組數(shù)據(jù)x1+2，x2+2，…，xn+2的方差是

；數(shù)據(jù)3x1+2，3x2+2，…，3xn+2的方差是

。194.為了從甲、乙兩名學生中選擇一人去參加電腦知識競賽，在相同條件下對他們的電腦知識進行10次測驗，成績（單位：分）如下：甲的成績76849084818788818584乙的成績82868790798193907478（1）填寫下表：同學平均成績眾數(shù)方差85分以上的頻率甲84840.4乙8434900.514.4（2）利用以上信息，請從不同的角度對甲、乙兩名同學的成績進行評價.解：從眾數(shù)看，甲成績的眾數(shù)為84分，乙成績的眾數(shù)是90分，乙的成績比甲好；從甲、乙的平均數(shù)看，平均數(shù)都是84分，兩人成績一樣好；從方差看，s2甲

=14.4，s2乙

=34，甲的成績比乙相對穩(wěn)定；從頻率看，甲85分以上的次數(shù)比乙少，乙的成績比甲好.5.為考查某品種小麥的長勢，測量了8株麥苗的高（單位：cm），結果如下：21，21，22，23，23，24，25，25。按照“組內(nèi)離差平方和達到最小”